Post on 17-Feb-2019
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0v�
Consideriamo il moto di un punto materiale lanciato da terra con una certa velocità iniziale 0v
�
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre
O x
y
0θ
xu�
yu�
ya g gu= = −� � �
• Altezza massima ?
Accelerazione (nota) � Velocità
∫+=t
tdttatvtv
0
)()()( 0
���
∫+=t
tdttvtrtr
0
)()()( 0
���
� Posizione: x(t), y(t)
∫−=t
y dtugv00
��
yugtv��
0 −=0 0sinyv v gtθ= −
Il moto si mantinene nel piano ) ( ,0 gv
��
0=
∫=t
x dtvx0
∫=t
ydtvy0
0 0( cos )v tθ=0 00( cos )
tv dtθ= ∫
0 0cosxv v θ=
0 00( sin )
tv gt dtθ= −∫
20 0
1( sin )
2v t gtθ= −
rettilineo uniforme
uniformemente accelerato
• Equazione del moto?• Traiettoria ?
• Gittata ?• Velocità finale ?
0 0 =t
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre
• Traiettoria ?
0 0( ) ( cos )x t v tθ=2
0 0
1( ) ( sin )
2y t v t gtθ= −
Eliminiamo il tempo da )(),( tytx
)(xy
0 0cos
xt
v θ=
2
2 20 0
1
2 cos
xg
v θ2
0 2 20 0
( ) (tan )2 cos
gy x x x
vθ
θ= −
Equazione di una parabolacon asse verticale
0v�
O x
y
xu�
yu�
0θ
yugga��� −==
00
tanx
dy
dxθ
=
=
Traiettoria in O tangente al vettore velocità iniziale
0 2 20 0
tancos
dy gx
dx vθ
θ= −0 0
0 0
( ) sincos
xy x v
vθ
θ= −
Direzione iniziale (verifica):
Equazione del moto:
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre
• Gittata ? 0)( =xy
220
0 0
2cos tanG
vx
gθ θ=
20
0 0
2cos sin
v
gθ θ=
ααα cossin2)2sin( =
20
0sin(2 )v
gθ=
0v�
O x
y
xu�
yu�
0θ
yugga��� −==
Gx
My
Mx
20 2 2
0 0
( ) tan2 cos
gy x x x
vθ
θ= −
• Fissato v0 � per quale angolo iniziale si ha la gittata massima?
20
0sin(2 )G
vx
gθ=
0 Max( ) 454
πθ = = °1=
Max( )Gxg
v20=
02 20 0
tan2 cos
gx
vθ
θ= ( 0)x ≠
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?
Simmetria della parabola rispetto all’asse20
0
1sin(2 )
2M
vx
gθ⇒ =
420
02 2 20 0
sin (2 )2 cos 4
vg
v gθ
θ4
2 200 02 2 2
0 0
4sin cos2 cos 4
vg
v gθ θ
θ2 2
2 20 00 0
1sin sin
2
v v
g gθ θ= −
220
0sin2
v
gθ=
)( MM xyy =
20
0sin(2 )G
vx
gθ=
20 2 2
0 0
( ) (tan )2 cos
gy x x x
vθ
θ= −Traiettoria:
20
Max( )2M
vy
g= Altezza
massima0 2
πθ =La massima altezza si ha per:
(verticale)
20
0 0tan sin(2 )2M
vy
gθ θ= −
20 0
0 00
sin2sin cos
2 cos
v
g
θ θ θθ
= −
O x
y
Gx
My
Mx
V
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre
−−−=a
acb
a
bV
4
4,
2
2
• Altezza massima ?
Coordinate del vertice (parabola con asse verticale):
cbxaxy ++= 2
20
2 20 0
tan4
2 cos
Myg
v
θ
θ
= − −
2 22 0 0
0
2 costan
4
v
g
θθ=
220
0sin2M
vy
gθ= Altezza massima
lungo la traiettoria
202 2
0 0
( ) (tan )2 cos
gy x x x
vθ
θ= − +Traiettoria:
O x
y
Gx
My
Mx
V
O x
y
Gx
My
Mx
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestre• Tempo di volo ?
=)(tv� 0 0cosxv v θ=
0 0sinyv v gtθ= −
GG
x
xt
v=
00
2sinG
vt
gθ=
20
00 0
1sin(2 )
cosG
vt
g vθ
θ=
20
0sin(2 )G
vx
gθ=
• Velocità finale ?
0 0( ) cosx Gv t v θ=
0 0( ) siny G Gv t v gtθ= −
00 0 0
2sin sin
vv g
gθ θ= −
0 0sinv θ= −
0( ) ( )x G xv t v t=
0( ) ( )y G yv t v t= −Massimo tempo di volo per 0 / 2θ π=
0max
2vt
g=
Moto rettilineo uniforme
Rispetto alla velocità iniziale?
� Tempo impiegato dalla componente a raggiungere la gittata :
xGx
0v�
tempo = distanza/velocità
Moto parabolico
Massima altezza:g
vxM
22
2
1=2
200
1sin
2M
vy
gθ=
Tempo totale:g
vttot
22= 00
2sinG
vt
gθ=
Velocità finale 2)( vtv tot −= 0( ) ( )x G xv t v t=
0( ) ( )y G yv t v t= −
Moto verticale
x
2v
yugga��� −== 0v
�
x
y
0θGx
MyMx
Cinematica del punto materiale
Moto nei pressi della superficie terrestrePunto materiale lanciato in direzione orizzontale da altezza h
Stesso problema, condizioni iniziali diverse: 0)0( =x hy =)0(
0)0( vvx = 0)0( =yv
Traiettoria: ( )y x
0v
xt = 2
202
)( xv
ghxy −=
Tempo di caduta: ( ) 0y t =
02
1 2 =− gthg
htc
2=
cG tvx 0=
Velocità finale (modulo):
( ) 2y cv t gh= −0)( vtv cx =ghvvc 22
0 +=
0v�
x
y
Gittata: )( ctx
g
hv
20=
parabola
h
O xu�
yu�
yugga��� −==
0)( vtvx = gttvy −=)(Equazioni delle velocità:
0( )x t v t=Equazioni del moto:
2
2
1)( gthty −=
(rettilineo uniforme) (uniform. accelerato)
ghvc 2=
0=inizialev1vviniziale −=
g
htc
2=
Lancio orizzontale
Caduta libera
0vviniziale =
ghvvc 220 +=
y0v�
x
yy
1v−
Il moto proiettato sull’asse verticale coincide con una caduta libera
g
htc
2=
ghvvc 221 +=
Velocitàfinale(modulo)
g
h
g
v
g
vtc
22
211 ++−=Tempo di
caduta
2
2
1)( gthty −=Stesso tempo di caduta:
La velocità iniziale si somma in quadratura con la velocità prodotta da g
Cinematica del punto materiale
Moto relativo nel pianoConsideriamo due punti P1 e P2 in moto lungo due traiettorie nel piano
xu�
yu�
x
y
O
1P
2P2r�
yx utyutxtr���
)()()( 222 +=1r� yx utyutxtr
���
)()()( 111 +=
Posizione di P1 e P2 in ogni istante rispetto al sistema di riferimento O:
2,1r�
Posizione relativa di P2 rispetto a P1
)()()( 122,1 trtrtr��� −=
yx uyyuxx��
)()( 1212 −+−=
)()( 12 tvtv�� −=
Velocità relativa di P2 rispetto a P1
dt
trdtv
)()( 2,1
2,1
�
� =dt
trd
dt
trd )()( 12
��
−=
)()( 12 tata�� −=
Accelerazione relativa di P2 rispetto a P1
dt
tvdta
)()( 2,1
2,1
�
� =dt
tvd
dt
tvd )()( 12
��
−=
1,2 2 1v v v= −� � �
Velocità relativa di P2 rispetto a P1
2v�
1v�
y
Combinazione di due moti rettilinei uniformi
x
2v�
1v�
x
y1v−�
1,2v�
P1
P2
Cinematica del punto materiale
Moto nello spazioIl moto lungo una traiettoria tridimensionale si può rappresentare con le sue componenti lungo x(t), y(t), z(t)
� moto rettilineo)(),(),( tztytx
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx ��� ++=
zzyyxx uvuvuv��� ++=
zz
yy
xx u
dt
dvu
dt
dvu
dt
dv ��� ++=
zzyyxx uauaua��� ++=
zyx utzutyutxtr����
)()()()( ++=Posizione
r�
dt
vdta
�
� =)(
Accelerazione
a�
dt
rdtv
�
� =)(
v�
Velocità
∫+=t
tdttvrtr
0
)( )( 0
���
xu�
yu�
zu�
x
y
z
O
)( ta�
∫+=t
tdttavtv
0
)()( 0
���
Inversamente, integrando sulle 3 componenti x, y, z:
Dinamica del punto materiale
• Quali sono le cause del movimento?• Che cosa fa sì che il moto sia di un determinato tipo?
dinamica del punto� A quali condizioni, in un dato sistema di riferimento,
il punto resta in quiete? (eqiulibrio statico)
Moto � Interazione del punto materiale con l’ambiente circostante
Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato
Principio d’inerzia
PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”
VARIAZIONE DELLA VELOCITA’
accelerazione forza
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
« E da quell'impeto è mosso il sasso dopo che il motore ha cessato di muovere. Ma a causa della resistenza dell' aria e della gravità del sasso, che inclina in una direzione contraria a quella verso cui l'impeto muove, quell'impeto si indebolisce continuamente. »
Marshall Clagett, La scienza della meccanica nel medioevoFeltrinelli 1972, pp. 595-596
Giovanni Buridano (1290 – 1358)
Teoria dell'impeto: un corpo in movimento possiede un impetoche lo porta a proseguire il suo moto in assenza di forze esterne
• Qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.
• Corpo lanciato? Mantenuto in moto da un vortice dell’aria
“Fisica”
Aristotele (384-322 a.C.)
Lo stato naturale dei corpi è la quiete
(in senso “assoluto”: rispetto alla Terra)
« Possiamo dunque e dobbiamo dire che al sasso o a un altro proietto viene impressa una tale cosa, la quale è la virtù motrice di quel proietto, e ciò pare meglio che ricorrere all‘azione dell‘aria per far muovere il proietto. Pare infatti piuttosto che l' aria resista al moto. […] »
“Principio di inerzia”
Questo « deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari » … e che gli oggetti in movimento siano:« immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza. »
Galileo Galilei
“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove
scienze attenenti alla mecanica et i movimenti locali” (1638)
“ Il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632)
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
Enunciazione formale:
« Lex Prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. »
Isaac Newton
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)
« Il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china. Se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo. »