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L4 - MECCANICA: STUDIO DEL MOTO

• Cinematica pura descrizione del moto• Dinamica il moto è messo in relazione alle cause

come e perchè gli oggetti si muovono

(equilibrio, energia, vibrazioni)

La maggior parte dei fenomeni “usuali” può essere descritta dalla Meccanica Classica: v << c, d >> atomo

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CINEMATICA: Moto rettilineo

Localizzare un oggetto: trovare la sua posizione relativa ad un punto di riferimento

Sistema di riferimento

Posizione: coordinata x(t) [m]

Spostamento: x = x2 –x1 = x(t2) – x(t1)

xx

x1 x2o

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Velocità media: [m/s]

velocità istantanea:

v x

t

t 0v lim

x dx

t dt

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Rappresentazioni grafiche

x(t): diagramma orario

traiettoria

v media = pendenza della retta

che congiunge i punti

x(t1) e x(t2)

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Esempio: velocità media e istantanea

x (m)

t (s)

2

6

-2

4

Quanto vale la velocità media nei primi 4 secondi?E la velocità istantanea nell’istante t = 4 s ?

1 2 430

6

Accelerazione media:[m/s2]

accelerazione istantanea:

va

t

2

2t 0lim

v dv d xa

t dt dt

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Esempio

Un’automobile passa da 0 a 90 km/h in 5 s.

Quanto vale l’accelerazione media ?

8

Esempio

La posizione di una particella sull’asse x é data dalla funzione: x = 8t2 – 6t + 4, dove le unità di misura di x e t sono espresse in m e s.

Trovare le funzioni v(t) e a(t) della particella.

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RiassumendoSe la posizione x è nota in funzione del tempo possiamo trovare la velocità v e l’accelerazione a in

funzione del tempo!

v

t

x

t

a

t

adv

dt

d x

dt

2

2

vdx

dt

x x t ( )

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Relazioni cinematiche

moto rettilineo

uniforme

moto rettilineo

uniformemente

accelerato

0

v = cost

vx x t

0

20 0

cost

1

2

a

v v at

x x v t at

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Rappresentazioni graficheEsempio: a costante

• x(t) x = xo + vot + ½ at2

• v(t) v = vo + at

• a(t) a = cost

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Esempio

Nota la velocità della luce v = 3 .108 m/s e la distanza Sole-Terra d = 1.5 . 1011 m, quanto tempo impiega la luce del Sole per raggiungere la Terra ?

Esprimere l’Anno Luce (distanza percorsa dalla luce in un anno) in km.

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Si possono ricavare altre relazioni:

• Sostituendo:

atvv 02

00 2

1attvxx

• Risolvendo rispetto a t:

avv

t 0

200

00 avv

a21

avv

vxx

)xx(a2vv 020

2

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Caduta libera dei gravi

• Quando un oggetto è lasciato libero, cade verso terra; la forza che ne causa la caduta è detta forza di gravità

• L’accelerazione causata dalla gravità si indica per convenzione con la lettera g

• L’accelerazione g risulta la stessa per qualunque oggetto, è cioè indipendente dalla natura materiale dell’oggetto

g = 9.81 m/s2 – All’equatore g = 9.78 m/s2

– Al polo nord g = 9.83 m/s2

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Caduta libera dei gravi

In prossimità della superficie

terrestre:

a = - 9.81 m/s2 = - g

(il segno negativo dipende dalla scelta

dell’orientazione dell’asse y)

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Esempio

In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con v = 24 m/s.

a) Quanto tempo ha impiegato a cadere?

b) Da che altezza é caduta?

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Consigli su come impostare la risoluzione di un problema:

– a. Leggere attentamente il testo

– b. Fare un disegno scegliendo il sistema di riferimento

– c. Quali relazioni cinematiche si possono usare?

– d. Risolvere il problema simbolicamente

– e. Verificare se la risposta è dimensionalmente corretta

– f. Risolvere il problema numericamente.

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Esempio

Una palla viene lanciata lungo la verticale ascendente con velocità iniziale v0=20 m/s.

a) Per quanto tempo rimane in aria?

b) Qual è il valore della massima quota raggiunta?

c) In quale istante si trova a 15 m sopra il suolo?

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Esempio

Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto un sasso. Esso raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il lancio. Ricade in strada dove giunge 6.00 s dopo il lancio. Determinare:

a) La velocità di partenza del sasso;

b) l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio;

c) l’altezza dell’edificio.

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L5 - CINEMATICAMoto in due (o piu’) dimensioni

RIEPILOGO – le grandezze cinematiche fondamentali: • posizione, velocità e accelerazione sono vettori

(caratterizzati da modulo, direzione e verso):

• Vettore posizione r = xi + yj + zk

• Vettore spostamento r = r2 – r1 =

= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

r x

y

z

P

O

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• Velocità media:

• Velocità istantanea:

La velocità è sempre tangente alla traiettoria

v = v uT

)()( kvjvivkzjyixdt

d

dt

rdv zyx

0

limt

rv

t

Velocita’

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Accelerazione

23

Acc

ele

razi

one -

II

24

25

26

Total Acceleration

• The tangential acceleration causes the change in the speed of the particle

• The radial acceleration comes from a change in the direction of the velocity vector

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Moto circolare

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Moto circolare uniforme

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30

Changing Velocity in Uniform Circular Motion

• The change in the velocity vector is due to the change in direction

• The vector diagram shows

• The magnitude of the centripetal acceleration vector is given by

• The direction of the centripetal acceleration vector is always changing, to stay directed toward the center of the circle of motion

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Moto dei proietti

• È il moto di particelle di massa m che vengono lanciate con velocità iniziale vo e sono soggette alla sola accelerazione di gravità g supposta costante

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Moto dei proietti

Osservazione sperimentale:

La pallina rossa viene lasciata cadere da ferma nello stesso istante in cui l’altra è lanciata orizzontalmente verso destra con velocità vo.

gli spostamenti verticali delle due palline sono identici

• Il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

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Analisi del moto dei proietti

• Il moto può essere analizzato separatamente nelle sue componenti:

la componente orizzontale è descritta dalle relazioni cinematiche del moto rettilineo uniforme, quella verticale dalle relazioni del moto uniformemente accelerato

Il moto avviene nel piano individuato da vo e g: scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale orientando l’asse x orizzontalmente e l’asse y lungo la verticale

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Analisi del moto dei proietti

Analizziamo separatamente il moto orizzontale:

e il moto verticale:

tvxx

vv

a

xo

oxx

x

0

cost

0

2

2

1gttvyy

gtvv

ga

oyo

oyy

y

oooyooox senvvvv ,cos

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Equazione della traiettorialuogo geometrico dei punti occupati in funzione del tempo

dalla punta del vettore posizione r(t)Eliminando t fra le equazioni del moto nelle componenti x e y:

( y = ax +bx2 con a,b cost è l’equazione di una parabola) traiettoria parabolica

0

,cos

:ponendo

)(

2

1)(

2

12

22

oo

oooyooox

ox

oo

ox

oyooyo

ox

ooxo

yx

senvvvv

v

xxgxx

v

vyygttvyy

v

xxttvxx

22)cos(2

tan xv

gxy

ooo

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Gittata

Distanza orizzontale coperta dal proietto

all’istante in cui tocca il suolo

La gittata è massima quando θo = 45o

o

ooo

oooo

xx

tvxx

g

senvttgttsenvy

cos nella osostituend e

2 ,0

2

1)(0 2

)2(cos2 22

oo

ooo sen

g

vRsen

g

v

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Esempio 1

Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l’angolo con cui spiccò il salto fu 23o, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo vo della velocità iniziale.

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Esempio 2

Dal tetto di un edificio di altezza h viene lanciata una pallina con velocità vo = 10 m/s e inclinazione θo = 30o rispetto all’orizzontale.

Calcolare l’altezza h dell’edificio, sapendo che la pallina arriva al suolo ad una distanza d = 18 m dalla base dello stesso.

h

d

voθ

x

y

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N.B.

• È necessario specificare sempre in quale sistema di riferimento si descrive il moto: le coordinate del punto, le componenti di v e di a, l’espressione analitica della traiettoria dipendono dal sistema di riferimento.

Però le relazioni più generali tra le grandezze cinematiche sono relazioni vettoriali e in quanto tali sono invarianti (covarianti) rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

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Relative velocity

41

Relative velocity - II

• Reference frame S is stationary

• Reference frame S’ is moving

• Define time t = 0 as that time when the origins coincide

• Let v0 be constant

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Relative velocity - III