Post on 22-Feb-2019
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2
Doppi Doppi bipoli bipoli ideali di ordine unoideali di ordine uno
• governati da due semplici equazioni funzionali
• F1[v1(t),v2(t),i1(t),i2(t)]=0F2[v1(t),v2(t),i1(t),i2(t)]=0
• contenti derivate temporale prime o integrali.•
• Il doppio bipolo di ordine uno più importante è il doppiobipolo induttivo: consideriamo solo lui.
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Doppio Doppio bipolo bipolo induttivo idealeinduttivo idealeE’ il doppio bipolo di equazioni (convenzionato da utilizzatore aentrambe le porte):
L: autoinduttanze, M: mutua induttanza [H]Γ: autoinertanze e mutua inertanza [H–1]Nel doppio bipolo induttivo ideale i parametri L, M e Γ sonocostanti
€
λ1 = L1 i1 +M i2λ2 =M i1 +L2 i2
i1 = Γ1 λ1 + ΓM λ2i2 = ΓM λ1 +Γ2 λ2
+v1(t) λ1(t)
–
i1(t) i2(t)+v2(t) λ2(t)–
+v1(t) λ1(t)
–
i1(t) i2(t)+v2(t) λ2(t)–
4
Equazioni Equazioni matricialimatriciali
Dalle precedenti:
Si definiscono vettori e matrici
€
λ =λ1
λ2
i =
i1i2
L =
L1 MM L2
Γ =
Γ1 ΓM
ΓM Γ2
λ = L i , i = Γ λ L = Γ−1
+v1(t) λ1(t)
–
i1(t) i2(t)+v2(t) λ2(t)–
€
λ1 = L1 i1 + M i2λ2 = M i1 +L2 i2
, i1 = Γ1 λ1 + ΓM λ2
i2 = ΓM λ1 +Γ2 λ2
5
Equazioni Equazioni matricialimatriciali
Le relazioni tra parametri sono di tipo matriciale:
Il doppio bipolo è reciproco(=le matrici sono simmetriche)
€
L = Γ−1
Γ1 =L2
ΔL, Γ2 =
L1
ΔL, ΓM = −
MΔL
ΔL = L1 L2 – M2
L1 =Γ2ΔΓ
, L2 =Γ1ΔΓ
, M = −ΓMΔΓ
ΔΓ = Γ1Γ2 –ΓM2
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Comportamento energetico -1Comportamento energetico -1
Lavoro elettrico infinitesimo entrante:
€
dL = p1dt + p2 dt = i1v1 dt + i2 v2 dt = i1 dλ1 + i2 dλ2 =
= i1d L1 i1 +M i2( )+ i2 d M i1 +L2 i2( ) =
= i1 L1 di1 +M di2( ) + i2 M di1 +L2 di2( ) =
= L1 i1di1 +M i1 di2( )+ Mi2 di1 +L2 i2 di2( ) =
= L1 i1 di1 +Mi1di2 +M i2 di1 +L2 i2 di2
7
Comportamento energetico -2Comportamento energetico -2
Lavoro elettrico finito entrante (a partire da un istante to concorrenti nulle: i1(to)=i2(to)=0):
ΔL = pdttot*∫ =
= L1 i1d i10i1∫ + L2 i2 d i20
i2∫ + Md(i1i2 )0i1 i2∫ =
=L12i12+
L22i22 +M i1 i2
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Comportamento energetico -3Comportamento energetico -3
ΔL è una funzione di stato di i1 e i2 (dei loro valori istantanei):nel processo opposto, quando i1 e i2 ritornano a 0, ΔL è reso(erogato) il lavoro scambiato è conservativo il lavoro elettrico assorbito dall'induttore immagazzinato in energia induttiva wL
ΔL= ΔwL
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Comportamento energetico -4Comportamento energetico -4
• ΔL= ΔwL
•n.b.: in Fisica la potenzialità di compiere lavoro è energiaimmagazzinata: lavoro erogato = decremento di energiaimmagazzinata; lavoro assorbito = incremento di energiaimmagazzinata.
n.b.: vale anche se L1, L2 e M non sono costanti (ma leespressioni di wL risultano diverse), basta che siai1=i1(λ1,λ2) λ1 = λ1(i1,i2)i2=i2(λ1,λ2) λ2 = λ2(i1,i2)
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Energia induttivaEnergia induttiva
Per definizione è nulla quando i1 = 0 e i2 = 0, quindi:
wL = ΔL =
L12i12+
L22i22 +M i1i2
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Equazioni differenziali Equazioni differenziali v-iv-iDerivando le relazioni del doppio bipolo induttivo ideale
e ricordando che v=dλ/dt si ottiene:
relazioni differenziali lineari tra tensioni e correnti
€
λ1 = L1 i1 +M i2λ2 =M i1 +L2 i2
€
v1 = L1di1dt
+M di2dt
v2 =M di1dt
+L2di2dt
+v1(t) λ1(t)
–
i1(t) i2(t)+v2(t) λ2(t)–
+v1(t) λ1(t)
–
i1(t) i2(t)+v2(t) λ2(t)–
12
Legami integraliLegami integraliInserendo le definizioni di λ in
si ottiene:
relazioni integrali lineari, ma scomode da usare
€
i1(t) = Γ1 v1−∞
t
∫ (t' )dt'+ΓM v2−∞
t
∫ (t' )dt'
i2 (t) = ΓM v1−∞
t
∫ (t' )dt'+Γ2 v2−∞
t
∫ (t' )dt'
€
i1 = Γ1 λ1 + ΓM λ2
i2 = ΓM λ1 +Γ2 λ2
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Legami integraliLegami integraliSi preferisce iniziare da un istante to (in genere to=0) in cuii10=i1(to) e i20=i2(to) sono note. Spezzando gli integrali da –∞ a t indue parti, da –∞ a 0 e da 0 a t:
Tralasciamo per ora il caso che i1(t) e i2(t) siano discontinue into=0.i1(0) e i2(0) sono i dati o valori iniziali; se i1(0)≠0 o i2(0)≠0 lerelazioni non sono lineari.
i1(t) = i1(0) + Γ1 v1(t' )dt'0
t
∫ + ΓM v2(t' )dt'0
t
∫i2(t) = i2(0) + ΓM v1(t' )dt'
0
t
∫ + Γ2 v2(t' )dt'0
t
∫
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Circuito equivalente Circuito equivalente linearizzatolinearizzatoQuando servono relazioni lineari, può essere usato uno schemaequivalente che linearizza le equazioni, come questo, ove ildoppio bipolo induttivo è scarico
€
i1o(t) = Γ1 v1(t')dt'0t∫ +ΓM v2(t')dt'0
t∫
i2o(t) = ΓM v1(t')dt'0t∫ +Γ2 v2(t')dt'0
t∫
i (t)1
1
i (t)2
+
v (t)
–2
i (0)≠01 i (0)≠02
L 1 L 2M
+
v (t)
–
i (t)1 +
v (t)
–1
i (t)2+
v (t)
–2
J = i1(0)1
1J
L 1 L2Mi1o(0)=0 i2o(0)=0
J = i2(0)2
J2
i1o(t) i2o(t)
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Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -1 -1
Ipotesi: M12 e M21 diversi. Inizialmente gli interruttori T1a eT2a sono aperti, T1b e T2b sono chiusi.
€
J1 =E1R1
, J2 =E2R2
i (t)1
+
v (t)
–
1E1
+
T
R 1
1a
J1
T1bi (t)2
+
v (t)
–
2
J2E2
+
T
T
R 2
2b
2a
16
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -2 -2PRIMO PROCESSO DI CARICA1) T1a chiude; equazioni di rete:
Da cui
i1(t) cresce da 0 fino al valore I1 = E1/R1 = J1
€
i2 = 0 v1 = L1
di1dt
= E1−R1 i1
v2 = M21di1dt
L1di1dt
+ R1 i1 = E1 ⇒ i1(t) =E1R1
1− e– R1 t
L1
17
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -3 -3Lavoro assorbito nel processo 1):
2) T1b apre i1(t) resta costante: i1(t) = I1 = J1
3) T2a chiude; equazioni di rete:
€
i1 = I1 v1 = M12
di2dt
v2 = L2di2dt
= E2−R2 i2
L' = (i1 v1+ i2 v2 ) dt
Δt1∫ = L1 i1d i1
0
I1∫ =
12L1 I12
18
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -4 -4Da cui
i2(t) cresce da 0 fino al valore I2 = E2/R2 = J2Lavoro assorbito nel processo 3):
L'' = (i1v1 + i2 v2) dt
Δt1∫ = (M12 I1 + L2 i2 ) di2
0
I2∫ = M12 I1I2 +
12
L2 I22
L2d i2dt
+ R2 i2 = E2 ⇒ i2(t) =E2R2
1− e– R2 t
L2
19
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -5 -5Evoluzioni temporali
Lavoro totale assorbito nel primo processo di carica = energiainduttiva finale.
i
i1(t)
t
I1
T1a T1b T2a T2b
i2(t)
Pi1I1
i2I2
I2
WLa = L = L' +L'' = 1
2L1 I12 +M12 I1I2 +
12L2 I22
20
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -6 -6SECONDO PROCESSO DI CARICA1) T2a chiude; equazioni di rete:
Da cui
i2(t) cresce da 0 fino al valore I2 = E2/R2 = J2
€
i1 = 0 v1 = M12
di2dt
v2 = L 2di2dt
= E2 −R2 i2
L2d i2dt
+ R2 i2 = E2 ⇒ i2(t) =E2R2
1− e– R2 t
L2
21
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -7 -7Lavoro assorbito nel secondo processo 1):
2) T2b apre => i2(t) resta costante: i2(t) = I2 = J2
3) T1a chiude; equazioni di rete:
€
i2 = I2 v1 = L1
di1dt
= E1 −R1 i1
v2 = M21di1dt
L' = (i1 v1+ i2 v2) dt
Δt1∫ = L2 i2 di2
0
I2∫ =
12L2 I22
22
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -8 -8Da cui
i1(t) cresce da 0 fino al valore I1 = E1/R1 = J1Lavoro assorbito nel secondo processo 3):
L'' = (i1 v1 + i2 v2 ) dt
Δt1∫ = (L1 i1 + M21 I2 ) di1
0
I1∫ =
12
L1 I12 + M21 I2I1
L1di1dt
+ R1 i1 = E1 ⇒ i1(t) =E1R1
1− e– R1 t
L1
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Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -9 -9Evoluzioni temporali
Lavoro totale assorbito nel secondo processo di carica =energia induttiva finale:
Pi1I1
i2I2
i
i1(t)
t
I1
T2a T2b T1a T1b
i2(t)I2
WLb =L = L' +L'' = 1
2L1 I12 +M21 I1I2 +
12L2 I22
24
Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -10 -10Quindi:
Pi1I1
i2I2
Pi1I1
i2I2
a: primo processo b: secondo processo
WLa = L = L' +L'' = 12L1 I12 +M12 I1I2 +
12L2 I22
WLb =L = L' +L'' = 12L1 I12 +M21 I1I2 +
12L2 I22
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Energia e reciprocitEnergia e reciprocitàà -11 -11Ma l’energia induttiva deve essere funzione (di stato) deivalori finali delle correnti, indipendentemente dalla “strada”percorsa per arrivarvi:
WLa(I1,I2) = WLb(I1,I2)quindi
M12 = M21
il doppio bipolo induttivo, accumulatore perfetto di energiainduttiva, è necessariamente reciproco.
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Vincoli sui parametri -1Vincoli sui parametri -1
L’energia magnetica deve essere non negativa:
ne derivano vincoli sui 3 parametri L1, L2 e M:1) Se i2 = 0 => L1 ≥02) Se i1 = 0 => L2 ≥03) Se i1 ≠ 0, i2 ≠ 0 => dividendo per i22:
€
L12x2 +M x +
L22≥ 0
wL =L12i12+
L22i22 +M i1 i2 ≥ 0
27
Vincoli sui parametriVincoli sui parametriÈ l’equazione di una parabola, ≥0 con discriminante ≤ 0
Quindi ogni doppio bipolo induttivo verifica 3condizioni:1) L1 ≥02) L2 ≥03)
€
M2 − 4 L12
L 22≤ 0 ⇒ L1L 2 ≥ M
€
L1L2 ≥ M
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SEGNO DI M -1SEGNO DI M -1M può essere >0 o <0 (o = 0):cambiando i riferimenti di v(t) e i(t) di una stessa porta Minverte il segno.
M > 0 M < 0 o viceversa
i (t)
+
λ (t)
–
i (t)
+
λ (t)
–
1
1 2
2 i '(t)
+
λ '(t)
–
i '(t) –
λ '(t)
+
1
1 2
2
29
SEGNO DI M -2SEGNO DI M -2Per individuare il segno si usano due punti:M > 0 se le frecce delle correnti sono entrambe entranti oentrambe uscenti dai morsetti coi punti (e viceversa)
i2(t)+
λ1(t)
–
i1(t) +
λ2(t)
–
i2(t)+
λ1(t)
–
i1(t) +
λ2(t)
–
M > 0 M < 0
30
Coefficiente di accoppiamentoCoefficiente di accoppiamento
k = ±1 : accoppiamento perfetto(porte perfettamente accoppiate)
k = 0 : accoppiamento nullo(porte disaccoppiate)
€
k = ML1L 2
⇒ – 1≤ k ≤ 1
31
Amplificazione -1Amplificazione -1Alimentando una sola porta con generatore di corrente
facendo il rapporto e prendendo il modulo:
se M > L1 v2 > v1
€
v1 = L1djdt
v2 =M djdt
€
v2 =ML1
v1
i (t)
+
v1(t)
–
i (t)
+
v2(t)
–
1 2
j1
32
Amplificazione -2Amplificazione -2se M > L1 v2 > v1Il bipolo che eroga non ha tensione massima in modulo c’è amplificazione i doppi bipoli induttivi possono amplificare
DOPPI BIPOLI INDUTTIVI CHE AMPLIFICANO: L1 < M < L2 oppure L2 < M < L1
DOPPI BIPOLI INDUTTIVI CHE NON AMPLIFICANO: M < L2 e M < L1
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Sintesi con induttori -1Sintesi con induttori -1
cL
+ va – +
v (t)
–
1
i (t)1 i (t)2
+
v (t)
–
2
3i
– vb ++
vc
–
LbLa
€
v1(t) = Lad i1dt
+Lcd i3dt
= (La+Lc )d i1dt
+Lcd i2dt
v2 (t) = Lbd i2dt
+Lcd i3dt
= (Lb+Lc )d i2dt
+Lcd i1dt
SINTESI A T
M > 0
34
Sintesi con induttori -2Sintesi con induttori -2
cL
+ va – +
v (t)
–
1
i (t)1 i (t)2
+
v (t)
–
2
3i
– vb ++
vc
–
LbLa
€
L1 = L a +L c
L 2 = L b+ L c
M = L c
L a = L1−M
L b = L 2−M
L c = M
SINTESI A T
M > 0
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Sintesi con induttori -3Sintesi con induttori -3
€
L1 = L a +L c
L 2 = L b + L c
M = L c
L a = L1+ M
L b = L 2 + M
L c = −M
SINTESI A T
M < 0 cL
+ va – +
v (t)
–
1
i (t)1
3i
– vb ++
vc
–
LbLa i (t)2
+
v (t)
–
2
36
Sintesi con induttori -4Sintesi con induttori -4SINTESI A Π
M > 0 (ΓΜ<0)ia
+
v (t)
–
1
i (t)1 i (t)2
+
v (t)
–
2Γ = L 'a a
Γ = L 'b b
+ v –3
i b
icΓ = L 'c c
–1
–1–1
€
1La '
= Γa = Γ1 − ΓM
1Lb'
= Γb = Γ2 − ΓM
1Lc'
= Γc = ΓM
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Sintesi con induttori -5Sintesi con induttori -5
Funzionano se valgono le condizioni di nonamplificazione: M < L2 e M < L1
Infatti una reti di induttori (= bipoli passivi) non puòamplificare.
38
Sintesi con T.I. -1Sintesi con T.I. -1
ACCOPPIAMENTO PERFETTO
u = rapporto di trasformazione, da cui
€
k = 1 ⇒ u =L1M
=ML 2
= ±L1L 2
€
v1 = L1di1dt
+M di2dt
= L1di1dt
+ 1udi2dt
v2 =M di1dt
+L2di2dt
=M di1dt
+1udi2dt
39
Sintesi con T.I. -2Sintesi con T.I. -2
Rapporto delle due e risoluzione in i1 della prima:
v1(t) = u v2 (t)
i1(t) = −1ui2 (t) +
1L1
v1(t' )dt'−∞
t∫ = i1' (t) + i1"(t)
1L
+
v (t)
–
1
i (t)1
+
v (t)
–
i (t)2
2
ni "1 +
v
–
1
i '1
L1M
ML 2
n = u = –– = ––
40
Sintesi con T.I. -3Sintesi con T.I. -3
Rapporto delle due e risoluzione in i2 della prima:
L1M
ML 2
n = u = –– = ––2L
+
v (t)
–
1
i (t)1
+
v (t)
–
i (t)2
2
ni "2+
v
–
2
i '2
v1(t) = uv2(t)
i2(t) = −ui1(t) +1L2
v2(t' )dt'−∞t∫ = i2' (t) + i2"(t)
41
Sintesi con T.I. -4Sintesi con T.I. -4
ACCOPPIAMENTO IMPERFETTO
L1e e L2e = induttanze eccedenti rispetto ai valori diaccoppiamento perfetto L1p e L2p ; rapporto ditrasformazione:
L1 = L1p + L1eL2 = L2p + L2eM2 = L1pL2p
u ' =Δ L1pM
=ML2p
= ±L1pL2p
42
Sintesi con T.I. -5Sintesi con T.I. -5
1eL
+ v – +
v (t)
–
1
i (t)1
+
v
–
L
+
v (t)
–
i (t)2
2
– v ++
v
–
2p
ni '1
1e L
1i "1p
1p
2e
2en
1eL
+ v – +
v (t)
–
1
i (t)1
+
v
–
L
+
v (t)
–
i (t)2
2
– v ++
v
–
2p
i '2
1e L
2i "2p
1p
2e
2e
''
n' = u' = ––– = –––L1pM
ML 2p
v1 = (L1e + L1p )d i1dt
+M d i2dt
= L1ed i1dt+ L1p
d i1dt
+1u'di2dt
v2 = M d i1dt
+ (L2e + L2p)d i2dt
= L2ed i2dt+ M d i1
dt+1u'd i2dt
43
Sintesi con T.I. -6Sintesi con T.I. -6Negli schemi ci sono 4 parametri per verificare 3 vincoli (L1,L2 e M) c'è 1 grado di libertà; si ottengono valori leciti per:
ML2
≤ u'≤ L1M
u' = ML2
⇒L1p =
M2
L2= k2 L1 , L1e = L1 −
M2
L2= (1− k2 )L1
L2p = L2 , L2e = 0
u' = L1M
⇒
L1p = L1 , L1e = 0
L2p =M2
L1= k2 L2 , L2e = L2 −
M2
L1= (1 − k2 )L2
44
Sintesi con T.I. -7Sintesi con T.I. -7Ma in genere si preferisce fissare u’ uguale al rapporto spire(in modo che abbia senso fisico-sperimentale); così:
L1p = u'M , L1e = L1 − u'M
L2p =Mu', L2e = L2 −
Mu'
45
Doppi Doppi bipoli bipoli induttivi realiinduttivi realitrasformatori reali -1trasformatori reali -1
Mutui induttori, trasformatoriMutui induttori, trasformatoricon nucleo ferromagneticocon nucleo ferromagnetico
Isteretici, non lineari, dissipativi –IM
–ΛM
ΛM
IM
Λ
I
46
Doppi Doppi bipoli bipoli induttivi reali,induttivi reali,trasformatori reali -2trasformatori reali -2
Perdite: Perdite: ohmiche negli avvolgimentiohmiche negli avvolgimenti (descrivibili con 2resistenze Ra e Rb in alle porte);per isteresi e per correnti parassite nel nucleoper isteresi e per correnti parassite nel nucleo (descrivibili con1 resistenza Ro in parallelo all’induttanza “derivata”).
La
Lo
+
v (t)
–
1
i (t)1
Lb
i (t)2nRa Rbb
Ro
+
v (t)
–
2