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Università degli studi di Napoli “Federico II”Facoltà di Ingegneria
TESI DI LAUREA
Diffusione da superfici frattali :Il metodo delle condizioni al contorno
estese
di DE ROSA NICOLA
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SOMMARIOSOMMARIO
Diffusione da superfici frattali Diffusione da superfici frattali monodimensionalimonodimensionali
Diffusione da superfici frattali Diffusione da superfici frattali bidimensionalibidimensionali
Geometria frattale
Modello fBm
Modello WM
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Geometria frattaleGeometria frattale
Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori presenteranno le stesse proprietà statistiche; Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von Koch è 1.2618).
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Modello fBm (Fractional Brownian motion)Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione:
dss
yxzyxzHH 22
2
2exp
2
1,,Pr
dove:
• H:coefficiente di Hurst;
• D=3-H:dimensione frattale; HTs 1
• ;
• T :Topotesia.
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Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot)
0 è il numero d’onda della componente fondamentale; , irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono spaziate le componenti spettrali;
1
a è un fattore di scala dell’altezza del profilo.
nnC , tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase di ogni tono.
WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di infiniti toni sinusoidali;
)sin()( 0
1
0n
nHnM
nn xCaxz
Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente formula analitica:
6
Diffusione da superfici frattali monodimensionali
Dall’applicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali equazioni:
).'('
)'('0
ˆˆ
2
2222
xzz
xzz
ggSdS
r
rnrr,rr,nr
)'('0
)'('
ˆˆ
1
1111
xzz
xzz
ggSdSi
r
rnrr,rr,nrr
7
• condizioni al contorno:
rr 21
rnrn 12 ˆˆ
. ,
,
1
2
1
2
TM
TE
in cui:
• rr,rr, 21 , gg sono le funzioni di Green rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2;
• rrr i ,, 21 sono rispettivamente il campo totale nel
mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y;
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Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM
Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo superficiale in termini di M indici q che variano tra - e +
1,..,0
,1~expexp
Miq
Nix
i
xjxjkxdSd Nqr q
1,..,0
,11~expexpˆ
Miq
Dix
i
xjxjkkxdSd Nqrn q
, sono i coefficienti della serie di Fourier.q,N q,D , ;
10 ,...,~ Mqqq ] ,,,[=
~ 1000
M N
+ calcolo di integrali di tipo Neumann e Dirichlet
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Espressione del campo diffuso e trasmesso in termini di M indici l che variano tra - e +
exp)( 1
1,..,0
rkr ll
jb
Mil
s
i
exp)( 2
1,..,0
2 rkr ll
jb
Mili
10
Le ampiezze devono soddisfare tale sistema matriciale : ll bb ,
DDNN
DDNN
DDNN
DDNN
22
22
11
11
QQb
QQ0
QQa
QQb
noto il campo incidente
1
1
2
1
2
aW
D
DDNN
12
1
211 DDNN QQQQW
2
1
222
12
1
21
DDNND
DDDNN
QQQQb
QQQQb
11
~
exp111
02,1
2,1
2,1,2,1
M
n
Hnnzql
z
mmD aCkJj
k
kQ
nnl
l
qlql φl
~
exp111
02,12
2,1
22,1
,2,1
M
n
Hnnzql
z
xxmmN aCkJj
k
kkkQ
nnl
l
qlqlql φl
~exp4
1,, φqqq jNN
~exp4 ,, φqqq j
jDD
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devono soddisfare tali espressioni :
ll kk 21 ,
zxk lll ˆˆ 2,12,1 zx kk • ;
iix kk sin• .
llll Nl 2211)2,1( sinsin~ kkkkk ixxx
22)2,1( ll xz kkk
• Equazione del reticolo
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E’ possibile avere una soluzione numerica?
Sì, a patto che si tronchino le matrici e si implementi di conseguenza un criterio che non apporti significative degradazioni dei campi
Si fissa l’ordine di interazione massimo dei campi: maxK
Si scelgono gli indici q ed l tali che:
1
0max
M
ii Kl
1
0max
M
ii Kq
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Efficienza del modello
Ragioni di carattereenergetico
Considerazioni sui diagrammi di irradiazione diffusi
Implementazione diun criterio numerico-energetico
Presentazione dei suddettidiagrammi
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Criterio energetico
Legge della conservazione dell’energia
Potenza diffusa Potenza trasmessaNormalizzazione alcampo incidente
,
,
2
1
2
1
12
2
1
2
1
21
TM
TE
r
r
r
r
1coscoscos
1
12
2
11
2
2
Tp N
lll
N
lll
i
bbA
e
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Il criterio che imponiamo è:
,01.01
,01.01
e
ee kk
Ci fornisce anche un criterio per fissare l’ordine di interazione massimo a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.maxK
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Presentazione dei risultati ottenuti
Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico omogeneo con permittività ;r
I parametri usati sono:
Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di interesse.
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Al variare di la struttura del diagramma si conserva, e c’è solo un cambiamento nell’ampiezza e nella potenza diffusa.
r
4r 16r
80r
19
H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si sparpaglia e la sua struttura si conserva.
H=0.3 H=0.7
H=0.9
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a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non conservazione della struttura del diagramma d’irradiazione.
a=0.01 a=0.03
a=0.05
21
L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma che al limite tende a una delta di Dirac.
L=5 L=10
L=50
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: provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza della direzione speculare.
i
01.0i 6 i
1.2 i
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Ma la soluzione numerica è affetta da limiti di validità?
Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione
diventa delicata, le cui cause sono da ricercare:
nei modi evanescenti, legati al calcolo delle correnti superficiali,
per cui le funzioni di Bessel presentano un argomento
immaginario
nel parametro di rugosità nelle funzioni di Bessel che è grande,
dal momento che è grande
lzk 2,1
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Si può controllare il mal-condizionamento?
Sì, aumentando la precisione nei calcoli tramite il comando SetPrecision di
Mathematica 5.0, dove per precisione siintende il numero di cifre significative
con cui vengono svolti i calcoli
Si sposta il mal-condizionamento
Aumentano i tempi di calcolo
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Qualche esempio
Precisione 16a=0.051
e=1.000252 minuti
Precisione 20a=0.059
e=1.000829 minuti
Precisione 30a=0.110
e=1.5166710 minuti
Precisione 25a=0.082
e=1.011949 minuti
+39%
+15.7%
?
+60.8 %
?
Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz, 3max K
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Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto l’elevato valore di e
Rosso: precisione 30Blu: precisione 25ERRORE
Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, accettando un errore su e tra 1.2% e 2.63 % , in circa 10 minuti
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E se aumentassimo ulteriormente la precisione?
Precisione 100a=0.41e=27319311 minuti
il mal-condizionamento nasce prima
Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, come per precisione 30, ma in circa11minuti
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Diffusione da superfici frattali bidimensionali
nnnnHn
M
nn yxCayxz
sincossin, 0
1
0
n tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono.
Modello di superficie: WM bidimensionale fisica:
Modello elettromagnetico:
dAj
A
i )',()'(ˆ)',()'(ˆ)( rrGrEnrrGrHnrE ),(
),(
yxzz
yxzz
0
)(rE
campo magnetico
campo elettrico
funzione di Green
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Caso c.e.p 0)'(ˆ rEn
)'(ˆ rHnL’unica sorgente superficiale è che espandiamo in serie di Fourier
generalizzata in termini di M indici q che variano tra
- e +
1,,0
11 '~'~''exp)'(ˆ
Miq
yxyx
i
yxjykxkj
NqNqαrHn q
];sin,,sin[~
],cos,,cos[~
11
00011
000
M
MyM
Mx NN
è il vettore dei coefficienti di Fourier.qα
+ calcolo di integrale di tipo Dirichlet
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Espressione del campo diffuso in terminidi M indici l che variano tra - e +
]exp[)(
1,,0
Mil
S
i
j
rkBrE ll
E’ un problema vettoriale:soluzione?
Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani
Risoluzione di tre problemi scalari
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Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y
Componente del campo diffuso lungo y:
1,,0
)exp()(
Mil
ySy
i
jBE
rkr ll
Calcolo dei coefficienti in’ampiezza:
'
G
D
GDy
qql
qqll
AQA
AQB
')(
')( 1
1
AQQB
AQA
qlqll
qlq
DDy
DG
AA '
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• A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente;
• ;)()~
exp()1()1(1
0
)()(
M
n
Hnnzql
mmD CakJj
nnl
qlql φlQ
• ;
)(
)(
)(
)( 1
1
11
bb
b
b NyqN
Nyq
yqN
yq
G
l
l
l
l
Aq
• ).~exp()()1()()2(
)( 223
φql qqql
q jkkkkkk
jzyzyyyxx
z
Gy
Calcolo della corrispondente componente del campo totale
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Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso?
Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale
Allo stesso modo della componente lungo y, con una differenza: in tal caso =0, per cui :
),(
),(),(
0AQ
AQB
qql
qqll
GzxD
GzxDzx
'A
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Qualche esempio numerico
Realizzazione del campo diffuso
Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri.
I parametri usati sono:
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H: legato all’inviluppo del diagramma, ne provoca uno sparpagliamento quanto piu’ è piccolo.
H=0.3 a=0.04 H=0.7 a=0.04
H=0.9 a=0.04
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a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto tra i modi di un gruppo.
a=0.01 a=0.03
a=0.05
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CONCLUSIONICONCLUSIONI La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a descrivere la complessità del mondo naturale;
Il metodo EBCM con l’uso della WM ha permesso di trovare una soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea di principio valida per qualsiasi superficie:
• il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione fisica ed è quindi ineliminabile;
• è possibile controllarlo aumentando la precisione nell’inversione delle matrici;
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• è sufficiente fermarsi a precisione 30;
Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come sovrapposizione modale:
• il problema è vettoriale;
• proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo problemi scalari;
I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le aspettative teoriche.
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FINEPRESENTAZIONE
40
Approfondimento sulla geometria frattale
Parametri superficiali:
M=1
M=2
M=3
M=4
41
M=5
M=6
42
Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi
Parametri superficiali:
0max K
campo diffusocampodiffuso
43
1max K
2max K
3max K
campodiffuso
campodiffuso
campodiffuso
44
x
z
E i
H i
i
H H
r
r'
^ n
s
)H(r'n ˆ
Campo diffuso + campo incidente=0
Approfondimento del teorema di equivalenza
ˆˆ 11111 rrnrr,rr,nrr EEggESdESi
Campo diffusodiverso da zero
45
x
z
r
r'
^ n
s
)H(r'n ˆ
ˆˆ 22222 rrnrr,rr,nr EEggESdS
Campo diffuso nullo