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Parte terza
Il calcoloagli "stati limite"
delle sezioni n
cementoarmato
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Capitolo nono
La
sicurezza trutturale
9.1. Cenni
storici
e
presentazione
del
problema
Il
concettodi sicurezza
quindi
i
codici e le norme sulla sicurezza elle
costruzioni
imontano
probabilmente
ai
primordi
dell'attività stessa el
co-
struire,associandosi utomaticamente lla
responsabilità,
n casodi crolli e
danni,
'idea
stessa
ella
sictrezza.
Sembra
accertatoche tale
problema
fossemolto
sentito dagli antichi
babilonesi i
quali
è attribuito
quello
che si
può
ritenere l
primo
codice n
materia, l codice Hammurabi degli anni 2100 a.C. il
quale
prevedeva
a
condanna morte del costruttorenel casodi decesso egli
abitanti a causa
del crollo del manufatto. È inoltre ben noto che i Romani
avevanodelle
normemolto preciseper le costruzionimilitari.
I
primi
studi a caratterescientificosulla resistenza ei materiali
e
delle
strutturesono dovuti a Galileo
(1638),
che esaminò
sperimentalmente
teoricamentea resistenza rottura di travi in casodi trazione
o
flessione.
Nel secolo iciottesimo urono
sviluppate
icerche
sulla
resistenza rottura
di archi n muratura
(Coulomb
1773),ma
solo
nel
diciannovesimo ecolo u
studiatoa
fondo il
problema
base della sicurezza elle strutture, e cioè
quello
della
esistenza
el
materiale.Vennero
nfatti formulati i
piir
impor-
tanti criteri, a tutt'oggi usati,
ntesi
a caratterizzareo statodi crisi
puntuale
delmateriale.Vanno ricordatianzitutto criteri che mpongonodelle imita-
zioni
solo allo stato
di
tensione,
quali
ad esempio:
-
criterio delle massime ensioni
principali:
la crisi del materiale, ntesa
come snervamento rottura, è attribuita al massimovalore
assoluto
delle ensioni
rincipali
Lamé,
1833;Rankine,1875);
-
criteriodell'attrito
interno: a
crisi è dovutaal superamento i un valore
limite, funzione del rapporto fra tensione angenziale normale
Cou-
lomb, 1776;Mohr, 1882);
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258
Teoria
e fecnica
delle
costruzton!
-
criterio
dera
massima
ensione
angenziale:
a
crisi
è
attribuita
ar
varore
assimo
ella
ensione
angenziale
ff..r.",
flij;ì.
Venanr,
g72).
Con
lo
studio
deì
comportamento
elastico
dei
materiali
il
concetto
di
esÌsrenza
unruale
.r.
:.^r^l^:g1r:.
quello
Ji
,r*rr.l*"
del
materiale,
ando
uogo
ad
esempio
ai
seguenti
ben
noti
crite;i
;;-s;curezza
puntuale:
-
criterio
della
massima,
ilatazione:
a
crisi
è dovuta
all,allungamento
untuate
massimo
subito
dat
_"r*i"i"
ìpo;;;;;i, ,rrr,
Grashof,
-
criterio
dell,energia
di
-deformazione;
a
crisi
è
dovuta
ad
eccesso
i
nergia
etasticaassorbita. at.m^ateriaiete.rii"Àill's85); crirerio
delt'energia
lastica.di
".rn",:;bi:;ji;;;,0,
energia
i
de_
ormazione
ovuta
u1,,_u:i:l:
i
f;;;;;;";iiih"
e
..rpon.uul.
ella
risi Huber,
904;
.
Mises,
Sjl,
ù"".k"
iilq.
Dai
criteri
di
crisi
richiamati
e dallo
sviluppo
della
teoria
dell,elasticità
bbe
origine
l
concetro
i
3:il**j,1fifi
".".*,
nl'.l"lJií:L*lf
:,#:il:
:iilffiliJiJ',::a
Al
successivo
pprofondimento.
€llostudiodelcomportamento eima_eriali ortre l rimiteelastico.
e,cioè
el;;;;;;ìt":iico
del
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ino
alla
rottura,
è
dovuta
a
,
za,cheviene"Jil;til;;;:ffiil::TiJ:l:,'i$,""T:i:H:,,.;1
TT;
l,:ilnT.."
mareriare,
a
nei
iiuardi
.ii;;il;-;
pTrte
ael,tntera
Le prime
formulazioni
ul
^calcolo
rottura
di
strutture
perstatiche
ensono
atte
isatire
Kirsr
19t7).e
i";;;;;
ù;ó;"
soto
dopo
a
econda
uerra
mondiale
i ebbe
l
pi.n"
,;i;;;;
;ì;';íirilr,"r"
der
:
l
primo
resto
orsanico
ull,argom#o
l"r"riio"
,^"no
l94g
ÍTí"*1"ÌlTllirnentre
a=rimas.r;;;;;;;; ;;J"1u'n" e4e
Bri-
La
successiva
voluzione
el
concetto_
i
sicurezza
dovuta
all,affermar_
i
di
una
visione
più
realisricae
precisa
del
-;0";;;;;;delra
struttura,
he
si basa
u
un'analisi
ratisric;
"i
*.i.rri
Jà'.'rrr;;#;;
del
mareriare,
:,,:l
""u
valu.tazione
robabitistica
.l
s.ud;;-;ì; ;;;;;,
;;"struuura:
si
runge
osi
alla
visione
iù
moderna
.l
_*"tt.
aì'ri"".i,
iru
"n"viene
ad
ssere
irettamente
olegato
on
tap.ooauiiiia;iÀìla;;
a1,,"
struttura,
uanto
meno
ella
ua
uoriuscita
iservizio.
.,.*.
ràrfii statisticheui
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La sícurezzaslruttufale 259
carichi
agenti sulle strutture e sulla
resistenza ei materiali sono dovute a
Levi
(1950)
e Freudenthal
1956).
L'approccio semi-probabilistico
u intro-
dotto daVr'ierzbicki1946),mentre primi studi di tipo probabilistico,ntesi
a
valutare a
probabilità
di collasso
della struttura, sono dovuti a Levi
(1953),
orroya
(1959),
reudenthal
1960).
Da
quanto
detto si
può
asserire
heallo stato attualedelleconoscenze,
principi
dellasicurezza trutturale
possano
ondarsisu re diverse oncezioni:
-
il criterio delle
tensioni ammissibili;
-
il metodo della verifica a
rottura;
-
il
procedimento
emiprobabilistico
gli stati-limite.
Il
primo
criterio
presta
l fianco a numerose ritiche fra
le
quali
la
più
importante
quella
di limitare
a verifica
a
punte
ensionaliche nsorgono n
determinate
ibre di determinate ezioni
maggiormente
ollecitate,
estando
largamente d antieconomicamente
l di sotto dei
valori
ammissibili
onven-
zionali a maggior
parte
delle sezioni
della
struttura.
Inoltre non
può
venir
chiaramente videnziata
'influenza di coazioni
mpresse,
oprattutto
al di
fuori
del campo
elastico.Per
quanto
riguarda
poi
I'esamedel solo compor-
tamento n serviziodelle strutture,
non sempre
puramente
lastico,è chiaro
che l metodonon garantisce emmenol proporzionamento iù convenien-
te nei
riguardi
della
sicurezza rottura.
Queste
onsiderazioni
ontribuiscono ribadire che
l metododelle en-
sioni
ammissibilinon
può
costituire
I'unico fondamento di una moderna
normativa,
pur
dovendosi
iconoscere he,
per
taluni aspetti
del
comporta-
mentodellestrutture,esso i
presenta
ncora
nteressante,enon altro
per
a
mancanza i adeguati
metodi di verifica mediante a teoria degli stati
imite.
Per
quanto
riguarda
a
verifica a
roîtura il
procedimento
disponibileè
quello
del
che corrispondead una situazionestatica
ben
definita, e che consente ffettivamentedi conseguire n dimensionamento
efficace
i fini della resistenza.
nche
a tale
metodo
possonoperaltro
muo-
versialcunecritiche
fra le
quali
la
piir
importante è che,
preoccupandosi
della sola siclurezza
rottura, non si è automaticamente
arantiti per
un
soddisfacenteomportamento
n condizioni di esercizio.
Ad ambedue
li
anzidetti
procedimenti
a
poi
addebitatodi non tenere
in alcunconto
l
carattere
aleatoriodellediverse
randezze
n
gioco, quali
le
azioniesterne
e
caratteristiche
ei materialida cui dipendeessenzialmente
il comportamento ella struttura.
Inoltre, operandosin ambedue casi con ampi fattori di sicurezza, i
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260 Teorío e tecnico delle costruzíotu
lascia
ai
vari responsabili
del
processo
ostruttivo
la
sensazione i
poter
disporreciascunoa
proprio
vantaggiodi
un
largo margine.
Sulla basedelle considerazioniatte va riconosciutoche una corretta
impostazione el
problema
dellasicurezza eve ener
presente
utti
gli
aspet-
ti del comportamentodella costruzione
per
ciascunodi essi
prevedere
n
metodo di verifica che
prenda
n conto tutti
gli
elementidi incerfezza.
La
prima
esigenza
uò
veniresoddisfattaattraverso na opportunadefi-
nizione e classificazione egli stati limite, ovvero di
quelle
situazioni che
corrispondono a soglie di
funzionalità
della costruzione;e su
questo
si
ritornerà nel
paragrafo
che segue.
La seconda
uestioneuò
venir isolta mpostandoa verifica,
erquan-
to
possibile,
su metodi
probabilistici,
e cioè attraverso l controllo della
probabilità
che venga aggiuntouno stato imite in relazione,ad esempio,
alle effettive
resistenze
ei
materiali impiegati rispetto
ai
valori
assunti
n
sededi
progetto
ed all'intensità dei carichi e delle deformazioni mpresse
statisticamente
revedibili.
Nella
pratica
ecnica ale criterio
risulta nappli-
cabile
per
la mancanzadi dati statistici ad es. sulle variabili menzionate
quindiper
'impossibilità i esprimereutte e ncer tezzen valoridi
probabi-
lità. Si adotta
perciò
una soluzione i compromesso
semiprobabilistico>,
con a
quale
si
rinunzia
a calcolare na
probabilità
di
raggiungimento
i uno
stato
limite, ma
si opera
ricoprendo
una
parte
delle
incertezze
con dei
coefficienti forfettari, ovvero,praticamente,ntroducendodellegrandezze
significativedal
punto
di
vista
probabilistico
che sono
ed
ui ouali si torneràal nar. 9.3.
9.2.
Definizione
e classificazione egli
"stati
limite"
Gli stati imite sonodellesituazionia
partire
dalle
quali
la costruzione
una delle sue
parti
cessa i assolvere
a funzione
alla
quale
era destinata,e
per
la
quale
era stata
progettata
e costruita.Pertanto a sicurezza ovrebbe
caratterizzarea
probabilità
che
questi
stati non siano superati.
Il modo di ragionare n
presenza
egli stati
limite
ed
in
funzione del
probabilismo
il
seguente:
-
definire
i fenomeni
che si
vogliono
evitare, cioè
gli
stati limite;
-
stimare
a
gravità
dei rischi legati a
questi
fenomeni;
-
dedurre delle
regole
da seguireaffinché la
probabilità
di ognuno di
questi
fenomeni
sia
dportata
ad un
valore molto
basso,
per
essere
accettata n funzione della stima del rischio.
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LQ
sicurczzo
slrutlLtrule
261
Ladef in iz ionedeitènomenidaevitarecompoltaunasuddivis ionefra
stati
imite
ultimi,
il cui
superamento
omporta
a
rovina
mmediata
on
un
,ir.t io .f.uu,o di perditedi viteumane,e gli stati
imite
di
esercizio'
l
cui
;;;;;;;;.".iorta
la
fuoriuscita
i servizio
i
elementi
ellacostruzio-
".?tr^
."*o-Àissione
dell'incolumità
ubblica'
e spesso
on
possibilità
di
riutilizzo
di
certe
parti della
struttura'
-'
^
eiuiproporito
è
ài
notevole
mportanza
l
fatto
che
a struttura
ornisca
o
meno
ndicazioni
lrca
un suo
st;to
di
crollo
mminente'
ome
pure
che
;;;t;;;;;;o
god"t" di
una
certa
idistribuzione
elle
sollecitazioni
interne.
Questo
omporla
una
differenza
el
gradodi
rischio
accettabile'
'--'-p.i,uito
gli
stati
imite
che
devono
onsiderarsi
sualmente
r
possono
ascriverelledue
categorle:
l)
stati
imite
ultìmi,
corrispondenti
l
valore
estremo
ella
capacità
or-
tante;
z)
sluJìl-ite
di
esercizio,
egati
alle
esigenze
i
impiego
normale
e
di
durata.
Le cause
he
possono
rodurre
li
stati
imite
ultimi
sono
ad
esernpio
e
seguenti:
- perdìta i stabilità i unaparteo dell'insiemeellastruttura onsidera-
ta
come
corPo
igido;
-
io,,utu
locaiiztaia
della
struttura
per
azioni
statiche;
-
collasso
er
trasformazione
ella
struttura
o
di
una
sua
parte n
un
meccanlsmo;
-
instabilità
Per
deformazione;
-
......
rottura
localizzala
della
struttl'ua
per
Iatlca;
-
deformazione
lastlca
di
fluage,
essurazione
scorrimento
i
giuntí
checonducanoadunamodif icadel lageometr ia, ta ledarendereneces.
,u. iutusort i tur ionedel lastrut turaodisuepart i fondamental i l
-
aagruJutione
corrosione
he endano ecessariaa sostituzioneella
struttura
o
di
sue
parti fondamentali;
-
collasso
ncrementale
er effetto
di
azioni
ipetute;
-
collasso
er
effetto
del
fuoco
o
di
esplosioni
tc'
Gli stati
imite
di
esercizio
ossono
ssere
nvece
aratlerizzati
ai
se-
guenti enomenl:
-
deformazioni
ccessive
er una
utilizzazione
ormale
della
struttura;
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262
Teoia
e
tecnica
delle
costtuzioni
tessurazrone rematura
o eccessiva;
degradazione
corrosione;
spostamenti
ccessivi enzaperdita dell'equilibrio:
vibrazioni
eccessive
tc.
Il raggiungimento
i
uno
stato imite può
essere
rovocato
dall'interven-
to
concomitante
di
vari
fattori
di
carattere
aleatorio
quali
quelli
anzidetti,
relativi
alla valutazione
de|a
resistenza
ei
materiari
delle
azioni
esterne.
L'obiettivo
delle verifiche
di
sicurezza
di mantenere
a
probabilità
di
raggiungimento
ello
stato imiter
considerato
ntro il
valore
prestabilito
n
relazione
al
tipo
di
costruziole preso
in
esame,
alla
sua
influenza
sulla
incolumità
delle
persone
ed
alla
prevista
durata ài esercizio
9.3.
Le
verifiche
di
sicurezza:
i valori
caratteristici
ed i valori
di
calcolo
Per
poter
effettuare,
sulla
base
di
quanto
esposto,
e verifiche
agli
stati
limite
ultimi
ed
agli
stati limite
di
esercizio,
occorre
partire
dalle
potesi
di
carico,
e cioè
conoscere reventivamente
e
azioni'-F-
da
considerare
ene
'
I
pdncipali
criteri
n
baseai
quali
si
può
scegliere
are
probabilità
sono
di
diversa
natura:
cÍiteri
economici,
essenzialiuando
si rratta
ad
es.di valutare
'impossibilità
di riutiliz_
zo
della
costruzione er
un certo
periodo,
ma non
esclusivi uandoia
scelta
el ivello
di
sicurezza
uò
mettere
n
gioco
dellevite
u-ane.
Da
essi
caiuiisce
inozone
rmportan_
te.di
di
progetto
di una
costruzione;
criteri
-analogici,
he
possono
onsentire
a scelta
del
grado
di
sicurezza aragonandolo
ai.riqultati
sservati.e
l le
regole
mmesse
n
altri cimpi
a.ifì i"g.e;.riu;
cnrtn
gtundtct.
he tevono
ercare
i
adeguarsi
empre iùallaconcezionerobabil isti_ca, svincolandosi alla forte caricadeterministica i
iui oggi
risentono
e leggi
e
le
sentenze,
tenendo
presente
he l limite
tra
errore
ed approis-imazione
on
puó
ess"re
netto
e 'efiore
ed l
caso ntervengono
pesso
imultaneàmente
n
quasi
utti
gìi
nciden_
criteri
morali,
l
cui
apporto
è ess€nziale
n
quelle
decisioni
he
possono
mettere
n
gioco
vlte
umane.
,.
Sono
questi
principi
sui quali
si
inseriscono
uLti
tental ivi i i t
modernt
i normariva
vrl lo
lnternaztonale
.sui
quali
si r i t iene
ogico
basare
nche
l regolamenro
tal iano.
..^_,Ìl , i lo',.u":or..,.aaone
qt
ogni causa
i insieme
i
cause
carichi
ermanenri,
arichi
vanaorl '
oerormazlonr
mpresse,
tc.)
capaci
i indurfe
stati imite
n
una
srruttura.
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Lq sícurezza
strutturale
263
verifiche,
al
fine di
determinare
e sollecitazioni'
S
nei vari stati
imite'
Tali
azioni
possono
osì
classificarsi:
-
azioni
dirette
(forze),
suddivise
n carichi
permanenti
peso
proprio
ed
altri
carichi
fissi)
e carichi
variabili
(carichi di esercizio,
ento,
sisma,
-
azioni
indirette
(deformazioni
mpresse)
uali
ad es'
variazioni
termi
che,
ritiro,
presollecitazioni, tc.;
-
azioni
di carattere
himico-fisico
dovule
ad agenti
atmosferici,
enome-
ni aggressivi,
tc.
L'adozionedel metodosemiprobabilistico revede, anto per le azioni
quanto
per
le resistenze,
he:
-
vengano
ntrodotti
i cosiddetti
valori
caratteristici,
owero
le resistenze
caratteristiche
o e le
azioni caratteristiche
Fr;
-
vengano
rasformati
ali
valori caratteristici
mediante
opportuni
coeffi-
cienti
"r-
e
"y,
n
valori di
calcolo,
e
più precisamentee resistenze
e n
R "
resistenze
i calcolo
no:
-
,
e
le azioni
F*
in azioni
di calcolo
F o = y . F p |
-
vengano
onfrontati
fra di
loro
i ,
verificando
che
e
sollecitazioni
di calcolo
non superino
quelle
compatibili
con
lo stato
limite
considerato.
Per
quanto
riguarda
e dimensioni
geometriche, moduli
elastici
E
e
G)
dei mateiiali
ed
i coefficienti
di dilatazione,
essi
possono
essere
onsiderati
come
parametri
da valutare,
n
prima
approssimazione,
u
basedetermini-
stica.
Viene
noltre definito
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264
Teoriq
e tecnica
delle
costruzíoni
R r = R . - K s
(e.1)
dove:
R.
=
resistenza
media;
S
=
scarto
quadratico
medio;
K
=
coefficiente
he
dipende
dalla
probabilità
prefissata.
er
il
valore
pri_
ma
ndicato
e
con riferimento
ad una
distribuzione
tatistica
ormale
si ha rK
:
1,64.
(e.3)
Per
quanto
riguarda
i
valori
caratteristici
delle
azioni
esterne
e delle
deformazioni mpresseFo e F,o,essi sono i frattili di ordine 0,95 e 0,05
rispettivamente
elle
relative
distribuzioni
statistiche.
Valgono
quindi,
le
relazioni:
F k = F , , + K S
(9.2)
F L = F ^ - x s
dello
stessoipo
della
(9.1),
con a
differenza
che n
questo
aso a
valutazio_
ne deicoefficienliK e K,, chedipendonodalledistribuzioni n esame, resa
difficoltosa
dalla
mancanza
i
dati
statistici
specifici.
euali
valori
caratteri-
stici delle
azioni
si assumono
allora,
in
generale,
valori
nominali
indicati
dalle
normative
specifiche,
ermo
restando
a
possibilità
di
aggiornamenti
sulla base
delle
definizioni
ora riportate
e di
adeguate
sservazioni
tatisti-
che.
Come
già
detto,
i valori
di
calcolo
della resistenza
,
e dell'azione
F,
si
ottengono
dai valori
caratteristici
mediànte
e relazionii
R ,
R o
=
i i F a :
" b . F *
dove
7.
dipende
dallo
stato limite
considerato,
dal materiale
e
dalle
sue
condizioni
di
produzione
e di impiego,
mentre
T/
dipende
dallo
stato imite
in
esame,
alla
combinazione
ei carichi
considerata
dal
modello
di
calco-
lo
desunto,
come
sarà
meglio
precisato
nel
paragrafo
che
segue.
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10/291
La sicurezza
struttursle
265
9.4. Le combinazioni
di carico
e I'analisi delle
sollecitazioni
La valutazione elle sollecitazioni a fatta considerando pportune
combinazioni
delle azioni esterne;
n
particolare
nei
calcoli
allo stato
imite
ultimo
va fatto
riferimento alla seguente
ombinazione:
F a
=
^ t sG t ̂ t pP k
t lO , ,
+
(r tr",O,))
(e.4)
essendo:
G, il valore caratteristicodelle azioni permanenti;
Pk il valore caratteristico
della eventuale
orza di
precompressione;
Q,r
il
valore caratteristico
dell'azionedi
basedi ogni
combinazione;
Qn
i
valori caratteristici
dellealtre azioni
variabili tra
loro indipendenti;
ú",
i
coefficienti
di combinazione
llo
stato
limite ultimo.
I coefficienti
7,,
7e
e
74
sono
presentati
ella abella9.1
mentre coeffi-
cienti
y'", ella abella
9.2; n
particolare
coefficienti
ú,i
tengono
conto della
più piccola
probabilità
che
hanno
massimivalori delle
altre azioni
di essere
contemporanei l massimovalore dell'azionedi base.
Tabella9.1
(si
assumono
valori
fra
parentesi uando
isultano
piir
sfavorevoli
ai
fini della
sicurezza)
Coefficienti
y,
stato
imite ultimo
stato
imite di esercizio
"lc
0.85
1.20)
0.85
1.20)
^t,1
1.50 0) I
Si osservi he
nel cemento
armato ordinario
(&
=
0) ed in
presenza
i
una
sola azione
variabile
Qrla
(9.4)
fornisce:
t
Fa
=
1.5 Gk +
1.5
Qk
(e.5)
Con riferimento
nveceallo stato
imite di esercizio
anno considerate
e
seguenti
ombinazioni
elleazioni:
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11/291
266 Teoria e
tecnica delle costtuzíoní
F a : G r ' l P r I
-
frequenti:
F a : G t + P k + " ! , \ Q k
-
quasi permanenti:
( ú , i Q * \
( ú n Q u \
Fa: Gt +
Pr
+
I
\ !z ,Q* )
o-. + \-
+ !
z )
(e.6)
/o ?\
(e.8)
essendo
,,
e
ry'r,
coefficienti
di combinazione
di tabella
9.2. In
pratica
il
valore
!'r,Q,r
calcolato
n modo che
non vengasuperato
per
il 9590della
vita
della
struttura,
mentre l
valore
l.,
,Q,r
n modo che
non vengasuperato
nel 5090della
vita della struttura.
Tabella 9.2
Nel caso
di civile abitazione
con struttura
in
cemento
armato ed
unico
carico
variabile,
i
ha dunque:
-
combinazione
ara:
F o = G e * Q s
-
combinazione
frequente:
Azione
úo
,!,
Carichi variabili
nei
fabbricati
per
abitazione
0,7
0,35 0,2
0,7
0,6
0,3
0,7
0,7
0,6
Vento, neve
0,7
o,2
0
(e.e)
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12/291
Ls sicurezza
sf utturale
267
Fa
=
Gt' + 0'35
Qk
-
combinazione
quasi permanente:
(e.10)
F a : G * + 0 . 2 8 *
(e.1
)
Valutate
le azioni agenti,
l'analisi delle sollecitazioni
viene condotta
generalmente
n
campo
ineare.
Ciò naturalmente
ntroduce nelle strutture
iperstatiche
n'approssimazione
n
quanto
e non linearità
presenti
nel
pro-
blema
anno
variare l risultato,
introducendouna
ridistribuzionedelle sol-
lecitazioni.
In
pratica
se utte
le sezionisono
progettate
allo stato
limite ultimo
la
ridistribuzione
attesaè
piuttosto
modesta, n
quanto
è connessa
lla sola
variazione
di rigidezzadovuta
alla fessurazione
egli elementi;
a meno di
quest'ultimo
enomeno utte
le
sezioni
giungono
alla crisi
pressoché
ontem-
poraneamente,
enzaalcuna
possibilità
di ridistribuzione.
Diversoè
l
caso
dellestrutture
volutamente
rogettate er
avere
idistri-
buzione;
ad esempio ale tipo
di
progettazione
consentita
elle ravi conti-
nue,doveè
possibile
idurre l
momentodi
progetto,
aumentando
momenti
nelle altre sezioninel rispetto dell'equilibrio; ciò a patto che a sezione i
progetto
abbia
i necessari
equisiti di duttilità, owero
che n condizioni
di
crisi
possa
sviluppare
sufficienti curvature
n campo
plastico.
A tal
fine è necessario he
le sezioni
vadano in crisi con
I'acciaio in
condizioni
di accentuata
eformazione
lastica;questa
condizionesi
mani-
festa,comesi
vedrà
nel
capitolo
10,
per piccoleprofondità
dell'asse
eutro a
ro[ura.
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
13/291
r
apitolo
decimo
Stato imite
ultimo
per
tensioni
normali
10.1.
Generalità
La
verifica
strutturale
può
essere
ondotta
con
riferimento
agli stati
imi_
te n
alternativa
l metodo
delle ensioni
ammissibili.
n
base
a
quanto
detto
nel
capitolo
precedente
i valutano
e
azioni
di
progetto
F, e le
conseguenti
sollecitazioni
i
progetto
So.
D,altra
parte,
con riferimento
allo
stato imite
considerato,
ltimo
o di esercizio,
i valutano
e resistenze
i
progetto
Rd
del_
l'elemento partire
dalle esistenze
i
progetto
dei
materiali.
La
verifica
con_
sisten definitiva
nel
constatare
heRo
)
Sa.Nel
presente
apitolo
si analizza
to
stato imite
ultirno
per
tensioni
normali,
mentre
nei
capitoli
che
seguono
i
valutanoaltri stati imite ultimi e di esercizio ignificativi.
L'influenza
del
taglio
sulle
condizioni
di rottura
per
flessione
emplice
flessione
omposta
viene
generalmente
rascurata.
La rottura
per
flessione
semplice
o composta
si raggiunge
quando
si
verificano
e
seguenti
ondizioni
ndipendenti:
a)
eccesso
i deformazioneplastica
nell'acciaio
eso:
b) schiacciamento
el
calcestruzzo
er
flessione;
c) schiacciamento
el
calcestruzzo
er
compressione;
La
condizione
) si attinge
convenzionalmente
uando
a
deformazione
specifica
ell'acciaio
eso aggiunge
l valore
del l0goo. e condizionib) e c)si attingono rispettivamente uando la
deformazione
specifica
del
calce_
struzzo
è
pari
al 3,5%o
d,
al 2Voo.
10.2. potesi
di calcolo
Il
calcolo
è condotto
nella potesi
che e
sezioni imanganopiane
ino
a
rottura,
di modo
che l
diagramma
delle
deformazioni
specifiche
ella
sezio_
ne
si conserva
ettilineo.
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8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
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Stqto límite ultímo
per
tensioni
normalí 2'Ìl
I
Figuru 10.2
coefficiente i materialedell'acciaio,maggioredi 1. In tale diagramma cfr.
fie. 10.2), e
deformazioni isultano
così
imitate:
-
allungamento
pecificomassimo
pari
al 10%o
-
accorciamento
pecifico
massimo
pari
al 3,5%0.
10.3. Campi
di rottura
In virtù
delle imitazioni
indicate
per
le
deformazioni
del
calcestruzzo
dell'acciaio
i
possono
ndividuare
sei diverse egioni
nelle
quali
potrà
tro-varsi a retta di deformazione:n altre parole l diagrammadelle deforma-
zioni
specifiche
nella
sezione
può
sostanzialmente
ssere ompreso
nelle
regioni ndividuate
nella
fig. 10.3.
Tale figura
è costruita iportando
al lembo
superiore
ompresso
valori
limite
della deformazione
pecifica
del calcestruzzo,
ari
come
già
detto
al
2rftro
d al 3.5fto
rispettivamente
nel caso
di compressione
emplice
e di
flessioneemplice
composta.
In
corrispondenza
ell'armatura
esasono noltre
riportati
i valori della
massima
eformazione
mmissibile
di
quella
e,,corrispondente
lla
tensio-
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16/291
272 Teoriq
e tecnica delle costruzioni
,t Fígurs 10.3
ne
di snervamento ell'accìaio;
ale deformazione
,,è
quella
cui corrispon-
de la
tensioneoor.
Si
qossono
osì ndividuare e
seidiverse egioni
nelle
quali
saràcompre-
sa la retta delle deformazionisoecifiche:
-
Regione
1 Le rette
di deformazione
ppartengono d
un fascio
pas-
sante
per
l
punto,4
mentre a
distanzadell'asse eutro
dal
lembo
compresso
otrà
variare ra
-o
e 0. L'armatura
è
tesa con la massima
deformazione
plastica
ollerabile
e
cioè
possiede
n allungamento
pecifico
pari
al
10%0.
s-
sendo utta la
sezione esa
sarà
questo
l caso
di trazione
semplice
o composta.
Le rette di deforrnazione ppartengono ncoraad un fa-
scio
passante
er
il
punto
A, rÍentre la
distanzadell'asse
neutro
dal lembo compresso
otrà
variare
da 0 a 0,259h;
per
tale ultima
posizione
dell'asse eutro
si attinge nfatti
la deformazionemassima
el
calcestruzzo ompresso
ari
a 3,5%o ome
si deducedalla
similitudine:
- Regione2:
h
3sW
.
3 ,5* .
|
2%.
I
l*-*1
3,5%o 10%o
=
0,259h
(10.4)
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- Regione :
Sîato limite ultimo
Der
tensioni normoli
2'73
La sezione
isulterà n
parte
tesa ed
in
parte
compressa
quindi
sarà sollecitata
a flessione empliceo
composta.
Le rette di deformazioneappartengono d un fasciopas-
sante
per
l
punto
B mentre a distanza
dell'asse eutro dal
lembo compresso
arierà fra 0,259
h
ed
1l
valore
x",,,.
La
posizione
imite dell'asse
eutro /,, è legata
alla deforma-
zionespecifica
alla
relazione:
3,5%o
- ' tt,
3,5%o
-t
e
o,
Poichéè d'altra parteper l'acciaio:
oo.f ooÍ
-or
Et
2.1
x 106
la
(10.5)
diventa:
0,003s
o^.
0 . 003s; x r0 '
(10.5)
(10.6)
h
=
Eri^h
(10.7)
I valori del coefficienre
,,.
sono
iportati nella abella
10.1
in funzione della
tensionedi calcolo
o,r.
Tabella
0.l
La
massima ensione
nel
calcestruzzo
n
questa
egioneè
pari
a
quella
di
rottura di calcoloo,",
mentre 'armatura
è
ancora
deformata
n
campo
plastico.
In tale
dominio la sezione
è
quindi
ancora sollecitata
a
flessione emplice
composta.
2200
-:----=
I , l )
220Q
-
I , J
3200
t , s
3200
-
3800
-:--:=
I , l J
3800 4400
1J5
4400
-
t . .
0,7430, 8130,'725
0,749 0,689 0 ,7 t5
0,657 0,685
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Stato limite ulÍimo
Der
tensioni nomali 2'75
M
a - - - - -
l D
I
I
"x
N o
N
Figura 10.4
ipotizzando na
posizione
dell'asse
eutro x
e
calcolando o
sforzo
normale
di
rottura N,
ed
il momento corrispondenteM"
=
N"
.
e essendo la
distanzara il
punto
di applicazione
,
e
ì'armatura
esa'.
Fissatotinfattiun
valore
della distanzadell'asse
eutro
dal
lembo
com-
presso,
isulta altresì
nota la regionenella
quale
a
sezione
iene
a trovarsi
nellecondizionidi rottura: ciò significa che risulta nota la deformazione
specifica
massimadel
calcestruzzo
dell'acciaio eso.
Infatti
nella regione I
e
2
come
già
detto, l'acciaio teso
possiede
na
deformazione pecifica
ari
al 10%o entrenelle egioni 3, 4 e 5 il calcestruz-
zo
possiede
na deformazione pecifica
del 3,5%0. ota l'una
o
I'altra delle
duedeformazionispecifiche, d avendo issatauna
posizione
dell'asse
eu-
tro,
risulta
completamente
ndividuato l diagrammadelledeformazionidal-
la condizionedi congruenza
fig.
10.5):
'
Nellascritturadelleequazioni he
reggono l
problema
conviene onsiderare
'equilibrio
alla otazionentomo all'armatum tesa.
Poiché
generalmente
l momento
è
valutato ispetto
al baricentro
geometrico
della sezione msversale,
nteressamaggiormentel momento di
rottura
iferito
a tale
punto.
Essovale:
M..
U,o
=
i
G
-
tc
+
c\
=
N,
(e
-
xc
+
c)
essendo
úo a distanzadel baricentro
geometrico
dal lembo di calcestruzzomaggiormente
teso.
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20/291
276
Teoria e
tecnics delle costruzioní
i o ( t l
L'equilibrio alla
traslazione
quello
alla rotazione
ntorno al baricentro
delle armature tesepermettono nline di conoscereo sforzo normale di
rottura
N, ed l momento
corrispondente,ispetto
alle armature
ese,
À/,e.Si
ha così:
N,,
=
+
A,oi
-
A,oÍ
(10.e)
f-
M , = N , ' s = | b ( y \ o ( y ) ( h - x + y ) d . y A ' p i @ - c ) ( 1 0 . 1 0 )
'Jo
dove
a o(y) sarà
ornita dalla
(10.2)
owero
dalla
(10.3)
a seconda he
a
e"
sarà minore
o
maggioredel
2(mn
otendosi
porre
attraverso
a
(10.8):
E"
ty e'1
eî
1
r
y
x - c
h - x
lou"'"t"0'
(10.8)
v
€ ( ) )
(10 .11)
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21/291
Stato limite ultimo
per
tensìoni normqli
277
10.5.
Metodo
semplificato di calcolo: diagramma
delle tensioni
nel
calcestruzzo
a blocco
Un metodo di
calcolo semplificato,suggerito
da
varie
normative
ecni-
che,
consiste
ello
schematizzarel
diagrammadelle
ensioninel calcestruz-
zo
come ettangolare
on tensioni
pari
alla resistenza
i calcolo
e
profondità
pari
a 0,8 volte I'asse
eutroa rottura' .
Figura 10.6
Net
iaso di sezione otata di asse i
simmetria e equazioni
di equilibrio
fornisconoevidentementefig. 10.6):
N , = o . y ' " + A t o ' t - e r o ,
M,
=
N,. e
=
o*5,
+
Aroî(h
-
c)
(10.12)
(10.13)
avendo ndicato
con A" I'area della sezione
di calcestruzzo
ompressa
di
altezza ,8
x) e con S. l momento
staticodi.,4" ispetto
all'armatura esa. n
presenza
i sezione ettangolare e
(10.12)
e
(10.13)
si semplificano n:
N,
:
o*b 0,8 x
+ o74
-
olr
(10 .14)
'
Tale metodo
è
giustificato
dal fatto che, nelle
sezioni ettangolari,usando l
simbolismo
che
er rà
nt rodot toe l
par .
10 .6 ,per t>0 ,259s iha l ' :0 ,8095=0.8e) ,=0,416=0,4 .
In ogni
caso
per
valori
diversi di
f
l'errore
che si commettecon I'assunzione
emplificata
dsulta molto
piccolo.
Per sezioni iverse a
quelle
ettangolari
'assunzione
onsente'analisidel comportamento
ultimo in
modo agevole, fornisce
quindi
un utile strumento
progettuale.
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22/291
278
Teoria e tecnica delle costruziont
M,: o*b 0,8x
(h
-
0,40 r)
+
o74"(h
-
c)
(10 .15)
Nell'utilizzare
e
(10.12)
+
(10.15)
l significato
delle
regioni
ntrodotte
in precedenzaienemeno.Nelle(10.12)+ (10.15)
i
pone
n
genere
',
=
6"r,
mentre l valore
di o, dipendeda x", risultando:
o,
--
o.,
per
x"
2
xr^
(10.16)
10.6. La
sezione ettangolare
.
Nel
seguitosi analizza n dettaglio
l caso della
sezione ettangolare,
tanto n terminidi progettoquantodi verifica.
10.6.1.Le regioni
di rottura
Si riportano
qui
di seguitoe equazioni
10.8),
10.9) (10.10)
pecializ-
l .
o
' l
Fìguro 10.7
-
Regione1:
(trazione
sempliceo composta).
Si ha
(fig.
10.7):
rettangolare
con
,_u
H
l ' ' l
t l
, /,=",".1
f -
zate
al caso di sezione
t
il-"-l
I l
l l
A f
I
N,
=
A,o",
+
A,o'1 (10.17)
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
23/291
M , = N , . e = A t o i @ - c )
e l = o , o r l l j
x + n
Stato limite
ultìmo
per
tensioni
normali 2:79
(10.18)
(10.19)
Ed inoltre:
o
=
Zte't, se isultae't
< e.t:
owero:
o'r
--
ox, se
isultae,r. ej'
(
109t0.
-
Regione
:
(Flessione
emplice
composta).
Figura 10.8
Si ha
(fie.
10.8):
9=
' ' t
-
o 'o lo
x x - c
h - x
(10.20)
(
\
o0)
aY
3 ,5 % .
N"
=
b +
A
to'r
-
Ayo"'
=
xb o,"tl
+
,l
,o|
-
Ato"t
(10.21)
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
24/291
280 Teoria
e tecnica
delle costruziont
M " : l r l , . s = g
(h
-
x
+
y)
dy
+
A'1oi(h
=
xbo.J'(h
M)
+
A,oi(h
-
c)
avendo atto
le
posizioni:
f
",,,
- v ) d v
-
c )
=
(10.22)
(10.23\
(10.24)
f"
I
o0)
aY
o.J
'|
f"
ì
"(Y)
'
" 0
lo,,r,
,
Il
coefficiente
rappresenta
uindi
l
rapporto
ra
I'area
effettiva
del
dia_
grammadelle ensioninel calcestruzzo I'areadel diagramma ettangolare
o,.r,
mentre
la
grandezza
ÀJú appresenta
a
distanza
del
baricentro
del
diagramma
delle
ensioni
del
calcestruzzo
al lembo
superiore
ella egione.
I coefficienti y'
tr
sono iportati
nella
abella
10.2
n funzione
della
distanza
dell'asse
neutro
dal
lembo
compresso,
uest,ultima
apportata
all'alfezza
utile della
sezione
mediante
l coefficiente
adimensionale
=
f.
Si aeve
n
ancora
ilevare
che
per
valori
piccoli
di x il
contributo
delle
armature
com-
presse
elle
10.21)
(10.22)
uò
generalmente
rascurarsi.
a
tensione
í
dell'armaturacompressa uò comunquedeterminarsin funzionedella ei
ricavata
dalla
(10.20),
enendo
presente
a
schemalizzazione
ssunta
oer il
diagramma
-
e dell'acciaio.
-
Regione
3:
(Flessione
emplice
o
composta).
Si ha
(fie.
10.9):
c t "
_
- I
_
ì '
x - c
h - x
0,0035
(10.25)
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
25/291
Stoîo
imite
ultimo
per
tensioní
normali
281
Nu
=
0,8}95bxoo"
+
A
7o"1
Af"t
Nu. e = O,8195bxo,"(h 0'416 ) + Ar4'r@ - c)
iempre,
in regione
3:
r/
=
0'809s
I
=
0,416
(r0.28)
e" .0,0035
o.c
.
Figura
10.9
'
Si.osservi
he
nel
calcestruzzo
i
sviluppa
per
intero
il diagramma
p.t-"Uotu:..tt*gqlo,
e
chq
'acciaio
compresso
sollecitato
lla
resistenza
i
'calcalo
opr'.
:r
Rectone
4:
(Flessione
emplice
composta)'
Siha (fig. 10.10)
l-
-i
n+1
ì
{
{
-
g
,
(r0.2ó)
00.n)
(10.29)
I
t
-r
0,003
ei
er
x .
x - c
h - x
!
Ipotizzando
infatti
e1
=
0.159
x O,ú35/O,259
x
=
0,259
=
0,W21
>
h e
c
=
O , l Q
h , d a l l a
( 1 0 ' 2 5 ) s i
ricava
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
26/291
282 Teoria e tecnico
delle costruzioni
Tabella
10.2
E ,l'
À
0,0800
0,37178
0,34746
0,0900
0,41299
0,34978
0,1000
o,45267
0,35227
0 ,1100
0,49068
0,35495
0, 200
0,52686
0,35784
0,1300
0,56r06
0,36097
0,1400
0,59312
0,36436
0,1500
0,62284
0,36806
0,r600
0,65004
0,37209
0,1667
0,66674
0,31502
r
0,1700
0,67451
0,37652
0,1800 o,69629 0,38126
0,1900
0,715'79
0,38611
0,2000
0,73333
0,39091
0,2100
0,74921
0,39559
0,2200
o,76364
0,4001
0,2300
0,77681
0,40444
0,2400 0,78889 0,40857
0,2500
0,80000
0,41250
0,259
0,80927
0,41587
0,2593
0,80953
0,416
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27/291
Stoto limite ultimo
per
tensioni normali
281
e"
=
0,0035
Deformaz ion i
Tens ion ine l
calcèstauzzo
Figwa 10.10
N,:0,8095bxo"" +
A
10"7
Aro'
(10.30)
Mì=
N,. e
=0,8Ù95bxo,"(h
0,416x)
+
Ato"t(h
-
c)
(10.31)
essendo empre
alide e
(10.28)
anche
n regione4. Infatti
anche
n
questa
regione
si
sviluppa
per
intero
il
diagramma
parabola-rettangolo
el calce-
struzzo,
mentre a rottura si verifica
per
schiacciamento
el
calcestruzzo
a
con armatura
esa n fase elastica
(rottura
fragile>).
-
Regione5:
(Flessione
empliceo composta).
Si ha
(fig.
10.11):
F-l-|
f - l
l ^ ' l
t l
l - 5 |
M,
=
N,. er
=
O,8095bxo."(0,416xc)
+
Agt(h
-
c)
(10.34)
avendo
iferito
questa
volta il momento ultimo
M,
all'armatura superiore
Ai. Anche
per questa
egione isultano ancora valide le
(10.28).
0,0035_ , î _ er
x x - c
t - i
N,
=
0,8095bxo." A
io,,
+
Aro,
(10.32)
(10.33)
A:ra"l
€ r
S a o t
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28/291
E5 voo
284
Teoris
e tecnica
delle
costruzioni
. b l
r---ì +
II-IFT
I , ' l l , l
l t t l
| | g t J = r
f
Deformazioni Tensioni
nel
calcestfu
zo
Figura
I0'11
=
Regione
6:
(Compressione
emplice
o
composta)'
Si
ha
(fie.
10.12):
0,0020
=
,!
=
x - 3 / 7 H
x - h
N , = b H o . " { + A t o x
e' t
x - c
-
Aft
(10.35)
(10.36)
F 4 ,
Tl
"j+
l t l
l ' l l
- t l
3 l + .
T
Ec<
3,5 %o
Figurs10.12
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
29/291
Stato
imíte
ultimo
per
tensioni
normali
285
M,
=
N, 'e r
=
bHo" "Ú( \H
c )
t
A
ro r (h
c )
(10 '37 )
Icoeff ic ient iÀe/variano, inquestaregione,conlaposiz ionedel l 'asse
neutro
e sono
riportati
in tabella
l0'3
in
funzione
del
rapporto
g =
I'
Anche
per
a
regione
6,
come
per
a
5, il
momento
ultimo
è stato
iferito
al-
l'armatura
superiore
4
.
Tabella
10.3
coefficienti
ú
e \
nella
regione
ó
E ,1,
À
t
',, À
I ,00
0,80953
0,4r59' 7
1 , 6 5
0,95831
0,48446
1,05
0,83894
0,43144
I , 70
0,96153
0,48571
1 , 1 0
0,86204
0,44284
0,96438
0,48681
I , l 5
0,88049
0,45r53
1,80
0,96693
0,487' 79
r)o
0,89548
0,45832
I ,90
0,91127
0,48944
1 , 2 5 0,90'782
o,463'74
2,00 0,9'7 81 0,49007
1 ,30
0,91809
0,46814
, ) \
0,98125
0,49318
| 1 5
0,92674
0,47171
2,50
0,98551
0,494'7
I ,40
0,93409
0,4'7
80
) 1 \
0,98846
0,49583
1 4 5
0,94039
0,47736
3,00
0,99059
0,49661
1,50
0,94583
0,4'7954
3 ,50
0,99341
0,49' 763
1 5 5
0,95054 0,48142
4,00
0,99513 0,49825
I
,60
0,9546' 7
0,48304
5,00
0,99' 702
0,49893
>
5,00
I,00000
0,50000
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30/291
-
286 Teorìa
e tecnìco
delle costruzioni
10.6.2. Il
progetto
della sezíone
rettangolare
inflessa
Il
progetto
della sezione
ettangolare
nflessa
può
condursicon le stessemodalità operativedel metodo
delle
ensioni
ammissibili
cft. par.3.2.2.\.
Considerando
ad
esempio l
caso di
sezione on
semplice
armatura,
e
definendo
comeal
solito a
profondità
dell'asse
eutto
a rottura nel
seguen-
te modo:
l'equilibrio
alla rotazione
rr;;
l'*."rura
tesa ornisce:
M, = bh2o.",trE\ - ì't) = bh2o""c
avendo
posto
(cfr.
eq.
(3.31)):
c = ú É ( 1
_ À f )
Si ricava
dunque:
M " = o y ' t ( h - > w " )
da
cui
(cfr.
eq.
(3.35)):
A t =
=
or4/(l
-
^t)
=
oy'rr
(10.38)
(10.39)
(10.40)
(1
-
Àg)
(10.43)
h =
(10.41)
con
la
posizione
cfr.
eq.
(3.33)):
(10.42)
Analogamente,
acendo
'equilibrio
alla rotazione
ntorno
al
Dunto di
applicazione
ello
sforzo di
compressione
i ha:
,t"
,
orr(
-
N)
=
t
1[a
"u
(10.44)
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31/291
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32/291
288 Teoria e rccnica delle costruzíoni
Tabelta O.4
-
o-
=
Il0 kg/cm2
/
(per
diversi
valori
di o"', i\ kg/cm")
t
oo;.3000
KP/Cm
3200 3400 3600
1800
4000
0,08 0,5607 0,00061 0,00057 0,00054 0,00051 0,00048 0,00046
0,09 0,5025 0,00068 0,00064 0 ,00060 0,00057 0,00054 0 ,00051
0 , 1 0 0,4562 0,00076
0 ,00071 0 ,00067 0,00063 0,00060 0,00057
0 , 1 I 0,4187 0,00083 0,00078 0,00073 0,00069 0,00065 0,00062
0 , t 2
0,3876 0,00090 0,00084 0,00079 0,00075 0,0007 0,00067
0 , l 3 0 ,3616 0,00097 0,00091 0,00085 0,00081 0,00076 0,00073
0,14 0,3391 0,00103
0,00097
0,00091
0,00086 0,00082 0,00078
0 , 1 5
0,3209 0,0 01l0
0,00r03
0,00097 0,00092 0,00087 0,00082
0 , 1 6 0,3049 0,0 0116
0 ,00109 0 ,00103 0,00097 0,00092 0,00087
o,t'7 0,2910 0,00122 0,0015 0 ,0 0r 08 0,00102 0.00097 0,00092
0 , r8
o,2791 0,00128 0,00120 0 ,001l 3 0,00 07 0,00101 0,00096
0 , 1 9 0,2686 0,00134 0,00126 0 , 00 11 8
0,00112 0,00r06 0,00100
0,20 0,2593
0,00r 9 0,00r3 0,00123 0,001 l6 0,001100,00105
0,21 0,2510 0,00145 0,00136 0,00128
0,00121
0,00114 0,00109
0,22 0,2436 0,00150
0,00141
0,00132
0,00r25 0,001180,001r3
0,23 0,2449 0,00155 0,00145 0,00137 0,00129 0,00123 0,00116
0,24 0,2307
0,00160
0,00r 0 0,00r41
0,00r33
0,00126
0,00r20
0,25 0,2251 0,00165 0,00r 5
0 ,0 01 46 0 ,0 0t
8
0,00130 0,00124
0,26 0,220r 0,00170 0,00159 0,00150 0,00142 0,001340,00127
0,27 0,2t65 0,00173 0,00163
0,00153 0,00145 0,00137 0,00130
0,28
0,2131 0,00177 0,00166 0,001560,00148 0,00140 0,00133
0,29 0,2098 0,00181 0,00169 0,00159 0,00151
0, 00141 0 , 00 13
0,30 0,2068
0,00184 0,00173 0,00162 0,00153 0,00145 0,00138
0,32 0,2012 0,00191 0,00179 0,00169 0,00159 0,00151 0,00143
0,34 0,1961 0,00198 0,00186 0,00175 0,00165 0,001560,00148
0,36 0 , 1 9 1 5 0,00205
0,00192 0,001810,00171 0,00162 0,00154
0,38 0, l8?4 0,0021l 0,00198 0 ,00186 0 ,00176 0 ,00167 0 ,00158
0,40 0,1835 0,00218 0,00204
0,00192
0,00182
o,oot'720,00163
0,42
0,1800 0,00224 0,00210 0 ,0 01 98 0,00r 7 0 ,0 01 77 0, 00 16 8
0,44 0,1767 0,00231 0,0021ó 0,00204
0,00192 0,00182 0 ,0 01 73
0,46
0,1718 o,00237 0,00222 0,00209 0,00198 0,00187 0,00r 8
0,48 0 , 1 7 1 0 0,00244
0,00228 0,00215 0,00203 0,00192 0,00183
0,50 0 , r684 0,00250 0,00234 0,00221 0,00208 0,00197
0,00187
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
33/291
Ststo limíte
ullitl|o
per
lensioníno nali 289
Tabella
10.5
-
o,,
=
l3O kg/cm2
t
o,/:3000
kg/cm'
3200 3400
3600 3800 4000
0,08
0,515 0,00066 0,00062
0,00059 0, 00055 0,00052 0,00050
0,09 0,4623
0 ,00 074 0,00070 0,00066 0,00062 0,00059
0,00056
0 , 1 0 0,4t91 0,00082 0,00077
0 ,00073 0 ,00069
0,00065 0,00062
0 , 1 1 0,3851
0,00090 0,00084 0,00079
0, 00075 0,00071 0,00068
0,12 0,3566 0,00098
0,00092
0,00086 0,00081 0,00077
0,00073
0 ,1 3 0,332'7
0,00105 0,00099 0,00093 0,00088
0 ,00083 0 ,00079
o, t4 0,3t24 0,00112 0,00105
0,00099
0,00094 0,00089 0,00084
0, l5
0,2952 0,00120
0,00112
0,00105 0,00100
0,00094
0,00090
0 , 1 6
0,2804 0,00r26 0 ,0 01 18
0 ,00112 0 ,00105
0,001000,00095
0 , 1 7
o,26't'l
0,00133
0,00125
0 , 0 0 1 1 7 0 , 0 0 1
1 0,00105 0,00100
0 , 1 8 0,2567 0,00139
0,001I 0,00123 0,001160,001r0
0,00105
0 , 1 9
0,247
0,00146 0 ,001370,00128
0 , 00 12 1 0 , 00 1t 5 0,00r09
0,20 0,2385 0,00152
0,00t42 0 ,0 01 34 0,00 26 0,00r
0 0,00114
0,21 0,2309
0,00r7 0,00148 0,0 01390, 00131
0,00124 0,00r8
0,2241 0,00163 0 ,00153
0,00144 0 , 00 13 6 0,00129 0,00122
0,23 0,2179
0,00169 0 ,0 01 58
0,00149 0,00141 0,00133
0,00t2'7
0,24 0,2122 0,00114
0 ,00 1 63 0 ,0 01 5 4 0 ,0 01 45 0,001370,0013
0,25
0,20'7 0,00179
0,00168
0,00158
0 ,0 0t 5 0 0, 00142 0,0013
0,26 0,2024
0,00185 0,001730,00r63 0,001540,00146
0,00138
0,21
0,1991
0,00189 0,00177 0,00166
0 ,00157 0 ,00149 0,0014
0,28 0,1960 0,00193
0,00180 0,00r 0 0 ,0 01 60 0, 00 15 2
0,00144
0,29
0,1930
0,00r 6 0,00r 4 0,00173
0,00164 0 ,0 01 55 o,0014'7
0,30 0 ,1902 0,00200
0 ,0 01 88 0 , 00 17 7 0,00167 0,00158 0,00150
0,32
0 , 1 8 5 1
0,00208 0 ,00195 0 ,00183
0 .0 01 73 0,00164 0 ,0 01 56
0,34
0,1804
0,00215 0,00202 0,001900,00179
0, 00170 0 , 00 16 1
0,36
0,r762 0,00223
0,00209 0 ,00196 0,001850,001760,00167
0,38 0,t'723
0,00230 0,00215 0,00203 0,00191
0,001 81 0,00t '72
0,40 0,1688
0,00237
0,00222
0,00209 0,00197 0,001870,00178
0,42 0,1656
0,00244 0,00229 0,0 021 50,00203
0,00193 0,00183
0,44 0,t626
0,00251
0,00235
0,00221 0,00209 0,001980,00188
0,46
0,1598 0,00258 0,00242 0,00228 0,00215
0,00204 0 ,00193
0,48 0,1573 0,00265
0,00248 0,00234 0,00221 0 ,00209
0,00199
0,50 0 . 1 5 4 9 0,002'72 0,00255
0 ,00240 0 ,00226 0,002150,00204
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
34/291
290
Teoria
e
tecnica
delle costruzioni
Tabella
10.6
-
oo"
=
150
kg/cm2
I
È
o"r=
3000
ig/cm2
J200
3400
3600
3800
4000
0,08
0,4802
0,00071
0,00067
0,00063
0,00060
0,00056
0,00054
0,09
0,4303
0,00080
0,00075
0,00071
0,00067
0,00063
0,00060
0 , 1 0
0,3907
0,00088
0,00083
0,000?8
0,000'74
0,000?0
0,00066
0 , 1 I
0,3585
0,00097
0,00091
0,00085
0,0008r
0,00076
0,00073
0,12
0,J319
0,00105
0,00098
0,00093
0,00087
0,00083
0,00079
0,13
0,309?
0,00113
0,00106
0,00100
0,00094
0,00089
0,00085
0,14
0,2909
0,00121
0,001r
0,00107
0,00101
0,00095
0,00091
0,15 0,2748
0,00128 0,00120 0,001r3 0,00107 0,00101
0,00096
0,16
0,26r
0,00136
0,00r21
0,00120
0,00113
0,00r07
0,00t02
0,17
0,u92
0,00143
0,00134
0,00126
0,001 l9
0,001r3
0,00107
0,18
0,2390
0,00150
0,00140
0,00| ]2
0,00125
0,001 l8
0,00tL2
0,19
0,2300
0,00r
6
0,00r47
0,00138
0,00r30
0,00123
0,001l7
0,20
0,2221
0,00163
0,00153
0,00144
0,00136
0,00129
0,00122
0,2r
0,2t50
0,00169
0,00t59
0,00149
0,00r41
0,00134
0,00t27
4,22
0,2086
0,00r75
0,00164
0,00r55
0,00146
0,00138
0,00131
0,23
0,2028
0,00r
1
0,00170
0,00160
0,00r51
0,00143
0,00136
0,24 0,1976 0,00187
0,00r75
0,00165
0,00156
0,00148
0,00140
0,25
0,1928
0,00193
0,0018r
0,00170
0,00161
0,00152
0,00145
0,26
0,1885
0,00198
0,00186
0,00175
0,00165
0,00157
0,00149
0,27
0,1854
0,00203
0,00190
0,00179
0,00r69
0,00160
0,00152
0,28
0,1825
0,0020'7
0,00194
0,00r82
0,001'72
0,00163
0,00155
0,29
0,1797
0,00211
0,00r98
0,00186
0,00176
0,00167
0,00158
0,30
0,17'11
0,00215
0,00202
0,00190
0,00179
0,00170
0,00161
0,32
0,1723
0,00223
0,00209
0,00197
0,00r86
0,00t76
0,00167
0,34
0,1680
0,00231
0,00217
0,00204
0,00r93
0,00r82 0,00t730,36
0,1640
0,00239
0,00224
0,00211
0,00199
0,00289
0,00179
0,38
0,1504
0,00247
0,00231
0,00218
0,00206
0,00r95
0,00185
0,40
0,r512
0,00254
0,0u39
0,00225
0,00212
0,00201
0,00191
0,42
0,1541
0,00262
0,00u6
0,00231
0,00218
0,00207
0,00197
0,44
0,r5t4
0,00210
0,00253
0,00238
0,00225
0,00213
0,00202
0,46
0,1488
0,0027'7
0,00260
0,00244
0,00231
0,00219
0,00208
0,48
0,1464
0,00284
0,00261
0,00251
0,0023'7
0,00225
0,00213
0,50
0,1442
0,00292
0,00214
0,00258
0,0024J
0,00230
0,002t9
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
35/291
Stato
ímíte
ultimo
per
tensioní
normsli
291
Tabella
10.7
-
o^
=
l'7O g/cm2
T
t
o"'=
3000
Kg./cm
3200
3400
3600
3800
4000
0,08
0,4510
0,00076
0,00071
0,00067
0,00063
0,00060
0,00057
0,09
o,4042
0,00085
0,00080
0,00075
0,00071
0,00067
0,00064
0,10
0,3670
0,00094
0,00088
0,00083
0,00078
0,00074
0,00071
0 , l l
0,3368
0,00103
0,00097
0,00091
0,00086
0,00081
0,00077
0 , t 2
0 , 3 1
8
0,001l2
0,00105
0,00099
0,00093
0,00088
0,00084
0,13
0,2909
0,00120
0,001 l3
0,00106
0,00100
0,00095
0,00090
0,14
0,n32
0,00129
0,00121
0,00113
0,00107
0,00101
0,00096
0,15
0,2582
0,00137
0,00128
0,00121
0,00r4 0,00108 0,00103
0,16
0,u52
0,00145
0,00136
0,00128
0,00120
0,001l4
0,00108
0,17
0,2341
0,00152
0,00143
0,00134
0,00127
0,00120
0,001 l4
0 ,18
o,2245
0,00159
0,00149
0,00141
0,00133
0,00126
0,00120
0,19
0,2t60
0,00167
0,00156
0,00147
0,00139
0,00131
0,00125
0,m
0,2086
0,001?3
0,00163
0,00153
0,00144
0,00137
0,00130
0,21,
0,20t9
0,00180
0,00169
0,00159
0,00150
0,00142
0,00135
0,22
0,1959
0,00187
0,00175
0,00165
0,00155
0,0014?
0,00140
0,23 0,1905
0,00193 0,00181
0,00170
0,00161
0,00152
0,00r45
0,24
0,185ó
0,00r99
0,00187
0,00176
0,00166
0,00157
0,00149
0,25
0,1811
0,00205
0,00192
0,00181
0,00171
0,00162
0,00154
0,26
0,t'770
0,002
0,00198
0,00186
0,00176
0,00167
0,00r
8
0,27
0,1'l4l
0,00216
0,00202
0,00190
0,00180
0,00170
0,00162
0,28
0,1'7
4
0,00220
0,00206
0,00194
0,00183
0,00174
0,00165
0,29
0,1688
o,N225
0,002t
1 0,00198
0,00187
0,00177
0,00168
0,30
0,1664
0,00229
0,00215
0,00202
0,00191
0,0018r
0,00172
0,32
0,1618
0,00238
0,00223
0,00210
0,00r98
0,00188
0,00178
0,34
0,1578
0,00246 0,00231 0,00217 0,00205
0,00194
0,00185
0,36
0,1541
0,00254
0,00239
0,00225
0,00212
0,00201
0,00191
0,38
0,1507
0,00263
0,00246
0,00232
0,00219
0,00207
0,00r
7
0,40
0,14'16
0,002'71
0,00254
0,00239
0,00226
0,00214
0,00203
0,42
0,1,148
0,00279
0,00262
0,00246
0,00232
0,00220
0,00209
0,44
0,t422
0,00287
0,00269
0,00253
0,00239
0,00227
0,00215
0,46
0,1398
0,00295
0,002'16
0,00260
0,M246
0,00233
0,00221
0,48
0,1375
0,00303
0,00284
0,00261
0,00252
0,00239
0,00221
0,50
0,1355
0,0031l
0,0029r
0.00274
0,00259
0,00245
0.00233
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
36/291
292
Teoria
e tecnica
delle costruzioni
Tabella
10.8
o-
=
t90
kg/cm2
6
oú
=
3000
kg/cm'
1200
3400
1600
r800
4000
0,08
o,4266
0,00080
0,00075
0,00071
0,00067
0,00063
0,00060
0,09
0,3824
0,00090
0,00084
0,00079
0,00075
0,00071
0,00068
0 , l 0
0,3472
0,00100
0,00093
0,00088
0,00083
0,00079
0,00075
0 , 1 1
0,3185
0,00109
0,00102
0,00096
0,00091
0,00086
0,00082
0 , r2
0,2949
0,00118
0,00111
0,00104
0,00098
0,00093
0,00089
0 , 1 3
0,2't
52
o,o0t27
0,001 l9
0 ,00112
0,00106
0,00100
0,00095
0, l4
o,2584
0,00136
0,00t27
0,00120
0,00113
0,00107 0,00102
0 , 1 5 0,2442
0,00144
0,00135
0,00127
0,00120
0,001 l4
0,00108
0, l6
0,2320
0,00153
0,00143
0,00135
0,00t2'l
0 ,00121
0,001
5
0,1'l
o,22t4
0,00161
0,00151
0,00142
0,00134
0,0012'7
0,00t21
0 , 1 8
0 , 2 t 2 i
0,00169
0,00158
0,00149
0,00140
0,00r
3
0,00126
0 , 1 9
0,2044
0,00176
0,00165
0,00r
5
0,00141
0,00139
0,00112
0,20
0,1973
0,00183
0,001'72
0,00162
0,00r53
0,00145
0,00137
0,21
0 , 1 9 1 0
0,00190
0,00178
0,00168
0,00159
0,00150
0,00143
0,22
0,1853
0,00197
0,00185
0,00174
0,00r64
0,00156
0,00148
0,23
0, 802
0,00204
0,0019
0,00180 0,00170 0,00161
0,00153
0,24
0,1756
0,00211
0,00197
0,00186
0,00175
0,00166
0,00r
8
0,25
0 , 1 7 1 3
0,00217
0,00203
0,00191
0,00181
0,00171
0,00163
0,26
0,t6't
0,00223
0,00209
0,00197
0,00186
0,00176
0,00167
0,2'7
0,1647
0,00228
o,00214
0,00201
0,00r90
0,00180
0,00171
0,28
o, t62l
0,00233
0,00218
0,00205
0,00194
0,00184
0,00r75
0,29
0,159'7
o,00231
0,00223
0,00209
0,00198
0,00187
0,002'78
0,10
0,1574
0,00242
0,00221
0,00214
0,00202
0,00191
0,00182
0,32
0 , 1 5 3 1
0,00251
0,00235
0,00222
0,00209
0,00198
0,00288
0,34
0,1492
0,00260
0,00244
0,00230 0,0021'7 0,00205
0,00195
0,16
0,t457
0,002ó9
o,00252
0,00237
0,00224
0,002t2
0,00202
0,3
0,t426
0,00278
0,00260
0,00245
o,0023l
0,002r9
0,00208
0,40
0,1396
0,00286
0,00268
0,00253
0,00239
0,00226
0,00215
0,42
0,1370
0,00295
0,00216
0,00260
0,00246
0,00233
0,00221
0,44
0,1345
0,00303
0,00284
0,00268
0,00253
0,00240
0,00228
0,46
0,1322
0,0032
0,00292
0,002'7
0,00260
0,00246
0,00234
0,48
0,1301
0,00320
0,00300
0,00282
0,00267
0,00253
0,00240
0,50
0,1281
0,00328
0,00308
0,00290
0,0027
0,00259
0,00246
8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite
37/291
Stato
limite
ultimo
per
tensioni
normqli
293
Con
le
posizioni
(10.46)
e equazioni
di
equilibrio
e di
compatibilità
Írssumono
a
forma seguente:
o"
ot
v
=
trl'
+
a'
--:-
-
a
--:-
oof
ooJ
(r0.47)
(10.48)
(10.49)
p = t ú ( l
_ À É )
+ @ '
ec
r
ot^ o,
- r
( t
-
ò r )
=
t .
+
o ' -1
( l
-
ò2 )
ool
e'"
: "
t - Ò z
_ e f
l - €
^ c
- h
Nella
potesi
i semplice
rmatura
co'=
0) le
(10'47)
(10.48)
ossono
taùllarsi
agevolmente
àrnendo
n funzione
di
{
i
corrispondenti
alori
di c'r
e p = p"t tali valori sonoriportati nellatabella10.9.Occorre icordareche
all'aumentare
di
É
e
quindi
di
p
si
passa
dalla
regione
3 alla
regione
4;
I'ingresso
n tale ultima
regioneè c
Íatterizzafo
da un
valore di
É
detto
É,,-
cui
corrisponde
na deformazione
pecifica
ell'acciaio
eso
pari
ad €,r'
d un
momento
specifico
1.t1,^.
er
t
>
t,,^
e
quindi
F
)
llti,
I'armatura
tesa si
trova,
nellecondizioni
di
rottura, ancora
n campo
elastico;
per
tale
motivo
risulta
generalmente
onveniente,
partire
da tale
valore
del
momentospe-
cifico,
aggiungere
rmatura
n compressione
ì
da
potere
utilizzare
ntegral-
rnente,
'aimatura
tesa
disposta.
Nella
tabella
10.9 sono
quindi
riportati
i
valori
delle
esistenze
i calcolo
dell'acciaio
per
e
quali
si
verifica
'ingresso
nella egióne4. È immediatoosservare l riguardocheal diminuiredelle e-
sistenze
i calcolo
corrispondenti
alori
limiti di
{,.
e di
p/,.
aumentano'
Si
riportano,
qui
appresso,
lcune
ndicazioni
circa
'impiego
della abel-
la
nelle diverse
situazioni:
A)
Progetto
Flessione
semplice
con
p
{
p1i^
Noto
il momento
esterno
e
fissatiÓ,
t e o,c
possono
dedursi
dalla tabella
10.9
e
Dercentuali
meccaniche
.r
n funzione
di
p.
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38/291
294 Teoriq
e tecnics
delle costruzioni
Tabella
10.9
E
p
0,0891
o,to42
0,r 81
0,1312
0,1438
0,1561
0,t667
0,1684
0, l8 l0
o,t937
0,2066
0,2198
0,2330
o,2466
o,2590
0,2608
0,n96
0,2988
0,3183
0,3383
0,3587
0,3796
0,4012
.0,4234
0,4461
0,4696
o,4939
0,5188
0,5450
0,5721
0,6006
0,6283
0,6305
o,64'16
0,6613
0,6681
0,6788
0,6952
0,7310
0,7690
0,7788
o,7935
0,8119
0,8597
0,9152
0.9848
0,035
0,04'7
0,059
0,070
0,082
0,094
0,104
0,106
0,tt'l
0,129
0, !410,r52
0,164
0,176
0,187
0,188
0,m0
0,212
0,223
o,235
o,u'7
0,259
0,n0
0,282
0,294
0,305
0,31"t
o,329
0,341
0,352
0,364
0,375
0,376
0,383
0,388
0,390
0,394
0,400
0,412
0,423
0,426
o,430
0,435
0,447
0,459
0,475
0,0365
0,0488
0,0614
0,0'74r
0,0869
0,0999
o,1t12
0,1t29
0,1263
0,1399
0,1536o,1677
0,1819
0,1963
0,2096
0,2112
0,2263
0,u19
o,2576
0,2'139
0,2903
0,3073
o,32480,3921
0,3610
0,3802
0,3993
0,4200
0,4412
0,4632
0,4862
0,5086
0,5103
0,5242
n 5 ? 5 7
0,5408
0,5495
0,562'7
0,5918
0,6230
0,6305
0,6423
0,1170
0, t185
0,1310
0,14260,1481
0,1580
o,1746
0,2188
0,2832
0,3021
0,3357
0,3859
0,5801
1,0883
'7.0483
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Stato limife ultimo
per
tensioni nomali 295
Flessione
semplice con
p
>
pt,h
In
questo
asooccorrearmatura
n
compressione
, , ' = ( p - t , , ^ ) ; l
.
|
- o z
(10.50)
In altre
parole
a differenzadi momento
F
-
Itri,
viene assorbitadalle
armature n comoressione:nfatti dalla 110.48) i ha:
lt
-
pun
=
co(l
-
òz)
(10 .51 )
dove l termine co'(l - ó) rappresenta roprio il contributo al momento
apportato dall'armatura compressa ssendo j certamenteegualea o"r.
Consesuentemente'armatura tesa dovrà essere:
u : a ' ! a , , ^
(10.52)
Flessione ompostacon
p
<
ptitu
La
percentuale
i armatura esaè in tale caso
pari
ad
ptìn
Deve esseren tale caso:
a'
:
( t "
-
t " t
)
(10.s3)
(10.54)
= a ,
I
@ t i ^ _ 2
B) Verifica
Posto
coo o
-
c,.r'si istinguono seguenti asi
Flessione semplice con oo
<
0
(caso
raro)
Trascurando a collaborazione el calcestruzzoisulta
p.
=
a'(1
-
òz)
Flessione
semplíce con 0 > ao ) ati^
1
-
L - o z
(10.55)
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296
Teoriq
e tecnica
delle
costruzíoni
In
corrispondenza
i coo
i egge
dalla
abella
l valore
di
p
che ndichiamo
con po:
l
momento
specifico
complessivo
ale:
tt
=
tro
t co(l
-
ò2)
(10.56)
Occorre
però
rilevare
che il
contributo
dell'armatura
compressa uò
risultare
n realtà
nferiore
a
quello
fornito
dalla
(10.56)
dove
si è potizzato
implicitamente
che
sia oi
=
o,/.
Pertanto
se
c,.:oade
nella
regionè
2
è
più
prudente
orre
co'=
0.
Flessione
semplíce
con
@o
> @!jù
In
questo
caso,
nvero
non frequente,l momentoposi leggen funzione
del rapporto
9
ld
che risulta
tabellato
n
corrispondenza
ell,ultima
co-
oof
lonna
della
abella
10.9.
Il momento
specifico
complessivo
ale:
lt
:
po
*
r,.r(1
-
ór)
(10.57)
'
Flessione
composta
Si usano e stesseormule valideper la flessione emplice ostituendo o
COn
')
+ ,,.
Si ricorda
che
il momento
associato
allo
sforzo
z nelle
condizioni
di
rottura
è sempre
iferito
alle
armature
ese.
C) Esempio
di impiego
nella
tabe
a 10.9
Si
consideri
una
sezione ettangolare
he
n
condizioni
ultime
deve
soo_
portare
un momento
M,
par
a 15,49
m.
Fissando
b
=
25 cm;
h
=
57,5
cmi
oo.
=
137,5
kg/cmz
risulta:
1549000
=
0.13ó
5 7 , 5 2 x 2 5 x 1 3 7 , 5
cui
corrisponde
dalla
tabella
10.9,
effettuando
'interpolazione
a
=
0,147
Avendo
fissato
o,r
=
3800
kg/cm2
si
olliene:
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Stoto límite ultimo
Der
tensioní normali
297
A r =
0,147x
25 x 57
5
x 137
5
=
I
,O)
cm-
10.7.
Esercizi
Si
vuole verificare a
sezione
ella fig. 10.13attraverso
l metodo delle
tensioni mmissibilie
quello
degli stati limite.
Si consideri
a
sezione
oggettaa flessione emplice.
Sia
noltre:
-
calcestruzzo lasse
250
Ru, ) 250 kg/ cm2
-
acciaioFeB 38 controllato
in
stabilimento
R.o
2
3800kglcm2
Le
corrispondenti
esistenze i calcolo sono:
3800
o--= o,8s9{î:I : rro ks/cm2
,
25
cm
,
r-------t
5 7 5 c m
5 O 1 4 = 7 , 7 c m z
Figuro 10.13
2 , 5
m
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298 Teo a e tecnics delle costruzioni
3800
)
ox
=
l , lS :
55v+ S lcm-
a) Con
il metodo delle tensioni ammissibili si calcola
l momento
di
esercizio.
Le tensioni ammissibilivalgono:
per
l calcestruzzoc
:
60 -
l4oJ1
=
85 kg/cm'
Per
I'acciaio or
=
2200k8/cm2.
F
Si calcolaa posizione ell'asse eutro si ponen :
7
: ttl
15x 7,7
(
) (
=
_ _ _ i s
l _ l +
I
Il momento d'inerzia vale:
]
=
"''n "'
1, = 18,893
-l
+ ts x 7,7(57,5- 18,89)' = 22835r ma
w"
=
12088 m3
-
M,"
=
85 x 12088 1027518 s cm
wr
=
394cmt
-
Mr:2200 x 394
=
867429 g cm
Il momento di esercizio
pertanto
l
piÌr piccolo
dei due momenti resi-
stentie
vale 8.67 m.
b) La verifica allo stato limite di rottura richiede a valutazionedel
momento di rottura. Occorrerebbe
ertanto
conoscere
n
quale
regione a
sezione
aggiungea rottura in flessione emplice.Si potizza n
primo
tenta-
tivo che ciò awiene
nella regione3; in
tale
regione
sono
valide e
(10.26)
e
(10.27)
essendo
oti i valori dei coefficienti
y'
À.
Dalla
(10.26),
essendo "
=
0, si ottiene
a
distanza
dall'asseneutro.
A
tox
'7
,7
x 3304
,!
.b -
o."
0,8095 25 x 110
=
11,43
cm
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Ststo limite ultimo
per
tensioni normali 299
Occorreola controllare se ale distanza
è compresa ra 0,259
h ed x, e
cioè
seeffettivamente i si trova nella regione3. Essendo
.259 x 57,5
=
14,89 11,43 n realtà a rottura si raggiungerà ella regione2. Utilizzando
la tabella10.2 occorre
quindi
risolvere
'equazione
10.21)per
tentativi.
I"
tentativo:
posto
É
:
0,22 della abella
si ottiene
y'
=
0,7636
e
quindi:
7,7 x 3304
=
12,11
m
0,7636 25
x 110
1 ) 1 1
cui orr isponde
=':: '= =
0,211.
l / ì
Si
può pertanto
ritenere
di aver ottenuto col solo
primo
tentativo una
sufficiente pprossimazione
er
cui dalla
(10,22)può
calcolarsi l momento
di rottura in
corrispondenza i
tl.,
0,7636,
r
=
0,4001.
Si ha così:
M"
=
12,1t
x
25
x 110 x 0,7636(57,5
0,4001x 12,11)
1339000
tg cm
:
13,39 m
Il rapporto ra tale momento
e
quello
valutato
alle ensioniammissibili
è
pertanto:
t ? 1 0
'
: 1 \ 4
8,67
praticamente
oincidente on l
coefficiente1,5 di amplificazione
ei carichi
nel
calcoloagli stati limite
(cfr.
eq.
(9.5)).
Si consideriora a stessaezione
rima
esaminata,ma armatacon 3 ó 14
invece
ei 5
{
14
già
disposti:
potrebbe
essere
uesta
a
sezione i mezzeria i
una rave
per
la
quale
a
sezione
ià
esaminata i trovava
all'incastro.Si ha
quindi.,4,
3 x 1,54
=
4,62
cmz.
a)
Verifica
elastica.Si otiiene:
15 x 4,62
(
^
-
,< |
-
r
-f
\
) = " ' ' n "
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I
3N
Teoria
e
lecnicq
delle
costruzionl
l -
=
15.293
2i n ,,
3
_
x 4'62(5,1,5
15,29)2
!53259
ma
W"
=
10O23
rn3
M,"
=85x
10023
=
851994
g
cm
Wt
=
Z4Z
cm3
-
Mf
=
2200
x
242
_
532525
rr
r*
Il
momento
di
esercizio
ale
quindi
5,32
tm.
b) Verifica
allo
stato
imitei
si
procede
er
tentativi
utilizzando
a
(10.21