Post on 01-May-2015
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Analisi e gestione del rischio
Lezione 15
Tecniche di valutazione di CDO
Valutazione di tranche equity
• Il valore di tranche equity è rappresentato da opzioni put. Dalla parità put-call
EL + Equity = K + Call• Se assumiamo che le perdite abbiano una
distribuzione lognormale• Equity(K) = K – EL + E(L) N(d + s) – KN(d)
= – EL(1 – N(d + s)) + K(1 – N(d ))= – EL(N(– d – s)) + K (N(– d))
che ricorda la formula di Black e Scholes
Tranche equity e senior
• Come nei modelli strutturali, tutte le tranche sono influenzate nella stessa direzione da cambiamenti di valore dell’attivo. L’aumento delle perdite penalizza tutte le tranche.
• Le tranche equity sono inoltre avvantaggiate da aumenti della volatilità, mentre il valore delle tranche senior sono avvantaggiate da riduzioni della volatilità.
• Poiché l’attivo è rappresentato da portafogli il parametro rilevante è la correlazione più che la volatilità.
MC simulation pn a basket of 100 names
Default Probability
Correlation 95%
Correlation 20%
Correlation 0%
Copula gaussiana e correlazione implicita
• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i T e i è il tempo di default del nome i-esimo.
• E’ utilizzata la stessa correlazione per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”.
• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.
Relazioni di arbitraggio
• Assumiamo di conoscere la perdita attesa di due tranche equity 0-% e 0-% ( > ) : qual è il prezzo della tranche mezzanina -%?
• Non è difficile vedere che per escludere possibilità di arbitraggio dobbiamo avere
EL(0-%) – EL(0- %) = EL( -%)• Si noti che si tratta di una relazione di arbitraggio
come quella che determina il prezzo di un call spread.
Base correlation/implied correlation
• Sul mercato è definita base correlation la correlazione delle “equity tranche”: (0- ) e (0- ). Si noti che le perdite su “equity tranche” sono monotone nella correlazione e quindi la base correlation ottenuta dal prezzo di una tranche è unica.
• La correlazione implicita ( - ) (compound implied correlation) è legata alla base correlation dalla relazione di arbitraggio
EL((0- )) – EL((0- )) = EL(( -))• La forma della curva della correlazione implicita per
diversi livelli di perdita è detta “correlation smile”
Base correlation
Copula gaussiana e correlazione implicita
• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i T e i è il tempo di default del nome i-esimo.
• E’ utilizzata la stessa correlazione per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”.
• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.
Tecniche di valutazione
• La valutazione di “tranche” dipende in maniera cruciale dal rischio di credito dei “nomi” dell’attivo della SPV e dalla loro correlazione
• La prassi di mercato è assumere che la correlazione tra i tempi di default dei vari “nomi” portafoglio sia la stessa per tutti. Questo è legato all’assunzione che essi siano generati da un modello fattoriale nel quale il rischio idiosincratico e sistematico (rappresntato dal fattore M) hanno lo stesso peso per tutti i nomi.
ii ZMx 21
Tecniche di valutazione
• Le “tranche” possono essere valutate con due strategie alternative
• Simulazione Monte Carlo della probabilità congiunta di default dei “nomi”.
• Integrazione numerica della probabilità di default condizionale dei “nomi”
Simulazione dei tempi di default con le funzioni di copula
• Generazione di variabili casuali dalla copula Gaussiana di dimensione N
1. Trovare la scomposizione di Cholesky A di R
2. Simulare n variabili casuali indipendenti z = (z1,..., zn)’ da N(0,1)
3. Porre x = Az
4. Porre ui = N(xi) con i = 1,2,...,n dove N denota la distribuzione normale standard univariata
5. (y1,...,yn)’ =[F1-1(u1),...,Fn
-1(un)] dove Fi denota la i-esima distribuzione marginale. Nel caso dei tempi di default abbiamo ui =exp(– ii) da cui i = – ln(ui )/i
Valutazione Monte Carlo di tranche
• La valutazione delle tranche è ottenuta
1. Generando tempi di default i come dalla slide precedente
2. Calcolando l’impatto delle perdite sul valore del capitale delle diverse tranche (sistema di waterfall)
3. Calcolando il valore dei flussi di capitale e interessi delle diverse tranche con la funzione di sconto appropriata.
4. Ripetendo i passi da 1 a 3 per un numero N di iterazioni5. Calcolando il valore di ciascuna tranche come la media
aritmetica dei valori sugli N scenari
Valutazione con la funzone di copula condizionale
• Un strategia alternativa di valutazione consiste nel condizionare il valore della tranche rispetto al fattore comune M.
• In questo modo i default dei “nomi” sono resi independenti e le tranche possono essere valutate di conseguenza.
• La valutazione è poi ottenuta integrando il valore sui diversi valori del fattore comune M.
Valutazione condizionale I• Assumiamo di condizionare le probabilità di
default degli i = 1, 2, …, N nomi rispetto a un particolare scenario m del fattore M in un modello gaussiano.
• Denotando pi la probabilità di default entro il tempo T e i la correlazione del nome i-esimo otteniamo la probabilità di default condizionale
2
1
1 i
iii
mpNNmp
Valutazione condizionale II• Poiché le probabilità di default condizionali sono
indipendenti, i default e le perdite Li possono essere modellate utilizzando la funzione generatrice dei momenti di una distribuzione binomiale (Laurent e Gregory)
j
ii
nLnL
ii
Li
L
LjL
mqmnqsmnqs
mpsmpsEsg i
1
1 0...1
1
Valutazione non condizionale
• Una volta che il valore di ogni tranche è calcolato sotto lo scenario M = m la probabiltà non-condizionale di un numero L(i) di default è ottenuta integrando la probabilità condizionale sugli scenari.
dmmfmiLqiLq
Valutazione non-condizionale• Una volta ottenuta la probabilità di default non
condizionale il valore delle tranche è calcolata dalla perdita attesa corrispondente
n
iadad iLqiLqLLiLLLE
0
10,,1minmax,
Modello fattoriale gaussiano
• Assumiamo un modello in cui c’è un singolo fattore di rischio alla radice di tutte le perdite. La struttura di dipendenza è gaussiana. In termini di probabilità condizionale
dove M è il fattore comune e m è uno scenario particolare.
2
1
1Pr
muN
NmMDefault
Modello di Vasicek
• Vasicek propose un modello in cui un numero molto grande di esposizioni ha la stessa probabilità di default e la stessa dipendenza dal fattore comune
• Probabilità di una percentuale di perdite Ld:
2
1121Pr
pNLN
NLL dd
Il valore delle tranche• Il valore medio della distribuzione è p, il valore è
la probabilità di default di ogni individuo• Il valore della tranche equity con detachment Ld è
Equity(Ld) = (Ld – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))• Il valore della tranche senior tranche con
attachment Ld è
Senior(Ld) = (p – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))dove N(N-1(u); N-1 (v); ) è la copula gaussiana.
Copertura delle tranche
• Le tranche di un CDO non-standard (bespoke CDO) possono essere coperte– con gli indici di credito (iTraxx, CDX)– con altre tranche
• Il mistero di maggio-giugno 2005– Posizioni lunghe in equity coperte con il
mezzanino detenute dai fondi furono vanificate da un improvviso crollo della correlazione