1

Rendite e Ammortamenti

2

Le Rendite

Definizione

Successione di pagamenti scadenzati nel tempo. Ogni pagamento prende il nome di Rata.

Caratteristiche delle Rendite:

• Certe / Aleatorie• Periodiche / Aperiodiche• Posticipate / Anticipate• Temporanee / Perpetue• Costanti / Variabili• Immediate / Differite

3

Le Rendite

Valore Attuale di una Rendita

Somma che, impiegata a partire dall’istante di riferimento, in base al tasso di interesse utilizzato per la valutazione, risulta esattamente sufficiente a produrre tutte le rate della rendita alle scadenze previste

Montante di una Rendita

Capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante finale, vengono investite al tasso di interesse utilizzato per la valutazione

4

Le Rendite

Ragioniamo in termini di rendite unitarie.

• Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata

• Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata

5

Le Rendite

Ragioniamo in termini di rendite unitarie.

• Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita (3 anni)

• Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)

6

Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata

Valore Attuale

2 3

1 2

1 1 1 1...

1 (1 ) (1 ) (1 )

...

n

n

VAi i i i

v v v v

2 3

1 1 (1 )

n

n i

n n

a v v v v

v i

i i

Montante

1 2 3

1 2 3

1 1 1 ... 1 1

... 1

n n n

n n n

M i i i i

r r r r

1 2 3 ... 1

(1 ) 1

n n n

n i

n

s r r r r

i

i

7

Esercizio

Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua posticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.

4

4

1 (1 ) 1 (1 0,05)3,546

0,05

(1 ) 1 (1 0,05) 14,310

0,05

n

n i

n

n i

ia

i

is

i

500 3,546 1.772,975

500 4,310 2.155,063

n i

n i

VA R a

M R s

8

Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata

Valore Attuale

1 2 11 ... nVA v v v v 11 1

n

n i n i

va i a i

i

Montante

1 2 ...n n nM r r r r

(1 ) 1

11

n

n i

n i n i

i is con d

d is i s

9

Esercizio

Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua anticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.

4

4

1 (1 ) 1 (1 0,05)1 1 0,05 3,723

0,05

0,054,762%

1 1 0,05

(1 ) 1 (1 0,05) 14,526

0,04762

n

n i

n

n i

ia i

i

id

i

is

d

500 3,723 1.861,624

500 4,526 2.262,816

n i

n i

VA R a

M R s

10

Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita

Valore Attuale

1 2 2/ ... ...t t t n t nt n i

t

n i

a v v v v v v v

v a

11

Esercizio

Calcolare il Valore Attuale di una rendita annua posticipata differita di 3 anni di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.

/

43

1 11

1 1 0,05500 1 0,05 1.531,563

0,05

tt n i n i

nt

VA R a R v a

iR i

i

12

Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)

Valore Attuale

1 1 1/

/

... 1 ...

1

t t t n t nt n i

t

n i n it

a v v v v v v

v a i a

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Ricerca della Rata

Problemi relativi alle rendite: basta conoscere tre elementi tra VA, R, n, i per ottenere - con qualche calcolo - il quarto.

Calcolare la Rata di una rendita annua posticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 1000 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.

4 0,05

1.000

n in i

VAVA R a R

a

Ra

4

4 0,05

1 1 0,053,546

0,05

1.000282

3,546

a

R

14

Ricerca della durata

11

1 log log log(1 )

log(1 ) log(1 )

log log(1 )

nn

n i

n n

v VAVA R a R i v

i RVA VA

v i v n v iR R

VA VAi i

R Rnv i

15

Ricerca della durata

Calcolare n se R=350, VA=1.262, i=0,12.

1262log(1 .0,12)

350 5log1,12

n

16

Ricerca del Tasso

Calcolare il tasso effettivo “i” se VA=1000, R=350, n=5.

È necessario ricorrere all’interpolazione

1046,7

1000

991,7

0 1i i i i

lim 0n iia

VA

17

Ricerca del Tasso

Nel nostro caso: 5

350.i

VA a

12,50% 1246,2

15,00% 1173,3

17,50% 1107,0

20,00% 1046,7

22,50% 991,7

25,00% 941,2

27,50% 895,0

i VA

18

Ricerca del Tasso

Pertanto il tasso cercato si colloca tra il 20,00% ed il 22,50%.Abbiamo quindi i dati seguenti:

0 0

1 1

0,20 1046,7

? 1000

0,2250 991,7

i A

i A

i A

19

Ricerca del Tasso

Un valore approssimato di i sarà fornito da:

1 00 0

1 0

( )

0,2250 0,200,20 (1000 1046,7) 0,2212

991,7 1046,7

i ii i A A

A A

20

I piani d’ammortamento

• Il problema generale dell’ammortamento di un prestito riguarda le modalità di rimborso del prestito.

• Se un operatore A presta ad un altro B, una somma S che costituisce l’ammontare del prestito, B si impegna a restituirlo entro n anni secondo tempi di rimborso stabiliti.

• Si stabilisce inoltre che l’operatore B, s’impegni a pagare l’interesse sulla somma ancora dovuta, ad un tasso di remunerazione i.

• A può scegliere di restituire il prestito in un’unica soluzione, o versando delle rate periodiche e così via.

21

I piani d’ammortamento

Ad esempio se accendiamo un mutuo, dobbiamo azzerare gradualmente il debito.Forniamo la simbologia che sarà utilizzata.

S

C1, C2,… Ch,…, Cn

i

Ih

Importo prestato

Quote capitale ovvero le frazioni del capitale prestato che m’impegno a restituire.

Tasso di remunerazione del prestito

Quote interesse, che misurano il costo del prestito anno per anno

22

I piani d’ammortamento

Abbiamo detto che Ih rappresenta il costo del prestito anno per anno, infatti io non pago solo la quota capitale, ma questa l’aumento della quota interessi e all’epoca h pagherò una rata R pari a

La quota d’interesse è proporzionale a due cose:1. Il tasso d’interesse2. Il capitale avuto a disposizione nell’anno, al termine del quale viene pagata la quota interesse

h h hR C I Rata dell’ammortamento: ciò che pago nel generico anno

23

I piani d’ammortamento

1

2 1

3 1 2

( )

( )

( )

I i S

I i S C

I i S C C

Costo per il primo anno

Costo per il secondo anno

Così via via per tutti gli anni

DEBITO RESIDUO ALL’EPOCA h hD

Quello che non ho ancora restituito del capitale prestato

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I piani d’ammortamento

Come si calcola il debito residuo?

1 2 ... h h nC C C

1 2 ... hS C C C

Visione prospettiva:

Visione retrospettiva

Guardo al futuro: sommo le quote che non ho ancora restituito

1 h hI D i Quota interesse.

Debito residuo all’epoca precedente

Guardo al passato: sottraggo dal prestito iniziale le quote già pagate

25

I piani d’ammortamento

In base a quanto detto rappresentiamo il piano di ammortamento generico.

Ipotizziamo di aver ricevuto un prestito di 1.000 euro da restituire in 5 anni con un tasso di interesse del 5% e quote capitali C=[100,200,300,200,200)

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Rimborso del capitale in un’unica soluzione

In questo caso il capitale preso in prestito S sarà restituito integralmente a scadenza. Si dovranno però pagare gli interessi sul capitale preso in prestito.Riprendendo l’esempio di prima avremo.

Il debito residuo rimarrà pari al capitale inizialmente prestato (es.1.000) fino al rimborso complessivo che avviene in t=5. La rata da pagare comprenderà per i primi 4 anni solamente il pagamento degli interessi sul debito residuo.

27

L’ammortamento Francese

L’ammortamento Francese è caratterizzato dalla costanza delle Rate dello schema di ammortamento.

Relazioni fondamentali

n in i

SS R a R

a

1

2 11 2 1

1

... ...

h h

n nn n

C C i

C R v C R v C R v C R v

28

L’ammortamento Francese

Seguendo l’esempio di cui sopra compiliamo il piano di ammortamento francese.

La Rata unica sarà:

La prima quota capitale può essere determinata per differenza tra la rata e la quota interesse ovvero secondo la relazione C1=R*vn

5

1.000230,97

1 1 0,05

0,05n i

SR

a

29

L’ammortamento Italiano

L’ammortamento Italiano è caratterizzato dalla costanza delle quote capitali.

L’unica relazione fondamentale è:1 2 1... n nC C C C

SC

n

Sempre in base allo stesso esempio fin qui trattato