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11 apr 2023 11
Matematica GeneraleMatematica Generale
Derivate
A cura diBeatrice Venturi
11 apr 202311 apr 202322
1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA
Problema: determinare la tangente in un generico punto ad una curva data.Tale problema venne risolto dai greci in modo elementare nel caso della circonferenza.
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Circonferenza e retta Circonferenza e retta tangentetangente
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1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA
Per determinare la tangente in un punto abbiamo bisogno di conoscere la sua inclinazione, cioè il suo coefficiente angolare.Dati due punti:
)0,0(0 yxP ),( yxP
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INTRODUZIONE AL CONCETTO DI INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA
Consideriamo
0xxx 0yyy
variazione delle ascisse
variazione delle ordinate
xy
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INTRODUZIONE AL CONCETTO DI INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA
Inclinazione o coefficiente angolare di una retta ( è la tangente trigonometrica all’angolo )Tasso o saggio di accrescimento della variabile y rispetto alla variabile x
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Definizione di derivataDefinizione di derivata
11 apr 202311 apr 202388
Definizione di funzione Definizione di funzione derivabilederivabile
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b) si dice che è derivabile in I se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale xI.
lxx
xfxf
x
yxxxx
0
0 )()(limlim
00
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Retta tangenteRetta tangente
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b), l’equazione della retta tangente alla curva f(x) nel
punto di ascissa x0 è:
y=f(x0)+f’(x0)(x- x0)
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Retta TangenteRetta Tangente
Tangent examplef(x)=50ln(x)/x^2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
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Definizione della derivata Definizione della derivata primaprima
In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile risulta definita una nuove funzione che si indica con f’(x) oppure con D1f(x).La funzione f’(x) assume i valori della derivata della funzione f(x) calcolata per lo stesso valore della x.f’(x) si chiama derivata prima della funzione f(x).
11 apr 202311 apr 20231212
Definizione della derivata Definizione della derivata secondaseconda
Si chiama derivata seconda della funzione f(x) la derivata prima della funzione f’(x).In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile due volte risulta definita la derivata seconda che si indica con f’’(x) oppure con D2f(x).
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Relazione tra derivabilità e Relazione tra derivabilità e continuitàcontinuità
Una funzione f(x) derivabile in un punto x è anche continua nello stesso punto.
derivabilità continuitàSe una funzione
f(x) è continua in un punto x NON è detto che sia anche
derivabile.
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Relazione tra derivabilità e Relazione tra derivabilità e continuitàcontinuità
Contro esempio: y=|x| valutato nell’origine.
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Punto angolosoPunto angoloso
11 apr 202311 apr 20231616
Punto angolosoPunto angolosoData una funzione f(x) definita in un intervallo
I = (a,b), sia x I
11 apr 202311 apr 20231717
Punto con tangente verticalePunto con tangente verticaleo flesso verticaleo flesso verticale
11 apr 202311 apr 20231818
Punto con tangente verticalePunto con tangente verticaleo flesso verticaleo flesso verticale
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x I
11 apr 202311 apr 20231919
CuspideCuspide
11 apr 202311 apr 20232020
CuspideCuspide
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia xI
11 apr 202311 apr 20232121
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Se f(x) e g(x) sono derivabili in (a,b) allora valgono le seguenti regole:
11 apr 202311 apr 20232222
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Addizione e sottrazione:
11 apr 202311 apr 20232323
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Prodotto:
11 apr 202311 apr 20232424
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Rapporto : nei punti in cui g(x)0
11 apr 202311 apr 20232525
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Logaritmo :
11 apr 202311 apr 20232626
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Esponenziale:
11 apr 202311 apr 20232727
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Potenza (1) :
11 apr 202311 apr 20232828
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Potenza (2):
11 apr 202311 apr 20232929
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Prodotto per una costante:
11 apr 202311 apr 20233030
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Funzione inversa:Se y=f(x) è una funzione crescente (decrescente) e derivabile nell’intervallo (a,b) allora è dotata di inversa e, in tutti i punti in cui è f’(x)0, anche la sua funzione inversa f -1(y) è derivabile e si ha:
11 apr 202311 apr 20233131
Regole di derivazioneRegole di derivazione
Funzione composta:Una funzione y=f[g(x)] composta per mezzo di due funzioni derivabili è anch’essa derivabile e si ha che la sua derivata è data da:
11 apr 202311 apr 20233232
Derivate notevoliDerivate notevoli
Funzione potenza: xR e nN
11 apr 202311 apr 20233333
Derivate notevoliDerivate notevoli
Funzione esponenziale: xR e a>0
11 apr 202311 apr 20233434
Derivate notevoliDerivate notevoli
Funzione logaritmica: x>0 e a>0
11 apr 202311 apr 20233535
Derivate notevoliDerivate notevoli
Funzione radice: x 0 e nN
11 apr 202311 apr 20233636
Derivate notevoliDerivate notevoli
Funzione iperbole: xR \{0}