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Algoritmi e Strutture Dati
III.
Algoritmi di Ordinamento
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Algoritmi di ordinamento
Selection Sort Quick Sort Lower bound alla complessità degli
algoritmi di ordinamento
asd_library.sorting.SortingAlgorithms
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Selection Sort
L’elemento minimo viene messo in posizione 0
Si itera il procedimento sulle posizioni successive
SelectionSort(dati[]) {for (i=0; i<dati.length-1; i++) {
min = <Seleziona min. in dati[i], …. , dati[dati.length-1]>
<Scambia min con dati[i];}
}
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Selection Sort/2
Versione ricorsiva
SelectionSort(dati[], i) {min = <Seleziona min. in dati[i], …. , dati[dati.length-1]><Scambia min con dati[i]; SelectionSort(dati[], i+1) ;
}……SelectionSort(dati[], 0) ;
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Selection Sort/3
Ordinamento del vettore di interi {5, 2, 3, 8, 1}
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Come ordinare oggetti diversi da numeri
Ordinare un vettore i cui elementi sono oggetti complessi. Es. oggetti della classe:
class Persona {
String cognome;
String CF;
public Persona (String cognome, String CF) {
this.cognome = cognome;
this.CF = CF;
}
}
Come ordinare un array di tali oggetti rispetto al cognome ?
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Come ordinare oggetti diversi da numeri/2
Occorre:1. Dichiarare che tra gli oggetti della classe (Persona
nell’esempio) è definito un ordinamento 2. Dichiarare rispetto a quale o a quali membri della classe è
definito l’ordinamento (il cognome nel nostro caso)3. Definire la regola che stabilisce l’ordinamento tra due
oggetti della classe (nel nostro caso: due oggetti di tipo persona sono ordinati alfabeticamente secondo i rispettivi cognomi)
In C++ si possono sovraccaricare gli operatori In Java si può dichiarare che la classe (Persona)
implementa l’interfaccia Comparable (non è la sola possibilità)
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Come ordinare oggetti diversi da numeri/3
Il passo 1 si traduce così:class Persona implements Comparable {
……
}
I passi 2 e 3 consistono nell’implementare l’unico metodo previsto dall’interfaccia Comparable: int compareTo(Object o)
compareTo definisce le regole che stabiliscono l’ordinamento tra oggetti della classe (nel nostro caso, l’ordinamento è quello alfabetico sui cognomi)
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Come ordinare oggetti diversi da numeri/4
Quindi:class Persona implements Comparable {
String cognome;
String CF;
public Persona (String cognome, String CF) {
this.cognome = cognome;
this.CF = CF;
}
public int compareTo (Object pers) {
return cognome.compareTo(((Persona)pers).cognome);
}
}
Nota: occorre fare il cast perché compareTo vuole un Object
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Selection Sort/4
public void selectionsort(Comparable[] data) {
int i, j, least;
for (i = 0; i < data.length-1; i++) {
for (j = i+1, least = i; j < data.length; j++)
if (data[j].compareTo(data[least]) < 0)
least = j;
swap(data, least, i); /* Scambia gli oggetti in pos. i e least */
}
}
Es.: versione ricorsiva
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Quick Sort Disponi l’elemento maggiore in ultima posizione
quicksort(array[]) {if (array.length>1) {
Scegli bound; /* subarray1 e subarray2 */while (ci sono elementi in array)
if (generico elemento < bound)inserisci elemento in subarray1;
else inserisci elemento in subarray2;quicksort(subarray1);quicksort(subarray2);
}}
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Quick Sort/2
Array
subarray1 subarray2
< bound
>= bound
< bound1
>= bound2>= bound1
< bound2
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Partizionamentodell’array [8 5 4 7 6 1 6 3 8 12 10]con quicksort
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Proprietà di Quicksort
Un’iterazione termina quando lower supera upper
data[first+1..upper]: elementi minori o uguali del pivot
data[upper+1..last]: elementi maggiori del pivot Si scambia il pivot con l’elemento in posizione
upper Si chiama ricorsivamente QuickSort su
data[first+1..upper-1] e su data[upper+1..last], se gli array hanno almeno due elementi
Occorre evitare upper=last, per cui si dispone l’elemento maggiore in ultima posizione
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Partizionamentodell’array [8 5 4 7 6 1 6 3 8 12 10]con quicksort
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Quick Sort/3
void quicksort(Comparable[] data, int first, int last) {
int lower = first + 1, upper = last;
swap(data, first, (first+last)/2); /* Questo serve solo perché così, in pratica è spesso più veloce */
Comparable bound = data[first];
while( (lower <= upper)){
while(data[lower].compareTo(bound) <= 0)
lower++;
while (bound.compareTo(data[upper]) < 0)
upper--;
if (lower < upper)
swap(data, lower++, upper--);
else lower++;
} /* End while */
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Quick Sort/4
swap(data, upper, first);
if (first < upper-1) /* se first == upper-1 il sottoarray ha solo 2 elementi ed è ordinato */
quicksort(data, first, upper-1);
if (upper+1 < last)
quicksort(data, upper+1, last);
}
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Analisi del Quick Sort
Costo = O(No. confronti)
Costo O(n2) nel caso peggiore
Costo O(n log n) nel caso migliore e medio
In pratica l’algoritmo è efficiente
Scelta pivot fondamentale
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Quick Sort – Caso peggiore
L’elemento di pivot è sempre il minimoCosto = O(n-1+n-2+...+2+1) = O(n2)
Array
Array
Array
n-1
n-2
2
1
n-1 volten-2
No. confrontiper sotto-array
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Quick Sort – Caso migliore
Arrayn-1
n/2-1
2
1
log n+1 volten/4-1
No. confrontiper sotto-array
)1(log2
24
42
2log
0
nnn
n
nn
nnn
n
ii
iCosto =
n potenza di 2 per semplicità
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Efficienza algoritmi di ordinamento
Merge Sort (e Heap Sort): O(n log n)
Quick Sort, Selection Sort, Insertion Sort: O(n2)
Quick Sort: O(n log n) nel caso migliore
Selection Sort: O(n2) in tutti i casi
Insertion Sort: O(n) nel caso migliore
Domanda: qual è l’efficienza massima
(complessità minima) ottenibile nel caso
peggiore -> Lower bound
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Ordinamento – limiti inferiori
Osservazione fondamentale: tutti gli algoritmi devono confrontare elementi
Dati ai, ak, tre casi possibili: ai < ak, ai > ak, oppure ai=ak
Si assume per semplicità che tutti gli elementi siano distinti
Si assume dunque che tutti i confronti abbiano la forma ai < ak, e il risultato del confronto sia vero o falso
Nota: se gli elementi possono avere lo stesso valore allora si considerano solo confronti del tipo ai <= ak
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Alberi di decisione
Un albero di decisione rappresenta i confronti eseguiti da un algoritmo su un dato input
Ogni foglia corrisponde ad una delle possibili permutazioni
a1:a2
a2:a3 a1:a3
a1:a3a2:a3a1,a2,a3
a1,a3,a2 a3,a1,a2
a2,a1,a3
a2,a3,a1 a3,a2,a1
<
<
>
>
< >
< >
< >
Albero di decisione perInsertion Sort sull’insieme{a1, a2, a3}
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Alberi di decisione/2
Vi sono n! possibili permutazioni -> l’albero deve contenere n! foglie
L’esecuzione di un algoritmo corrisponde ad un cammino sull’albero di decisione corrispondente all’input considerato
a1:a2
a2:a3 a1:a3
a1:a3a2:a3a1,a2,a3
a1,a3,a2 a3,a1,a2
a2,a1,a3
a2,a3,a1 a3,a2,a1
<
<
>
>
< >
< >
< >
Albero di decisione perInsertion Sort sull’insieme{a1, a2, a3}
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Alberi di decisione/3 Riassumendo:
Albero binario Deve contenere n! foglie
Il più lungo cammino dalla radice ad una foglia (altezza) rappresenta il No. confronti che l’algoritmo deve eseguire nel caso peggiore
Teorema: qualunque albero di decisione che ordina n elementi ha altezza Ώ(n log n)
Corollario: nessun algoritmo di ordinamento ha complessità migliore di Ώ(n log n)
Nota: esistono algoritmi di ordinamento con complessità più bassa, ma richiedono informazioni aggiuntive
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Dimostrazione teorema
1. Un albero di decisione è binario2. Albero binario di altezza h non ha più di 2h-1 foglie
1=21-1
2= 22-1
4= 23-1
2h-1
1
2
3
h
3. Dobbiamo avere: 2h-1 > No. foglie = n!4. h-1 > log(n!)
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Dimostrazione teorema/2
5. n! > (n/e)n (approssimazione di Stirling)6. h-1 > log(n/e)n = n log(n/e) = n logn – n loge =
Ώ(n log n)
Corollario: gli algoritmi Merge Sort e Heap Sort hanno complessità asintotica ottima
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Il problema della Selezione
Determinare l’i-esimo elemento più piccolo di una collezione di n elementi.
Soluzione banale: ordinare l’insieme di elementi e determinare l’elemento in posizione i. Costo: O(n log n).
E’ possibile determinare l’i-esimo elemento con costo lineare?
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Select(i) – Algoritmo dei mediani
1. Dividi in n/5 gruppi di 5 elementi ciascuno2. Determina il mediano di ogni gruppo di 5
elementi3. Invoca ricorsivamente Select(n/10)
sull’insieme degli n/5 mediani per determinare m, il mediano dei mediani
4. Partiziona gli n elementi nell’insieme A dei k elementi più piccoli di m, e B degli n-k elementi >=m
5. Se i<=k, allora Select (A,i), altrimenti Select (B,i-k)
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Analisi di Select(i)
Osservazione: Gli insiemi A e B contengono almeno 3n/10 elementi.
T(n)<=T(n/5)+T(7n/10)+dn Ipotesi: T(n)<=cn
T(n)<=cn/5+7cn/10+dn = 9cn/10 + dn <=cn
se c/10>=d
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Esercizi
1. Determinare la complessità di QuickSort se ad ogni passo il mediano degli elementi dell’array è selezionato come pivot con costo m(n)
2. Determinare un lower bound sul costo della ricerca di un elemento in una collezione ordinata
3. Si consideri la seguente equazione di ricorrenza
Individuare un algoritmo di ordinamento la cui funzione di costo temporale è esprimibile tramite la F(n) definita.Determinare una delimitazione superiore per la funzione F(n)
1)1(
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