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Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Acceleratori di Particelle
A. Pisent
INFN-Laboratori Nazionali di Legnaro
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Un acceleratore è un sistema fisico (coeso elettromagneticamente) di complessità paragonabile a quella di una molecola.
Sue caratteristiche:
•È un sistema macroscopico i cui protagonisti sono enti microscopici (elettroni e ioni)
•È un sistema artificiale.
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Alcune applicazioni di punta• Basate
– Fasci che urtano direttamente un bersaglio fisso o collidono fra di loro– Produzione di fasci collimati di luce di sincrotrone– Accelerazione di fasci di particelle esotiche
• Fisica delle particelle– Struttura atomica e nucleare, fisica delle alte energie, nuove particelle, oltre il modello
standard• Bombardamento di bersagli utilizzati per ottenere nuovi materiali con differenti
proprietà chimiche, fisiche e meccaniche. • La radiazione di sincrotrone copre la spettroscopia, diffrazione di raggi x,
microscopia con raggi x, cristallografia delle proteine, preparazione di materiali aereonautici, par la medicina….
• In medicina, i fasci sono utilizzati per la Positron Emission Tomography (PET), e la terapia dei tumori (convenzionale e adroterapia), terapie con neutroni (BNCT).
• Trasmutazione di scorie radioattive, per convertire scorie a lunga vita media in scorie a corta vita media, test dei materiali per nuovi reattori di fusione e fissione.
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione:Richiamo di cinematica relativistica
• Accelerazione elettrostatica: una particella con carica e generata in una sorgente a potenziale V giunta nella linea di fascio a potenziale di terra avrà un’energia cinetica
• Definiamo un’energia ed una velocità adimensionali come:
• con m massa della particella (938 MeV/c2 per protoni, A*931.5 MeV/c2 per il nucleo di massa A, 0.511 MeV/c2 per gli elettroni), c=2.998 108ms-1. Inoltre
cv 21
mcW
22
11
22 11
eVW
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione:Richiamo di cinematica relativistica
• Accelerazione elettrostatica: una particella con carica e generata in una sorgente a potenziale V giunta nella linea di fascio a potenziale di terra avrà un’energia cinetica
• Definiamo un’energia ed una velocità adimensionali come:
• con m massa della particella (938 MeV/c2 per protoni, A*931.5 MeV/c2 per il nucleo di massa A, 0.511 MeV/c2 per gli elettroni), c=2.998 108ms-1. Inoltre
cv 21
mcW
22
11
22 11
eVW
2McE
22222 cpEmc
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione:Richiamo di cinematica relativistica
1 10 100 1 103 1 1040
0.5
1
1.5
2
Kinetic energy(MeV)
Bet
a
ww( )
2ww
m
ww
0.01 0.1 1 100
0.5
1
1.5
2
Kinetic energy(MeV)
Bet
a
ww( )
2 ww
m
ww
Velocità dei protoni (mc2=938 MeV) ed approssimazione non relativistica
Velocità degli elettroni (mc2=0.511 MeV)
W
W
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Orbita in un campo magnetico uniforme
Bvedtpd
evBvm
2
v
BForza centrifuga Forza di Lorentz
pmceB Rigidità magnetica “Massa” velocità
I limiti tecnologici sul campo magnetico ottenibile (circa 2 T per magneti normal conduttivi e 10 T per i superconduttivi) determinano le dimensioni limite degli acceleratori in molti casi
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Orbita in un campo magnetico uniforme
1 10 100 1 103 1 1040
10
20
30
40
Kinetic energy(MeV)
Bet
a
Brho ww( )
2ww
m
m 106
c
ww
Rigidità magnetica dei protoni (mc2=938 MeV) ed approssimazione non relativistica
Rigidità magneticadegli elettroni (mc2=0.511 MeV)
W
m]
W
0.01 0.1 1 100
0.01
0.02
0.03
0.04
Kinetic energy(MeV)
Bet
a
Brho ww( )
2ww
m
m 106
c
ww
[Tm]
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione e focalizzazione
• All’aumentare della velocità è sempre più conveniente deviare e focalizzare i fasci utilizzando campi magnetici
• Dato che la forza è sempre ortogonale al momento, l’accelerazione (in modulo, vera, o incremento dell’energia cinetica) si può avere solamente con l’uso di campi elettrici
BvEedtpd
Bv
B
F
vF=eE
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione elettrostatica
• L’energia finale è determinata dalla tensione elettrica ottenibile
• Esistono quindi limiti tecnologici (intorno ai 15-20 MV) per strutture di tipo Van de Graaff riempite di gas inerte (SF6).
eVW
INFN Legnaro Tandem XTU
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione elettrostatica
• L’energia finale è determinata dalla tensione elettrica ottenibile
• Esistono quindi limiti tecnologici (intorno ai 15-20 MV) per strutture di tipo Van de Graaff riempite di gas inerte (SF6).
• Esiste il limite di principio per cui con un campo elettrostatico non si può accelerare lungo un’orbita chiusa
eVW
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
elettrostatico
RF
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
e-
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
e-
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
e-
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
e-
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
e-
Accelerazione RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Cos’è un fascio di particelle cariche
• Chiamiamo fascio un insieme di particelle cariche con un moto coerente, ovvero con momento non molto diverso da p0;
• il versore z corrisponde alla direzione del moto
• In approssimazione parassiale si possono confondere gli angoli con le loro tangenti.
zpp ˆ0
dzdx
ppx
0 cmpv0
z
x
y
dzdx
p
p0
px
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Equazioni del moto parassiali
02
20
2
2
peB
dzyd
peB
dzxd
x
y
BvEedtpd
Utilizzando dzdx
pp x
0e cdtdz
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Diviene per la parte magnetica
Bzcedtpd
ˆ
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Lenti magnetiche
BBy
BB
x
x
y
''
''Le lenti magnetiche utilizzate per focalizzare i fasci possono in molti casi essere considerateAvere le sole componenti Bz e By. Riscrivendo quindi le equazioni del moto utilizzando la rigidità magnetica B
Nella zona in cui passa il fascio (trascurabile) non ci sono altre correnti
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
z gradBBrot
0
Dove è un potenziale magnetico (definito solo nell’apertiura per il fascio) che deve soddisfare Laplace
02 Che in due dimensioni è soddisfatta da f(x+iy) che sviluppata analiticamente dà lo sviluppo in multipoli
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Lenti magnetiche: sviluppo in multipoliPartendo quindi da uno sviluppo analitico
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
11
))Im()Re((),()(n
nn
nn
n
nn iyxbiyxayxzAzf
Sia la parte reale che quella immaginaria di f(x+iy) soddisfano l’equazione di Laplace, e quindi ho per ogni ordine due coefficiendi, detti del regolare e skew per il 2n-polo
View the function in a contour plot:
Freg Fskew
n=1 dipolo
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Lenti magnetiche: sviluppo in multipoliPartendo quindi da uno sviluppo analitico
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Sia la parte reale che quella immaginaria di f(x+iy) soddisfano l’equazione di Laplace, e quindi ho per ogni ordine due coefficiendi, detti del regolare e skew per il 2n-polo
n=2 quadrupolo
Freg Fskew
11
))Im()Re((),()(n
nn
nn
n
nn iyxbiyxayxzAzf
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Lenti magnetiche: sviluppo in multipoliPartendo quindi da uno sviluppo analitico
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Sia la parte reale che quella immaginaria di f(x+iy) soddisfano l’equazione di Laplace, e quindi ho per ogni ordine due coefficiendi, detti del regolare e skew per il 2n-polo
n=3 sestupolo
Freg Fskew
11
))Im()Re((),()(n
nn
nn
n
nn iyxbiyxayxzAzf
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Lenti magnetiche: sviluppo in multipoliPartendo quindi da uno sviluppo analitico
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Sia la parte reale che quella immaginaria di f(x+iy) soddisfano l’equazione di Laplace, e quindi ho per ogni ordine due coefficiendi, detti del regolare e skew per il 2n-polo
n=4 ottupolo
F F
11
))Im()Re((),()(n
nn
nn
n
nn iyxbiyxayxzAzf
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Focalizzazione lineare: quadrupolo regolare
20
002
200
2
2
apeK
Kyyp
ep
eBdz
yd
Kxyp
ep
eBdz
xd
y
y
In particolare per il quadrupolo, n=2
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
xyaiyxayx 22
2 2)Im(),(
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Gradiente alternato • Con quadrupoli regolari di polarità alternata abbiamo equazioni lineari disaccoppiate
• Non è possibile avere K>0 ovunque in x ed y (oscillatore armonico)
• In molte condizione l’effetto di una successione di lenti focalizzanti e defocalizzanti è focalizzante
• Il trasporto del fascio avviene secondo le soluzioni stabili dell’equazione di Hill:
0180
29.85764 180
14.72113 2 0 2
2
180
47.07845 0 2 3 2180
39.26339
0 2 4 6 8 10 12 14
0.002
0
0.002
length s/L
1
i 3
i
0
axT2
Z i 0
T
0)("
0)("
ysKy
xsKx
K
xmax
ymax
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Matrici soluzione di un sistema lineare• Nei sistemi dinamici (sistemi regolati da equazioni del moto nella forma)
• Se f è derivabile con derivata limitata si applica il teorema di Cauchy, esiste ed è unica la soluzione per ogni condizione iniziale. É quindi definita la funzione (o mappa) che associa alla condizione inizale la condizione al momento s
• Per la nostra equazione di Hill ponendo x’=p (considerando per ogni grado di libertà x e y posizione e divergenza) abbiamo un sistema dinamico, e quindi
• Sil sistema è lineare questa trasformazione è linare e quindi si potrà scrivere
pxxsKp
')('
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
0),( sxfdsxd
),,()( 00 xssMsx
00 '),(
'
xx
ssMxx
s
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Matrici di trasferimento per un sistema lineare• Una linea di trasporto sarà quindi totalmente caratterizzata dal prodotto delle matrici dei
singoli elementi:
• La matrice di trasferimento si può costruire a partire da due soluzioni principali 1 ed (tali che cioè che il Wronskiano ha determinante non nullo):
• Per la nostra equazione di Hill det W si conserva (verificare). Inoltre poichè ogni soluzione può essere scritta come
• Con A e B costanti, possiamo scrivere:
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
'')(
21
21
sW
00112233 '),(),(),(),(
'
xx
ssMssMssMssMxx
s
)()()( 21 sBsAsx
100
0
10
21
21 )()(),('
)()('
)('''
sWsWssM
xx
sWsWxx
BA
sWBA
xx
ss
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Matrici di trasferimento per un sistema lineare• Questo implica fra l’altro che per un sistema di Hill (senza termine x’ o di dissipazione)
• Caratteristica importante e generale (teorema di Liouville).• Nel caso particolare in cui K=cost si possono prendere le soluzioni particolari
• Se K<0 (quadrupolo defocalizzante) o K=0 (spazio vuoto) si hanno rispettivamente
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
1det M
)sin()(
)cos()(
2
1
sKs
sKs
)cos()sin()sin()cos(
'')(
21
21
sKKsKKsKsKsW
)cos()sin(
)sin(1)cos()0()()( 1
sKsKK
sKK
sKWsWsM
)cosh()sinh(
)sinh(1)cosh(
sKsKK
sKK
sKMD
101 s
Md
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• È anche interessante il caso della lente sottile, ovvero un quadrupolo corto di forza infinita tale che nel caso K>0 e K<0
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
fKsKs 10
11
01
)cos()sin(
)sin(1)cos()(
fsKsKK
sKK
sKsM
11
01)(
fsM D
Matrici di trasferimento per un sistema lineare
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Stabilità in un sistema periodico• I sistemi di trasporto utilizzati sono spesso periodici (perfettamente periodici per la
rivoluzione in un anello approssimativamente periodici per tratti di linea di trasporto)
• La stabilità della soluzione viene ricondotta alla stabilità periodo dopo periodo. Moltiplicando i singoli elementi sappiamo costruirci la soluzione per un periodo (matrice di Poincare) definita dalla relazione
per cui percorrere n periodi corrisponde all’iterata n-sima della matrice
• Per cui il sistema è stabile secondo Ljapunov se
• Questo dipende dal carattere limitato delle iterate degli autovalori
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
0)()(00 nsxMsx n
)()(0)(" sKLsKxsKx
sLs xx
sMxx
'
)('
s
n
nLs xx
sMxx
'
)('
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Stabilità in un sistema periodico• Diagonalizzando la matrice (nei casi possibili) avrei
• Dalla condizione det M=1 so che i due autovalori hanno prodotto 1 e quindi vale
Caso iperbolico e caso ellittico. Il secondo è stabile ed è individuato da
• Criterio di stabilità: se viene soddisfatto la matrice di Poincarè può essere scritta nella forma (con detM=1, trM=2 cosdipende da e da due parametri e detti parametri di Twiss)
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
ii eeo 1212 /1
sn
n
s
n
nLs xx
TTxx
sMxx
''
)(' 2
11
2cos2 trMtrM
sincossin1sinsincos
2M
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Ellisse invariante• La matrice di Poincarè può essere scritta come
con
Ed invariante conservato
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
12 )(sincossin1sinsincos
UURM
10
U
22 )'(1 xxx
x
X’
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Dimensioni del fascio, emittanzaj 0 1 10 b 4 j 2
10j .1
xj b cos j xpj sin j
xx s( ) x xp s
8 6 4 2 0 2 4 6 810
5
0
5
10
xx ss( )0
xx ss( )1
xx ss( )2
xx ss( )3
xx ss( )4
xx ss( )5
xx ss( )6
xx ss( )7
xx ss( )8
xx ss( )9
ss
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 0( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
x
x’
Traiettoria nello spazio libero
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Dimensioni del fascio, emittanza
• L’emittanza, corrispondente all’area occupata dalla distribuzione delle particelle nel piano x x’,
• Rappresenta la temperatura del fascio (energia corrispondente al moto incoerente)
• Una emittanza piccola corrisponde alla possibilità di focalizzare il fascio in piccole dimensioni
x
x’
Area=
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Dimensioni del fascio, emittanzaj 0 1 10 b 4 j 2
10j .1
xj b cos j xpj sin j
xx s( ) x xp s
5 0 510
5
0
5
10
xx ss( )0
xx ss( )1
xx ss( )2
xx ss( )3
xx ss( )4
xx ss( )5
xx ss( )6
xx ss( )7
xx ss( )8
xx ss( )9
ss
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 8( ) j
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 0( )j
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 8( )j
x
x’
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Dimensioni del fascio, emittanzaj 0 1 10 b 3 j 2
10j .1
xj b cos j xpj sin j
xx s( ) x xp s
8 6 4 2 0 2 4 6 810
5
0
5
10
xx ss( )0
xx ss( )1
xx ss( )2
xx ss( )3
xx ss( )4
xx ss( )5
xx ss( )6
xx ss( )7
xx ss( )8
xx ss( )9
ss
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 0( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
x
x’
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Dimensioni del fascio, emittanzaj 0 1 10 b 1 j 2
10j .1
xj b cos j xpj sin j
xx s( ) x xp s
8 6 4 2 0 2 4 6 810
5
0
5
10
xx ss( )0
xx ss( )1
xx ss( )2
xx ss( )3
xx ss( )4
xx ss( )5
xx ss( )6
xx ss( )7
xx ss( )8
xx ss( )9
ss
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 0( ) j
10 0 101
0
1
xpj
xx 8( ) j
x
x’
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Risonanze parametriche
• Un elemento importante è il tune Q=che può corrispondere a risonanze. Consideriamo un sistema semplificato
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
11
01
cossin
sincos
fL
L
M
• dove è l’avanzamento di fase nella parte smooth ed fè la forza della perturbazione. La condizione sulla stabilità dà
• Ed abbiamo quindi un contorno di stabilità
sin2
cos21cos
fLtrM
g x y( ) 2 xcos x( ) cosh y( )
sin x( )
g1 x y( ) 2 xcos x( ) cosh y( )
sin x( )
g j .001
g1 j .001
g j .01
g1 j .01
g j .1
g1 j .1
j2
0 0.25 0.5 0.75 1
1
2
3
4
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Risonanze non lineari• Se il sistema non è perfettamente lineare (multipoli magnetici ad
esempio) l’avanzamento di fase è funzione dell’ampiezza e si formano risonanze («isole») e comportamento stocastico per Q=n/m (n ed m interi)
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Risonanze non lineari• Se il sistema non è perfettamente lineare (multipoli magnetici ad
esempio) l’avanzamento di fase è funzione dell’ampiezza e si formano risonanze («isole») e comportamento stocastico per Q=n/m (n ed m interi)
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Bazzani et Al CERN SPS/89-24(AMS)
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Dimensioni del fascio, emittanzaj 0 1 10 b 4 j 2
10j .1
xj b cos j xpj sin j
xx s( ) x xp s
5 0 510
5
0
5
10
xx ss( )0
xx ss( )1
xx ss( )2
xx ss( )3
xx ss( )4
xx ss( )5
xx ss( )6
xx ss( )7
xx ss( )8
xx ss( )9
ss
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 8( ) j
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 0( )j
10 5 0 5 101
0.5
0
0.5
1
xpj
xx 8( )j
x
x’
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
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Soluzione con funzioni di Floquet• Le soluzioni dell’equazione di Hill
Possono essere scritte nella seguente forma dalla quale, separando parte reale e parte immaginaria, si ricavano
La seconda equazione è risolta da
Dove emittanza è una costante ed a inviluppo del fascio. Si definisce una funzione (s) detta funzione di betatrone con la seguiente relazione
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
)()(0)(" sKLsKxsKx )()( siesax
0"''20'" 2
aaaKaa
0"
'
3
2
2
aKaa
a
s
s sdsssxssa
0 )(cos)()()()(
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Soluzione con funzioni di Floquet
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
0180
54.61705 180
54.61705 2 0 2 2 180
109.234110 2 3
2
180
109.23411
0 2 4 6 8 10
2 10 3
0
2 10 3
length s/L
ax, a
y K
(s) a
rbitr
ary
scal
e Z i 1
Z i 1
xsingola i
kkk i
kkk 0
axT
2
Z i 0
T
s
s sdsssxssa
0 )(cos)()()()(
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Matrici di trasferimento per un periodo• Calcoliamo quindi la matrice di un periodo dalla soluzione di Floquet
• con la condizione a(s+L)=a(s),
• otteniamo
• Da confrontarsi con la nostra matrice in forma normale (invariante di Courant.Snyder)
• Con Una volta calcolata la matrice di un periodo si possono calcolare i parametri di Twiss della soluzione periodica
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
sin)(cos)(
2
1
asas
sin'cossin'1sinsin'cos
)0()()( 22
2
1
aaaa
aaaWsWsM
sincossin1sinsincos
2M
)()()(
)()( ssat
dtsLsLs
s
'2 aaa
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Un esempio una cella FODO
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
fd
fd
fdd
fd
fd
f
d
f
dM
21
4421
1101
102/1
1101
102/1
2
2
2
2
sincossin1sinsincos
2M
fd
fd
42sin
81
2sin21cos 2
22
• Dal criterio di stabilità
• Identificando con la matrice in forma normale
Otteniamo per la funzione di betatrone
sin2
sin1
2sin1
41sin 2
2
d
df
d
F 0 D 0
d/2 d/2
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Equazioni del moto in coordinate curvilinee
0
1
2
2
22
2
dsyd
ppx
dsxd
v
B
Consideriamo un sistema di coordinate in cui s è la coordinata curvilinea [0,2R], x e la deviazioneRadiale rispetto alla traiettoria nominale, y la deviazione verticale.In generale non avremo una semplice circonferenza ma un anello con successione di dipoli a curvatura costante e tratti dritti.
Consideriamo un dipolo, e le equazioni al primo ordine in x,ye dp/p (deviazione rispetto all’energia nominale):
sxx cos0
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
L’equazione descrive correttamente (al primo ordine) l’effetto Focalizzante dovuto alla curvatura
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Equazioni del moto in coordinate curvilinee
0
1
2
2
22
2
dsyd
ppx
dsxd
v
B
Consideriamo un sistema di coordinate in cui s è la coordinata curvilinea [0,2R], x e la deviazioneRadiale rispetto alla traiettoria nominale, y la deviazione verticale.In generale non avremo una semplice circonferenza ma un anello con successione di dipoli a curvatura costante e tratti dritti.
Consideriamo un dipolo, e le equazioni al primo ordine in x,ye dp/p (deviazione rispetto all’energia nominale):
s
ppx cos1
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
L’equazione descrive correttamente (al primo ordine) l’effetto Di una particella di maggiore momento e quindi raggio maggiore
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Equazioni del moto in coordinate curvilinee
0)(
)(1)(
)(1
2
2
22
2
ysKds
ydsp
pxsKsds
xd
v
B
Più in generale, includendo anche tratti in cui può esserci un quadrupolo magnetico K
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Focalizzazione debole
0122
2
xdz
xd
02
02
22
2
2
2
22
2
22
2
y
dzydKy
dzyd
xdz
xdKxxdz
xd
Condizione di stabilità (oscillatore armonico) in entrambi i piani. Ma, al crescere di r la focalizzazione è sempre più debole e le dimensioni del fascio più grandi
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Matrici per un anello
0122
2
xdz
xd
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
• In un anello si utilizzano quindi per il piano orizzontale matrici 3 x 3 che includono l’effetto della deviazione in momento
• Per il dipolo ad esempio
00
'100
sincossin)cos1(sincos
''
pp
xx
pp
xx
M
pp
xx
s
• Mentre gli elementi dritti avranno 0 0 1 sulla terza colonna. Ad esempio per lo spazio di drift
0
'10001001
'
pp
xxd
pp
xx
s
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Particelle con deviazione in momento
s
s sdss
ppsDx
0 )(cos)()(
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
• Con la funzione di betatrone (s) (periodica (s+L)=(s)) e con l’emittanza (che si conserva per moto lineare) ho le caratteristiche dell’inviluppo del fascio. Ma particelle con deviazione in momento seguiranno orbite differenti nei magneti. Definisco una funzione D(s) periodica (D(s+L)=D(s)) per descrivere questo spostamento
• Questa funzione, detta dispersione soddisfa
Il valore periodico di questa funzione, detta dispersione, si ricava dalla matrice 3x3 del periodo.
sLs
DD
MMMMMM
DD
1
'1001
' 232221
131211
)(1)(
)(1
22
2
sDsK
sdsDd
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Momentum compaction
2'1''2
22 xdsdsxdsds
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
• prima osservazione: in approssimazione parassiale l’aumento di lunghezza per la traiettoria di una particella compie oscillazioni in un tratto dritto è del secondo ordine
• In un dipolo invece
È un effetto del primo ordine. Nel caso di un anello occorre quindi ben calcolare l’allungamento delle orbite al variare dell’energia. Si definisce il momentum compaction, una costante caratteristica dell’anello che determina l’allungamento dell’orbite per una deviazione di momento data
xdsds 1'
R
p
R DdsR
dsxs
2
0
2
0 21'
pp
RR
p
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione in un sincrotrone (1/2)
• In un sincrotrone l’orbita di rif. è fissa.• L’energia sincrona è determinata dal campo nei
dipoli:
• La frequenza RF deve seguire la freq. di rivoluzione (h numero armonico)
• La tensione data dalle cavità deve essere tale che
Rchh rivRF
Vcos[RF(t)t]
)(0 teBp t
B
iniezione
estrazioneAcceleraz.
00 coseV
dndw
iniezione
estrazione
RF
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione in un sincrotrone (2/2)
• Per la particella generica
• E per la fase
Rchh rivRF
Vcos[RF(t)t]
00 coscos)(
eVdn
wwd
222
0 122
pmcwwd
RdR
dnd
Variazione lunghezza orbita Parametro ottico(dipende da p o da B)
Variazione dellavelocità
Può cambiaresegno “massa negativa”
dR/R= dp/p
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Stabilità di fase
00 coscos)(
eVdn
wwd
Consideriamo il caso di energia bassa (con piccolo, sotto la transizione)La particella generica, con fase ed energia w, avrà (passando nella cavità accelerante) una variazione di energia:
Mentre dopo un periodo arriverà con un ritardo rispetto alla particella nominale:
L’evoluzione del sistema è riducibile all’Hamiltoniano
)(
0232
20 coscos),(
U
eVmcwwwH
w,
Periodo n
222
0 12
pmc
wwdnd
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Stabilità di fase
00 coscos)(
eVdn
wwd
Consideriamo il caso di energia bassa (con piccolo, sotto la transizione)La particella generica, con fase ed energia w, avrà (passando nella cavità accelerante) una variazione di energia:
Mentre dopo un periodo arriverà con un ritardo rispetto alla particella nominale:
L’evoluzione del sistema è riducibile all’Hamiltoniano
)(
0232
20 coscos),(
U
eVmcwwwH
w,
Periodo n+1
222
0 12
pmc
wwdnd
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Stabilità di fase
00 coscos)(
eVdn
wwd
Consideriamo il caso di energia bassa (con piccolo, sotto la transizione)La particella generica, con fase ed energia w, avrà (passando nella cavità accelerante) una variazione di energia:
Mentre dopo un periodo arriverà con un ritardo rispetto alla particella nominale:
L’evoluzione del sistema è riducibile all’Hamiltoniano
w,
Periodo n
222
0 12
mcww
dnd
)(
0222
20 coscos1),(
U
eVmcwwwH
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Stabilità di fase
Quando il termine fra parentesi quadra cambia di segno le fasi Stabile ed instabile si scambiano
)(
0222
20 coscos1),(
U
eVmcwwwH
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Acceleratori isocroni: il ciclotrone
Il ciclotrone, fino a quando può essereapprossimata a 1, è isocrono in quanto l’allungamento delle orbite compensa esattamente l’aumento di velocità
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Accelerazione isocrona
)(
0222
20 coscos1),(
U
eVmcwwwH
Non ci sono più oscillazioni intorno alla particella sincrona, matutte le particelle mantengono la fase iniziale
La dispersione in energia finale dipende dalla lunghezza del pacchetto
)cos(1 ww
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
The 590 MeV Ring Cyclotron of PSI
• Injection Energy 72 MeV • Extraction Energy 590
MeV • Extraction Momentum 1.2
Gev/c • Energy spread (FWHM)
ca. 0.2 % • Beam Emittance ca. 2 pi
mm x mrad • Beam Current 1.6 mA
DC
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Acceleratori isocroni: linac per elettroni
• Al di sopra dei 5-10 MeV tutti gli elettroni viaggiano sostanzialmente alla stessa velocità c
• Non c’è quindi evoluzione nel piano fase energia, né stabilità di fase
S-Band Structures (3 GHz)A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)Structures with 30 MeV/m (average 17 MeV/m)
50GeV+50GeV
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy)
Le stesse strutture vengono utilizzate per la radio terapia
A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori "
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Magneti permanenti
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
SPS tunnel at CERN
FD
dipole
dipole
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
Superconducting cavity criomodules in LEP tunnel
Tunnel LEPCERN
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent " Principi di funzionamento degli acceleratori " Ortisei, Novembre 2005
ALPI at INFN LEGNARO
E
Acceleratore lineare per ioni pesanti (circa 10 MeV/u) basato su cavità superconduttive
criostato
criostato
Quadrupoli magneticiCavità coassiale superconduttiva
Laboratori Nazionali di Legnaro (Italy) A. Pisent "Introduzione corso di Fisica degli Acceleratori " 2009
Bibliografia
• Ecco una selezione di alcune lezioni della scuola CERN su cui si possono trovare gli argomenti trattati a lezione. http://doc.cern.ch/tmp/convert_p17.pdfhttp://doc.cern.ch/tmp/convert_p89.pdfhttp://doc.cern.ch/yellowrep/1994/94-01/p253.pdfhttp://doc.cern.ch/yellowrep/1994/94-01/p289.pdfhttp://doc.cern.ch/yellowrep/1987/1987-010/p15.pdfhttp://doc.cern.ch/tmp/convert_p25.pdfhttp://doc.cern.ch/tmp/convert_p239.pdfhttp://doc.cern.ch/yellowrep/2005/2005-004/p198.pdfhttp://doc.cern.ch/yellowrep/1996/96-02/p39.pdf