Post on 02-May-2015
transcript
1
1
COMPUTER
Il patrimonio
culturale ed artistico
italiano deveessere
salvaguardato
a
b
d
c
e
fgh
il 2
Nella diapositiva precedente abbiamo visto delle grandi invenzioni che hanno cambiato la vita dell’uomo.
Ordinale secondo un tuo criterio di importanza
3
Alcune grandi invenzioni oggi sono, per noi, scontate
(pensa alla ruota, alla stampa...)
altre ci appaiono più complesse
(il computer, la televisione…)Quale invenzione, non solo tra quelle già elencate, ti affascina maggiormente?
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Il Teorema di Pitagora! La scrittura posizionale dei numeri!Il logaritmo! Keplero : ”il logaritmo ha allungato la vita degli astronomi.”Ti piacerebbe fare i conti usando i numeri romani?
Prova a calcolare in modo ROMANO e POSIZIONALE a) XVIII+LVII
b) XIII•XVII5
GRANDE
POT
EN
TE
Pensa ad un’altra grande
INVENZIONE MATEMATICA
R I VO L U ZIO NA RIA
Qual è?6
O
.
P(x,y)
y
x
u
Sapresti calcolare la distanza tra i punti A(0,3) e B(4,0)?
Cogito ergo sum!
•
•
7
Nel ‘600 grazie a Pierre de Fermat (1601-
1665) e René Descartes (1596-1650)
nasce la
Descartes :”È applicando l’algebra dei moderni alla geometria degli antichi che si sono trovati i fondamenti di una scienza meravigliosa”
I punti sono collegati ai numeri, le linee alle equazioni, l’algebra e la geometria si fondono insieme.
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Le coordinate cartesiane non esistono senza un opportuno riferimento cartesiano. Sai cosa si intende per:
riferimento cartesiano del piano?
- Penso di sì
riferimento cartesiano dello spazio?
- Forse sì
riferimento cartesiano della retta?
- Ho dei dubbi 9
O
x
u
O x
y
u
.
u
.P
P
P
La retta cartesiana R
PR (x)P
Il piano cartesiano R2
P R2 (x,y)P
Lo spazio cartesiano R3
P R3 (x,y,z)P
.
x
y
z
O
10
Consideriamo l’equazione x2-1=0
Quanti e quali punti di R soddisfano tale equazione? …
Quanti e quali punti di R2 soddisfano tale equazione? …
Quanti e quali punti di R3 soddisfano tale equazione? …
1
2
3
x y
z x=1
x= –1
–1 0 x1
x1–1
y x= 1x= –1
11
Consideriamo l’equazione x2+1=0
Quanti e quali punti di R soddisfano tale equazione? …
Quanti e quali punti di R2 soddisfano tale equazione? …
Quanti e quali punti di R3 soddisfano tale equazione? …
2
3
1
12
Sapendo che l’equazione X3+1=0 ha come unica soluzione reale x=-1,cosa
descrive la stessa equazione su R, su R2 e su R3 ?
R2:
1) Ø
2) un punto
3) una retta
4) 3 rette
R3:
1) Ø
2) un piano
3) una retta
4) 3 rette
R:
1) Ø
2) un punto
3) una retta
4) 3 rette
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La stessa equazione può rappresentare luoghi diversi a seconda dell’insieme in cui cerchiamo le soluzioni!
Ancora un’esempio: x2+y2=1 ...
... non ha senso su R
... è una circonferenza su R2
... è un cilindro su
R3
0
0
x
y
0x
y
1-1
14
z
42,12
Da qui in avanti lavoriamo nel piano R2
le soluzioni delle equazioni che trattiamo saranno da ricercarsi nell’insieme delle coppie di numeri reali (x,y)
VERO o FALSO ?
>3,1423 A B C 15
a) 3N b) -2N c) -2Z d) 2/3Z
e) 2/3Q f) g) h) R
i) NZQR l) R-Q
m) NZ=Z n) N Z=N
Q2 R2
prova a leggere le seguenti affermazioni:
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Ritorniamo al piano cartesiano R2
econsideriamo l’equazione xy=0Quale sottoinsieme di R2 essa
rappresenta? Ricorda: Legge di annullamento del prodotto a,bR ab=0 a=0 oppure b=0
Ed allora ...
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Ovvero l’unione degli assi x e y
Cosa rappresenta l’equazione: x2-
y2=0 ??????????????
a) un’iperbole
b) due rette
c) l’origine
0/,0/,0/ 222 yyxxyxxyx,y RRR
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0yx
0yx
= intersezioni delle due bisettrici= il punto O(0,0)
In R2 consideriamo le soluzioni del sistema:
cioè l’insieme
N.B: le coppie di rette che passano per O sono infinite!
O x
y
0yx/R)y,x(0yx/R)y,x(
0yx0yx/R)y,x(
22
2
19
È vero che x2+y2=0 rappresenta O in R2?
sono entrambi nulli
1) Si: perché è una circonferenza di centro O e raggio 02) No:perché rappresenta una retta
0yx0yx 222
3) Si: perché la somma di due numeri positivi è zero
4) Non lo so
20
Cosa rappresenta x2=0 in R2?
1) 2 rette coincidenti
2) O
3) L’insieme vuoto4) 1 retta
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1 retta e 1 punto
Ogni equazione lineare in x e y, ovvero di primo grado in x e y, RAPPRESENTA in R2 una retta
Es: y-2x+1=0
Cosa rappresenta (x2+y2)(x-1)=0?
2 punti
1 2
3 rette
3 Non lo so
4
(1/2,0)
(0,-1)
O
y
x
22
Un’equazione di secondo grado in x e y rappresenta in R2 uno dei seguenti sottoinsiemi:a) b) 1 punto c) 1 retta d) 2 rette e) 1 circonferenza f) 1 ellisse g) 1 parabola h) 1 iperbole
Esempi: a) x2+y2+1=0 b) x2+y2=0 O (0,0) c) x2=0 l’asse y contato 2 volte d) x2+y2 -1 =0 circonferenza e) x2-y2 =0 2 rette
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Riconosci l’iperbole, l’ellisse e la parabola?
1) 2x2+y2=1
2) 2x2-y=1
3) 2x2- y2 =1
F
y
O x
Galileo (1564-1643) scopre che: la traiettoria di una pallina da golf è una parabola! MA la scoperta è la traiettoria parabolica o il golf?
Mediante una rotazione ed una traslazione l’equazione di una parabola può essere scritta nella forma
y=ax2
y=ax2
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F
F
Il punto F è detto fuoco della parabola
F
Antenna
Parabolica
Fari d’automobile
Biliardo Parabolico
F
clack!
Bel tiro!
Attenzione nel fuoco può fare veramente caldo!
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1b
y
a
x2
2
2
2
(a , 0)
(-a , 0)
(b , 0)
(-b , 0)
F1 F2
Keplero (1609): “Le orbite dei pianeti del sistema solare sono
ellittiche ed il sole occupa uno dei due fuochi”.
(I legge)
Mediante una rotazione ed una traslazione l’equazione di una ellisse può essere scritta nella forma: (-c ,
0)(c , 0)
N.b.:b2+c2=a2
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O x
y
Sono archi di ellisse
Proprietà: PF1+PF2=COSTANTE
La superficie di un liquido in una caraffa cilindrica inclinata ha un contorno ellittico
F1 F2
P
P
P
27
L’equazione
rappresenta i due asintoti dell’ iperbole
Si disegnano sempre prima gli asintoti (le 2 rette verdi), poi l’iperbole.
Mediante una rotazione ed unatraslazione l’equazionedi un’iperbole può essere scritta nella forma:1
b
y
a
x2
2
2
2
0b
y
a
x2
2
2
2
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asintoti agli riferita
b)(a equilateraIperbole kxy
N.B.:
Gli asintoti
coincidono con gli assi
x, y.
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F F
F F
L’ombra di un paralume può avere
un contorn
o iperboli
co
30
1 2
1 2
Strofoide destra (di
grado 3)
Bicorno (di grado 4)
Curva di Lissajuos (di grado 8)Curva
ornamentale (di grado 18)
I punti evidenzia
ti in rosso sono
detti punti
singolari Gli
incroci si chiamano nodi, le punte (cissoide
e bicorno) cuspidi
Curva del diavolo (di grado 4)
Trifoglio (di grado 4)
Cissoide (di grado 3)
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Finora abbiamo visto solo curve algebriche cioè luoghi di
punti del piano che soddisfano un’equazione f(x,y)=0, dove f(x,y) è un
polinomio in x e y.
Ora cambiamo un po’!
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Se f(x,y)= y-senx allora la curva y-senx=0 ha come grafico :
ANALOGAMENTE: Se f(x,y)= y-cosx allora la curva y-cosx=0 ha come grafico :
y=cosx
y=sinx
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a) sen(3.14)>sen()
b) cos(1)>cos()
y=sen7x+cos8x
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Combinando un numero opportuno di seni e coseni è possibile ricostruire, con buona approssimazione, il grafico di una qualsiasi onda! (Sviluppo di Fourier)
Per questo motivo i computer possono suonare la musica e leggere le parole! 35
7
sin7x
3
sin3xsinx
2
2
1f(x) ...
31
sin31x
9
sin9x
7
sin7x
3
sin3xsinx
2
2
1f(x) ......
x
y
0 32 4--2
1
3
sin3xsinx
2
2
1f(x)
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y=ex
e55metri un miliardo di anni lucee34metri un anno luce 1016metrie14mm 1Km = 103metrie7 mm 1Km=100metri e-1 mm 0.036 mm e3 mm 2 cm e-2 metri 0.013 mme2 mm 7 mm e-3 metri 0.04 mme1 mm 2.7 mm e-7 metri 0.001mme0 mm 1 mm
Scala
dimetrica
0.5
-0.5
4
2
37
1 x
x
x
1y
y=log x
Il logaritmo misura delle aree particolari:
lg x =+A
1
lg x = -A
lg 1 = 0
Ribaltando y=ex rispetto alla retta y=x otteniamo:
A
38
Ax
1y
La magnitudo m dei terremoti si misura con la scala Richter, mediante la seguente formula:B)
b
aLog(m
Il pH, che misura l’acidità delle soluzioni, è una scala logaritmica:
]OH
1Log[pH
3
Che curva è il profilo della coda del pianoforte?
ecc.ecc.ecc.ecc.
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Nel piano non esiste solo il riferimento cartesiano ortogonale. Ad esempio un altro riferimento è quello polare: un punto P nel piano risulta essere individuato da un raggio detto e da un angolo il tutto rispetto ad una retta fissata e ad una origine O individuata su di essa.P(, )
O
40
Nel sistema di riferimento polare:
= costante è l’equazione di una circonferenza
= k è una spirale di Archimede, con k costante
= ek è una spirale logaritmica o di Bernoulli, con k costante
41
=4, 02
=5, 02 = e 0,2 , - 3 342
43