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Introduzione alla statistica per la ricerca

Lezione II

Dr. Stefano Guidi

Siena, 11 Ottobre 2012

Riferimenti

• Online statistics (http://onlinestatbook.com/) Semplice, completo e con molte dimostrazioni

interattive (anche ebook!)

• Psychological statistics(http://www4.uwsp.edu/psych/stat/) Corso di statistica online

• Statistics Hell (http://www.statisticshell.com) Più avanzato, ma strutturato a livelli, con esempi,

esercizi e dati per SPSS

Esempi di affermazioni statistiche

• 4 dentisti su 5 raccomandano Mentadent• Quasi l’85% dei casi di cancro al polmone negli

uomini ed il 45% nelle donne sono legati al fumo• Gli studenti di Science della Comunicazione hanno

un QI più alto degli altri• Le persone tendono ad essere più persuasive

quando guardano gli altri negli occhi e parlano al alta voce e velocemente

• Gli americani tendono ad essere più individualisti degli europei

• Il numero di crimini violenti nelle città aumenta con il numero di chiese 3

Studiate queste parole x 2 minuti

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Provate a rievocare

Avete adesso 2 minuti per scrivere su un foglio tutte le parole che riuscite a ricordare

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Quante parole ricordavate?

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Introduzione

• Descrittiva Descrivere, riassumere (indicatori) e

visualizzare (grafici) insiemi di dati

• Dati sono osservazioni del mondo Limitati in numero: abbiamo solo un campione

di osservazioni, tra tutte quelle possibili

• Inferenziale Fare inferenze su una popolazione in base ad

un campione estratto dalla popolazione

Istogrammi (frequenza relativa N=100)

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Fre

qu

en

za r

ela

tiva (

pro

porz

ion

e)

Esito (moneta) Esito (dado)

Fre

qu

en

za r

ela

tiva (

pro

porz

ion

e)

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Indicatori di tendenze centrali

• Media “Il salario medio dei dipendenti di un’azienda è

4.800 €”

• Mediana Il valore al di sopra del quale si collocano il 50%

delle osservazioni “La mediana del salario dei dipendenti è 1.300

€”

• Moda Il valore più frequente dell’insieme “Mentadent è il dentifricio più comprato dagli

italiani”

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Indicatori di dispersione

Misurano la variabilità delle osservazioni

•Devianza (SS) Cresce con il numero delle osservazioni

•Varianza (s2) Rapporta la devianza al numero delle osservazioni Buona stima della variabilità di una popolazione

•Deviazione standard (s) Unità di misura significativa (la stessa della variabile

che ho misurato: punti QI, numero di parole, ecc…)

Dati bivariati

• 2 variabili prese (simultaneamente) per ogni soggetto: Età, peso Altezza, peso Età del marito, età della moglie Peso auto, consumo di benzina (l/km)

• Statistiche descrittive Diagrammi a dispersione (scatterplots) Indicatori di associazione (correlazione)

Scatterplots

r=0.97 r=0.63

Correlazione

Misura di associazione tra 2 variabili osservate

•Indice di correlazione lineare di Pearson (r) r > 0 all’aumentare di una variabile aumenta l’altra r < 0 all’aumentare di una variabile diminuisce l’altra r = 0 assenza di correlazione r = ±1 correlazione perfetta

•Correlazione NON implica causazione Non si può stabilire la direzione dell’influenza (A->B vs B->A) Ci possono essere variabili latenti (non osservate) che

causano la relazione

Indice r misura quanto sono sparsi i dati attorno ad una retta

r=-1 r=0

r=0,63 r=0,97

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Popolazioni

Popolazione (il mondo)

•l'insieme completo, infinito o finito, di oggetti, osservazioni o punteggi appartenenti ad una data classe •Popolazione può essere solo ipotetica•In pratica è l’oggetto del mio interesse, il ricercatore definisce una popolazione come quello che vuole studiare•Indici relativi ad una popolazione si dicono parametri

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Campioni

Campione (i dati)

•Sottoinsieme di dati di una popolazione a cui ho accesso•Sono tutte le osservazioni che ho effettuato•Indici relativi ad un campione si dicono statistiche

È importante il modo in cui è stato scelto! (campionamento)

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Campionamento

• Come scelgo le mie osservazioni Devono essere rappresentative della popolazione per

consentire inferenze Evitare bias nella scelta

• Campionamento casuale Tutti i membri della popolazione hanno la stessa

probabilità di entrare nel campione In pratica è spesso impossibile, ma basta

un’approssimazione

• Campionamento stratificato Il campione rispecchia in alcune caratteristiche la

popolazione Per garantire rappresentatività

Dimensioni del campione

Fondamentali per la rappresentatività e per contrastare la variabilità casuale

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Fre

qu

en

za r

ela

tiva

n=10 n=100

All’aumentare del campione le differenze dovute solo al caso tendono a cancellarsi a vicenda, ed a fare avvicinare le statistiche ai parametri

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Statistica Inferenziale

Trarre inferenze su una popolazione a partire da un campione

Inferenze probabilistiche:

•Conclusioni basate sulla probabilità di osservare i dati per caso (necessario campionamento casuale!)•In pratica si basano su misure di variabilità•Possono essere errate, ma posso cercare di contenere il rischio di errore

Probabilità

• Un concetto controverso…

• Definizione a priori Dati N esiti equiprobabili di un evento, la

probabilità che ognuno di essi si verifichi è 1/N

• Definizione frequentista La proporzione di volte che un evento si

verifica dopo un numero sufficientemente grande (in realtà infinito) di osservazioni

• Probabilità soggettiva20

Probabilità

• P(evento) è compresa tra 0 e 1 P(testa)=1/2

• La probabilità di un evento certo è 1• La probabilità di un evento

impossibile è 0• P(non evento) = 1 – P(evento)

P(≠1)=1-1/6 = 5/6

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Probabilità: alcune leggi

Dati due eventi A e B indipendenti, così che l’esito di A non ha nessuna influenza su quello di B, con probabilità rispettivamente pari a P(A) e P(B):

P(A e B) = P(A)*P(B) Ex lancio 2 monete: P(T e T) = ?

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

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Distribuzioni di probabilità

Per variabili discrete la distribuzione di probabilità contiene le probabilità di tutti gli esiti possibili

Distribuzione del QI

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Distribuzioni continue(densità di probabilità)

Per variabili continue si parla di densità di probabilità:

Ex: tempo di reazione in ms (cliccare un tasto quando hai trovato una lettera T in un insieme di L)•Qual è la probabilità di rispondere in 598,95629815730251 ms?•Praticamente 0!

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Distribuzioni continue(densità di probabilità)

Descrive il variare della densità della probabilità (y) di una variabile continua (x)

• Area sotto la curva è 1• Probabilità di ogni singolo

valore di x è 0• L’area sottesa dalla curva

tra 2 punti sull’asse x è la probabilità che un numero scelto a caso cada tra i due punti

P(a<t<b)

a b t (ms)0

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Distribuzioni continue

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Distribuzione Normale

• Famiglia di distribuzioni di probabilità simmetriche

• Forma “a campana”• Media=mediana=moda• Completamente specificate

da 2 parametri indipendenti μ (media) σ (deviazione standard)

• Moltissimi fenomeni naturali sono distribuiti in modo normale

• Assunta dai test statistici

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Distribuzione Normale II

μ (media) (ex: punteggio QI di 100)

σ (deviazione standard) (ex: 15 punti QI)

Area della parte colorata è la

probabilità di osservare per caso un valore di QI compreso tra 85 e 115 (68.27%

di probabilità).

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Distribuzione Normale Standard

• Posso sempre convertire una variabile con distribuzione normale in forma standard Esprimo la distanza di una variabile (normale) dalla media

in termini di unità di deviazione standard Posso calcolare la probabilità di osservare casualmente

quel valore!

μ = 0; σ = 1

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Statistica Inferenziale

Diverse tecniche, diversi fini:

•Stima Stimare un intervallo dei valori più probabili per

un parametro di una popolazione a partire da un campione: Intervallo di confidenza

Ex: capacità MBT = 7 parole?

•Verifica di Ipotesi Decidere se i dati a mia disposizione forniscono

evidenza per rigettare una data ipotesi Ex: capacità MBT parole concrete ≠ parole

astratte?