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Analisi Matematica 1 - Polo di Savona
Analisi Matematica 1
Prove Parziali e d’Esame
A.A. 1999/2007
1- PrA1A2.TEX— [.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A ={
1x2 + 9
, x ∈ R}.
A3© Determinare supA e inf A.
B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)
3
Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:
C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|
D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)
2- PrA1A2.TEX— [PrA101.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)
F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a
3- PrA1A2.TEX— [PrA101.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000
Seconda prova Parziale 27/11/2000
Si consideri la successione definita da {an+1 = 3 +
an2
a0 = 3
A3© Verificare che an e crescente ed superiormente limitata.
B3© Calcolare il limite di an
C2© Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione bn = a2n e calcolare b0 ed il limite di bn.
D2© Calcolare
limx→1
sin(x− 1) + (1− cos(x− 1))tan(2x− 2)
E2© Stabilire se f(x) = 11−x2 e invertibile su [−9,−3] ed in caso affermativo calcolarne l’inversa.
4- PrA1A2.TEX— [PrA101.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000
Terza prova Parziale 20/12/2000
Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx
A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1
B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f
Si consideri la funzione
g(x) ={f(x) x > x0
a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0
C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua
D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile
5- PrA1A2.TEX— [PrA101.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A ={
1x2 + 9
, x ∈ R}.
A3© Determinare supA e inf A.
B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)
3
Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:
C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|
D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)
6- PrA1A2.TEX— [PrA102.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)
F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a
7- PrA1A2.TEX— [PrA102.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000
Seconda prova Parziale 27/11/2000
Si consideri la successione definita da {an+1 = a3
n
a0 = 3
A3© Verificare che an ≥ 3.
B3© Verificare che an e crescente.
C2© Calcolare il limite di an.
D2© Calcolare
limx→0
sin(1− cos2(x))x2
E2© Si consideri la funzione
f(x) =√
ln(1 + x2)
F3© Disegnare il grafico di f
G3© Calcolare l’inversa di f ristretta all’insieme A = {x ∈ R : x ≥ 0}.
8- PrA1A2.TEX— [PrA102.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terzaa prova Parziale 19/12/2001
Terzaa prova Parziale 19/12/2001
A3© Disegnare il grafico dif(x) =
√1− x ln(x)
B3© Disegnare il grafico difa(x) =
√a− x ln(x)
al variare di a ∈ R
C2© Stabilire se e possibile prolungare f per continuita nell’origine.
D2© Stabilire se e possibile prolungare f nell’origine in modo che risulti continua e derivabile.
E2© Calcolare f(1) e utilizzare il risultato per (f−1)′(1)
9- PrA1A2.TEX— [PrA102.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000
Terza prova Parziale 20/12/2000
Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx
A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1
B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f
Si consideri la funzione
g(x) ={f(x) x > x0
a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0
C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua
D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile
10- PrA1A2.TEX— [PrA102.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998
Prima prova Parziale 21/10/1998
Si consideri l’insieme
A ={
x
x2 + x+ 1, x ∈ R
}.
A© Determinare i maggioranti di A
B© Determinare supA
B© Determinare i minoranti di A
C© Determinare inf A
D© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo
C2© Dimostrare, usando il principio di induzione, che
3(n)! > 2n ∀n ∈ N
11- PrA1A2.TEX— [PrA103.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la funzione
f(x) =
√(x
1 + x
)2
A© Calcolarelim
x→+∞f(x)
B© Disegnare il grafico di x1+x
C© Disegnare il grafico di f(x)
D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto
E© Calcolare
limx→0
sin(x2)1− (cos(x))4
F© Calcolarelim
x→+∞
√x− 1−
√x3 − 1
12- PrA1A2.TEX— [PrA103.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
Terza prova Parziale 19/12/1998
Si consideri la funzionef(x) = x2e−x
A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f
B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.
C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x
D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)
13- PrA1A2.TEX— [PrA103.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1
14- PrA1A2.TEX— [PrA103.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Si consideri l’insieme
A ={
1x+ 1
, x ∈ R , x ≥ 1}.
A© Determinare i maggioranti di A
B© Determinare supA
C© Determinare i minoranti di A
D© Determinare inf A
E© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo
F© Dimostrare, usando il principio di induzione, che
n∑k=1
2−k = 1− 2−n ∀n ∈ N
15- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la successione definita da {an+1 =
65− an
a0 = k
A© Disegnare il grafico della funzione
f(x) =6
5− x
B© Verificare che se k ∈ [2, 3], an ∈ [2, 3]
C© Verificare che se k ∈ [2, 3], an e decrescente
D© Stabilire se an ammette limite ed, in caso affermativo, calcolarlo
E© Determinare al variare di k il comportamento della successione (non e richiesto dimostrare le affermazionie si puo procedere graficamente
F© Calcolare al variare di α
limx→0
ex − cos(x)xα
16- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003
Terza Prova scritta 19/12/2003
Si consideri la funzionef(x) = x ln(1 + x2)
A© Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo.
D© Calcolare f ′(x) ed f ′′(x)
E© Disegnare il grafico di f ′
E© Disegnare il grafico di f
17- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998
Seconda prova Parziale 25/11/1998
Si consideri la funzione
f(x) =
√(x
1 + x
)2
A© Calcolarelim
x→+∞f(x)
B© Disegnare il grafico di x1+x
C© Disegnare il grafico di f(x)
D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto
E© Calcolare
limx→0
sin(x2)1− (cos(x))4
F© Calcolarelim
x→+∞
√x− 1−
√x3 − 1
18- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
Terza prova Parziale 19/12/1998
Si consideri la funzionef(x) = x2e−x
A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f
B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.
C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x
D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)
19- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998
E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1
20- PrA1A2.TEX— [PrA104.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Sia
f(x) =x2 + 22x2 − 1
, g(x) =x+ 22x− 1
A© Disegnare il grafico di g
B© Disegnare il grafico di f
C© Determinaresup{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
D© Determinareinf{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
E© Determinare, se esistono,max{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
min{f(x) : x ∈ [1,+∞)}
21- PrA1A2.TEX— [PrA105.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 29/11/2004
Seconda prova Parziale 29/11/2004
A© Calcolare
limx→0
sin(3x3)ln(1 + x3)
B© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)x2
C© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)− x
5x
D© Calcolare
limx→0
ex2 − cos(x)x2 + x4
E© Calcolare al variare di α e di β
limx→0
exα − 1
(ln(1 + x))β
22- PrA1A2.TEX— [PrA105.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si considerif(x) = e−x
2(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1e
calcolare (g−1
)′(2 +
1e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4+ 2)
23- PrA1A2.TEX— [PrA105.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
24- PrA1A2.TEX— [PrA105.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003
Prima prova Parziale 22/10/2003
Sia
f(x) = tan(π
4x2 − π
4
)A© Disegnare il grafico di f per x ∈ [−3, 3]
B© Disegnare il grafico di f−1 per f ristretta a (√
3, 2]
C© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a (√
3, 2]
D© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a [−2,−√
3)
E© Determinare una espressione per la somma delle prime N potenze naturali di 5 e provarne, per induzionela validita.
25- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005
Seconda prova Parziale 24/11/2005
A© Calcolare
limx→0
√1− x− 1
x
B© Calcolare
limx→0
sin(x6)x2 ln(1 + 2x4)
C© Calcolare
limx→+∞
sin(x)5x
D© Calcolare
limx→−∞
x4 + 2x+ 1x2 + 3x4
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→2−
E(x) = 1
(E(x) e la parte intera di x).
26- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
Terza Prova Parziale 21/12/2005
Si consideri la funzionef(x) = 1 + be−
x22
A© Disegnare il grafico di f
B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)
C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}
27- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1
E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)
28- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si considerif(x) = e−x
2(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1e
calcolare (g−1
)′(2 +
1e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4+ 2)
29- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
30- PrA1A2.TEX— [PrA106.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2006
Prima prova Parziale 17/10/2006
Si consideri l’insieme
A ={
3√x2 − 2x+ 2
: x ∈ R}
A© Determinare maggioranti e minoranti di A.
B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A
C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.
D© Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione.Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n1, n2, ..., nk al quadrato e un quadrato. In
altre parolek∑j=1
n2j = m2 con m ∈ N , ∀k ∈ N
Dimostrazione Per n = 1 si ha che n21 e un quadrato
Supponiamo il teorema vero per k e verifichiamo che e vero per k + 1.Consideriamo
k+1∑j=1
n2j = n2
1 +k+1∑j=2
n2j
Per l’ipotesi induttiva,k+1∑j=2
n2j = m2
1 con m1 ∈ N
quindi
n21 +m2
1 = m22 con m2 ∈ N
e si conclude.Si chiedeIl teorema e vero?La dimostrazione e corretta?Nel caso la dimostrazione non sia corretta, perche non e corretta?
31- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
Seconda prova Parziale 30/11/2006
A© Un carrello si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.
La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradiDisegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo.
B© Calcolare
limx→0
1− cos(x3)x2(1− e2x4)
C© Calcolare (E(x) e la parte intera di x)
limx→+∞
arctan(E(x))5x
32- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006
D© Calcolare, al variare di a
limx→−∞
x4 + 2xx2 + ax4
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→π
sin(x) = 0
F© Calcolare
limx→0
2−√
4− xx
33- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2006
Terza Prova Parziale 20/12/2006
Si consideri la funzionef(x) = a
x
x2 − 5x+ 6
A© Disegnare il grafico di f al variare di a
B© Determinare, se possibile, x0 in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f inx0 valga 1
C© Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ′(x) = f(x)per x ∈ R \ {2, 3}
D© Determinare, se possibile, l’inversa di f ristretta a [0, 1]
34- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005
Seconda prova Parziale 24/11/2005
A© Calcolare
limx→0
√1− x− 1
x
B© Calcolare
limx→0
sin(x6)x2 ln(1 + 2x4)
C© Calcolare
limx→+∞
sin(x)5x
D© Calcolare
limx→−∞
x4 + 2x+ 1x2 + 3x4
E© Verificare mediante la definizione di limite che
limx→2−
E(x) = 1
(E(x) e la parte intera di x).
35- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
Terza Prova Parziale 21/12/2005
Si consideri la funzionef(x) = 1 + be−
x22
A© Disegnare il grafico di f
B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)
C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}
36- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005
D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1
E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)
37- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Terza prova Parziale 20/12/2004
Si considerif(x) = e−x
2(1− 4x2) + 2
A© Disegnare il grafico di f
B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri
g(x) =√|x|(e−x
2+ 2)
C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g
D© Dopo aver verificato che
g(1) = 2 +1e
calcolare (g−1
)′(2 +
1e
)
E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x
4+ 2)
38- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
39- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004
Analisi Matematica 2
Prove Parziali e d’Esame
A.A. 1999/2007
40- PrA1A2.TEX— [PrA107.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 12/03/1998
Prima Prova Scritta 12/03/1998
Si considerino le funzionif(x) = sinx3 g(x) = ex
2
A2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di sinx e ex di ordine n con il resto nella forma di Peano.
B2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.
C2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f(x)g(x) di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.
D2© Calcolare, al variare di α reale
limx→0
(ex2 − 1) sinx3
xα
E2© Determinare l’ordine di infinitesimo di (ex2 − 1) sinx3 nell’origine.
41- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 19/03/1998
Seconda Prova Scritta 19/03/1998
Si considerino le funzioni
f(x) = ln(1 + x) g(x) = (sinx)2 h(x) = ln(
1 +(sinx)2
10
)
A3© Determinare il polinomio di McLaurin di f che approssima f a meno di 1200 sull’intervallo
[0, 110 ].
B3© Determinare l’errore che si commette sostituendo ad h(x) il valore (sin x)2
10 per x ∈ R
C3© Trovare lo sviluppo di McLaurin di g di ordine 2 e stimare il resto di Lagrange corrispondenteper x ∈
[− 1
10 ,110
]
D3© Stimare l’errore che si commette sostituendo h(x) con x2
10 per x ∈[− 1
10 ,110
]
42- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 26/03/1998
Terza Prova Scritta 26/03/1998
Si consideri la funzionef(x) = (1 + x) arctanx
A1© Calcolare la derivata prima di ff ′(x) =
B1© Calcolare la derivata seconda di ff ′′(x) =
C2© Disegnare il grafico di f ′
D2© Disegnare il grafico di f
E2© Precisare dove f e convessa e dove f e concava
E2© Determinare la retta tangente al grafico di f nei punti in cui f ′′ si annulla e stabilire laposizione di tale retta rispetto al grafico.
43- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 16/04/1998
Quarta Prova Scritta 16/04/1998
Si consideri la funzione
f(x) ={x2 + 1 x ∈ [0, 1]ax+ b x ∈ (1, 2]
A2© Determinare i valori di a, b ∈ R in corrispondenza dei quali f e integrabile su [0, 2]
B2© Scrivere le somme superiori U1(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto allapartizione
Pn = {kn
: k = 0, 1, 2, ..., n}
U1(f, Pn) =
C2© Scrivere le somme superiori U2(f,Qn) della funzione f sull’intervallo [1, 2] rispetto allapartizione
Qn = {1 +k
n: k = 0, 1, 2, ..., n}
U2(f,Qn) =
D2© Scrivere le somme superiori U(f, Pn ∪Qn) della funzione f sull’intervallo [0, 2] rispetto allapartizione Pn ∪QnU(f, Pn ∪Qn) =
E2© Calcolare∫ 2
0f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn∪Qn) per n che tende ad infinito, precisando
le ragioni per cui tale limite fornisce l’integrale richiesto.
44- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 23/04/1998
Quinta Prova Scritta 23/04/1998
Si consideri la funzione
f(x) =
{arctanx+
1x2 − 1
x < 3
sin2(x− 1) + a x ≥ 3
A2© Determinare una primitiva di f su (3,+∞) precisando dove e definita.
B2© Determinare una primitiva di f su (−∞, 3) precisando dove e definita.
C2© Determinare per quali a ∈ R f ammette primitiva su R e determinarne una precisandodove e definita.
D2© Per i valori di a ∈ R per i quali f ammette primitiva su R determinare tutte le primitivedi f precisando dove sono definite.
E2© Calcolare al variare di a ∈ R∫ 4
2f(x)dx∫ 4
2f(x)dx =
45- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/1998
Sesta Prova Scritta 29/04/1998
Si consideri la funzione f il cui grafico e rappresentato di seguito
A5© Disegnare il grafico della funzione
F (x) =∫ x
1
f(t)dt
B2© Precisare dove F e derivabile
C2© Calcolare, se esistono, F ′(0), F ′(0−), F ′(0+).
D1© Calcolare
F (x) =∫ −4
−10
f(t)dt
46- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 07/05/1998
Settima Prova Scritta 07/05/1998
Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) = ey
2(x)
y(x0) = y0
A2© Stabilire esistenza ed unicita locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0 ∈ R
B3© Disegnare il grafico della funzione
F (y) =∫ y
y0
e−t2dt
C2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 1
D3© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0
47- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 07/05/1998
Ottava Prova Scritta 07/05/1998
Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) = f(y(x))y(x0) = y0
dove
f(y) =
{1 y > 13√y −1 ≤ y ≤ 1−1 y < −1
A2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = π4
B3© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = −2
C2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 2
D3© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0
48- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 21/05/1998
Nona Prova Scritta 21/05/1998
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− 2y′(x) + 2y(x) = ex + sinx
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C2© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0
D2© Scrivere il sistema di primo ordine equivalente all’equazione data
E2© Scrivere tutte le soluzioni del sistema trovato e determinarne una matrice fondamentale.
49- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 02/06/1998
Decima Prova Scritta 02/06/1998
Si consideri la funzione
f(x, y) = x3 + y2
A2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2
B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = x,y = 2x− 2, y = 0
C2© Disegnare le curve di livello di f
D2© Calcolare la matrice Hessiana Hf(1, 0) nel punto (1, 0)
E2© Calcolare le derivate di f nel punto (2, 0) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f ′((2, 0), (a, b)))
50- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 12/03/1998
Prima Prova Scritta 12/03/1998
Si considerino le funzioni
f(x) = log(1 + x4) g(x) = cos(x)
A4© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 5
B6© Calcolare,
limx→0
(g(x)− 1)2 − f(x)x4
51- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 19/03/1998
Seconda Prova Scritta 19/03/1998
Si consideri la funzione
f(x) = arctanx
A3© Determinare il polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine
B3© Scrivere il resto di Lagrange relativo al polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine
C4© Determinare δ in modo che|f(x)− p(x)| ≤ 10−3
su [−δ, δ]
52- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 26/03/1998
Terza Prova Scritta 26/03/1998
Si consideri la funzionef(x) = x log(1 + x)
A4© Disegnare il grafico di f ′
D6© Disegnare il grafico di f
53- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 16/04/1998
Quarta Prova Scritta 16/04/1998
Si consideri la funzione
f(x) = x2 + x
A5© Scrivere le somme superiori U(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto allapartizione
Pn ={k
n: k = 0, 1, 2, ..., n
}U(f, Pn) =
B5© Calcolare∫ 1
0f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn) per n che tende ad infinito, precisando le
ragioni per cui tale limite fornisce l’integrale richiesto.
54- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 23/04/1998
Quinta Prova Scritta 23/04/1998
Si consideri la funzione
f(x) ={
2ax+ b x > 0log(1 + x) −1 < x ≤ 0
A3© Determinare a, b ∈ R in modo che f ammetta primitiva su (−1,+∞)
B3© Determinare una primitiva di f su (−1,+∞).
C4© Per i valori di a, b ∈ R per i quali f ammette primitiva su (−1,+∞) determinare tutte leprimitive di f
55- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/1998
Sesta Prova Scritta 29/04/1998
Si consideri la funzione f il cui grafico e rappresentato di seguito
A10© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt precisando crescenza convessita ed
asintoti
56- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 07/05/1998
Settima Prova Scritta 07/05/1998
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 1 + y4(x)y(x0) = y0
A4© Stabilire esistenza ed unicita locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0 ∈ R
B6© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0
57- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 07/05/1998
Ottava Prova Scritta 07/05/1998
Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) =
√|y(x)|
y(x0) = y0
A5© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 1
B5© Determinare tutte le soluzioni costanti e disegnare il grafico delle soluzioni al variare deidati iniziali x0, y0
58- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 21/05/1998
Nona Prova Scritta 21/05/1998
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− 3y′(x) + 2y(x) = ex + x
A3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B4© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C3© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0
59- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 02/06/1998
Decima Prova Scritta 02/06/1998
Si consideri la funzione
f(x, y) = xy2 − x
A4© Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = 2 − x,y = 2, x = 2
B3© Disegnare le curve di livello di f
C3© Calcolare le derivate di f nel punto (1, 1) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f ′((1, 1), (a, b)))
60- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame giugno 11/06/1999
Esame giugno 11/06/1999
COGNOME NOME Corso
Numero di matricola
Si consideri la funzione
f(z) =∫ z
0
e−t2dt
A3© Studiare il grafico della funzione f
B3© Studiare il grafico della funzione per 1f(s)ds
C3© Studiare il grafico della funzione per ∫ y
1
1f(s)
ds
D3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy{y′(x) = f(y(x))y(x0) = y0
COGNOME NOME Corso
Numero di matricola
Si consideri l’equazione
y′′′(x) + 27y(x) = 2e−3x + 1
E3© Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata
E3© Determinare le soluzioni dell’equazione completa
F3© Scrivere un sistema del primo ordine equivalente all’equazione data.
G6© Determinare le soluzioni del sistema trovato precisando la matrice fondamentale del sistemaomogeneo ad esso associato.
61- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 25/06/1999
Esame Luglio 25/06/1999
Si consideri il problema di Cauchyy′′(x) = 1 + (y′(x))2
y(0) = 0y′(0) = 0
A3© Provare che la soluzione del problema e convessa dove e definita.
B3© Provare che la soluzione ha un minimo locale in 0
C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
D3© Determinare esplicitamente tutte le soluzioni del’equazione differenziale data
E3© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.
Si consideri
f(x) = tan(x)
A4© Determinare una primitiva di f
B3© Determinare tutte le primitive di f
C3© Determinare l’area a della parte di piano delimitata dagli assi, dalla retta x = 1 e dal graficodella funzione f
D5© Stabilire se esiste e determinare c ∈ [0, 1] tale che f(c) = a
62- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 16/07/1999
Esame Luglio 16/07/1999
Si consideri il sistema {y′(x) = 3y(x)− 2z(x) + ex
z′(x) = 2y(x)− z(x) + x
A3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato
B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo
C3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0
D3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo tali che y(0) = 0
E3© Precisare se le soluzioni ottenute in ciascuno dei punti precedenti e uno spazio vettorialee, in caso affermativo trovarne la dimensione
Si consideri
f(x) =2x
1 + x2
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Disegnare il grafico di g(x) = f(E(x)) dove E indica la parte intera.
C3© Disegnare il grafico di F (y) =∫ +∞y
e−x
1+x2 dx
D5© Disegnare il grafico di F (y) =∫ +∞g(x)
e−x
1+x2 dx
63- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Settembre 17/09/1999
Esame Settembre 17/09/1999
Si consideri la funzione
f(x) =
x
x2 + 1x < 0
1 0 ≤ x < 11x
1 ≤ x < 210x4
x ≥ 2
A5© Disegnare il grafico di f
B5© Disegnare il grafico di f ′
C5© Disegnare il grafico di∫ x1f(t)dt
Si consideri l’equazione differenziale
y′(x) = y7(x)− 1
A3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 0
B2© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 1
C3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) > 1
D3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) < 1
E3© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni
64- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Gennaio 17/01/2000
Esame Gennaio 17/01/2000
Si consideri la funzione
f(x) = arctan(k(x3 − x))
A5© Disegnare il grafico di f
B5© Disegnare il grafico di f ′
C5© Disegnare il grafico di∫ x0f(t)dt
D5© Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = 0 al variare di k
Si consideri l’equazione differenziale
y′′′(x) + y(x) = x
A3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea
B3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C4© Stabilire se le soluzioni del problema completo costituiscono uno spazio vettoriale e, incaso affermativo, determinarne la dimensione.
D5© Trovare tutte le soluzioni del problema completo tale che y(0)=0
65- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 2/02/2000
Esame Febbraio 2/02/2000
Si consideri la funzione
f(x) = ln |1− x2
k2|
g(x) = arctan(x)
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Disegnare il grafico di g
C4© Disegnare il grafico di g(f(x))
D4© Disegnare il grafico di f(g(x))
Si consideri l’equazione differenzialey′(x) =y(x)
sin y(x)y(x0) = y0
A3© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato
B3© Scrivere la retta tangente al grafico della soluzione per x0 = y0 = 1
C4© Disegnare il grafico delle soluzioni del problema per x0 = y0 = 1
D5© Disegnare il grafico delle soluzioni del problema.
66- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 22/02/2000
Esame Febbraio 22/02/2000
Si consideri la funzione
f(x) =e−x
1− x2
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x0f(t)dt
C4© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f
Si consideri l’equazione
y(x) = 2 +∫ x
1
1sin(y(t))
dt
A3© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato
B3© Determinare la soluzione dell’equazione data
C4© Disegnare il grafico delle soluzioni dell’equazione
D5© Scrivere il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione del problema
67- PrA1A2.TEX— [PrA299.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 09/03/2000
Prima Prova Scritta 09/03/2000
Si consideri la funzionef(x) = (1 + x)ex
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente algrafico di f nel punto (0, f(0)0
68- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 09/03/2000
C2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 3 con il resto nella forma di Lagrange
D2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano
E2© Determinare l’ordine di infinitesimo a di (1 + x)ex − 1− 2x nell’origine e calcolare
limx→0
(1 + x)ex − 1− 2xxa
COGNOME NOME Corso
Numero di matricola
69- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 16/03/2000
Seconda Prova Scritta 16/03/2000
Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0, f(α) = −1, f(β) = −2. f(γ) = 1
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Precisare gli intervalli in cui f e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.
C1© Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f ′
D2© Stimare, usando il teorema di Lagrange, f(a).
70- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 23/03/2000
Terza Prova Scritta 23/03/2000
Si consideri la funzione
f(x) ={−1 x ∈ [0, 1)3x2 x ∈ [1, 2]
e la partizione Pn = { kn , k = 0, 1, 2, 3, ...., 2n}
A1© Disegnare il grafico di f
B2© Calcolare le somme superiori U(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn
C2© Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn
D2© Calcolare limn U(f, Pn) e limn L(f, Pn)
E3© Calcolare∫ 2
0f(x)dx
71- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 30/03/2000
Quarta Prova Scritta 30/03/2000
Si consideri la funzione f il cui grafico e indicato in figura
A3© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt
B2© Precisare il valore che la funzione F assume in −1, 0, 1, 2, 3, 4
Si consideri la funzione g il cui grafico e indicato in figura
C2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x0g(t)dt
D3© Precisare il segno di G
72- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 06/04/2000
Quinta Prova Scritta 06/04/2000
Si consideri la funzione
f(x) =
1− x2 |x| < 11x− 1 x > 1
1x
+ 1 x < −1
A3© Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D
B2© Determinare una primitiva di f su D
C2© Determinare tutte le primitive di f su D
D3© Determinare una espressione esplicita per
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
73- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 13/04/2000
Sesta Prova Scritta 13/04/2000
Si consideri la funzione
f(x) =1
x(x− 1)
A3© Calcolare ∫ +∞
4
f(t)dt,∫ 4
1
f(t)dt,∫ 4
2
f(t)dt
B2© Disegnare il grafico di ∫ x
4
f(t)dt
C2© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f
74- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 13/04/2000
Settima Prova Scritta 13/04/2000
Si consideri il problema di Cauchy{ey(x)y′(x) = 2x(ey(x) + 1)y(x0) = y0
A2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 0, precisando il campo didefinizione
B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 1, y0 = −1 precisando il campodi definizione
C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = −1, y0 = −1 precisando il campodi definizione
C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 1 precisando il campo didefinizione
75- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 13/04/2000
Ottava Prova Scritta 13/04/2000
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 3
√ln(y(x) + 1)
y(x0) = y0
A2© Determinare le soluzioni costanti dell’equazione differenziale data
B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 1 precisando il campo didefinizione ed eventuali prolungamenti.
C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = −1/2 precisando il campodi definizione ed eventuali prolungamenti.
C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di x0, y0
76- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 18/05/2000
Nona Prova Scritta 18/05/2000
Si consideri l’equazione differenziale
y′′′(x) + 4y′(x) = sin(x) + sin(2x)
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0, y′(0) = 0 e y′′(0) = 0
D2©
Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0 e y(Π) = 0
77- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 25/05/2000
Decima Prova Scritta 25/05/2000
Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = −2x(t) + y(t) + f(t)y(t) = 2x(t)− 2y(t) + g(t)
A2© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.
B2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = 0.
C2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = 0 e g(t) = e2t.
D2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = e2t.
78- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 25/05/2000
Undicesima Prova Scritta 25/05/2000
Si consideri la funzione
f(x, y) = x2 + 2xy
e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
x}
A2© Disegnare le curve di livello di f
B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su D
C2© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
79- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 12/06/2000
Prima Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzionef(x) = (1 + x) ln(x+ 1)
A3© Disegnare il grafico di f
B4© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente algrafico di f nel punto (0, f(0))
D3© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano
80- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 12/06/2000
Seconda Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto che f(0) = 0 e che
f ′(x) =
1− x2 x < 2x2 2 ≤ x ≤ 312− x x > 3
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Precisare gli intervalli in cui f e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.
C3© Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f ′
81- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 12/06/2000
Terza Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione
f(x) = x2 + x
e la partizione Pn = { kn , k = 0, 1, 2, 3, ...., n}
A1© Disegnare il grafico di f
B4© Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 1] rispetto alla partizione Pn
D4© Calcolare limn L(f, Pn)
E1© Calcolare∫ 1
0f(x)dx
82- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 12/06/2000
Quarta Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione f il cui grafico e indicato in figura
A5© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt
B5© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x2
0f(t)dt
83- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 12/06/2000
Quinta Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione
f(x) =
{x |x| ≤ 11 x > 1−1 x < −1
A3© Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D
B2© Determinare una primitiva di f su D
C2© Determinare tutte le primitive di f su D
D3© Determinare una espressione esplicita per
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
84- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 12/06/2000
Sesta Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione
f(x) =1x
+2
3− x+
13 + x
=9 + 9x9x− x3
A5© Calcolare ∫ +∞
4
f(t)dt,∫ 1
0
f(t)dt,∫ 2
1
f(t)dt
B5© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f
85- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 12/06/2000
Settima Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 2xe−y(x)
y(x0) = y0
A4© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 0, precisando il campo didefinizione
B6© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema al variare di x0, y0
86- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 12/06/2000
Ottava Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = ln(y(x) + 1)y(0) = y0
A4© Disegnare il grafico della soluzione del problema per y0 = 1 e precisare il campo didefinizione ed eventuali prolungamenti.
B6© Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di y0
87- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 12/06/2000
Nona Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− 3y′(x) + 2y(x) = e2x
A4© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0
88- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 12/06/2000
Decima Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = x(t) + f(t)y(t) = 2x(t) + 3y(t)
A5© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.
B5© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = et.
89- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 12/06/2000
Undicesima Prova Scritta 12/06/2000
Si consideri la funzione
f(x, y) = y2 + x+ y
e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4− x}
A3© Disegnare le curve di livello di f
B4© Determinare massimi e minimi assoluti di f su D
C3© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
90- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame giugno 12/06/2000
Esame giugno 12/06/2000
Si consideri la funzione
f(x) =2
x(1− x2)
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x0f(t)dt
C4© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f
Si consideri l’equazione
xy′′(x)− y′(x) = |x|
A3© Risolvere l’equazione omogenea associata all’equazione data
B3© Risolvere l’equazione data su R+
C4© Risolvere l’equazione data su R−
D5© Risolvere l’equazione data su R
91- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame giugno 27/06/2000
Esame giugno 27/06/2000
Si consideri la funzione
f(x) =ex
x2 + x
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x4f(t)dt
C4© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x−∞ f(t)dt
Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{y′(x) = y(x) + z(x) + xz′(x) = z(x) + 1
A3© Risolvere il sistema omogeneo associato
B3© Risolvere il sistema
C4© Trovare la soluzione del sistema omogeneo associato tale che y(0) = z(0) = 0
D5© Trovare la soluzione del sistema tale che y(0) = z(0) = 0
92- PrA1A2.TEX— [PrA200.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame luglio 14/07/2000
Esame luglio 14/07/2000
Si consideri la funzione
fk(x) = e2x + kex
A4© Determinare gk(t) tale chefk(x) = gk(ex)
e disegnarne il grafico al variare di k ∈ R
B3© Disegnare il grafico di fk(x) al variare di k ∈ R
C4© Per k = 2 Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f2(t)dt
C4© Per k = 2 determinare un intervallo in cui f2 e invertibile e trovarne l’inversa.
Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{y′′(x) + y′(x) = z(x)z′(x) + z(x) = x
A5© Determinare tutte le soluzioni del sistema dato
B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema dato
C3© Scrivere un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine equivalente al sistemadato
D4© Trovare una matrice fondamentale del sistema del primo ordine trovato al punto precedente.
93- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 09/03/2000
Prima Prova Scritta 09/03/2000
Si consideri la funzionef(x) = x cos(
√x)− sin(x)
A2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q2(x) di sin(x) di grado 2,
B2© Scrivere il polinomio di McLaurin R2(x) di x cos(√x) di grado 2,
C2© Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,
D2© Calcolare al variare di n ∈ N
limx→0
f(x)xn
E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]
94- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 22/03/2000
Seconda Prova Scritta 22/03/2000
Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0.
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Precisare gli intervalli in cui f e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.
C1© Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f ′
D2© Stimare, usando il teorema di Lagrange, f(1).
95- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 22/03/2000
Terza Prova Scritta 22/03/2000
Si consideri la funzionef(x) = xe−x
6+ax2
A4© Determinare il campo D di definizione di f ed i limiti di f agli estremi del campo
B3© Calcolare f ′ e disegnare il grafico di
g(x) =f ′(x)
e−x6+ax2
C1© Disegnare il grafico di f
D2© Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3
96- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 05/04/2001
Quarta Prova Scritta 05/04/2001
Si consideri la funzione
f(x) =
{1 x ≤ 1x− 1 1 < x ≤ 20 x > 2
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitatadall’asse delle x, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x
e dal grafico di f .
C1© Disegnare il grafico di A
D2© Calcolare le somme superiori e le somme inferiori di f sull’intervallo [1, 2] relativamentealla partizione
Pn = {1 +k
n: k = 0, ..., n}
97- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 05/04/2001
Quinta Prova Scritta 05/04/2001
Si consideri la funzione
f(x) =
1
x2 + 1− 1
2x ≤ 1
ln(x) 1 < x ≤ 2x+ a x > 2
A4© Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R
B3© Calcolare una primitiva di f su R, per gli a per cui cio e possibile
C1© Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui cio e possibile
D2© Per a = 0, disegnare il grafico di F (x) =∫ x1f(t)dt
98- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 05/05/2001
Sesta Prova Scritta 05/05/2001
Si consideri la funzionef(x) =
13√x− 1(ex − 1/e)
A4© Determinare gli intervalli in cui f e integrabile (propriamente)
B3© Stabilire se f e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = 1
C1© Stabilire se f e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = −1
D2© Stabilire se f e integrabile in senso improprio su [3,+∞) oppure su (−∞,−5]
D2© Disegnare il grafico di
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
99- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 05/05/2001
Settima Prova Scritta 05/05/2001
Si consideri il problema di Cauchyy′(x) =1
ln(y(x)) + 1y(0) = a
A2© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema dato, al variare di a.
B3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = e
C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1/over2e
D2©Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare di a
100- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 05/05/2001
Settima Prova Scritta 05/05/2001
Si consideri l’equazione
y′′(x)− 5y′(x) + 6y(x) = e2x + sin(x)
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea completa tali che y(0) = 0
D2© Scrivere un sistema differenziale lineare di primo ordine equivalente all’equazione data:
E2© Risolvere il sistema trovato al punto precedente
101- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 05/05/2001
Nona Prova Scritta 05/05/2001
Si consideri il sistema di equazioni differenziali{y′(x) = −y(x) + 2z(x) + ex
z′(x) = 3y(x) + 4z(x)
A2© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato
B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo
C3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0
D2© Scrivere un’equazione differenziale del secondo ordine equivalente al sistema dato
102- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 31/05/2001
Decima Prova Scritta 31/05/2001
Si consideri la funzione
f(x, y) = x4 + x2 + y2
A2© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1)
B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2
C3© Determinare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1}
D3© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
103- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R
Prima Prova Scritta R
Si consideri la funzionef(x) = ex − sin(x2)
A2© Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,
D2© Calcolare al variare di n ∈ N
limx→0
f(x)xn
E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]
104- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R
Seconda Prova Scritta R
Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0.
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Precisare gli intervalli in cui f e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.
C1© Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f ′
105- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R
Terza Prova Scritta R
Si consideri la funzionef(x) = x+ e−x
2
A4© Calcolare f ′ e disegnare il grafico di g(x) = f ′(x)
C1© Disegnare il grafico di f
D2© Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3
106- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R
Quarta Prova Scritta R
Si consideri la funzione
f(x) =
{0 x ≤ −1|x|+ 1 −1 < x ≤ 11 x > 1
A4© Disegnare il grafico di f
B3© Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitatadall’asse delle x, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x
e dal grafico di f .
C1© Disegnare il grafico di A
107- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R
Quinta Prova Scritta R
Si consideri la funzione
f(x) =
1x
x ≤ 11 1 < x ≤ 2x+ a x > 2
A4© Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R \ {0}
B3© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}, per gli a per cui cio e possibile
C1© Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui cio e possibile
108- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R
Sesta Prova Scritta R
Si consideri la funzionef(x) =
1√x+ 1(x− 4)
A4© Disegnare il grafico di
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
109- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R
Settima Prova Scritta R
Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) =
1e−y2(x)
y(0) = a
A2© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 0
C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1
D2©Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare di a
110- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R
Ottava Prova Scritta R
Si consideri l’equazione
y′′(x) + 9y(x) = e2x + x
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata
B3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa tali che, y(0) = 0, y′(0) = 0
111- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R
Nona Prova Scritta R
Si consideri il sistema di equazioni differenziali{y′(x) = −y(x) + 2z(x) + ex
z′(x) = y(x)
A2© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato
B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo
112- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R
Decima Prova Scritta R
Si consideri la funzione
f(x, y) = x4 + y2
A2© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1)
B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1}
D3© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
113- PrA1A2.TEX— [PrA201.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 06/03/2002
Prima Prova Scritta 06/03/2002
Si consideri la funzione g il cui grafico e quello indicato nella figura seguente
A2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f(0) = 0 e f ′(x) = g(x) per tutti gli x 6= −1, 1, 2,f continua
B2© Stabilire se f e derivabile in x = 0, x = 1, x = 2 ed in caso affermativo determinare f ′(0),f ′(1), f ′(2).
C2© Determinare sul grafico un punto c ∈ (2, 5) tale che
f ′(5)− f ′(2) = f ′′(c)(5− 2)
114- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 06/03/2002
D2© Usando le informazioni contenute nel grafico di f ′ maggiorare
|f(5)− f(2)| = |f ′(c)(5− 2)|
115- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 14 Marzo 2002
Seconda Prova Scritta 14 Marzo 2002
Si considerino le funzioni
f(x) = ln(1 + 2x) , g(x) = ex2− 1
A2© Scrivere il polinomio di McLaurin P4(x) di f(x) di grado 4,
B2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q4(x) di g(x) di grado 4,
C2© Calcolare
limx→0
f(x) + g(x)− 2xx2
E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) (Polinomio di McLaurin di grado2) ad f(x) in [0, 1/10]
116- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002
Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002
Si considerino la funzionef(x) = x arctan(x) + ax2
A2© Calcolare derivata prima e derivata seconda
B2© Disegnare il grafico di f ′′ precisando al variare di a quanti zeri ammette.
C2© Disegnare il grafico di f ′, al variare di a
E2© Disegnare il grafico di f , al variare di a
117- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002
118- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 04 Aprile 2002
Quarta Prova Scritta 04 Aprile 2002
Si considerino la funzione
f(x) ={x+ 4 x ∈ [−1, 0]4 x ∈ (0, 1]
sia Pn la partizione di [−1, 0] definita da
Pn = {xk = −1 +k
n, k = 0....n}
sia Qn la partizione di [0, 1] definita da
Qn = {xk =k
n, k = 0....n}
A2© Calcolare le somme superiori di f su [0, 1] rispetto alla partizione Q4
B2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 0] rispetto alla partizione P4
C2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn
D2© Calcolare il limite delle somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn
119- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 04 Aprile 2002
Quinta Prova Scritta 04 Aprile 2002
Si considerino la funzione
f(x) =
{e−x(1− x) x ≥ 0x
x2 + 1x < 0
A2© Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione.
B2© Disegnare il grafico di
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
precisando il suo campo di definizione.
C2© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}
D2© Stabilire se esiste una primitiva di f su R, giustificando le affermazioni.
120- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002
Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002
Si considerino la funzione che per x < 3 e definita dal grafico indicato in figura
mentre per x ≥ 3
f(x) =20
1 + x2
Si supponga inoltre che l’area ombreggiata in figura valga 4 e si consideri
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
A2© Calcolarelim
x→+∞F (x)
B2© Disegnare il grafico di
G(x) =∫ x
3
f(t)dt
C2© Disegnare il grafico di F
121- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002
D2© Disegnare il grafico di
H(x) =∫ x2
0
f(t)dt
122- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 02 Maggio 2002
Settima Prova Scritta 02 Maggio 2002
Si consideri la funzione
f(x) =
ln(|x|) x < 0
1√x(√x−√
2) 0 < x < 2
0 x > 2
e si definisca
F (x) =∫ x
1
f(t)dt
A2© Determinare il campo di definizione di F ed i limiti agli estremi del campo di definizione
B2© Disegnare il grafico di F
C2© Trovare una primitiva di f sul suo campo di definizione.
D2© Esprimere mediante funzioni elementari F
123- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 09 Maggio 2002
Ottava Prova Scritta 09 Maggio 2002
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (2− x)
√−y(x)
y(x0) = y0
A2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 2
B2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 0, y0 = −2
C2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 3, y0 = −2
D2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 2, y0 = 0
124- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 16 Maggio 2002
Nona Prova Scritta 16 Maggio 2002
Si consideri l’equazione differenziale lineare
y′′′(x) = 27y(x) + sinx+ xe3x
A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione
y′′′(x) = 27y(x) + sinx
B2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione
y′′′(x) = 27y(x) + xe3x
C2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data
D2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = y′(0) = 0
125- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 23 Maggio 2002
Decima Prova Scritta 23 Maggio 2002
Si consideri l’equazione differenziale lineare
y′′(x) + y′(x) = ex + 1
A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data
B2© Determinare un sistema lineare del primo ordine equivalente all’equazione data.
C2© Trovare tutte le soluzioni del sistema di cui al punto precedente
D2© Trovare una matrice fondamentale per il sistema e due soluzioni del sistema che sianolinearmente indipendenti
126- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R 03/06/2002
Prima Prova Scritta R 03/06/2002
Si consideri la funzione g il cui grafico e quello indicato nella figura seguente
A2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f(0) = 0 e f ′(x) = g(x) per tutti gli x 6= −1, 1, fcontinua
B2© Stabilire se f e derivabile in x = 0, x = 1 ed in caso affermativo determinare f ′(0), f ′(1),f ′(2).
D2© Usando le informazioni contenute nel grafico di f ′ maggiorare
|f(5)− f(2)| = |f ′(c)(5− 2)|
127- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 03/06/2002
Seconda Prova Scritta R 03/06/2002
Si considerino le funzioni
f(x) = sin(2x2) , g(x) = arctan(x3)
A2© Scrivere il polinomio di McLaurin P4(x) di f(x) di grado 4,
B2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q4(x) di g(x) di grado 4,
C2© Determinare l’ordine di infinitesimo di f + g per x→ 0
128- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 03/06/2002
Terza Prova Scritta R 03/06/2002
Si considerino la funzionef(x) = x ln(x) + ax2
A2© Calcolare derivata prima e derivata seconda
B2© Disegnare il grafico di f ′′ precisando al variare di a quanti zeri ammette.
C2© Disegnare il grafico di f ′, al variare di a
E2© Disegnare il grafico di f , al variare di a
129- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 03/06/2002
130- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R 03/06/2002
Quarta Prova Scritta R 03/06/2002
Si considerino la funzione
f(x) ={
2x x ∈ [−1, 0]0 x ∈ (0, 1]
sia Pn la partizione di [−1, 0] definita da
Pn = {xk = −1 +k
n, k = 0....n}
sia Qn la partizione di [0, 1] definita da
Qn = {xk =k
n, k = 0....n}
A2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn
B2© Calcolare il limite delle somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn
131- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R 03/06/2002
Quinta Prova Scritta R 03/06/2002
Si considerino la funzione
f(x) =
{1
x2 + 1x ≥ 0
xex x < 0
A2© Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione.
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x
0
f(t)dt precisando il suo campo di definizione.
C2© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}
D2© Stabilire se esiste una primitiva di f su R, giustificando le affermazioni.
132- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 03/06/2002
Sesta Prova Scritta R 03/06/2002
Si considerino la funzione che e definita dal grafico indicato in figura
A2© Disegnare il grafico di
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
C2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x2
0f(t)dt
133- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R 03/06/2002
Settima Prova Scritta R 03/06/2002
Si consideri la funzione
f(x) =
1
x+ 1x < 0
1√|x+ 2|
0 < x < 2
−1 x > 2
e si definisca
F (x) =∫ x
1
f(t)dt
A2© Determinare il campo di definizione di F ed i limiti agli estremi del campo di definizione
B2© Disegnare il grafico di F
C2© Trovare una primitiva di f sul suo campo di definizione.
134- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 03/06/2002
Ottava Prova Scritta R 03/06/2002
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 2−
√y(x)
y(0) = y0
A2© Determinare la soluzione del problema per, y0 = 2
B2© Determinare la soluzione del problema per, y0 = −2
C2© Determinare le soluzione del problema per, y0 = 0
135- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R 03/06/2002
Nona Prova Scritta R 03/06/2002
Si consideri l’equazione differenziale lineare
y′′′(x) = y′(x) + x+ ex
A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione
y′′′(x) = y′(x) + x
B2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione
y′′′(x) = y′(x) + ex
C2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data
D2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = 0
136- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R 03/06/2002
Decima Prova Scritta R 03/06/2002
Si consideri l’equazione differenziale lineare
y′′(x) + y(x) = sin(x)
A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data
B2© Determinare un sistema lineare del primo ordine equivalente all’equazione data.
C2© Trovare tutte le soluzioni del sistema di cui al punto precedente
D2© Trovare una matrice fondamentale per il sistema e due soluzioni del sistema che sianolinearmente indipendenti
137- PrA1A2.TEX— [PrA202.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 27/02/2003
Prima Prova Scritta 27/02/2003
A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 + x
B2© Disegnare il grafico della funzione g(x) = sin(x2 + x)
C2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto (0, 0)
D2© Determinare, usando il teorema di Lagrange sull’intervallo [0, x], una costante H < 50 taleche
|g(x)| ≤ H
100∀x ∈ [− 1
10,
110, ]
E2© Assumendo verificata la disuguaglianza precedente con H = 12, stabi lire se e vero che
g(0.05) < 0.5
138- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 06/03/2003
Seconda Prova Scritta 06/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = ln(1 + x+ x2)
A2© Determinare il polinomio di McLaurin P3 di f di grado almeno 3
B2© Scrivere il resto relativo al polinomio P3 nella forma di Peano e nella forma di Lagrange
C2© Calcolare
limx→0
f(x)− x− x2
x2
D2© Eventualmente ricordando che
f
(12
)= ln
(1 +
34
)stimare l’errore che si commette sostituendo 3
4 ad f(
12
)
139- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 13/03/2003
Terza Prova Scritta 13/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = a ln(1 + x) + bx2 + 2bx
A2© Usare le condizioni necessarie per determinare gli eventuali punti di massimo o minimorelativi di f al variare di a e b
B2© Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti dimassimo e minimo sono punti di minimo
C2©Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti di
massimo e minimo sono punti di massimo
D2© Disegnare il grafico di f al variare di a e b
140- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 20/03/2003
Quarta Prova Scritta 20/03/2003
Si consideri la funzione g il cui grafico e riportato a lato
A2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 0
B2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f ′′ = g, f(0) = 0 e f ′(0) = 0,
C2© Scrivere la retta tangente al grafico di f in x = 0
D2© Scrivere il polinomio di Mc Laurin di secondo grado di f in x = 0
141- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 27/03/2003
Quinta Prova Scritta 27/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = 3x3
e la partizione
Pn ={k
n: k = 0...n
}e si tenga conto che
n∑k=1
k3 =(n(n+ 1)
2
)2
A2© Calcolare le somme superiori si f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
B2© Calcolare le somme inferiori si f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
C2© CalcolarelimnU(f, Pn) =
limnL(f, Pn) =∫ 1
0
f(x)dx =
D2© Facoltativo Dimostrare chen∑k=1
k3 =(n(n+ 1)
2
)2
142- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 03/04/2003
Sesta Prova Scritta 03/04/2003
Si consideri la funzione f il cuigrafico e riportato a lato
A© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt
B© Calcolare
F (−2) = , F (−1) = , F (1) = , F (2) = , F (4) =
C© Disegnare il grafico della funzione G(x) =∫ x0F (t)dt
143- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 03/04/2003
D© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione F nel punto di ascissax = − 1
2
144- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 10/04/2003
Settima Prova Scritta 10/04/2003
Si consideri la funzione f il cuigrafico e riportato a lato
A© Determinare una primitiva di f su (−2, 0)
B© Determinare una primitiva di f su (0, 2)
C© Determinare tutte le primitive di f su (0, 2)
D© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 0)
E© Calcolare una espressione in termini di funzioni elementari di F (x) =∫ x0f(t)dt
F© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 1) \ {0}
145- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 08/05/2003
Ottava Prova Scritta 08/05/2003
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
x0
dt
t3 − 1
A© Disegnare il grafico di f per x0 = 0
B© Disegnare il grafico di f per x0 = 1
C© Disegnare il grafico di f al variare di x0 ∈ R
146- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 08/05/2003
D© Per x0 = 2, calcolare f(3).
147- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 15/05/2003
Nona Prova Scritta 15/05/2003
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (y(x))3 − 1y(0) = 0
A© Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione
B© Disegnare il grafico della soluzione
C© Esprimere l’inversa della soluzione in termini di funzioni elementari.
148- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 22/05/2003
Decima Prova Scritta 22/05/2003
Si consideri l‘equazione differenziale
4y′′(x)− 4y(x)′ + y(x) = e12x + sin(x)
A© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
B© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa
C© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0
D© Determinare un sistema equivalente all’equazione omogenea e scrivere una matrice fondamentaleper il sistema
149- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta 03/06/2003
Undecima Prova Scritta 03/06/2003
Si consideri il sistema differenziale lineare{y′(x) = y(x) + 4z(x)z′(x) = y(x) + 4z(x) + ex
A© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo
B© Determinare l’integrale generale del sistema completo
Siaf(x) = x+ y2 e siaD = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , y ≤ 1− |x− 1|}
C© Determinare massimi e minimi di f su D
D© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
150- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R 27/02/2003
Prima Prova Scritta R 27/02/2003
A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = ln(x2)
B2© Disegnare il grafico della funzione g(x) = 1x2+x
C2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto (0, 12 )
D2© Disegnare il grafico della funzione f(g(x))
151- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 06/03/2003
Seconda Prova Scritta R 06/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = arctan(x+ x2)
A2© Determinare il polinomio di McLaurin P3 di f di grado almeno 3
B2© Scrivere il resto relativo al polinomio P3 nella forma di Peano e nella forma di Lagrange
C2© Calcolare
limx→0
f(x)− x− x2
x2
D2© Scrivere il resto di Lagrange relativo al polinomio di grado 2 e trovarne un maggiorantesu (−1/2, 1/2).
152- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 13/03/2003
Terza Prova Scritta R 13/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = aex + bx
A2© Usare le condizioni necessarie per determinare gli eventuali punti di massimo o minimorelativi di f al variare di a e b
B2© Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti dimassimo e minimo sono punti di minimo
C2©Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti di
massimo e minimo sono punti di massimo
D2© Disegnare il grafico di f al variare di a e b
153- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R 20/03/2003
Quarta Prova Scritta R 20/03/2003
Si consideri la funzione g il cui grafico e riportato a lato
A2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g ove possibile e h(c) = 0
B2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f ′′ = g ove possibile, f(c) = 0 e f ′(c) = 0,
C2© Scrivere la retta tangente al grafico di f in x = c
D2© Scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado di f in x = c
154- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R 27/03/2003
Quinta Prova Scritta R 27/03/2003
Si consideri la funzionef(x) = x/3
e la partizione
Pn ={k
n: k = 0...n
}
A2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
B2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
C2© CalcolarelimnU(f, Pn) =
limnL(f, Pn) =∫ 1
0
f(x)dx =
155- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 03/04/2003
Sesta Prova Scritta R 03/04/2003
Si consideri la funzione f il cuigrafico e riportato a lato
A© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt
B© Calcolare
F (−2) = , F (−1) = , F (1) = , F (2) = , F (4) =
C© Disegnare il grafico della funzione G(x) =∫ x0F (t)dt
156- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 03/04/2003
D© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione F nel punto di ascissax = − 1
2
157- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R 10/04/2003
Settima Prova Scritta R 10/04/2003
Si consideri la funzione f il cuigrafico e riportato a lato
A© Calcolare una espressione in termini di funzioni elementari di F (x) =∫ x0f(t)dt
B© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt
C© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 2) \ {0,−1}
158- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 08/05/2003
Ottava Prova Scritta R 08/05/2003
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
x0
dt
t2 − 1
A© Disegnare il grafico di f per x0 = 0
B© Disegnare il grafico di f per x0 = 1
C© Disegnare il grafico di f al variare di x0 ∈ R
159- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 08/05/2003
D© Per x0 = 2, calcolare f(3).
160- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R 15/05/2003
Nona Prova Scritta R 15/05/2003
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (y(x))2 − 1y(0) = 0
A© Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione
B© Disegnare il grafico della soluzione
C© Esprimere l’inversa della soluzione in termini di funzioni elementari.
161- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R 22/05/2003
Decima Prova Scritta R 22/05/2003
Si consideri l‘equazione differenziale
y′′(x)− 5y(x)′ + 6y(x) = ex + x
A© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
B© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa
C© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0
D© Determinare un sistema equivalente all’equazione omogenea e scrivere una matrice fondamentaleper il sistema
162- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta R 03/06/2003
Undecima Prova Scritta R 03/06/2003
Si consideri il sistema differenziale lineare{y′(x) = 4y(x) + 2z(x) + ex
z′(x) = 4y(x) + 6z(x) + e5x
A© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo
B© Determinare l’integrale generale del sistema completo
Siaf(x) = x+ y e siaD = {(x, y ∈ R2 : x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 1− x}
C© Determinare massimi e minimi di f su D
D© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
163- PrA1A2.TEX— [PrA203.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 11/03/2004
Prima Prova Scritta 11/03/2004
A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 ln(1− x2)
B2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f per x0 = 12
C2© Scrivere il Polinomio di MacLaurin di f di grado 4. (Polinomio di Taylor con x0 = 0)
D2© Calcolare
limx→0
f(x)x4
164- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 25/03/2004
Seconda Prova Scritta 25/03/2004
Siaf(x) =
√x
A2© Calcolaref ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (IV )(x), f (V )(x)
B2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0
C2© Approssimare√
2 con il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in un opportuno punto.
D2© Maggiorare l’errore commesso
165- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004
Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004
Si considerino la funzionef(x) = x ln(1 + x)
A2© Disegnare il grafico di f ′
B2© Disegnare il grafico di f
C2© Disegnare il grafico di una funzione h tale che h′ = f e h(0) = 0
166- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004
D2© Disegnare il grafico dif(x2)
167- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 15/04/2004
Quarta Prova Scritta 15/04/2004
Si consideri la funzionef(x) = E(2x)
dove con E si indica la parte intera, e la partizione
Pn ={k
n: k = 0...n
}
A2© Calcolare le somme superiori si f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
B2© Calcolare le somme inferiori si f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
C2© Calcolare ∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx =
Sia g la funzione il cui grafico e riportato a fianco
D3© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x1g(t)dt (E utile ricordare che G′ = g
168- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 15/04/2004
169- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 22/04/2004
Quinta Prova Scritta 22/04/2004
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
2
e−t
ln(1 + t2) 3√t− 1
dt
A2© Determinare il campo di definizione di f
B2© Calcolare f ′(x)
C2© Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f
D3© Disegnare il grafico di f giustificando brevemente le affermazioni.
E2© Calcolare la derivata di
g(x) =∫ x4+x2
2
e−t
ln(1 + t2) 3√t− 1
dt
170- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/2004
Sesta Prova Scritta 29/04/2004
Si consideri la funzione
f(x) =
1x2
x ≤ −1−x −1 < x ≤ 0
1√x
0 < x < 1
1x2
+ 1 x ≥ 1
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x2f(t)dt
171- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/2004
C2© Calcolare una primitiva di f su [−2, 0]
C2© Calcolare tutte le primitive di f su [−2, 0]
172- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 06/05/2004
Settima Prova Scritta 06/05/2004
Si consideri la funzione
f(x) = x(e−x2
+ e−x)
A2© Calcolare una primitiva di f
B2© Calcolare ∫ 1
0
f(t)dt
C2© Calcolare ∫ +∞
0
f(t)dt
D2© Calcolare ∫ 1
−∞f(t)dt
E2© Calcolare tutte le primitive di f
173- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 13/05/2004
Ottava Prova Scritta 13/05/2004
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = ey(x) + e−y(x)
y(0) = 0
A2© Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato
B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
174- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 20/05/2004
Nona Prova Scritta 20/05/2004
Si consideri l’equazione differenziale lineare
yıv(x) = 2y′′(x)− y(x)− 1
A2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
B2© Determinare l’integrale generale dell’equazione completa
C2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa tale che
y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0
175- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 20/05/2004
Decima Prova Scritta 20/05/2004
Si consideri l’equazione differenziale lineare{x(t) = x(t) + y(t) + e−t
y(t) = 4x(t)− 2y(t) + et
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che
x(0) = y(0)
176- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta 14/06/2003
Undecima Prova Scritta 14/06/2003
Siaf(x) = sin(x) + cos(y − π)
e siaD = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, π], 0 ≤ y ≤ x+ π}
A© Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D.
B© Disegnare le curve di livello del piano tangente al grafico di f nel punto (π/4, π/4).
C© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
D© Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (π/4, π/4)
177- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R 17/06/2004
Prima Prova Scritta R 17/06/2004
A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = xex
B2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f per x0 = 0
C2© Scrivere il Polinomio di MacLaurin di f di grado 4. (Polinomio di Taylor con x0 = 0)
178- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 17/06/2004
Seconda Prova Scritta R 17/06/2004
Siaf(x) = ex
A2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0
C2© Approssimare√e con il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in un opportuno punto.
D2© Maggiorare l’errore commesso
179- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 17/06/2004
Terza Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri la funzionef(x) = x arctan(x)
A2© Disegnare il grafico di f ′
B2© Disegnare il grafico di f
C2© Disegnare il grafico di una funzione h tale che h′ = f e h(0) = 0
180- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 17/06/2004
181- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R 17/06/2004
Quarta Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri la funzionef(x) = x− 1/2
e la partizione
Pn ={k
n: k = 0...n
}
A2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
B2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
C2© Calcolare ∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx =
182- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R 17/06/2004
Quinta Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
2
e−t
(1 + t2) 3√t− 1
dt
A2© Determinare il campo di definizione di f
B2© Calcolare f ′(x)
C3© Disegnare il grafico di f giustificando brevemente le affermazioni.
183- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 17/06/2004
Sesta Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri la funzione
f(x) =
x2 x ≤ −1−x −1 < x ≤ 0√x 0 < x < 1
1x
x ≥ 1
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x2f(t)dt
184- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 17/06/2004
C2© Calcolare tutte le primitive di f su [−2, 0]
185- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R 17/06/2004
Settima Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri la funzione
f(x) = xex
A2© Calcolare una primitiva di f
B2© Calcolare ∫ 1
0
f(t)dt
C2© Calcolare ∫ +∞
0
f(t)dt
D2© Calcolare ∫ 1
−∞f(t)dt
186- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 17/06/2004
Ottava Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = y(x)− 1y(0) = 0
A2© Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato
B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
187- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R 17/06/2004
Nona Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri l’equazione differenziale lineare
y′′′(x) = y′′(x) + 1
A2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
B2© Determinare l’integrale generale dell’equazione completa
C2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa tale che
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
188- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R 17/06/2004
Decima Prova Scritta R 17/06/2004
Si consideri l’equazione differenziale lineare{x(t) = x(t) + y(t) + et
y(t) = x(t) + y(t)
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che
x(0) = y(0)
189- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta R 17/06/2004
Undecima Prova Scritta R 17/06/2004
Siaf(x) = xy + y2
e siaD = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ 1− x}
A© Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D.
B© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1).
C© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
190- PrA1A2.TEX— [PrA204.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 17/03/2005
Prima Prova Scritta 17/03/2005
Si considerif(x) =
√x
A2© Determinare il polinomio di Taylor di f , di grado 3, centrato in x0 = 1
B2© Determinare il resto della formula di Taylor relativa al polinomio di cui al punto precedentenella forma di Peano ed in quella di Lagrange.
C2© Determinare il polinomio di McLaurin di
g(x) =√
1− x2
di grado 2
D2© Determinare una espressione razionale che approssimi√
0.5 e maggiorare l’errore commessosostituendo a
√0.5 tale espressione
191- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 31/03/2005
Seconda Prova Scritta 31/03/2005
Si considerif(x) = arctan((e2x − 1)5)
A2© Disegnare il grafico di f
x
y
B2© Disegnare il grafico di una funzione g tale che g′ = f
x
y
C2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 1 e h′(0) = 1
192- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 31/03/2005
x
y
D2© Scrivere il polinomio di Mclaurin di h di grado 2
193- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 07/04/2005
Terza Prova Scritta 07/04/2005
Si consideri la funzionef(x) = E(x3 + 1)
dove con E si indica la parte intera, e la partizione
Pn ={k
n: k = −n...n
}
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
C2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
D2© Calcolare ∫ 1
−1
f(x)dx =
∫ 1
−1
f(x)dx =
∫ 1
−1
f(x)dx =
D2© Calcolare, per x ∈ [−1, 1] ∫ x
0
f(t)dt =
194- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 14/04/2005
Quarta Prova Scritta 14/04/2005
Calcolare
A2©∫ 1
01
2t2+1dt
B2©∫ 1
0et√et+1
dt
C2©∫ π/40
sin(t)cos2(t)+1dt
D3©∫ 2
1t ln(t)dt
E2©∫ 3
2t+1t−1dt
F2©∫ 3
−2t+1t−1dt
G2© Determinare una primitiva di t+1t−1
H2© Determinare tutte le primitive di t+1t−1
195- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 21/04/2005
Quinta Prova Scritta 21/04/2005
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
a
1t3 − t
dt
A2© Determinare, al variare di a, il campo di definizione di f
B2© Calcolare f ′(x).
C2© Studiare al variare di a crescenza e decrescenza di f .
D3© Disegnare il grafico di f , giustificando brevemente le affermazioni.
E2© Stimare (trovare un maggiorante ed un minorante di) x3−x per x ∈ [10, 20] ed approssimare∫ 20
101
t3−tdt
196- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 28/04/2005
Sesta Prova Scritta 28/04/2005
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = sin(y(x))y(0) = a
A2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 1, precisandone il campo di definizione.
B2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 5, precisandone il campo di definizione.
197- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 28/04/2005
C2© Disegnare il grafico della soluzione al variare di a, precisandone il campo di definizione.
D3© Determinare esplicitamente la soluzione per a = π/2, precisandone il campo di definizione.
E3© Determinare esplicitamente la soluzione per a = 0, precisandone il campo di definizione.
198- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 05/05/2005
Settima Prova Scritta 05/05/2005
Siano a, b, c funzioni continue su R ed y, u, v le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy{y′(x) = (a(x) + b(x))y(x)y(0) = 1{
u′(x) = a(x)u(x)u(0) = 1{v′(x) = b(x)v(x)v(0) = 1
A2© Giustificare il fatto che y, u, v sono unicamente determinati
B2© Verificare che z(x) = u(x)v(x) e soluzione del problema di Cauchy{z′(x) = (a(x) + b(x))z(x)z(0) = 1
C2© Dimostrare chey(x) = u(x)v(x)
D3© Per a(x) = x e b(x) = 0, determinare esplicitamente y(x).
E3© Determinare esplicitamente la v, precisandone il campo di definizione.
199- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 12/05/2005
Ottava Prova Scritta 12/05/2005
Si consideri
y′′′ − 8y(x) + e2x + 1 + sin(x) = 0
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata tali che
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea.
200- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 19/05/2005
Nona Prova Scritta 19/05/2005
Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = 4x(t) + y(t) + sin(t)y(t) = −2x(t) + y(t) + t
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che
x(0) = y(0) = 0
D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associatoal sistema assegnato.
201- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 26/05/2005
Decima Prova Scritta 26/05/2005
Si consideri la funzione
f(x, y) = ex ln(y2)
A2© Determinare il campo di definizione di f
B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0, 1).
C2© Disegnare le curve di livello di f
D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (0, 1)
E2© Stabilire se esistono punti di massimo e di minimo relativo per f nel suo campo didefinizione.
202- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta 07/06/2005
Undecima Prova Scritta 07/06/2005
A2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,y√3≤ x ≤
√3y}
B2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,
√y2 + x2
√3
≤ z ≤√
3√y2 + x2}
C2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,y√3≤ x ≤
√3y ,
√y2 + x2
√3
≤ z ≤√
3√y2 + x2}
203- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R 20/06/2005
Prima Prova Scritta R 20/06/2005
Si considerif(x) = cos(
√x/3)
A2© Determinare il polinomio di Taylor di f , di ordine 3, centrato in x0 = 0
B2© Determinare un maggiorante per il resto della formula di Taylor relativa al polinomio dicui al punto precedente.
C2© Determinare un numero razionale che approssimi f(9π2) e maggiorare l’errore commessosostituendo a f(9π2) tale espressione
204- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 20/06/2005
Seconda Prova Scritta R 20/06/2005
Si considerif(x) = arctan((e2x − 1)5)
A2© Disegnare il grafico di f
x
y
B2© Disegnare il grafico di una funzione g tale che g′ = f
x
y
C2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 1 e h′(0) = 1
205- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 20/06/2005
x
y
D2© Scrivere il polinomio di Mclaurin di h di ordine 2
206- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 20/06/2005
Terza Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri la funzionef(x) = x+ 1
dove con E si indica la parte intera, e la partizione
Pn ={−1 +
k
n: k = 0...n
}
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
C2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
D2© Calcolare ∫ 0
−1
f(x)dx =
∫ 0
−1
f(x)dx =
∫ 0
−1
f(x)dx =
D2© Calcolare, per x ∈ [−1, 0] ∫ x
0
f(t)dt =
207- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R 20/06/2005
Quarta Prova Scritta R 20/06/2005
Calcolare
A2©∫ 1
01
t2+2dt
B2©∫ e1
ln(t)t dt
C2©∫ π/40
sin(t)cos(t)dt
D3©∫ 2
1tetdt
E2©∫ 3
2t
t2−1dt
G2© Determinare una primitiva di tt2−1
H2© Determinare tutte le primitive di tt2−1
208- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R 20/06/2005
Quinta Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri la funzione
f(x) =∫ x
a
1t3 + 4t2
dt
A2© Determinare, al variare di a, il campo di definizione di f
B2© Calcolare f ′(x).
C2© Studiare al variare di a crescenza e decrescenza di f .
D3© Disegnare il grafico di f , giustificando brevemente le affermazioni.
209- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 20/06/2005
Sesta Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) =
√sin(y(x))
y(0) = a
A2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 0, precisandone il campo di definizione.
B2© Disegnare il grafico della soluzione per a = π/2, precisandone il campo di definizione.
210- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R 20/06/2005
Settima Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri il problema di Cauchy{y′(x)− xy(x) = xy(x0) = y0
A2© Discutere esistenza ed unicita della soluzione.
B2© Determinare la soluzione del problema di Cauchy per x0 = 0, y0 = 0
C2© Determinare la soluzione del problema di Cauchy al variare di x0, y0
211- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 20/06/2005
Ottava Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri
y′′ + 16y(x) + sin(4x) = 0
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata tali che
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa.
212- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R 20/06/2005
Nona Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = −x(t)− 3y(t)y(t) = 2x(t) + 4y(t) + t
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che
x(0) = y(0) = 0
D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associatoal sistema assegnato.
213- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R 20/06/2005
Decima Prova Scritta R 20/06/2005
Si consideri la funzione
f(x, y) =e−x
ln(y2)
A2© Determinare il campo di definizione di f
B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0,√e).
C2© Disegnare le curve di livello di f
D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (0,
√e)
E2© Stabilire se esistono punti di massimo e di minimo relativo per f nel suo campo didefinizione.
214- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta R 20/06/2005
Undecima Prova Scritta R 20/06/2005
A2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2}
B2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 , x ≥ 0}
C2© Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ,x√3≤ y ≤
√3x}
215- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Recupero Totale 16/06/2005
Recupero Totale 16/06/2005
Si consideri la funzione
f(x) = arctan(a√|x|)− ln(bx)
A3© Disegnare il grafico di f per a = −2 e b = −1
x
y
B3© Disegnare il grafico di f per a = −2 al variare di b
C2© Verificare che, per a = 1 e b = 1, f e invertibile per x ∈ [−5,+∞) e calcolare
f−1(a), dove a = arctan(−3)− ln(9)
D2© Disegnare il grafico di
F (x) =∫ x
0
f(t)dt
.
x
y
216- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Recupero Totale 16/06/2005
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x) + (y′(x))3 = 1
A3© Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione tale che y(0) = 0, y′(0) = 0.
x
y
B3© Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione tale che y(0) = 5, y′(0) = 0.
x
y
C3© Determinare la soluzione dell’equazione tale che y(0) = 0, y′(0) = 0.
217- PrA1A2.TEX— [PrA205.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 06/03/2006
Prima Prova Scritta 06/03/2006
Si considerif(x) =
11− x
A2© Calcolare esplicitamente f (n)(x)
B2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0 = 0
218- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 06/03/2006
C2© Stimare l’errore che si commette sostituendo ad 11−x il polinomio 1+x+x2+x3 per x ∈ [0, 1/2].
D2© Determinare n in modo che 11−x si possa approssimare con
∑n0 x
k a meno di 10−5 perx ∈ [0, 1/2].
219- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 16/03/2006
Seconda Prova Scritta 16/03/2006
Si consideri la funzionef(x) =
1x
e la partizionePn =
{ekn : k = 0..n
}
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
C2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =
220- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 16/03/2006
D2© Calcolare ∫ e
1
f(x)dx =
∫ e
1
f(x)dx =
∫ e
1
f(x)dx =
D2© Usando la partizioneP xn =
{ekn ln x : k = 0..n
}calcolare, per x ∈ [1, e] ∫ x
1
f(t)dt =
221- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 23/03/2006
Terza Prova Scritta 23/03/2006
Si consideri la funzione
f(x) =
1 −3 ≤ x < −2x −2 ≤ x < −1−1 −1 ≤ x < 01 0 ≤ x < 1x 1 ≤ x < 2x− 4 2 ≤ x ≤ 4
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x1f(t)dt
222- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 23/03/2006
C2© Calcolare F (2), F (3) ed F (0)
D2© Calcolare F (4)− F (1)
D2© Studiare la derivabilita di F
223- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 23/03/2006
Quarta Prova Scritta 23/03/2006
Si consideri la funzione
f(x) =6
2 + x2, g(x) = E(f(x))
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di g
224- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 23/03/2006
C2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt
D2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x0g(t)dt
D2© Scrivere il polinomio di McLaurin di F di grado 3
225- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 06/04/2006
Quinta Prova Scritta 06/04/2006
Calcolare una primitiva delle seguenti funzioni
A2©f(x) = x2 +
2x
+ 1
A2©f(x) = ln(x)
A2©f(x) =
11 + x2
A2©f(x) =
x
1 + x2
A2©f(x) = arctan(x)
A2©f(x) =
1|x− 1|
A2©f(x) =
x
x− 1
226- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 06/04/2006
A2©f(x) = ex sin(ex)
A2©f(x) = cos(x)esin(x)
A2©f(x) = xex
2
A2©f(x) =
1x2 − 1
A2©f(x) = sin(2x+ 1)
A2©f(x) = sin(2x) + 1
A2©f(x) =
√x2 − 1
227- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/2006
Sesta Prova Scritta 29/04/2006
Si consideri l’equazione differenziale
y′(x) =y2(x) + 1
x
A2© Stabilire per quali valori a, b il problema di Cauchy definito dall’equazione differenzialedata e dal dato iniziale y(a) = b ammette una soluzione e per quali valori la soluzione eunica.
B2© Determinare la soluzione del problema per a = 1 e b = 0
228- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/2006
C2© Determinare la soluzione del problema per a = −1 e b = 4
D2© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data al variare dei dati iniziali a, b
229- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 29/04/2006
Settima Prova Scritta 29/04/2006
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− 2y′(x) + y(x) = x+ ex
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data.
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data.
230- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 29/04/2006
C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = 0, y′(0) = 0.
D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogeneaassociata all’equazione data.
231- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 11/05/2006
Ottava Prova Scritta 11/05/2006
Si consideri il sistema di equazioni differenziali linearix(t) = −x(t)− 3y(t)y(t) = 2x(t) + 4y(t)z(t) = 2x(t) + 4y(t) + e3t
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
232- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 11/05/2006
C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che
x(0) = y(0) = 0
D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associatoal sistema assegnato.
233- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 18/05/2006
Nona Prova Scritta 18/05/2006
Si consideri la funzione
f(x, y) =x2 + y2
xy
A2© Determinare il campo di definizione di f
B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (1, 1).
234- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 18/05/2006
C2© Disegnare le curve di livello di f
D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (1, 1)
E2© Stabilire se esistono punti di massimo e di minimo relativo per f nel suo campo didefinizione.
235- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 26/05/2006
Decima Prova Scritta 26/05/2006
Si consideri la funzione
f(x, y) = xy
e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 , (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≥ 1}
A2© Calcolare massimi e minimi assoluti di f in D
236- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 26/05/2006
B2© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
237- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Prima Prova Scritta 06/03/2006
R-Prima Prova Scritta 06/03/2006
A2© Calcolare 5√e a meno di 0.00001
238- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Seconda Prova Scritta 16/03/2006
R-Seconda Prova Scritta 16/03/2006
Si consideri la funzionef(t) = x
e la partizione
Pn ={k
2n: k = 0..2n
}
A2© Calcolare le somme superiori U(f, Pn) di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =
B2© calcolare ∫ 1
0
f(t)dt =
239- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Terza Prova Scritta 23/03/2006
R-Terza Prova Scritta 23/03/2006
Si consideri la funzionef(x) = x− E(x)
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x1f(t)dt
C2© Calcolare F (4)− F (1)
240- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Quarta Prova Scritta 23/03/2006
R-Quarta Prova Scritta 23/03/2006
Si consideri la funzionef(x) = E(sin(x))
A2© Disegnare il grafico di f
B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt
241- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Quinta Prova Scritta 06/04/2006
R-Quinta Prova Scritta 06/04/2006
Calcolare una primitiva delle seguenti funzioni
A2©f(x) =
11− x2
A2©f(x) = ex sin(x)
A2©f(x) =
1sin(x)
A2©f(x) =
12x ln(x)
242- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Sesta Prova Scritta 29/04/2006
R-Sesta Prova Scritta 29/04/2006
Si consideri l’equazione differenziale{y′(x) =
x
y2(x) + 1y(a) = b
A2© Determinare la soluzione del problema per a = 1 e b = 0
B2© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data al variare dei dati iniziali a, b
243- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Settima Prova Scritta 29/04/2006
R-Settima Prova Scritta 29/04/2006
Si consideri l’equazione differenziale
y′′(x)− 16y′(x) = sin(x)
A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data.
B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data.
C2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogeneaassociata all’equazione data.
244- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Ottava Prova Scritta 11/05/2006
R-Ottava Prova Scritta 11/05/2006
Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = 2x(t)− y(t) + 1y(t) = 4x(t) + 7y(t) + et
A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato
B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo
245- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Nona Prova Scritta 18/05/2006
R-Nona Prova Scritta 18/05/2006
Si consideri la funzione
f(x, y) =√
1− x2y
A2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0, 1).
B2© Disegnare le curve di livello di f
C2© Calcolare le derivate direzionali di f in (x0, y0) = (1, 1)
246- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Decima Prova Scritta 26/05/2006
R-Decima Prova Scritta 26/05/2006
Si consideri la funzione
f(x, y) = x2 − y2
e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}
A2© Calcolare massimi e minimi assoluti di f in D
B2© Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
247- PrA1A2.TEX— [PrA206.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova parziale 08/03/2007
Prima Prova parziale 08/03/2007
Si considerif(x) =
√x
<A> Calcolare esplicitamente f (n)(x)
<B> Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0 = 1
<C> Calcolare√
1.5 a meno di 0.001
248- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova parziale 15/03/2007
Seconda Prova parziale 15/03/2007
Si considerif(x) =
√x2 − x
<A> Studiare crescenza e decrescenza di f
<B> Studiare la convessita di f
<C> Studiare l’invertibilita di f
<D> Disegnare il grafico di f
<E> determinare l’inversa di f ristretta agli x > 4
249- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova parziale 22/03/2007
Terza Prova parziale 22/03/2007
Sia
f(x) ={x x ∈ [0, 1)1 x ∈ [1, 2]
<A> Determinare la partizione Pn ottenuta dividendo l’intervallo [0, 2] in 2n parti uguali.
<B> Determinare le somme superiori e le somme inferiori di f rispetto alla partizione Pn
<C> Calcolare l’integrale inferiore e l’integrale superiore di f su [0, 2]
<D> Calcolare l’integrale di f su [0, 2]
250- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova parziale 29/03/2007
Quarta Prova parziale 29/03/2007
<A> Si consideri la funzione F che associa ad x ∈ R l’integrale esteso all’intervallo di estremix0 = 2 ed x della funzione f il cui grafico e riportato nella figura seguente.
Disegnare il grafico di F enunciando le proprieta che si possono dedurre dalle informazionifornite e giustificando le affermazioni fatte.
<B> Si consideri poi la funzione che associa ad x ∈ R l’integrale esteso all’intervallo di estremix0 = 2 ed x della funzione E(f(·))Disegnare il grafico di F enunciando le proprieta che si possono dedurre dalle informazioni
fornite e giustificando le affermazioni fatte.
251- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova parziale 29/03/2007
252- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova parziale 19/04/2007
Quinta Prova parziale 19/04/2007
<A> Si consideri la funzione F definita da:
F (x) =∫ x
0
e−t√|t+ 1| 3
√(t2 − 1)
dt
<B> Determinare il campo di definizione di F
<C> Studiare la derivabilita di f e calcolare F ′
<D> Studiare crescenza e decrescenza di F
<E> Disegnare il grafico di F giustificando le affermazioni fatte.
253- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova parziale 03/05/2007
Sesta Prova parziale 03/05/2007
Si consideri l’equazione differenziale
y′(x) = 4y2(x)− 9
con il dato iniziale y(x0) = y0
<A> Determinare la soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 2
<B> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 2
<C> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 1.5
<D> Determinare la soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 0
254- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova parziale 03/05/2007
<E> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 0
255- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova parziale 10/05/2007
Settima Prova parziale 10/05/2007
Si consideri l’equazione differenziale
y′′′(x) = 27y(x) + 1− ex
<A> Determinare la soluzione dell’equazione omogenea associata all’equazione data.
<B> Determinare la soluzione dell’equazione data.
<C> Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data tali chey(0) = 0, y′(0) = 0
<D> Determinare la soluzione dell’equazione data tale che y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0
256- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova parziale 17/05/2007
Ottava Prova parziale 17/05/2007
Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = x(t) + 3y(t) + sin(x)y(t) = 2x(t) + 2y(t) + 1
<A> Determinare la soluzione del sistema omogeneo associato al sistema dato.
<B> Determinare la soluzione del sistema dato.
<C> Determinare le soluzioni del dato tali che x(0) = 0, y(0) = 0
<D> Determinare due soluzioni linearmente indipendenti del sistema omogeneo associato alsistema dato.
257- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova parziale 24/05/2007
Nona Prova parziale 24/05/2007
Si consideri la funzione
f(x, y) =x2y
y + x2
<A> Disegnare le curve di livello di f
<B> Determinare il piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)
<C> Calcolare le derivare direzionali di f in (1, 1) rispetto alle direzioni (a, b).
<D> Determinare la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana nel punto (1, 1)
258- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]
Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova parziale 31/05/2007
Decima Prova parziale 31/05/2007
Si consideri la funzione
f(x, y) = x2y + y2x
eD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}
<A> Calcolare massimi e minimi assoluti di f su D
<B> Calcolare ∫ ∫D
f(x, y)dxdy
259- PrA1A2.TEX— [PrA207.TEX]