Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i...

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Si raccolgono qui temi d’esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni2003-2015 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza.Il materiale e stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi.

Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d’esame sono poiordinati dai piu recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione.

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gliesercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati ora.

Contenuto :

Test autovalutazione 2008 Pag. 2Test autovalutazione 2007 Pag. 5

Test autovalutazione 2006 Pag. 8Esercizi d’autovalutazione Pag. 10

Temi d’esame 2016-17 Pag. 29Temi d’esame 2015-16 Pag. 66Temi d’esame 2014-15 Pag. 94Temi d’esame 2013-14 Pag. 125Temi d’esame 2012-13 Pag. 149Temi d’esame 2011-12 Pag. 173Temi d’esame 2010-11 Pag. 195

Temi d’esame 2009-10 Pag. 213Temi d’esame 2008-09 Pag. 236Temi d’esame 2007-08 Pag. 249Temi d’esame 2006-07 Pag. 253Temi d’esame 2005-06 Pag. 261Temi d’esame 2004-05 Pag. 270Temi d’esame 2003-04 Pag. 273

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta

Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, parte A

Vicenza, 4 dicembre 2008

ATTENZIONE:

• l’Es. 4 e facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi e28/30)

• Tempo assegnato: 2 ore e 1/2 per svolgere gli esercizi 1,2,3; 3 ore persvolgere gli esercizi 1,2, 3 e 4.

Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = arccos |ex − 1|(a) Determinare il dominio e il segno di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .

(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.

(e) Studiare convessita e flessi di f .

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

Esercizio 2 Si consideri la successione

an =2n2 arctan

(1√n

)− 4n arctann+

√n log(1 + 2n)

n2 cosn− 3n2

(a) Calcolare limn→+∞ an

(b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo (o infinito) di an.

Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

limx→0

2x2−x − 2x + 2(log 2)x+ x3 sin(1x

sin(αx2) + (cos x− 1)2 + e−3/x2 .

Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b realiaffinche la funzione seguente:

f(x) =

{sinx+cosx−ex2/2

2xx > 0,

2aex − 3bx x ≤ 0

(a) sia continua in IR;

(b) sia di classe C1 in IR.

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta

Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, orale

Vicenza, 4 dicembre 2008.

TEMA 1

[1] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore edestremo inferiore ed enunciarne le proprieta principali.

[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

[3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciatoe dimostrazione).

TEMA 2

[1] Definizione di limx→−∞ f(x) = −1

[2] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare edimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta.

[3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione dellaFormula di Taylor con il resto di Peano.

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta

Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A

Vicenza, 15 novembre 2007.Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = log(e2x − 5ex + 6

)− |x|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie eperiodicita (non e richiesto lo studio del segno).

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)

Esercizio 2 Si consideri il seguente polinomio

P (z) = z3 + (4 + 3i)z2 + (12i+ 3)z + 9i

(a) Verificare che z = −1 e radice di P (z)

(b) Determinarne le altre radici.

(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ⊆ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:

∣∣∣∣∣P (z)

(z + 1)(z + 3)

∣∣∣∣∣ ≤ |z + Im(z) + 3i|.

Esercizio 3

(a) Calcolare il limite

limx→0+

8x6− log(1+x)

sin2(x)x8− 2 log6

(1 + 1

(b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

limx→0−

2e3x − 6 tan(x) + αx2 − 2

6 arcsin(x+ x3)− 6x− 6x3.

(c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione

f(x) =

2e3x−6 tan(x)+αx2−26 arcsin(x+x3)−6x−6x3 per x < 0

8x6− log(1+x)

sin2(x)

x8−2 log6(1+ 1

x)per x > 0

risulta prolungabile per continuita in x = 0.

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta

Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B

Vicenza, 15 novembre 2007.

TEMA 1

[1] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insiemeimmagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f . Fornirequalche esempio.

[2] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integraledi f . Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che ”tutte le primitivedifferiscono al piu per una costante”.

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per lefunzioni derivabili.

TEMA 2

[1] Definizione di limite di successione (finito e infinito) e di successione in-determinata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite di una successioneinfinitesima per una limitata.

[2] Dare la definizione di limite finito di una funzione per x tendente ad x0reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema diequivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione).

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre 2006.

1. i) Risolvere la seguente equazione in C:

(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1) = 0.

ii) Determinare, al variare di α ∈ R, l’insieme di definizione della seguente funzionedi variabile complessa

f(z) =z − α

(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1).

2. Considerando

f(x) =

{ax+ b se x ≥ 0

sin(x4−x)x se x < 0,

determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabilenel proprio dominio.

3. Data la funzione f(x) = log x+arctg x, determinarne il dominio e l’immagine;si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f e invertibile. ii) De-notata con f−1 la relativa funzione inversa, calcolare Df−1(π/4).

4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) =√4x2 + 3x− 2x.5. Calcolare il limite seguente, al variare di a ∈ R:

limx→0+

eax2 − ax2 − 1 + x2 log(cosx)

2x5 sin(1x

)+ x2 − x sinx

Cognome Nome Matricola

Prova di autovalutazione per l’ orale di Matematica A

Vicenza, novembre 2006.

TEMA 1

[1] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprieta. Teoremadi esistenza dell’estremo superiore (con dim.)

[1] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.).

[3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul limite di funzioni composte.

TEMA 2

[1] Successioni monotone e loro proprieta (con dim.)

[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.1. Siano date due funzioni g : A → B e f : B → C. Dimostrare che se f ◦ g e

iniettiva, allora g e iniettiva. Dimostrare anche che se f ◦g e iniettiva e g e suriettiva,allora f e iniettiva.

2. Si consideri la funzionef(x) =

1 + |x| .

Dimostrare che f(x) e dispari, strettamente crescente e f(R) = (−1, 1). Dimostrareche f : R→ (−1, 1) e biiettiva. Trovare la funzione inversa di f .

3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degliinsiemi seguenti:

n+ 1|n ∈ N∗

n+ (−1)n|n ∈ N∗

n2 + 1|n ∈ N∗

{p2| p ∈ Z

{arcsin

n2 + 1

)|n ∈ N∗

},{2− 1

n2−4n+2 |n ∈ N∗}.

4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x+ π) (x ∈[−π

2 ,π2

5. Trovare il dominio di g(x) = arccos |x3 − 1/2|.

Esercizi sui numeri complessi1. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)3.2. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + 2i)(−1− 2i).3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = 1− i.4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = −1 + i

5. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)37.6. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + i

√3)10.

7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso

α = 1 +4− i

1 + 2i.

α =i(2− i)

5i− 1.

9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1−i)5(−1+i√3).

10. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1 − i)5/(−1 +i√3).11. Esprimere in forma algebrica il numero complesso

{2(cos(23π)+ i sin

(23π))}3

3(cos(π6

)+ i sin

3(cos(π6

)+ i sin

13. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (1/i)4.

14. Esprimere in forma algebrica il numero complesso(

1+i1−i

15. Risolvere l’equazione complessa z3 = −8.16. Risolvere l’equazione complessa iz3 + 1 = 0.17. Risolvere l’equazione complessa z2 = −1− i

18. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 = −√3−

i.19. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 − 2z +

3i = 0.20. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − (2 +

4i)z + 4i− 12 = 0.21. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 +2z −

2√2 = 0.22. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − 2z +

6(1− 2i) = 0.

23. Determinare un numero complesso z tale che ez = 12 − i

√32 .

24. Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = elog 2+i 34π.

25. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z3 = (2 +3i)3.

26. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z4 = (3 +4i)4.

Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella,Geometria – Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna, 2002.

MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 2(giustificare le risposte)

Vicenza, ottobre 2007.

Funzioni e numeri complessi

1. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos(|x+ 1| − 6)− π/3.

2. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione

f(x) = arcsin(

1cosh(sinx)

3. Determinare dominio e segno della funzionef(x) = arctan

(√4e2x − 9ex + 2− 2ex

4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzionef(x) = log

(4 sinh2 x− 5 sinhx+ 1

5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione

f(x) = log(sinx)sinx−1

6. Data la funzione f(x) = 2x2 − x:a) determinare f(R), f([1/2,+∞[), f−1([0,+∞[),b) dire se f e iniettiva;c) dire se f e suriettiva;d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull’immagine e determinarla in caso affermativo.

7. Risolvere le equazioni:

iz2 − 2z − 2− i = 0 iz2 − 2z − 2− i = 0

nell’insieme dei numeri complessi.

8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme

E ={z ∈ C : (Re(z) + 3)3 (|z + (1 + i)| − 5)2 = 0

9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme

{z ∈ C :

∣∣∣∣∣|z|2 − i

z2 + 2i

∣∣∣∣∣ > 1

10. (a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di

z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme

A ={z ∈ C :

∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8

(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).

11. Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione:∣∣∣∣

z + iRez

∣∣∣∣ ≥ 1.

Disegnare A nel piano complesso.

Complessi e limiti di successione

1. Determinare l’insieme degli z complessi tali che|z − 1− 2i| ≤ |z + 1 + 2i||z + 2 + i| ≤ |z − 2− i|Re (iz2 − iz2) ≤ 4.

2. Determinare l’insieme degli z complessi tali che{

log (log(|z + 3|2 − zz)) >∣∣ z+1z+i

∣∣z2 = |z|2i.

3. Determinare l’insieme degli z complessi tali che

z3 = |z|3 2i log(|z|).

4. Calcolare i limiti seguenti:

1. limn

(−1)n cos2 n

n; 2. lim

1 + (a− 1)n3 − n sinn + n2 sin(1/n)

log4 n +√n2 + 1

(a 6= 1);

3. limn

n!( usare: lim

n√an = lim

anse ∃ il secondo); 4. lim

4n + an

n22n + 5n(a > 0);

5. limn

n2 log(1 + 1

)+ en sinn + 2

13n logn

n5 − n5 sinn + nn3/2; 6. lim

(−1)n−1 − 2

(−1)n − 2.

Limiti di successione e di funzione

1. Calcolare:

2. Calcolare:

na − cosn

3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)

per a = 1 e per a = 3.

3. Calcolare:

n√n + (

√n)n

2n+√n

4. Calcolare:

)(n1/3 sinn+(−1)n).

5. Calcolare:

limx→π−

√1 + sin x−

√1− sinx

1− cos2 x.

6. Calcolare:lim

x→−∞

(√3x2 − x−

√3x2 + x+ 1

7. Calcolare:

limx→+∞

1 + 3 sinx− x sin(2x)

x2 − 1.

Limiti di successione e di funzione (da appelli)

1. Calcolare il limite seguente:

limn→+∞

5n!−√

5n2+n3

n3 log(

1 + 1√n

)− 2n2 log(1 + n)

n−n3

2. Per ogni valore di α ∈ IR, determinare il seguente limite:

limx→0+

2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x

1− cos(√x)− 1

2log(x+ 1)

3. Calcolare il limite della successione

an =1 + tan3

)− esin3( 1

1n3+α

2( 2n) − e 1

per n→ +∞ al variare del parametro α ∈ IR.

4. Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:

limx→+∞

)1/x − 2e1/x + cos(1x

xlog(1x

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 .

MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4(ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i

passaggi!)

Limiti di successione e di funzione

en2 = limnen logn−n2

na − cosn

3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)

= limn

n2(3− sin(n3))= lim

na−2

(3− sin(n3)).

Poiche 2 ≤ 3− sin(n3) ≤ 4, e dunque 1/4 ≤ 1/(3− sin(n3)) ≤ 1/3, per a = 1 il limite e 0 e pera = 3 e +∞.

3. (Svolto a lezione)

n√n + (

√n)n

2n+√n

= +∞.

)(n1/3 sinn+(−1)n)= lim

ne(n1/3 sinn+(−1)n) log

“1+ 1√

dove per le asintoticita

(n1/3 sinn+ (−1)n

)= lim

(n1/3 sinn+ (−1)n

) 1√n

n1/2−1/3 +(−1)n

Quindi, risulta e0 = 1.

limx→π−

√1 + sin x−

√1− sinx

1− cos2 x= +∞.

limx→−∞

(√3x2 − x−

√3x2 + x+ 1

limx→+∞

1 + 3 sinx− x sin(2x)

x2 − 1= lim

x→+∞−x sin(2x)

x2= 0.

Limiti di successione e di funzione (da appelli)

1. Usando le scale (e giustificando gli ”o-piccolo” usati..)

limn→+∞

5n!−√

5n2+n3

n3 log(

1 + 1√n

)− 2n2 log(1 + n)

n−n3

= limn→+∞

−√

5n2+n3n−n

n3 log(

1 + 1√n

) = limn→+∞

−√

n3√n

2. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin)

limx→0+

2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x

1− cos(√x)− 1

2log(x+ 1)

Risulta: +∞ se α < log 2; −∞ se α > log 2; 125

log2 2 se α = log 2.

3. (Usando Mac-Laurin)

1 + tan3(1n

)− esin3( 1

1n3+α

2( 2n) − e 1

) = limn

1n3+α

) = limn

perche

n− 1

n3− 1

e1n2 = 1 +

esin3( 1

n) = 1 + sin3

))= 1 +

n3− 1

esin2( 2

n) = 1 + sin2

))= 1 +

Risulta: +∞ se α > 0; 12

se α = 0; 0 se α < 0.

3. modificato Se si considera al posto dell’ es. 3 l’esercizio seguente

1 + tan3(1n

)− esin3( 1

1n3+α

2( 1n) − e 1

) = limn

1n3+α

) = limn−9

2n2+α,

usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perche

n− 1

n3− 1

n− 1

n2− 1

e1n2 = 1 +

esin3( 1

n) = 1 + sin3

))= 1 +

n3− 1

esin2( 1

n) = 1 + sin2

))= 1 +

n2− 1

Risulta: −∞ se α > −2; −92

se α = −2; 0 se α < −2.

4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = 1/x)

L = limx→+∞

)1/x − 2e1/x + cos(1x

xlog(1x

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 = limy→0+

yy − 2ey + cos (y) + ay log (y)(√

1 + sinh (y)−√

1 + sin (y))1/3

yy = ey log y = 1 + y log y +1

2y2 log2 y + o(y2 log2 y) ( perche y log y → 0..),

√1 + sinh (y) = 1+

2sinh y−1

8sinh2 y+

16sinh3 y+o(sinh3 y) = 1+

6y3)−1

16y3+o(y3)

√1 + sin (y) = 1+

2sin y−1

8sin2 y+

16sin3 y+o(sin3 y) = 1+

(y − 1

6y3)−1

16y3+o(y3).

Quindi

L = limy→0+

(1 + a)y log y − 2y + o(y)(

112y3 + 1

12y3 + o(y3)

)1/3 = limy→0+

(1 + a)y log y − 2y13√6y

e risulta −∞ se a > −1; +∞ se a < −1; −2 3√

6 se a = −1.

Studi di funzione

1. Studiare la funzionef(x) = xe

1|2x|−1

(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)

2. Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x

3. Si consideri la funzionef(x) = log

(x+ 1 + e|x+1|)

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .

4. Si consideri la funzionef(x) = (cos x)3−

1cos x

(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicita di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.

(d) Calcolare i limiti di f ′ se significativi.

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non e richiesto lo studio di f ′′)

5. Si consideri la funzionef(x) = sin

(π2− x)etanx

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e periodicita.

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non e richiesto lo studio di f ′′)

6. Si consideri la funzione

f(x) = arctan

x− 1+ log(x2)

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f ′′)

7. Completare lo studio delle funzioni da 1. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione 2(dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).

Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri

1. Per x > 0 si consideri la funzione integrale

F (x) =

2 + sin√|t|

|t|1/3 dt.

i) Dire se F si prolunga per continuita in x = 0. ii) Calcolare il limx→+∞ F (x). iii) CalcolareF ′(1). iii) Dire se F e invertibile in ]0,+∞[ e in caso affermativo calcolare D[F−1](0).

2. Data la funzione integrale

g(x) =

sinh(t3)

5 + t4dt

i) determinare l’ordine di infinitesimo di g per x → 0+ (significa: determinare α ∈ IR tale che

limx→0+g(x)xα

= L, con L numero reale non nullo.)ii) Calcolare il limx→+∞ g(x) e il limx→−∞ g(x).iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g.

3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ 1

ex − 1dx.

4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ +∞

logα(x+ 2)√x2 − 1

Raccolta di esercizi da appelli

1 (a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:

∫ √π/2

xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))

e giustificare la risposta.

(b) Calcolare l’integrale per α = 1.

2 Determinare la primitiva F : IR→ IR della funzione

f(x) =

cosx2(1+sin2 x)

x ≤ 0

x+12x2+5x+2

x > 0,

tale che F (1) = 0.

3 Determinare tutti gli α ∈ IR e β > 0 per i quali e convergente l’integrale generalizzato∫ +∞

| sinhx− α sinx|x2βx

4 Data la funzione integrale

F (x) =

[log(1 + t2)− arctan(ta)

(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente

limx→0+

(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.

Esercizi sulle serie

1. Determinare il carattere della serie

∞∑

1− 1

2. Dire per quali α ≥ 0 converge la seguente serie

∞∑

n2n + 5n

αn + 3n.

3. Data la serie ∞∑

(−1)n1

nαarctan

3√n,

• dire per quali α ∈ IR converge assolutamente;

• discutere la convergenza per α = 1/2.

4. Dire se la serie+∞∑

e1/n(cosh 1n3 − 1)

sin 1n4/3 − 1

converge assolutamente e se converge.

5. Studiare la convergenza della serie

∞∑

(1− 1

6. Discutere la convergenza della serie

∞∑

n− sin

Esercizi sulle equazioni differenziali

1. Si consideri l’equazione differenziale

αy′′(t) + 2y′(t) +α

2y(t) = 0.

i) Determinare l’integrale generale per ogni valore del parametro α ≥ 0. Dire per quali valoridei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) limitate in [0,+∞[. iii) Determinare, seesistono, i valori di α ≥ 0 per cui esiste almeno una soluzione dell’equazione differenziale tale

che et√3y(t) risulta illimitata in [0,+∞[.

2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y′(t) +2 y(t)

sin(2t)= sin t+ cos t.

y′(t) + 2ty(t) = te−t2

y′′(t) + y′(t) = t+ sin t.

5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale

y′′′(t)− αy′(t) = sin t

ammette almeno una soluzione y tale che limt→−∞ y(t) = −∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.

6. Per quali valori del parametro λ > 0 la soluzione y(t) di{ −y′′(t) = λy(t)

y(0) = 0, y′(0) =√λ

verifica la condizione y(π) = 0? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in]0, π[?

7. Si consideri il problema di Cauchy

y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = sin t

y(0) = α, y′(0) = β

i) Trovare una soluzione nel caso α = β = 0. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere lasoluzione periodica.

8. Risolvere il problema di Cauchy

y′(t) =√

1+y(t)1+t2

y(0) = 2

9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale

2y′′(t) + y′(t) +α

2y(t) = te−t

ammette almeno una soluzione y(t) tale che limt→+∞ y(t) = +∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.

Raccolta di esercizi da appelli

1 Si consideri l’equazione differenziale

y′′(x)− y′(x)− αy(x) = cos x− ex/2 sinx.

(a) Determinare l’ integrale generale dell’equazione differenziale ∀α ∈ IR (Non si richiede dicalcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari).

(b) Determinare i valori di α ∈ IR per cui esiste una soluzione y(x) dell’equazione differenzialetale che la funzione e−x/2y(x) sia illimitata in [0,+∞[.

2 Determinare l’integrale generale dell’ equazione differenziale

y′′′(x) +2x

1 + x2y′′(x) = x.

3 (a) Risolvere al variare del parametro a ∈ IR l’equazione differenziale

y′′(x)− 2ay′(x) + 4y(x) = e2x.

(b) Dire per quali valori di a ∈ IR si ha

limx→−∞

y(x) = 0

per ogni soluzione y(x) dell’equazione data.

4 Per ogni α ∈ IR si consideri la seguente equazione differenziale:

αy′′ − 3y = xex.

(a) Determinare la soluzione per ogni valore di α.

(b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che

limx→+∞

xex∈ IR.

Esercizi sulle equazioni differenziali

1) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy

y′ =y2 − 9

6t sin(4t)

y(0) = 1

2) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

y′ =1

16− x4− 2x

4 + x2y,

y(0) = 2.

3)Data l’equazione differenziale

y′ = (y + 2)(y + 1) tanx,

a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti,b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) = 2.

4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy

y′ =y2 − 3y − 4

3x2 + 1

y(0) = 5

5)Calcolare l’integrale generale della seguente equazione differenziale

y′′ + 4y′ + 4y = 4t2.

6) Date l’equazione differenziale

(1) y′′ + 2y′ + y = e−x

e la funzione ϕ(x) = ax2e−x (a ∈ IR),a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (1);b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y(0) = 0 e y′(0) = 1.

7) Trovare l’integrale generale di

y′′ − 2y′ + 4y = − sin(√3t).

Facoltativo: determinare tutte le soluzioni periodiche.

8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

y′ +2

x2· sin 2x(1 + tan2 x)

3 sin 2x+ 4 cos 2xy(−π/4) = 0

9) Determinare α ∈ IR tale che la funzione ϕ(x) = α tanx sia soluzione dell’equazionedifferenziale

y′′ + y′ − 2y = 2 tan3 x+ tan2 x+ 1; (1)

Determinare poi la soluzione di (1) che soddisfa le condizioni y(0) = 0, y′(0) = 2.

ANALISI MATEMATICA 1 - Parte BCommissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta

Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 4 settembre 2017

Esercizio 1 [12 punti] Si consideri la funzione

f(x) = log�cosh2(x) � sinh(x)

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f ;(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f ; si determininogli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f 0 (non èrichiesto lo studio della derivata seconda di f );(d) scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili

G(x, y) = yf(x) + 2�y

nel punto (0, 0, 1).

Esercizio 2 [10 punti] Si consideri l’integrale:

x log x

x↵(1 + x)2dx

1. Discutere la convergenza al variare di ↵ 2 IR.

2. Calcolarlo per ↵ = 1.

Esercizio 3 [10 punti] Si consideri al variare del parametro ↵ 2 IR la serie

an dove an = (�1)n · 1 + n

n2· (↵ + 1)2n .

(a) Determinare per quali valori di ↵ 2 IR la serie converge assolutamente.(b) Determinare per quali valori di ↵ 2 IR la serie converge semplicemente.

Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefonie calcolatrici di qualsiasi tipo.

f(x) = log�cosh2(x) � sinh(x)

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f ;(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f ; si determininogli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f 0 (non èrichiesto lo studio della derivata seconda di f );(d) scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili

G(x, y) = yf(x) + 2�y

nel punto (0, 0, 1).

Traccia della soluzione. (a) Dominio:

cosh2(x) � sinh(x) = 1 + sinh2(x) � sinh(x) > 0,

che posto t = sinh(x) diventa t2 � t + 1 > 0, verificato 8t 2 IR. Alternativa: cosh è semprea valori � 1 e quindi cosh2(x) � cosh(x) > sinh(x) sempre. Quindi il dominio è tutto IR, dovef risulta continua e derivabile perché composizione di funzioni continue e derivabili. f nonpresenta simmetrie o periodicità evidenti. Segno: f(x) > 0 se e solo se

cosh2(x) � sinh(x) = sinh2(x) � sinh(x) + 1 > 1,

quindi, risolvendo via t = sinh(x) se e solo se sinh(x) < 0 o sinh(x) > 1, cioè se e solo se

x 2 ] �1, 0[[

]settsinh(1), +1[ = ] �1, 0[[

] log(1 +p

2), +1[ .

(b) I limiti alla frontiera del dominio sono:

limx!±1

f(x) = +1 .

Asintoti obliqui a ±1: dalla definizione delle funzioni iperboliche, si ha:

log�cosh2(x) � sinh(x)

�= log

✓e2x

e�2x

4+ 1 � ex

quindi, raccogliendo e2x (infinito di ordine maggiore) a +1 e e�2x (infinito di ordine maggiore)a �1, dalle proprietà del logaritmo si ottengono, rispettivamente, le relazioni:

�= log(e2x)+log

e�4x

4+ e�2x � e�x

e�3x

◆= 2x+log

4+ o(1)

�= log(e�2x)+log

4+ e2x � e3x

◆= �2x+log

4+ o(1)

(o(1) significa funzione infinitesima al limite considerato), per cui y = 2x � log(4) è asintotoobliquo a +1 e y = �2x� log(4) è asintoto obliquo a �1. Questo si verifica anche facilmentecalcolando, ad esempio a +1,

m = limx!+1

x= lim

x!+12x + log

�14 + o(1)

q = limx!+1

(f(x) � 2x) = limx!+1

4+ o(1)

◆= � log(4) .

(c) Come già osservato, f è derivabile in IR e vale

f 0(x) =2 cosh(x) sinh(x) � cosh(x)

cosh2(x) � sinh(x)=

cosh(x)

cosh2(x) � sinh(x)(2 sinh(x) � 1).

Il primo fattore è sempre > 0, quindi f 0(x) > 0 se e solo se sinh(x) > 1/2, cioè

x > settsinh(1/2) = log

Quindi f è strettamente decrescente in ] � 1, settsinh(1/2)[ e strettamente crescente in]settsinh(1/2), +1[, per cui x = settsinh(1/2) è punto di minimo assoluto, dove vale

f(settsinh(1/2)) = log

✓1 +

4� 1

◆= log(3/4) < 0.

La funzione non ha massimi relativi ed è superiormente illimitata. Il grafico è tracciato in Fig. 1.

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Figure 1: Grafico qualitativo di f

(d) La funzione è differenziabile in IR2, perché composizione di funzioni C1. Quindi l’equazionedel piano tangente al suo grafico in (0, 0, 1) è

z = G(0, 0) + Gx(0, 0)x + Gy(0, 0)y = 1 + 0x � log(2)y = 1 � log(2)y.

Esercizio 2 [10 punti] Si consideri l’integrale:Z +1

x log x

x↵(1 + x)2dx

(a) Discutere la convergenza al variare di ↵ 2 IR.(b) Calcolarlo per ↵ = 1.

Traccia della soluzione. Ricordiamo cheZ +1

x log x

x↵(1 + x)2dx =

x log x

x↵(1 + x)2dx +

x log x

x↵(1 + x)2dx .

(a) L’integrale è generalizzato a +1 e in 0+, perché la funzione integranda f(x) = x log xx↵(1+x)2

definita, continua in ]0, +1[ ma diverge a 0+. È positiva in (1, +1), negativa in (0, 1). Studiamol’integrabilità a +1. Siccome vale la relazione di asintoticità (1 + x)2 = x2 + 2x + 1 ⇠ x2 si ha:

f(x) ⇠ x log x

x↵ · x2=

x↵+1 log�1(x)per x ! +1.

Per confronto asintotico con g(x) = 1xa logb(x)

quindi f(x) risulta integrabile a +1 se e solo se

↵+ 1 > 1, cioè ↵ > 0. Studiamo ora l’integrabilità in 0+. Siccome (1 + x)2 ! 1 per x ! 0 si ha:

f(x) ⇠ x log x

x↵ · 1=

x↵�1 log�1(x)per x ! 0+.

Per confronto asintotico con g(x) = 1xa logb(x)

quindi f(x) risulta integrabile a 0+ se e solo se↵� 1 < 1, cioè ↵ < 2. Conclusione: l’integrale generalizzato assegnato converge se ↵ 2 (0, 2).(b) Per ↵ = 1, calcoliamo dapprima l’integrale indefinito, per parti:Z

(1 + x)2dx = � log x

1 + x+

x(1 + x)= � log x

1 + x+

Z ✓1

x� 1

◆dx = � log x

1 + x+log

◆+c,

dove usiamo1

x(1 + x)=

1 + x=

(A + B)x + A

x(1 + x)

che vale per A + B = 0 e A = 1, da cui si ha la scomposizione 1x(1+x) = 1

x � 11+x .

L’integrale richiesto è

limb!+1

1f(x) dx + lim

af(x) dx

= limb!+1

"� log b

1 + b+ log

◆�⇢⇢

⇢⇢⇢

◆#+ lim

⇢⇢⇢⇢⇢

1 + a� log

= [0 + 0] + lima!0+

��log a � (�1 + a) log a + (1 + a) log(1 + a)

1 + a=

�✓

lima!0+

a log a

◆+ 1 · 0

Esercizio 3 [10 punti] Si consideri al variare del parametro ↵ 2 IR la serie

(�1)n 1 + n

n2(↵ + 1)2n .

(a) Determinare per quali valori di ↵ 2 IR la serie converge assolutamente.(b) Determinare per quali valori di ↵ 2 IR la serie converge semplicemente.

(a) Poniamo an = 1+nn2 · (↵ + 1)2n > 0 8n 2 IN: siccome l’esponente della potenza é pari, lo

studio della convergenza assoluta coincide con lo studio della convergenza diP1

n=1 an.Per ↵ = �1 si ha an = 0 per ogni n, quindi la serie converge. Per ↵ 6= �1, si può usare il

criterio del rapporto:

limn!+1

an= lim

n!+1(2 + n)(↵ + 1)2n+2

(n + 1)2· n2

(1 + n)(↵ + 1)2n= (↵ + 1)2

Alternativamente si poteva usare il criterio della radice,

limn!+1

r1 + n

n2· (↵ + 1)2n = lim

r1 + n

n2(↵ + 1)2 = (↵ + 1)2

Quindi la serie converge assolutamente quando (↵ + 1)2 < 1, cioè �2 < ↵ < 0. Se invece(↵ + 1)2 > 1, cioè ↵ < �2 o ↵ > 0, la serie non converge, perché an tende a infinito e quindi èviolata la condizione necessaria per la convergenza.

Per ↵ = �2 e ↵ = 0, si ha an = 1+nn2 ⇠ 1

n serie armonica di esponente 1, per cui nonconverge assolutamente.(b) Per studiare la convergenza della serie alternata

P1n=1(�1)nan, osserviamo che converge

per �2 < ↵ < 0 in quanto la convergenza assolta implica la convergenza, e non converge per↵ < �2 o ↵ > 0, perché dal punto (a) segue che in questo caso lim

n!+1an 6= 0. Per ↵ = �2 e

↵ = 0, siccome la serie è a termini di segno alterno possiamo usare il Criterio di Leibniz perverificare che converge:

limn!+1

an = limn!+1

n2= 0,

e an = 1+nn2 = 1

n2 + 1n è decrescente perché somma di funzioni decrescenti.

Vicenza, 4 luglio 2017

f(x) =p

1 � x2 e1

x�1 .

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f ; si determininogli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f 0 (non èrichiesto lo studio della derivata seconda di f ).(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 [10 punti] Si consideri la seguente funzione:

g(x) = x5 sin⇣⇡

⌘� x4 arctan

◆+ log(x4 + 1).

(a) Calcolare:

limx!+1

x2e1x + cos(x3) � 3x

(b) Calcolare:lim

|(x,y)|!1e�y2 · g(x).

Esercizio 3 [10 punti] Per ogni ↵ 2 IR, calcolare il seguente limite:

limn!+1

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

Studiare il carattere della seguente serie:

(cos(3n) + 3) sinh

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefonie calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vannofatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

f(x) =p

1 � x2 e1

x�1 .

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f ; si determininogli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f 0 (non èrichiesto lo studio della derivata seconda di f ).(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Traccia della soluzione(a) La funzione è definita se e solo se 1 � x2 � 0 e x � 1 6= 0, quindi si ha |x| 1 e x 6= 1. Ildominio D è quindi l’intervallo D = [�1, 1).

La funzione non è simmetrica.La funzione essendo prodotto di una radice e un’esponenziale è maggiore o uguale a zero.

Possiamo anche osservare che siccome f(�1) = 0, x = �1 è punto di minimo assoluto perf . Possiamo anche osservare che la funzione è prodotto di due fatto riminori o uguali a 1,considerato che l’argomento dell’esponenziale è negativo nel dominio di definizione.(b) La funzione è continua in D, poichè composta da funzioni continue.

L’unico limite da calcolare è quello per x che tende a 1 da sinistra, si ha:

limx!1�

p1 � x2 e

1x�1 = 0,

infatti entrambi i termini tendono a zero, la radice poichè l’argomento va a zero e l’esponenzialepoichè se x ! 1� allora 1

x�1 ! �1.La funzione può quindi essere prolungata per continuità in x = 1, con f(1) = 0, e anche

x = 1 sarà punto di minimo assoluto per il prolungamento per continuità di f .La funzione non presenta asintoti verticali, e, visto il dominio limitato, nemmeno asintoti

orizzontali od obliqui.(c) Calcoliamo f 0 per x 2 (�1, 1) perché in x = 1 non si applicano le regole di calcolo a causa

della non derivabilità della radice nell’origine. Per �1 < x < 1 si ha:

f 0(x) =1

�2xp1 � x2

x�1 +p

1 � x2 e1

✓ �1

(x � 1)2

�xp1 � x2

1 � x2

(1 � x)2

1x�1

1p1 � x2(1 � x)2

��x(1 � x)2 � (1 � x)(1 + x)

x�11 � xp

1 � x2(1 � x)2

�x2 � 2x � 1

�= e

1x�1

(1 + x)12 (1 � x)

�x2 � 2x � 1

Quindi f 0(x) � 0 se e solo se x2�2x�1 � 0. Risolvendo la disequazione si ottiene che f 0(x) > 0per x 2 (�1, 1 �

p2), f 0(1 �

p2) = 0 e f 0(x) < 0 per x 2 (1 �

p2, 1).

Quindi il punto x = 1 �p

2 è punto di massimo assoluto per f .Studiamo ora la derivabilità in x = ±1.Derivabilità in x = �1.

limx!�1+

f 0(x) =e�2 · 2

limx!�1+

(1 + x)12

quindi la funzione non è derivabile in x = �1.Derivabilità in x = 1 del prolungamento per continuità di f .

limx!1�

f 0(x) =�2

limx!1�

x�11

(1 � x)32

Infatti, ponendo y = � 1x�1 , si ha che se x ! 1� allora y ! +1 e il limite diventa

limy!+1

y32 e�y = lim

ey= 0.

Quindi la funzione è derivabile in x = 1 con derivata nulla.(d) Per il grafico qualitativo di f , vedere la figura 1.

Figure 1: Grafico qualitativo di f .

g(x) = x5 sin⇣⇡

⌘� x4 arctan

◆+ log(x4 + 1).

(a) Calcolare:

limx!+1

(b) Calcolare:lim

|(x,y)|!1e�y2 · g(x).

Traccia della soluzione(a) Consideriamo prima la funzione g(x), per x ! +1 si ha che 1/x ! 0+ e quindi:

sin⇣⇡

⌘=⇣⇡

⌘+ o

◆, arctan

◆+ o

da cui otteniamo, sempre per x ! +1

g(x) = x5

✓⇣⇡x

⌘+ o

◆◆� x4

✓✓1

◆+ o

◆◆+ log(x4 + 1),

g(x) = ⇡x4 + o(x4) � x2 + o(x2) + log(x4 + 1) = ⇡x4 + o(x4),

infatti per x ! +1 si ha x2 = o(x4) e anche log(x4 + 1) = o(x4).Studiamo ora il denominatore, si ha, per x ! +1:

x2e1x ⇠ x2, cos(x3) = o(x2), x = o(x2),

quindix2e

1x + cos(x3) � 3x = x2 + o(x2).

Da cui ricaviamo:

limx!+1

= limx!+1

⇡x4 + o(x4)

x2 + o(x2)= +1.

(b) Calcoliamo il limite in due variabili. Se poniamo (x, y) = (x, 0), si ha:

lim|x|!+1

e0 · g(x) = lim|x|!+1

g(x) = +1,

infatti g(x) = ⇡x4 + o(x4) (vedi punto (a)).Se poniamo (x, y) = (1, y), abbiamo:

lim|y|!+1

e�y2 · g(1) = g(1) lim|y|!+1

e�y2=⇣log 2 � ⇡

⌘· 0 = 0.

Quindi il limite nelle due variabili non esiste perché è diverso lungo le rette x = 1 e y = 0.

Esercizio 3 [10 punti] Per ogni ↵ 2 IR, calcolare il seguente limite:

limn!+1

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

(cos(3n) + 3) sinh

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

Traccia della soluzione:

Calcolo del Limite:Per prima cosa trattiamo il fattore

p4n2 + 2 � 2n, razionalizzando si ha:

p4n2 + 2 � 2n =

��4n2 + 2⇠⇠⇠�4n2

p4n2 + 2 + 2n

n⇣1 +

q1 + 1

Quindi, per n ! +1,: p4n2 + 2 � 2n ⇠ 1

per cui questo termine tende a zero.Trattiamo ora il fattore sinh

�: quando ↵ > 0 allora 1

n↵ ! 0 e possiamo usare gli sviluppiasintotici, altrimenti usiamo semplicemente la definizione di seno iperbolico.

8>><>>:

1n↵ + o

�↵ > 0 ) ⇠ 1

n↵ convergente a 0

sinh(1) ↵ = 0 ) costanteen�↵�e�n�↵

2 ↵ < 0 ) ⇠ en�↵

2 divergente a +1, siccome 1n↵ ! 1 .

Distinguiamo quindi i tre casi ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0.

• Caso ↵ > 0: In questo caso entrambi i termini del prodotto sono infinitesimi per n ! +1,quindi il limite è zero.

• Caso ↵ = 0: In questo caso il primo termine è costante, sinh(1), il secondo infinitesimo,quindi il limite è di nuovo zero.

• Caso ↵ < 0: In questo caso il primo termine tende a +1 per n ! +1, quindi si ha unaforma indeterminata. Tuttavia poichè sinh(x) = ex+e�x

2 , abbiamo che il sinh(n�↵) (si notiche in questo caso �↵ > 0) tende a infinito come un’esponenziale, mentre il secondofattore abbiamo visto essere asintotico a 1/2n, quindi il limite del prodotto è +1.

Carattere della serie:Sia an = (cos(3n) + 3) sinh

� ⇣p4n2 + 2 � 2n

⌘, termine generale della serie. Per prima

cosa osserviamo che an > 0, inoltre, poichè

�1 cos(3n) 1 ) 2 cos(3n) + 3 4,

abbiamo

2 sinh

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

⌘ an 4 sinh

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

Quindi, per il teorema del confronto, il carattere della serie data è uguale a quello della serie

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

Distinguiamo i tre casi ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0.

• Caso ↵ > 0: In questo caso abbiamo:

◆⇠ 1

quindi

◆⇣p4n2 + 2 � 2n

⌘⇠ 1

2n1+↵.

Poichè (1 + ↵) è maggiore di 1, la serie è convergente.

• Caso ↵ = 0: In questo caso

sinh (1)⇣p

4n2 + 2 � 2n⌘⇠ sinh (1)

quindi la serie si comporta come la serie armonica, quindi è divergente.

• Caso ↵ < 0: In questo caso, il termine generale tende +1, quindi non è soddisfatta lacondizione necessaria per la convergenza e di nuovo la serie è divergente.

f(x) =√1− x2 e

1x−1 .

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f ; si determininogli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f ′ (non èrichiesto lo studio della derivata seconda di f ).(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .

g(x) = x5 sin(πx

)− x4 arctan

)+ log(x4 + 1).

(a) Calcolare:

limx→+∞

x2e1x + cos(x3)− 3x

(b) Calcolare:lim

|(x,y)|→∞e−y

2 · g(x).

Esercizio 3 [10 punti] Per ogni α ∈ IR, calcolare il seguente limite:

limn→+∞

)(√4n2 + 2− 2n

+∞∑

(cos(3n) + 3) sinh

)(√4n2 + 2− 2n

Vicenza, 16 febbraio 2017

f(x) = | sin(2x)| e3

cos(2x)− 1

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f .(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f .(c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f . Si determinino gli eventuali punti diestremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f .(d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR).(e) Calcolare il gradiente nel punto (π4 , 1) della funzione

F (x, y) = f(x) + y2

e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π4 , 1, F (π4 , 1)).

Esercizio 2 [10 punti] Si consideri la serie+∞∑

( |a+ 6|a− 2

)narcsin

nlog n

)∀a 6= 2.

(a) Discutere la convergenza assoluta della serie al variare del parametro a.(b) Discutere la convergenza semplice della serie al variare del parametro a.

Esercizio 3 [10 punti] Data la funzione

g(x) =

√3(ex)2 − 2

√3x+ 2x2 −

3 + x2 − 3ex2 + x4 cos(6x

(a) calcolare limx→0

(b) calcolare il limite limx→0+

x√x e determinare per quali a ∈ IR la funzione

f(x) =

a x√x x > 0

g(x) x < 0

è prolungabile per continuità in x = 0.

f(x) =∣∣∣sin

)∣∣∣ e3

cos(x2

)− 1

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f .(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f .(c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f . Si determinino gli eventuali punti diestremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f .(d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR).(e) Calcolare il gradiente nel punto (π, 1) della funzione

F (x, y) = f(x) + y2

e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π, 1, F (π, 1)).

(a− 2

|a+ 5|

nlog n

)∀a 6= −5.

g(x) =x3 sin

)+ x2 − 2ex

(ex)2 +√2x2 − 2x− 1

e determinare per quali a ∈ IR la funzione

f(x) =

g(x) x < 0

f(x) =∣∣∣sin

)∣∣∣ e2

cos(x2

)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

( |a+ 4|a− 8

nlog n

)∀a 6= 8.

g(x) =3− 3ex

2+ x2 + x4 cos

)√3 + 2

√3x−

√3(ex)2 − 2x2

√xx e determinare per quali a ∈ IR la funzione

f(x) =

a√xx

g(x) x < 0

f(x) = | sin(2x)| e2

cos(2x)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

Esercizio 2 [10 punti]Si consideri la serie

+∞∑

(a− 5

|a+ 3|

)narctan

nlog n

)∀a 6= −3.

g(x) =2x+ 1− (ex)2 −

√2x2

x3 sin(1x

)+ x2 − 2ex2 + 2

f(x) =

g(x) x < 0

ANALISI MATEMATICA 1 - Parte B, soluzioniCommissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta

f(x) = | sin(2x)| e3

cos(2x)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

Traccia di svolgimento

(a) La funzione è definita nei punti tali che cos(2x)− 1 6= 0, quindi x 6= kπ con k ∈ Z.

La funzione è pari, ed e è periodica di periodo T = π, infatti sin(2(x+π)) = sin(2x+2π) =sin(2x), analogo per il coseno.

La funzione è sempre maggiore o uguale a zero.

Essendo periodica di periodo π e pari la studiamo nell’intervallo [0, π2 ], poi il grafico siestende per periodicità e simmetria.

(b) L’unico limite da calcolare è quello a 0. Abbiamo:

limx→0| sin(2x)| e

cos(2x)− 1 = 0,

in quanto entrambi i fattori tendono a zero, nel secondo l’esponente della funzione espo-nenziale diverge a −∞.

Concludiamo che la funzione si può estendere per continuità nei punti kπ con f(kπ) = 0.L’estensione risulta continua in ogni punto dell’asse reale.

La funzione non ha asintoti verticali ed essendo una funzione periodica non ha nemmenoasintoti orizzontali o obliqui.

Dato che la funzione è ≥ 0, possiamo già dire che i punti del tipo kπ2 , in cui f vale 0 sono

punti di minimo assoluti.

(c) Consideriamo l’estensione continua di f nell’intervallo [0, π2 ], dove il modulo si può togliere,visto che il seno è ≥ 0, e si ha:

f(x) = sin(2x) e

cos(2x)− 1 se 0 < x ≤ π

2e f(0) = 0.

Quindi per x ∈ (0, π2 ), si ha:

f ′(x) = 2 cos(2x)e

cos(2x)− 1 + sin(2x)e

cos(2x)− 1 −3(cos(2x)− 1)2

(−2 sin(2x)) =

cos(2x)− 1(cos(2x) +

3(sin2(2x))

(cos(2x)− 1)2

cos(2x)− 1(cos(2x) +

3(1− cos2(2x))

(cos(2x)− 1)2

cos(2x)− 1

(cos(2x)− 3(cos(2x) + 1)((((

((((cos(2x)− 1)

(cos(2x)− 1)�2

f ′(x) =2

cos(2x)− 1· e

cos(2x)− 1 · (cos2(2x)− cos(2x)− 3− 3 cos(2x)),

quindi f ′ > 0 se e solo se cos2(2x)− 4 cos(2x)− 3 < 0. Poniamo z = cos(2x).

Il polinomio z2−4z−3 ha due radici 2±√7, la maggiore è maggiore di uno e 2−

√7 > −1,

quindi cos2(2x)−4 cos(2x)−3 < 0 quando cos(2x) > 2−√7. Chiamando α = arccos(2−

√7),

avremo cos(2x) > 2−√7 se 0 ≤ 2x ≤ α, quindi f ′ > 0 per x ∈ (0, α2 ).

Quindi la funzione presenta dei massimi assoluti nei punti α2 + kπ e −α2 + kπ.

Inoltre abbiamo che i punti π2 + kπ sono punti angolosi siccome

limx→π

2−f ′(x) = −2e−3

e quindi per periodicità e parità avremo limx→π2+ f ′(x) = limx→(−π

′(x) = 2e−32 .

Mentre si ha:

limx→0+

f ′(x) = −6 limx→0+

cos(2x)− 1e

cos(2x)− 1 ,

ponendo y = − 3cos(2x)−1 se x→ 0+, allora y → +∞,

limx→0+

f ′(x) = −6 limy→+∞

−ye−y = 0.

Quindi anche limx→0− f′(x) = 0 per parità, per cui la funzione è derivabile nei punti kπ.

(d) Si riporta in figura un grafico qualitativo di f tra −π e π.

π−π π/2−π/2

y = 2e√e(x− π

2 )y = − 2e√e(x− π

2 )y = − 2e√e(x+ π

2 ) y = 2e√e(x+ π

−α2 + πα

2−α2

α2 − π

(e) AbbiamoF(π4, 1)= e−3 + 1,

∂xF(π4, 1)= f ′

)= 6e−3,

∂yF(π4, 1)= 2.

Quindi l’equazione del piano tangente diventa:

z = e−3 + 1 + (6e−3)(x− π

)+ 2(y − 1).

Esercizio 2 [10 punti] Si consideri la serie

+∞∑

( |a+ 6|a− 2

)narcsin

nlog n

)∀a 6= 2.

(a) Posto an =(|a+6|a−2

)narcsin

)e b =

∣∣∣a+6a−2

∣∣∣, per le proprietà del modulo si ha

|an| =(∣∣∣∣a+ 6

a− 2

∣∣∣∣)n

arcsin

nlog n

)∼ 2 bn

n log n.

Applicando il criterio del rapporto,

|an+1||an|

= limn

2 bn+1

(n+ 1) log (n+ 1)· n log n

2 bn= b

quindi la serie converge assolutamente se b =∣∣∣a+6a−2

∣∣∣ < 1, cioè per a < −2, non converge

e an non tende a 0 per a > −2 (a 6= 2). Per a = −2, sostituendo risulta |an| ∼ 2n logn , e

non c’è convergenza assoluta per il criterio del confronto asintotico con la serie armonicageneralizzata.

(b) Per il punto (a), la serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente pera < −2, mentre per a > −2 non converge. Per a = −2 la serie diventa alternata:

+∞∑

( |a+ 6|a− 2

)narcsin

nlog n

+∞∑

(−1)n arcsin(

nlog n

e posto ora an = arcsin(

2nlogn

), si ha an ≥ 0, limn an = 0 e an è decrescente, essendo

composizione di arcsin, crescente (vicino a 0+), con 2nlogn , decrescente. Quindi per

a = −2 la serie converge per il Criterio di Leibniz.

g(x) =

√3(ex)2 − 2

√3x+ 2x2 −

3 + x2 − 3ex2 + x4 cos(6x

x√x e determinare per quali a ∈ IR la funzione

f(x) =

a x√x x > 0

g(x) x < 0

(a) Applicando gli sviluppi di Mac Laurin e osservando che (ex)2 = e2x e x4 cos(6x

)= o(x2),

dato che limx→0

x4 cos(6x

x2= 0, si ha

limx→0

g(x) = limx→0

√3(1 + 2x+ 1

24x2 + o(x2)

)− 2√3x+ 2x2 −

3 + x2 − 3(1 + x2 + o(x2))

= limx→0

√3 + 2

√3x+ 2

√3x2 + o(x2)− 2

√3x+ 2x2 −

3 + x2 − 3− 3x2 + o(x2)= lim

2(√3 + 1)x2

−2x2 + o(x2)= −(

√3 + 1).

(b) Poichélimx→0+

x√x = lim

x→0+e√x log x = e0 = 1,

la funzione f risulta prolungabile per continuità in x = 0 se e solo se a = limx→0

g(x) =

−(√3 + 1).

f(x) =∣∣∣sin

)∣∣∣ e3

cos(x2

)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

Traccia di svolgimento Si riporta in figura un grafico qualitativo di f tra −4π e 4π.

4π−4π 2π−2π

y = x−2π2e√e

y = −x−2π2e√e

y = −x+2π2e√e

y = x+2π2e√e

−2α+ 4π2α−2α2α− 4π

La derivata prima vale

f ′(x) =1

cos(x2

)− 1· e

cos(x2

)− 1 ·

)− cos

)− 3− 3 cos

ed èα = arccos

(2−√7)

L’equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π, 1, F (π, 1)) è:

z = e−3 + 1 +3

2e3(x− π) + 2(y − 1).

+∞∑

(a− 2

|a+ 5|

nlog n

)∀a 6= −5.

(a) Posto an =(a−2|a+5|

)e b =

∣∣∣a−2a+5

|an| =(∣∣∣∣a− 2

∣∣∣∣)n

nlog n

)∼ 5 bn

n log n.

|an+1||an|

= limn

5 bn+1

(n+ 1) log (n+ 1)· n log n

5 bn= b

quindi la serie converge assolutamente se b =∣∣∣a−2a+5

∣∣∣ < 1, cioè per a > −3/2, non converge

e an non tende a 0 per a < −3/2 (a 6= −5). Per a = −3/2, sostituendo risulta |an| ∼ 5n logn ,

e non c’è convergenza assoluta per il criterio del confronto asintotico con la serie armonicageneralizzata.

(b) Per il punto (a), la serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente pera > −3/2, mentre per a < −3/2 non converge. Per a = −3/2 la serie diventa alternata:

+∞∑

(a− 2

|a+ 5|

nlog n

+∞∑

(−1)n tan(

nlog n

e posto ora an = tan(

5nlogn

composizione di tan, crescente (vicino a 0+), con 5nlogn , decrescente. Quindi per a =

−3/2 la serie converge per il Criterio di Leibniz.

g(x) =x3 sin

)+ x2 − 2ex

(ex)2 +√2x2 − 2x− 1

f(x) =

g(x) x < 0

(a) Applicando gli sviluppi di Mac Laurin e osservando che (ex)2 = e2x e x3 sin(1x

)= o(x2),

dato che limx→0

x3 sin(1x

x2= 0, si ha

limx→0

g(x) = limx→0

x2 − 2(1 + x2 + o(x2)) + 2(1 + 2x+ 1

24x2 + o(x2)

)+√2x2 − 2x− 1

= limx→0

−x2 + o(x2)

(2 +√2)x2 + o(x2)

= − 1

2 +√2.

xx5= lim

x→0+ex

5 log x = e0 = 1,

la funzione f risulta prolungabile per continuità in x = 0 se e solo se

a = limx→0

g(x) = − 1

2 +√2.

f(x) =∣∣∣sin

)∣∣∣ e2

cos(x2

)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

Traccia di svolgimento Si riporta in figura un grafico qualitativo di f tra −4π e 4π.

4π−4π 2π−2π

y = x−2π2ey = −x−2π

2ey = −x+2π2e y = x+2π

−2β + 4π2β−2β2β − 4π

f ′(x) =1

cos(x2

)− 1· e

cos(x2

)− 1 ·

)− cos

)− 2− 2 cos

β = arccos

(3−√17

L’equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π, 1, F (π, 1)) è

z = e−2 + 1 + e−2 (x− π) + 2(y − 1).

+∞∑

( |a+ 4|a− 8

nlog n

)∀a 6= 8.

Sol. (a) Posto an =(|a+4|a−8

)nsin(

4nlogn

)e b =

∣∣∣a+4a−8

|an| =(∣∣∣∣|a+ 4|a− 8

∣∣∣∣)n

nlog n

)∼ 4 bn

n log n.

|an+1||an|

= limn

4 bn+1

(n+ 1) log (n+ 1)· n log n

4 bn= b

quindi la serie converge assolutamente se b =∣∣∣a+4a−8

∣∣∣ < 1, cioè per a < 2, non converge e an non

tende a 0 per a > 2 (a 6= 8). Per a = 2, sostituendo risulta |an| ∼ 4n logn , e non c’è convergenza

assoluta per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.(b) Per il punto (a), la serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente per

a < 2, mentre per a > 2 non converge. Per a = 2 la serie diventa alternata:

+∞∑

( |a+ 4|a− 8

nlog n

+∞∑

(−1)n sin(

nlog n

e posto ora an = sin(

4nlogn

), si ha an ≥ 0, limn an = 0 e an è decrescente, essendo compo-

sizione di arcsin, crescente (vicino a 0+), con 4nlogn , decrescente. Quindi per a = 2 la serie

converge per il Criterio di Leibniz.

g(x) =3− 3ex

2+ x2 + x4 cos

)√3 + 2

√3x−

√3(ex)2 − 2x2

√xx e determinare per quali a ∈ IR la funzione

f(x) =

a√xx

g(x) x < 0

(a) Applicando gli sviluppi di Mac Laurin e osservando che (ex)2 = e2x e x4 cos(6x

)= o(x2),

dato che limx→0

x4 cos(6x

x2= 0, si ha

limx→0

g(x) = limx→0

3− 3(1 + x2 + o(x2)) + x2√3 + 2

√3x−

√3(1 + 2x+ 1

24x2 + o(x2)

)− 2x2

= limx→0

−2x2 + o(x2)

−2(√3 + 1)x2

=1√3 + 1

√xx= lim

x→0+ex log(

√x) = lim

x→0+e

12x log(x) = e0 = 1,

a = limx→0

g(x) =1√3 + 1

f(x) = | sin(2x)| e2

cos(2x)− 1

F (x, y) = f(x) + y2

Traccia di svolgimento Si riporta in figura un grafico qualitativo di f tra −π e π.

π−π π2−π

y = 2e (x− 2π)y = −2

e (x− 2π)y = −2e (x+ 2π) y = 2

e (x+ 2π)

−β2 + πβ

2−β2

β2 − π

f ′(x) =2

cos (2x)− 1· e

cos (2x)− 1 ·(cos2 (2x)− cos (2x)− 2− 2 cos (2x)

β = arccos

(3−√17

L’equazione del piano tangente al grafico di F nel punto(π4 , 1, F

(π4 , 1))

z = e−2 + 1 + 4e−2(x− π

)+ 2(y − 1).

Esercizio 2 [10 punti]Si consideri la serie

+∞∑

(a− 5

|a+ 3|

)narctan

nlog n

)∀a 6= −3.

(a) Posto an =(a−5|a+3|

)narctan

)e b =

∣∣∣a−5a+3

|an| =(∣∣∣∣

a− 5

|a+ 3|

∣∣∣∣)n

arctan

nlog n

)∼ 3 bn

n log n.

|an+1||an|

= limn

3 bn+1

(n+ 1) log (n+ 1)· n log n

3 bn= b

quindi la serie converge assolutamente se b =∣∣∣a−5a+3

∣∣∣ < 1, cioè per a > 1, non converge

e an non tende a 0 per a < 1 (a 6= −3). Per a = 1, sostituendo risulta |an| ∼ 3n logn , e

non c’è convergenza assoluta per il criterio del confronto asintotico con la serie armonicageneralizzata.

(b) Per il punto (a), la serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente pera > 1, mentre per a < 1 non converge. Per a = 1 la serie diventa alternata:

+∞∑

(a− 5

|a+ 3|

)narctan

nlog n

+∞∑

(−1)n arctan(

nlog n

e posto ora an = arctan(

3nlogn

composizione di arctan, crescente, con 3nlogn , decrescente. Quindi per a = 1 la serie

converge per il Criterio di Leibniz.

g(x) =2x+ 1− (ex)2 −

√2x2

x3 sin(1x

)+ x2 − 2ex2 + 2

f(x) =

g(x) x < 0

(a) Applicando gli sviluppi di Mac Laurin e osservando che (ex)2 = e2x e x3 sin(1x

)= o(x2),

dato che limx→0

x3 sin(1x

x2= 0, si ha

limx→0

g(x) = limx→0

2x+ 1−(1 + 2x+ 1

24x2 + o(x2)

)−√2x2

x2 − 2(1 + x2 + o(x2)) + 2

= limx→0

−(2 +√2)x2 + o(x2)

−x2 + o(x2)= 2 +

xx2= lim

x→0+ex

2 log x = e0 = 1,

a = limx→0

g(x) = 2 +√2.

f(x) = log(2−x + |x− 2|

(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f (non è richiesto il segno di f );(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità egli eventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità e calcolare la derivata prima; si calcolino i limiti significativi di f ′;(d) si studi la monotonia di f , osservando che la derivata prima non si annulla mai; si deter-minino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto (non è richiesto lo studio di f ′′).(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .(f) (NOTA: questa domanda è indipendente dalle precedenti) Calcolare

lim|(x,y)|→+∞

f(x) y2.

Esercizio 2 [10 punti] (a) Determinare l’ordine di infinitesimo di

3x+x2 − ex + (1− log 3) sin(x) + (1 + log 3)3−1x

per x→ 0+.(b) Calcolare il seguente limite:

limx→0+

3x2 + x3 log x

(c) (Facoltativo) Calcolare il seguente limite al variare del parametro α ∈ IR:

limx→0+

(α− 2)x2 + x3 log x

Esercizio 3 [10 punti] Dato l’integrale generalizzato∫ +∞

arctanx

4x3(a−1)(1 + x2)a[√arctanx+ 2]

(a) calcolare l’integrale per a = 1,(b) discutere la convergenza dell’integrale per a ∈ IR.

f(x) = log (2x + |x+ 2|) ,

lim|(x,y)|→+∞

f(x) y2.

2x+x2 − ex + (1− log 2) tan(x) + (1 + log 2)2−1x

limx→0+

2x2 + x3 log x

limx→0+

(α− 2)x2 + x3 log x

Esercizio 3 [10 punti] Dato l’integrale generalizzato

∫ +∞

log(1 + x)

x2(1−a)(1 + x)a[log2(1 + x) + 3 log(1 + x)]dx,

f(x) = log(|x− 3|+ 3−x

lim|(x,y)|→+∞

f(x) y2.

(1− log 4) sin(x) + 4x+x2 − ex + (1 + log 4)4−1x

limx→0+

x3 log x+ 4x2

limx→0+

x3 log x+ (α− 2)x2

arctanx

2x2(a−1)(1 + x2)a[√arctanx+ 3]

f(x) = log (|x+ 3|+ 3x) ,

lim|(x,y)|→+∞

f(x) y2.

(1 + log 5)5−1x + 5x+x2 − ex + (1− log 5) tan(x)

limx→0+

5x2 + x3 log x

limx→0+

(α− 2)x2 + x3 log x

log(1 + x)

x3(1−a)(1 + x)a[log2(1 + x) + 2 log(1 + x)]dx,

ANALISI MATEMATICA 1 - Traccia di soluzioni del tema 1Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta

f(x) = ln(2−x + |x− 2|

(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f (non è richiesto il segno di f );(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , discutere la continuità e glieventuali prolungamenti per continuità di f ;(c) studiare la derivabilità e calcolare la derivata prima; si calcolino i limiti significativi di f ′;(d) si studi la monotonia di f , osservando che la derivata prima non si annulla mai; si determinino glieventuali punti di estremo relativo ed assoluto (non è richiesto lo studio di f ′′).(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .(f) (NOTA: questa domanda è indipendente dalle precedenti) Calcolare

lim|(x,y)|→+∞

f(x) y2.

a) Dominio: R, siccome l’argomento del logaritmo è somma di 2−x, strettamente positiva, e |x − 2|,positiva o nulla. Non si notano evidenti simmetrie o periodicità.

b) La funzione è continua nel dominio R siccome è somma e composizione di funzioni elementaricontinue su tutto R. Cerchiamo limiti ed eventuali asintoti a ±∞:

limx→+∞

ln(2−x + |x− 2|

)= +∞ lim

x→+∞ln (2−x + x− 2)

x= lim

x→+∞

−2−x ln 2+12−x+x−2

limx→−∞

ln(2−x + |x− 2|

)= lim

x→−∞ln

(2−x ·

(1 +−x+ 2

= limx→−∞

[−x ln 2 + ln

(1 +−x+ 2

)]= +∞ .

Concludiamo che f è sublineare a +∞ mentre ha l’asintoto obliquo y = −x ln 2 a −∞.

c) Per le regole della derivazione di somma e di composizione di funzioni continue e derivabili, lafunzione f(x) è continua e derivabile per x 6= 2, con derivata prima

f ′(x) =

−2−x ln 2 + 1

2−x + x− 2se x > 2

−2−x ln 2− 1

2−x − x+ 2se x < 2

=−2−x ln 2 + signum(x− 2)

2−x + |x− 2| .

Siccome f è continua in x = 2, applichiamo il teorema sulla derivata come limite di derivata: da

limx→2+

f ′(x) = limx→2+

−2−x ln 2 + 1

2−x + x− 2=− ln 2

4 + 114

= 4− ln 2 > 0

limx→2−

f ′(x) = limx→2+

−2−x ln 2− 1

2−x + x− 2=− ln 2

4 − 114

= −4− ln 2 < 0

concludiamo che f ′+(2) 6= f ′−(2) e quindi che x = 2 è un punto angoloso, f non è derivabile in 2.

d) Osserviamo dall’espressione di f ′ che se x < 2 allora f ′ è sempre negativa, avendo numeratorenegativo e denominatore positivo, mentre se x > 2 f ′ è sempre positiva siccome 1 > 2−x > 2−x ln 2per x > 2. Concludiamo che f è strettamente decrescente per x < 2 e strettamente crescente perx > 2. f assume il valore minimo f(2) = −2 ln 2 < 0 in x = 2:

f ↑ monotonia di fsegno di f ′

e) Si riporta un grafico qualitativo di f .

y = f(x) = ln(2−x + |x− 2|)

y = −(ln 2)x

y = −2 ln 2 + (4− ln 2)(x− 2)y = −2 ln 2− (4 + ln 2)(x− 2)

−2 ln 2

f) Il limite non esiste perché andando a infinito lungo l’asse x e y ottengo limiti diversi:

limx→+∞

f(x) · 02 = limx→+∞

0 = 0 limy→+∞

f(0) · y2 = limy→+∞

y2 ln 3 = +∞ .

•) GRAFICO QUALITATIVO DEL TEMA 2:

y = f(x) = ln(2x + |x+ 2|)

y = (ln 2)x

y = −2 ln 2− (4− ln 2)(x+ 2)y = −2 ln 2 + (4 + ln 2)(x+ 2)

−2 ln 2

y = f(x) = ln(|x− 3|+ 3−x)

y = (ln 3)x

y = −3 ln 3 + (27− ln 3)(x− 3)

y = −3 ln 3− (27 + ln 3)(x+ 3)

−3 ln 3

Nota: Nel tema 3 per studiare il segno della derivata si può usare la disuguaglianza

ln 3 < 3 < 33 < 3x se x > 3 ⇒ 3−x ln 3 < 1 se x > 3.

y = f(x) = ln(3x + |x+ 3|)

y = (ln 3)x

y = −3 ln 3− (27− ln 3)(x+ 3)

y = −3 ln 3 + (27 + ln 3)(x+ 3)

−3 ln 3

Nota: Nel tema 4 per studiare il segno della derivata si può usare la disuguaglianza

ln 3 < 3 < 33 < 3−x se x < −3 ⇒ 3x ln 3 < 1 se x < −3.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. CasarinoIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) =sinh 2x

sinh 2x− 1− 3x .

a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie (non e richiesto lo studio del segno).

b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.

c) Discutere la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonia della funzione ed eventuali massimi e minimi locali e globali.

d) Studiare concavita/convessita di f .

e) Disegnare un grafico qualitativo della funzione.

Esercizio 2 [9 punti] Per ogni a > 0, si consideri la serie:

+∞∑

(−1)n arctan

)(an + 3n

a) Dire per quali a converge assolutamente;

b) Dire per quali a converge semplicemente.

g(x) =e−x sinh (x)

x− sin

(e−x

)cosh (x) .

a) Calcolare il limite della funzione g(x) per x→ +∞.[Sugg.: Puo essere utile sostituire le definizioni sinh (x) = . . . ; cosh (x) = . . . ]

b) Determinare la convergenza dell’integrale impoprio

1g(t)dt per x→ +∞.

c) [Facoltativo] Determinare il campo di esistenza della funzione integrale G(x) =

1g(t)dt .

Esercizio 4 [5 punti] Si consideri la funzione:

h(x, y) =

{xy(cos(

)− 1)

x 6= 0,0 x = 0.

a) Dire se f e continua nei punti Py = (0, y).

b) Dire se esistono le derivate parziali di f nei punti Py = (0, y).

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni

e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno

fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

f(x) =sinh 3x

sinh 3x− 1− 2x .

a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie (non e richiesto lo studio del segno).

b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.

c) Discutere la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonia della funzione ed eventuali massimi e minimi locali e globali.

d) Studiare concavita/convessita di f .

Esercizio 2 [9 punti] Per ogni b > 0, si consideri la serie:

+∞∑

(−1)n sin

)(bn + 6n

(a) Dire per quali b converge assolutamente;

(b) Dire per quali b converge semplicemente.

x− arctan

(e−x

)cosh (x) .

b) Determinare la convergenza dell’integrale impoprio

1g(t)dt .

f(x, y) =

sin( 1y )− 1

)y 6= 0,

0 y = 0.

a) Dire se f e continua nei punti Px = (x, 0).

b) Dire se esistono le derivate parziali di f nei punti Px = (x, 0).

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni

e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno

fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

ANALISI MATEMATICA 1 - Traccia di soluzioniCommissione F. Albertini, L. Caravenna e V. CasarinoIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Esercizio 1, Tema 1 [9 punti] Si consideri la funzione

f(x) =sinh 2x

sinh 2x− 1− 3x .

a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie;

b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti;

c) discutere la continuita e la derivabilita di f ; determinare la monotonia della funzione;

d) determinare gli intervalli di convessita e di concavita della funzione f ;

e) disegnare un grafico qualitativo della funzione.

Traccia di svolgimento. Osserviamo preliminarmente che f(x) = 1 + 1sinh 2x−1 − 3x .

a) Determiniamo il campo di esistenza imponendo che il denominatore non si annulli:

sinh 2x 6= 1 ⇔ e2x − e−2x

26= 1 ⇔ e4x − 2e2x − 1 6= 0 ⇔ e2x 6= 1±

e otteniamo quindi x 6= ln(√√

2 + 1)

. Non si notano simmetrie evidenti.

b) Gli estremi del dominio sono ln(√√

2 + 1)+

, ln(√√

2 + 1)−

, +∞ e −∞. Calcoliamo i limiti:

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

sinh 2x− 1− 3x

)= ∓∞

limx→ln

(√√2+1

)±f(x) = lim

x→ln(√√

2+1)±

sinh 2x− 1− 3x

)= ±∞

Dall’espressione f(x) = 1−3x+ 1sinh 2x−1 notiamo inoltre che la retta y = 1−3x e un asintoto obliquo

sia a +∞ sia a −∞. Dagli ultimi due limiti notiamo che x =√√

2 + 1 e un asintoto verticale.

c) Applicando le regole di continuita e derivabilita di somma e quoziente di funzioni elementari conti-nue e derivabili, nel dominio R \ {− ln

(√√2 + 1

)} la funzione f e continua e derivabile:

f ′(x) = − 2 cosh 2x

(sinh 2x− 1)2− 3 per x 6= ln

(√√2 + 1

Siccome la derivata e somma di due funzioni negative e quindi e sempre negativa, f e strettamentedecrescente sia in

(−∞, ln

(√√2 + 1

))sia in

(ln(√√

2 + 1),+∞

). La funzione non ammette

ne massimi locali ne minimi locali.

d) Studiamo il segno di f ′′ per determinare gli intervalli di convessita e di concavita della funzione f :

f ′′(x) = −4(sinh 2x− 1)2 sinh 2x− 2 cosh2(2x)(sinh 2x− 1)

(sinh 2x− 1)4≡ 4

sinh2 2x+ sinh 2x+ 2

(sinh 2x− 1)3

per x 6= ln(√√

2 + 1)

. Troviamo che f e convessa in(

ln(√√

2 + 1),+∞

), dove f ′′ e positivo, e

concava in(−∞, ln

(√√2 + 1

)), dove f ′′ e negativo.

e) Si traccia sotto un grafico qualitativo di f .

x = ln(√

y = sinh 2xsinh 2x−1 − 3x

y = 1− 3x

Esercizio 2, Tema 1 [9 punti] Per ogni a > 0, si consideri la serie:

+∞∑

(−1)n arctan

)(an + 3n

a) Dire per quali a > 0 converge assolutamente;

b) Dire per quali a > 0 converge semplicemente.

Traccia di svolgimento. Osserviamo preliminarmente che la funzione arctan(

)e positiva e limitata.

Siccome studiamo solo a > 0 la serie e a termini di segno alterno.

a) Applichiamo il criterio del rapporto. Studiamo il quoziente di due termini consecutivi, in modulo:

arctan(

) (an+3n

arctan(

)(an+1+3n+1

) = 4arctan

arctan(

) · an + 3n

an+1 + 3n+1

n→∞−−−→{

4a a > 343 0 < a ≤ 3

Concludiamo che la serie converge assolutamente per 0 < a < 4 perche il limite del quoziente emaggiore di 1. La serie non converge ne assolutamente ne semplicemente per a > 4 siccomeil limite del quoziente e minore di 1 e quindi termine generale non tende a zero. Non abbiamorisposta per a = 4, lo studiamo separatamente. Siccome 1 + (3/4)n → 1 per n→ +∞, sostituendoa = 4 troviamo che il valore assoluto del termine generale della serie proposta

arctan

)(4n + 3n

)= arctan

)n)∼ arctan

)∼ 1

e asintotico a 1n , il termine generale della serie armonica. Siccome serie armonica

1n diverge,

concludiamo applicando il teorema del confronto asintotico che la serie proposta non convergeassolutamente.

b) Abbiamo osservato nel precedente punto che per a > 4 il termine generale non tende a zero: laserie non converge neanche semplicemente. Inoltre per 0 < a < 4 la serie converge assolutamentee quindi anche semplicemente. Se a = 4 il termine generale in valore assoluto decresce a zero:

arctan

)(4n+1 + 3n+1

)= arctan

< arctan

)n+1)< arctan

e limn→+∞ arctan(

) (1 +

)n)= 0 . Siccome la serie ha termini di segno alterno, concludiamo

che converge applicando il criterio di Leibniz.

Esercizio 3, Tema 2 [9 punti] Si consideri la funzione

x− arctan

(e−x

)cosh (x) .

b) Determinare la convergenza dell’integrale impoprio∫ x

1g(t)dt .

Traccia di svolgimento.

a) Ricordiamo che y(x) = e−x

x → 0 per x→ +∞. Osserviamo quindi preliminarmente dallo sviluppo

arctan y = y + o(y2) per y → 0

e dalla definizione di

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

che per x→ +∞, la funzione g(x) ammette il seguente sviluppo:

g(x) =e−x sinh(x)

x− arctan

(e−x

)cosh (x)

=e−x sinh(x)

x−[e−x

(e−2x

)]cosh (x)

=e−x [sinh(x)− cosh(x)]

(e−2x

)cosh (x) ≡ −e

(e−2x

)cosh (x)

Sfruttando la definizione di o-piccolo e di cosh(x), osserviamo che si ha

(e−2x

)cosh(x) =

o(e−2x

e−2x

· e−2x cosh(x)

x2≡ o(1) ·

(e−x

2x2− e−3x

)per x→ +∞.

dove per definizione limx→+∞ o(1) = 0. Siccome

limx→+∞

x= lim

x→+∞e−2x

x= lim

x→+∞e−x

2x2= lim

x→+∞e−3x

2x2= 0

possiamo concludere che

g(x) = −e−2x

x+ o (1)

(e−x

2x2− e−3x

)⇒ lim

x→+∞g(x) = 0 .

b) Osserviamo che la funzione g e continua in [1,+∞), quindi integrabile in [1,M ] per ogni M > 1.Mostriamo ora che g(x) = o(e−x) per x→ +∞: grazie al conto nel punto precedente

e−x= − e

xe−x+ o (1)

(e−x

2x2e−x− e−3x

2x2e−x

)= −e

x+ o (1)

2x2− e−2x

)x→+∞−−−−→ 0

Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che g e integrabile a +∞, siccome e−x lo e.

c) [Facoltativo] La funzione g(x) e continua se x 6= 0, quindi in particolare e integrabile in [ε,M ] e in[−M,−ε] comunque si scelgano 0 < ε < M . Osserviamo i seguenti limiti in x = 0 della funzione g:

limx→0±

g(x) = 1 · limx→0

x− lim

x→0±arctan

)· 1 = 1∓ π

Allora g e una funzione continua a tratti e limitata, la discontinuita nell’origine e di salto. Siccome ge integrabile in ogni intervallo limitato della retta reale, il dominio della funzione G e tutto R.

Esercizio 4, Tema 1 [5 punti] Si consideri la funzione:

h(x, y) =

{xy(cos( 1

x)− 1)

x 6= 0,0 x = 0.

a) Dire se h e continua nei punti Py = (0, y).

b) Dire se esistono le derivate parziali di h nei punti Py = (0, y).

Traccia di svolgimento.

a) La funzione h(x, y) e della forma h(x, y) = r(x)s(y) dove s(y) = y e continua su R e anche

r(x) = (cos(1/x)− 1)x

puo essere definita in modo continuo su R, siccome limx→0 x cos(1/x) = 0 per il teorema delconfronto. Concludiamo che h si puo definire con continuita su R2, e in particolare nei punti (0, y).

In alternativa, si poteva verificare la continuita di h in Py = (0, y) con la definizione:

limx→0,y→y

h(x, y) = limx→0,y→y

)− 1

)= 0 = h(0, y),

poiche il polinomio xy e infinitesimo per x→ 0 e la parte(cos( 1

x)− 1)

e una funzione limitata.

b) Siccome h e un prodotto di funzioni delle singole variabili, dove queste sono derivabili le derivateparziali di h si calcolano facilmente come

∂y(x, y) = r(x)s′(y) = (cos(1/x)− 1)x se s derivabile in y, cioe vale ∀(x, y) ∈ R2

∂y(x, y) = r′(x)s(y) se r derivabile nella variabile x, da vedere

r e derivabile in x 6= 0 per le regole di derivazione di prodotto, composizione e quoziente. In x = 0non possiamo applicare invece la formula sopra perche la derivata r′(0) non esiste:

@ limx→0

x= lim

x→0cos(1/x)− 1

Nei punti (0, y) applichiamo allora la definizione di derivata parziale rispetto ad x:

limx→0x 6=0

h(x, y)− h(0, y)

x= lim

x→0x 6=0

�xy(cos(

))− 1

)− 0

�x= lim

x→0x 6=0

)− 1

{0 se y = 0

@ se y 6= 0

Concludiamo che la derivata parziale rispetto ad x esiste solo nell’insieme

R2 \ {(0, y) : y 6= 0} ,

ed in particolare la derivata parziale rispetto ad x non esiste nei punti (0, y) quando y 6= 0.

In alternativa, poiche le derivate venivano chieste solo nei punti Py = (0, y), per calcolarle si potevaapplicare direttamente la definizione, e scrivere semplicemente:

∂x(0, y) = lim

x→0x 6=0

h(x, y)− h(0, y)

x= lim

x→0x 6=0

�xy(cos(

))− 1

)− 0

�x= lim

x→0x 6=0

)− 1

{0 se y = 0

@ se y 6= 0

∂y(0, y) = lim

h→0h6=0

h(0, y + h)− h(0, y)

poiche nel secondo limite il numeratore e identicamente nullo, infatti h(0, y + h) = h(0, y) = 0.

TEMA1Esercizio 1 [9 punti] Si consideri la funzione

f(x) = | sin(x)|e−1

| cos(x)| .

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, segno e periodicita di f .

b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

c) Dimostrare che la funzione si puo estendere per continuita a una funzione continua su R. Discuterepoi la derivabilita della funzione f estesa a tutto R.

d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione

cosx− tan2 x > 0

nell’intervallo x ∈ (0, π2 ). Dedurre che f ′ ha esattamente uno zero nell’intervallo (0, π2 ).

Determinare poi gli intervalli di monotonıa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali.

e) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 [9 punti] Si consideri l’integrale∫ +∞

arctan(xα)

(x+ 1− |x− 1|

a) Dimostrare che l’integrale converge per α = 0 e calcolarlo in questo caso.

b) Determinare per quali α > 0 l’integrale converge.

c) Facoltativo: determinare per quali α < 0 l’integrale converge.

Esercizio 3 [9 punti] Calcolare al variare di α ∈ R

limx→0+

ex2+x − 1− x− αx2 + x4 sin

cos(3x)− 1 + x5 log(x).

Esercizio 4 [5 punti] Si determini il dominio delle funzioni

F (x, y) =x3 − y3x2 + y2

e G(x, y) =F (x, y)√x2 + y2

Dimostrare che F si puo estendere a una funzione continua su tutto R2, mentre G non si puo estenderea una funzione continua su tutto R2. Mostrare poi che non esistono

lim‖(x,y)‖→∞

F (x, y) e lim‖(x,y)‖→∞

G(x, y) .

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatricidi qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svoltotutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

f(x) = | cos(x)|e−1

| sin(x)| .

d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione

cos2 x− sin3 x > 0

nell’intervallo x ∈ (0, π2 ). Dedurre che f ′ ha esattamente uno zero nell’intervallo (0, π2 ).

Determinare poi gli intervalli di monotonıa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali.

tanh(xα)

(x+ 2− |x− 2|

limx→0+

ex2−x − 1 + x− αx2 + x4 log(x)

cosh(2x)− 1 + x4 sin(

F (x, y) =x3 + y3√x2 + y2

e G(x, y) =F (x, y)

x2 + y2.

F (x, y) e lim‖(x,y)‖→∞

G(x, y) .

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatricidi qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svoltotutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

ANALISI MATEMATICA 1 - Traccia di soluzioni del tema 1Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. CasarinoIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) = | sinx|e−1

| cos x| .

d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione cosx− tan2 x > 0 nellintervallo x ∈ (0, π2 ).Dedurre che f ′ ha esattamente uno zero nell’intervallo (0, π2 ).Determinare poi gli intervalli di monotonıa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali.

a) Dominio: {x 6= π2 + kπ, k ∈ Z}. Simmetrie: la funzione f(x) e pari. Segno: la funzione f(x) e

nonnegativa, e si annulla nei punti x = kπ per k ∈ Z. La funzione e periodica di periodo π, siccome

f(x+ π) = | sin(x+ π)|e−1

| cos(x+π)| = | − sinx|e−1

|−cos x| = | sinx|e−1

| cos x| = f(x)

E anche corretto indicare che e periodica di periodo 2π, ma 2π non e il periodo minimo.

b) Siccome la funzione e periodica di periodo π, e sufficiente studiare f(x) in un periodo fondamentale(−π

2 ,π2

). Siccome f(x) e pari, possiamo studiare il solo intervallo

[0, π2

)e sfruttare la simmetria:

limx→(π2+kπ)

−f(x) = lim

x→(−π2+kπ)+f(x) = lim

x→(π2 )−

1 · e− 1cos x = 0, ∀k ∈ Z.

Troviamo che non ci sono asintoti e che possiamo estendere f su tutto R per continuita definendo

2+ kπ

)= 0 ∀k ∈ Z.

c) Per le regole della derivazione di funzioni prodotto, quoziente e di funzione composte, la funzionef(x) e continua e derivabile per x 6= k π2 , k ∈ Z: per x ∈

(0, π2

)la derivata prima e

f ′(x) = e−1

(cosx− sin2 x

cos2 x

)≡ e− 1

cos x(cosx− tan2 x

Sfruttando parita e simmetria, o rifacendo i conti nei vari intervalli, concludiamo che per k ∈ Z

se x ∈(kπ, kπ +

)f ′(x) = e

− 1| cos x|

(| cosx| − tan2 x

se x ∈(kπ − π

2, kπ

)f ′(x) = −e−

1| cos x|

(| cosx| − tan2 x

Osserviamo allora che, a causa del modulo, f(x) non e derivabile nei punti x = kπ in cui il senocambia segno, per k ∈ Z, perche le derivate destra

)e sinistra

(−1e

)in tali punti non coincidono.

Per studiare la derivabilita nei punti π2 +kπ, k ∈ Z, in cui abbiamo esteso f per continuita, si osservi

limx→(π

2+kπ)−

f ′(x) = limx→(π

2)−f ′(x) = 0− lim

x→(π2)−

cos2 x=

]= − lim

y→+∞y2

ey= 0−

limx→(π

2+kπ)+

f ′(x) = limx→(−π

2)+f ′(x) = lim

x→(π2)+

cos2 x− 0 =

]= lim

y→+∞y2

ey= 0+

Concludiamo dal teorema della derivata come limite di derivate che ∃f ′(π2 + kπ

)= 0 per k ∈ Z.

d) Nell’intervallo(0, π2

)la funzione continua cosx− tan2 x decresce con stretta monotonia da 1 a −∞:

siccome cambia segno in[π6 ,

], applicando il teorema degli zeri sappiamo che si deve annullare

in questo intervallo; ha solo uno zero z in questo intervallo a causa della stretta monotonia. • Dalcalcolo della derivata svolto al punto c), siccome l’esponenziale e una funzione sempre positiva,abbiamo che in

(0, π2

)il segno di f ′ e esattamente il segno della funzione cosx−tan2 x: deduciamo

allora che f e crescente in (0, z) e decrescente in(z, π2

), mentre in

(0, π2

)ha massimo locale nel

punto z dove f ′ si annulla. • Possiamo determinare il comportamento di f nell’intervallo(−π

2 , 0)

sfruttando la parita: f e decrescente in (−z, 0) e crescente in(−π

2 ,−z), mentre avra in −z un

massimo locale con f(−z) = f(z). Possiamo infine ottenere il comportamento di f su tutto R\{k π2 },k ∈ Z, sfruttando la periodicita di periodo π: in particolare i punti −z + kπ e z + kπ sono non solomassimi locali, ma massimi globali. Sappiamo gia dallo studio del segno che i punti rimanentix = k π2 in cui f si annulla, k ∈ Z, sono punti di minimo assoluto.

−z π2−π

max. max.min.min.min.. . . . . .

f ↑ f ↓f ↑f ↓ . . .. . .f ′

• In alternativa allo sfruttare parita e periodicita si puo studiare il segno di f ′ nei vari intervalli,risolvendo le opportune disequazioni ottenute risolvendo i moduli. Si disegna sotto uno studiografico delle funzioni in oggetto alternativo al ragionamento appena descritto sopra.

1y = cosx

y = tan2 x

π2−z

1y = cosx

y = tan2 x xπ

π2 π − z

−1y = cosx

y = − tan2 x

e) Si riporta un grafico qualitativo di f .

y = f(x)

z−z z + π(−z + π)(z − π)−(z + π) π−π π/2−π/2

arctan(xα)

(x+ 1− |x− 1|

Traccia di svolgimento Risolvendo il modulo, otteniamo che l’integrale si scrive come∫ 1

arctan(xα)

(x+ 1− (−x+ 1)

∫ +∞

arctan(xα)

(x+ 1− (x− 1)

arctan(xα)

(2�x

�x√x

∫ +∞

arctan(xα)

a) Se α = 0 abbiamo xα = 1 per x > 0: dalle precedenti osservazioni l’integrale si puo scrivere come

arctan 1

(∫ 1

2√xdx+

∫ +∞

x√xdx

(∫ 1

1√xdx+

∫ +∞

x√xdx

Abbiamo sostituito sopra arctan 1 = π4 . Integrando esplicitamente possiamo allora calcolare

(∫ 1

2√xdx+

∫ +∞

2x√xdx

[√x]x=1

[− 1√

]x=+∞

b) Per α > 0, studiamo separatamente l’integrabilita in 0 e a +∞.

Per x→ 0+ abbiamo che xα → 0+ e arctan(xα) ∼ xα: dalle le proprieta degli asintotici

arctan(xα)

(2√x

)∼ ��xα

��xα

(2√x

Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che per ogni α > 0 l’integrando e integrabile in 0.

Per x→ +∞ abbiamo che xα → +∞ e che arctanxα → π2 , quindi

arctan(xα)

)∼ 2

πxα−

Per il criterio del confronto asintotico otteniamo che l’integrando e integrabile a +∞ se α < 12 .

Concludiamo quindi che se α > 0 l’integrale converge solo per 0 < α < 12 .

c) Per α < 0, studiamo separatamente l’integrabilita in 0 e a +∞.

Per x→ 0+ abbiamo che xα → +∞ e che arctanxα → π2 , quindi

arctan(xα)

(2√x

)∼ 2

(2xα√x

πxα−

Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che l’integrando e integrabile in 0 per −12 < α.

Per x→ +∞ abbiamo che xα → 0, quindi per le proprieta degli asintotici

arctan(xα)

)∼ ��xα

��xα

Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che per α < 0 l’integrando e integrabile in +∞.Concludiamo infine che se α < 0 l’integrale converge solo per −1

2 < α < 0.

limx→0+

ex2+x − 1− x− αx2 + x4 sin

cos(3x)− 1 + x5 log(x).

Traccia di svolgimento Studiamo i vari termini che compaiono nella frazione per x→ 0+. Per McLaurin

ex2+x = 1 + (x2 + x) +

(x2 + x)2

(x2 + x)3

6+ o(x3) = 1 + x+

6x3 + o(x3)

cos(3x) = 1− 9

2x2 + o(x2)

Per il teorema del confronto, siccome sin(

)e limitato per x→ 0+, abbiamo poi che

limx→0+

x4 sin(

x3= lim

x→0+x sin

)= 0 =⇒ x4 sin

)= o(x3)

Inoltre

limx→0+

x5 log x

x2= lim

x→0+x3 log x = 0 =⇒ x5 log x = o(x2)

Sviluppando il numeratore fino all’ordine 3 e il denominatore fino all’ordine 2, otteniamo allora che il limiterichiesto e uguale a

limx→0+

��1 + x+ 32x

2 + 76x

3 + o(x3)��−1− x− αx2 + o(x3)

�1− 92x

2��−1 + o(x2)=

{0 se α = 3

(α− 3

)se α 6= 3

F (x, y) =x3 − y3x2 + y2

e G(x, y) =F (x, y)√x2 + y2

F (x, y) e lim‖(x,y)‖→∞

G(x, y) .

Traccia di svolgimento F e ben definita fuori dall’origine perche quoziente di polinomi con denominato-re non nullo. Anche G e ben definita in R2 \ {0} siccome e uguale a F divisa per la distanza dall’origine.Passando alle coordinate polari x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π) si ha

|F (ρ cos θ, ρ sin θ)| =∣∣∣∣∣(cos3 θ − sin3 θ)ρ��3

(cos2 θ + sin2 θ)��ρ2

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(cos3 θ − sin3 θ)ρ

∣∣∣∣ ≤ 2ρ→ 0 per ρ ↓ 0.

Concludiamo quindi dal teorema del confronto che ∃ lim(x,y)→(0,0) F (ρ cos θ, ρ sin θ) = 0. Possiamo percioprolungare F per continuita nell’origine definendo F (0, 0) := 0. Osservando poi che

G(0, y) ≡ −1 ∀y 6= 0, G(x, 0) ≡ 1 ∀x 6= 0

otteniamo che G dovrebbe ammettere due valori limite, 1 e −1, nell’origine: per l’unicita del limite, G(x, y)non ammette limite per (x, y)→ (0, 0). Non e quindi possibile estendere G per continuita nell’origine.

Calcolando

limx→+∞

F (x, 0) = +∞ 6= −∞ = limy→+∞

F (0, y), limx→+∞

G(x, 0) = 1 6= −1 = limy→+∞

G(0, y)

concludiamo ancora per l’unicita del limite che @ lim‖(x,y)‖→∞ F (x, y) e che @ lim‖(x,y)‖→∞G(x, y).

Esercizio 1 [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = x(log |x| − xe).

1. Determinare dominio ed eventuali simmetrie.

2. Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; stabilire poi se fsi puo prolungare per continuita a una funzione continua su R.

3. Discutere la continuita e la derivabilita di f e determinare la monotonia della fun-zione; calcolare poi i limiti di f ′, se significativi.

4. Studiare la convessita di f .

5. disegnare un grafico qualitativo della funzione.

Esercizio 2 [9 punti] Si consideri, per ogni α > 0 la funzione

f(x, y) =

{ sin(xyα)x2+y2

(x, y) 6= (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0).

a) Determinare per quali α la funzione risulta continua.

b) Determinare per quali α le derivate parziali in (0, 0) esistono e calcolarle.

c) Fissato α = 1 dire se f e differenziabile in (0, 0).

d) (fac.) Dire per quali α la funzione f e differenziabile in (0, 0).

Esercizio 3 [9 punti] Si consideri la successione

√1 + 1

n3 − 1 + sinh( 1n)− 1

1− cos 1n

1. Scrivere lo sviluppo di Taylor di an per n→ +∞ fino al primo termine non nullo.

2. Studiare il carattere delle due serie+∞∑

log(1 + (an)

e+∞∑

tan an .

f(x) = |x|α(sin(x)− x).Determinare per quali α ∈ R la funzione f e integrabile in senso improprio sia in 0 sia a+∞.

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Leparti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

TEMA1Esercizio 1 [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = 2x(log |x| − x

a) Determinare il dominio, il segno ed eventuali simmetrie della funzione.

b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; stabilire poi se f si puo prolungareper continuita a una funzione continua su R.

c) Discutere la continuita e la derivabilita di f e determinare la monotonia della funzione; calcolare poi ilimiti di f ′, se significativi.

d) Studiare la convessita di f .

Traccia di svolgimento. (a) Dominio: R \ {0} dovuto all’argomento del logaritmo. Nessuna simmetria operiodicita. Segno: studiamo prima graficamente (grafico sotto) il segno del fattore log |x| − x

e . Il grafico diy = log |x| e convesso nell’intervallo (0,+∞) e la retta y = x/e e tangente a questo grafico in x = e, quindilog |x| ≤ x

e per x > 0 e l’uguale vale in x = e. Applicando il teorema degli zeri troviamo che la retta y = x/einterseca poi trasversalmente il grafico di y = log |x| anche in un punto x∗ ∈ (−1,−1/e) siccome

log(1)− (−1/e) = 1/e > 0 e log(1/e)− (−1/e2) = −1 + 1/e2 < 0.

x∗ e l’unico punto di contatto in (−∞, 0) perche log(−x)− xe e strettamente decrescente. Consideriamo ora

il segno del fattore x: si conclude che f(x) = 0 se x = −x∗ o x = e e poi f(x) > 0 solo se x∗ < x < 0.

−1e−1

e0 1y = xe

y = log |x| x∗ e0

X log(|x|)− xe

(b) Gli estremi del dominio sono ±∞ e 0±, dove si trova

limx→+∞

2x(log |x| − x

)= lim

x→+∞2x2

(log(x)

x− 1

)= −∞ lim

x→0+2x(log |x| − x

)= 0−

limx→−∞

2x(log |x| − x

)= lim

x→+∞2x2

(log(−x)

x− 1

)= −∞ lim

x→0−2x(log |x| − x

limx→+∞

2(log |x| − x

)= −∞ (nessuno asintoto a ±∞, superlineare) lim

x→−∞2(log |x| − x

)= +∞

Concludiamo che f si puo prolungare per continuita a una funzione continua su R definendo f(0) = 0.(c) f e continua e derivabile in R \ {0} per i teoremi sulla continuita e sulla deribabilita della composizionee del prodotto di funzioni continue e derivabili. Si ottiene dalle regole di calcolo che ∀x 6= 0

f ′(x) = 2

(log |x|+ 1− 2x

Il prolungamento continuo di f non e derivabile in x = 0, ma ha in x = 0 un flesso a tangente verticale:

limx→0

f(x)− f(0)x

= limx→0

2x(log |x| − x

x= lim

x→02(log |x| − x

)= lim

x→02 log |x| = −∞.

yy = log |x|

y = −1 + 2xe

−1 0

x1 x2e

massimo min. rel.max. rel.

f ↑ f ↓f ↑f ↓f ↓f ′X

Studiamo graficamente (sopra) il segno di f ′: f ′(x) = 0 se log |x| = −1+ 2xe , e quindi f ′ si annulla per x = e

e in altri due punti −1e < x1 < − 1

e2e 1e < x2 < 1 che si possono trovare applicando il teorema degli zeri. Da

qui otteniamo che f e crescente in (−∞, x1) ∪ (x2, e) mentre e decrescente in (x1, 0) ∪ (0, x2) ∪ (e,+∞).(c) Otteniamo che f e convessa in (0, e2) mentre e concava in (−∞, 0) ∪ ( e2 ,+∞) studiando il segno di

f ′′(x) = 2

x− 2

(c) Si ha il seguente grafico qualitativo:

y = 2x(log |x| − xe )

−1x∗

Esercizio 2 [9 punti] Si consideri, per ogni α > 0 la funzione

f(x, y) =

{arctan(x|y|α)

x2+y2(x, y) 6= (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0).

a) Determinare per quali α la funzione risulta continua.

b) Determinare per quali α le derivate parziali in (0, 0) esistono e calcolarle.

c) Fissato α = 1 dire se f e differenziabile in (0, 0).

d) (fac.) Dire per quali α la funzione f e differenziabile in (0, 0).

Traccia di svolgimento. (a) Consideriamo le coordinate polari centrate nell’origine

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ ρ > 0, θ ∈ [0, 2π).

Per la monotonıa dell’arcotangente e per il fatto che coseno e seno sono a valori in [−1, 1] si ha

arctan(−ρα+1

ρ2≤ arctan(x|y|α)

x2 + y2=

arctan(ρα+1| sin θ|α cos θ

ρ2≤ arctan

(ρα+1

ρ2(1)

Siccome arctan z ∼ z per z → 0 segue che

limρ→0+

arctan(±ρα+1

ρ2= lim

ρ→0+±ρα+1−2 = lim

ρ→0+±ρα−1 = 0± se α > 1.

Si conclude allora dal teorema del confronto che f e continua nell’origine se α > 1. • Se 0 < α ≤ 1mostriamo invece che f non e continua nell’origine considerando la restrizione sulla retta y = x:

f(0, 0) = 0 6= limx→0+

f(x, x) = limx→0+

arctan(xα+1)

2x2= lim

x→0+

2limx→0+

xα−1 =

{1 se α = 1,

+∞ se 0 < α < 1.

(b) Le derivate parziali di f nell’origine esistono e sono nulle ∀α > 0 perche f(h, 0) = f(0, h) = 0 ∀h ∈ R.(c) f non e differenziabile nell’origine per α = 1 perche la differenzibilita implica la continuita e in (a) si evisto che f non e continua nell’origine se α = 1.(d) Come per la stima (1) del punto (a), si ha la seguente stima per f(x,y)−f(0,0)−∂xf(0,0)−∂yf(0,0)

|(x,y)| ≡ f(x,y)−0|(x,y)| :

arctan(−ρα+1

ρ3≤ 1

(x2 + y2)1/2

(arctan(x|y|α)x2 + y2

arctan(ρα+1| sin θ|α cos θ

ρ3≤ arctan

(ρα+1

Da qui si conclude per il teorema del confronto che f e differenziabile nell’origine, con gradiente nullo,quando α > 2. • f non e differenziabile nell’origine se 0 < α ≤ 2 perche se fosse differenziabile esisterebbeanche la derivata di f nella direzione ( 1√

2, 1√

2), e per la formula del gradiente sarebbe nulla, ma

0 6= limh→0+

f(h/√2, h/

√2)− f(0, 0)

h= lim

h→0+

arctan(hα+1/√2α+1)

h3= lim

h→0+

hα−2√2α+1

{1/2√2 se α = 2,

+∞ se 0 < α < 2.

Esercizio 3 [9 punti] Si consideri la successione

√1 + 1

n3 − 1 + sinh( 1n)− 1n

1− cos 1n

a) Determinare l’ordine di infinitesimo di an per n→ +∞.

b) Studiare il carattere delle due serie+∞∑

log(1 + (an)

e+∞∑

tan an .

Traccia di svolgimento. (a) Espandiamo separatamente numeratore e denominatore con McLaurin:

√1 +

n3− 1 + sinh

)− 1

[�1 +

(n−5

)]��−1 +

��1

n5+ o(n−5)

��− 1

n3+ o(n−4)

1− cos1

n2+ o(n−3)

Per le regole sul prodotto di funzioni asinotiche otteniamo allora che per n→ +∞

an ∼1

n3· 2n2 = 2

(b) Applichiamo il teorema del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata. Siccome an e uninfinitesimo per n→ +∞, possiamo applicare gli sviluppi di McLaurin di ln(1 + z) e di tan z per z → 0:

log(1 + (an)2) ∼ (an)

2 ∼ 4

n2e tan an ∼ an ∼

Concludiamo che+∞∑

log(1 + (an)

converge mentre+∞∑

tan an diverge.

Esercizio 4 [5 punti] Si in (0,+∞) consideri la funzione

f(x) = |x|β−1(x− sin(x)).

Determinare per quali β ∈ R la funzione f e integrabile in senso improprio sia in 0 sia a +∞.

Traccia di svolgimento. Osserviamo che f e positiva in (0,+∞) siccome sinx < x per x > 0. • Studiamol’integrabilita in 0: per x→ 0+ abbiamo che x− sin(x) = x3

6 + o(x4) ∼ x3

6 e quindi

f(x) ∼ xβ−1 · x3

6xβ+2 per x→ 0.

Per il teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri su intervalli limitati f e allora integrabilequando β + 2 > −1, cioe se β > −3. • Studiamo l’integrabilita in +∞: abbiamo

f(x) ∼ xβ per x→ +∞.

Per il teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri su intervalli illimitati f e allora integrabilequando β < −1. • Per avere l’integrabilita sia in 0 sia in +∞ bisogna richiedere −3 < β < −1.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino

Vicenza, 26 gennaio 2016

f(x) = log(e|x+log 4| + ex − 1

(a) Dimostrare che f e definita su tutto R.

(b) Discutere eventuali simmetrie e periodicita di f . Determinare i limiti agli estremi del dominioed eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f . Studiare poi la monotonia e determinare glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limiti di f ′

se significativi.

(d) Determinare il segno di f .

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .

f(t) =a

7t− 8− t3

t4 + 2, al variare di a ≥ 0.

(a) Determinare se esistono valori di a tali che l’integrale improprio∫ +∞2 |f(t)| dt esista finito.

Calcolare poi il valore dell’integrale per tali valori di a (sugg.: si noti che per tali valori delparametro a la funzione f(t) risulta sempre positiva)(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x2 f(t) dt al variare di a ≥ 0.

Facoltativo: calcolare il limite

limx→2

x− 2

7t− 8− t3

t4 + 2

al variare di a ≥ 0.

Esercizio 3 [9 punti]

(a) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di g(x) = x3 sin(x + x3)

(b) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di h(t) = cosh(t) + cos(t).

(c) Determinare l’ordine di infinitesimo per x→ 0 della funzione:

f(x) = cosh(x + x3) + cos(x + x3)− x3 sin(x + x3)

12− 2ex

f(x, y) = log((5− x)(y4 − 1)

(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Dire se D e un insieme chiuso o aperto o ne chiuso ne aperto.

(c) Calcolare le derivate parziali di f in D.

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,

telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti

facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

f(x) = − log(e|x+log 3| + ex − 1

se significativi.

(d) Determinare il segno di f.

f(t) =a

4t− 5− t3

t4 + 1, al variare di a ≥ 0.

(a) Determinare se esistono valori di a tali che l’integrale improprio∫ +∞2 |f(t)| dt esista finito.

Calcolare poi il valore dell’integrale per tali valori di a (sugg.: si noti che per tali valori delparametro a la funzione f(t) risulta sempre positiva)(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x2 f(t) dt al variare di a ≥ 0.

limx→2

x− 2

4t− 5− t3

t4 + 1

al variare di a ≥ 0.

(a) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 8 di f(t) = sinh(t) + sin(t).

(b) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 8 di h(x) = x4 sin(x + x3)

g(x) = 120x + 120x3 + x4 sin(x + x3)− 60[sinh(x + x3) + sin(x + x3)] .

f(x, y) = log((x− 3)(y2 − 1)

f(x) = log(e| log 4−x| + e−x − 1

se significativi.

f(t) =b

16t− 1− t

t2 + 1, al variare di b ≥ 0.

(a) Determinare se esistono valori di b tali che l’integrale improprio∫ +∞1 |f(t)| dt esista finito.

Calcolare poi il valore dell’integrale per tali valori di b (sugg.: si noti che per tali valori delparametro b la funzione f(t) risulta sempre positiva)(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x1 f(t) dt al variare di b ≥ 0.

limx→1

x− 1

16t− 1− t

t2 + 1

al variare di b ≥ 0.

(a) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di g(z) = cosh(z) + cos(z).

(b) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di h(x) = x3 sin(x + x3)

f(x) = 12ex13 − 6

(cosh(x + x3) + cos(x + x3)

)+ x3 sin(x + x3) .

f(x, y) = log((7− y)(1− x4)

f(x) = − log(e| log 3−x| + e−x − 1

se significativi.

f(t) =b

3t− 1− t

t2 + 1, al variare di b ≥ 0.

(a) Determinare se esistono valori di b tali che l’integrale improprio∫ +∞1 |f(t)| dt esista finito.

Calcolare poi il valore dell’integrale per tali valori di b (sugg.: si noti che per tali valori delparametro b la funzione f(t) risulta sempre positiva).(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x1 f(t) dt al variare di b ≥ 0.

limx→1

x− 1

t2 + 1− b

3t− 1

al variare di b ≥ 0.

(a) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 8 di f(x) = x4 sin(x + x3)

(b) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 8 di h(t) = sinh(t) + sin(t).

g(x) = sinh(x + x3) + sin(x + x3)− 1

60x4 sin(x + x3)− 2x− 2x3 .

f(x, y) = log((y − 1)(x2 − 3)

TEMA1-4Esercizio 1 [9 punti] Si consideri la funzione

f(x) = log(e|x+log(4)| + ex − 1

(a) Dimostrare che f e definita su tutto R.(b) Discutere eventuali simmetrie e periodicita di f . Determinare i limiti agli estremi del dominio ed even-tuali asintoti di f .(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f . Studiare poi la monotonia e determinare gli eventuali puntidi estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limiti di f ′ se significativi.(d) Determinare il segno di f.(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Svolgimento. (a) Poniamog(x) = e|x+log(4)| + ex − 1 .

Osserviamo che g e definita su tutto R. La funzione f e allora definita su tutto l’asse reale se g e stretta-mente positiva. Occorre quindi risolvere la disequazione e|x+log(4)| + ex − 1 > 0, x ∈ R.

Osserviamo che

f(x) =

{log(ex+log(4) + ex − 1) x ≥ − log(4)

log(e−x−log(4) + ex − 1) x < − log(4)=

{log(5ex − 1) x ≥ − log(4)

log(14e−x + ex − 1

)x < − log(4)

(b) f non e ne simmetrica ne periodica. f non presenta asintoti verticali. Si ha inoltre

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

log(e(x+log(4)) + ex − 1) = limx→+∞

log(5ex − 1) = limx→+∞

log(ex(5− e−x)

= limx→+∞

(log ex + log(5− e−x)

)= lim

x→+∞(x+ log(5− e−x)

)= lim

x→+∞(x+ log 5 + log(1− 1

5e−x)

)= +∞ .

Dalla formula precedente deduciamo che f tende a infinito con ordine uno e che y = x + log 5 e asintotoobliquo destro.

In alternativa, possiamo cercare un eventuale asintoto destro secondo la procedura usuale, osservandoche

limx→+∞

x= lim

x→+∞(1 +

xlog(5− e−x)

)= 1 .

Poichelim

x→+∞(f(x)− x) = lim

x→+∞(log(5− e−x)

)= log 5 ,

la retta y = x+ log 5 e asintoto obliquo destro.Vale inoltre

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

log(e(−x−log(4)) + ex − 1) = limx→−∞

4e−x + ex − 1)

= limx→+∞

4ex + e−x − 1) = lim

x→+∞log(ex(

4+ e−2x − e−x)

)= lim

x→+∞(x+ log(

4+ e−2x − e−x)

)= +∞ .

Osserviamo che f tende a infinito con ordine uno e cerchiamo un eventuale asintoto obliquo sinistro. Vale

limx→−∞

x= − lim

x→+∞1

(x+ log(

4+ e−2x − e−x)

)= −1 .

Poichelim

x→−∞(f(x) + x) = lim

x→+∞(x+ log(

4+ e−2x − e−x)− x

)= log

4= − log 4 ,

la retta y = −x− log 4 e asintoto obliquo sinistro.(c) f e continua su tutto il dominio come conseguenza del teorema sulla composizione e la somma difunzioni continue. Puo non essere derivabile in x = − log 4, mentre e certamente derivabile in R\{− log 4},come conseguenza del teorema sulla composizione e la somma di funzioni derivabili.

Consideriamo innanzitutto il caso in cui x > − log 4. Se x > − log 4, g si puo scrivere come g = 5ex − 1,da cui

f ′(x) = (log(g(x)))′ =g′(x)g(x)

5ex − 1> 0 per ogni x > − log 4.

Quindi f e strettamente crescente per x > − log 4.Se x < − log 4, g si puo scrivere come g = 1

4e−x + ex − 1, da cui

f ′(x) = (log(g(x)))′ =g′(x)g(x)

=− 1

4e−x + ex

14e−x + ex − 1

Abbiamo gia visto che il denominatore e sempre positivo, quindi f ′ > 0 se e solo se

4e−x + ex > 0 ,

cioe se e solo se 4e2x − 1 > 0. Questa disuguaglianza e verificata per ex > 12 oppure per ex < −1

2 . Esclu-dendo quest’ultimo caso, si ha che f ′ > 0 se se solo se x > − log 2. Quindi f e strettamente decrescenteper x < − log 4. Vale inoltre

limx→− log 4+

f ′(x) = limx→− log 4+

5ex − 1= 5

limx→− log 4−

f ′(x) = limx→− log 4−

−14e−x + ex

14e−x + ex − 1

= −3 ,

quindi f non e derivabile in x = − log 4.Non esistono punti di massimo locale o globale, mentre il punto x = − log 4 e punto di minimo locale e

globale, e vale f(− log 4) = − log 4.(d) f e positiva se g(x) > 1.

Se x ≥ − log 4, si ha g(x) > 1 se e soltanto se ex > 25 , cioe se e soltanto se x > log 2

5 = log 2 − log 5.Quindi, sulla semiretta x ≥ − log 4 f e positiva se x ∈ (log 2− log 5,+∞).

Se x < − log 4, si ha g(x) > 1 se e soltanto se 14e−x + ex − 2 > 0, cioe se e solo se 4e2x − 8ex + 1 > 0.

Questa disequazione e soddisfatta per x < log(2−√3)− log 2 oppure per x > log(2 +

√3)− log 2. Poiche

log(2−√3)− log 2 < − log 4, sulla semiretta x < − log 4 f e positiva se x ∈ (−∞, log(2−

√3)− log 2).

(e) Il grafico e il seguente:

-6,4 -5,6 -4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2

Esercizio 2 [9 punti] (Tema 1) Si consideri la funzione

f(t) =a

7t− 8− t3

t4 + 2, al variare di a in R.

(a) Determinare se esistono valori di a tali che l’integrale improprio∫ +∞2 f(t) dt esista finito. Calcolare poi

il valore dell’integrale per tali valori di a.(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x2 f(t) dt al variare di a in R.

limx→2

x− 2

7t− 8− t3

t4 + 2

al variare di a in R.

Svolgimento. Osserviamo che f e definita su R\{87} ed e definitivamente di segno positivo o negativoper t→ +∞. Riscriviamo poi f come

f(t) =(a− 7)t4 + 8t3 + 2a

(t4 + 2)(7t− 8).

Per t→ +∞ f e asintotica a a−77t se a 6= 7, a 8

7t2se a = 7. Pertanto l’integrale di f fra 2 e +∞ di f converge

se e solo se a = 7.Se a = 7, si ha poi

∫ +∞

2f(t)dt = lim

ω→+∞

∫ ω

2f(t)dt = lim

ω→+∞

∫ ω

7t− 8− t3

t4 + 2

limω→+∞

(log |7t− 8| − 1

4log(t4 + 2))

∣∣∣ω

2= lim

ω→+∞(−1

4log(ω4 + 2) + log |7ω − 8|+ 1

4log(18)− log 6)

= limω→+∞

log7ω − 8

(ω4 + 2)1/4+

4log(18)− log 6 = log 7 +

4log(18)− log 6 .

(b) La funzione integrale e sempre definita per x > 2 (con limite eventualmente infinito se a 6= 7). Per x < 2,occorre studiare l’integrabilita di f in x = 8

7 . Per t→ 87 f e una funzione infinita e vale

f(t) ∼ a

7t− 8− (8/7)3

(8/7)4 + 2,

se a 6= 0; f non presenta invece singolarita se a = 0. Quindi il dominio di F e (87 ,+∞) se a 6= 0, mentrecoincide con tutto R se a = 0.

Facoltativo. Calcoliamo il limite assegnato per mezzo del Teorema di de l’Hopital. Osserviamo che

limx→2

x− 2

7t− 8− t3

t4 + 2

)dt = lim

x− 2.

Per il teorema fondamentale del Calcolo integrale si ha

limx→2

F ′(x) = limx→2

f(x) =a

6− 4

cosı che

limx→2

x− 2

7t− 8− t3

t4 + 2

6− 4

Esercizio 2 [9 punti] (Tema 4) Si consideri la funzione

f(t) =b

3t− 1− t

t2 + 1, al variare di b in R.

(a) Determinare se esistono valori di b tali che l’integrale improprio∫ +∞1 f(t) dt esista finito. Calcolare poi

il valore dell’integrale per tali valori di b.(b) Determinare il campo di esistenza della funzione F (x) =

∫ x1 f(t) dt al variare di b in R.

limx→1

x− 1

t2 + 1− b

3t− 1

al variare di b in R.

Svolgimento. Osserviamo che f e definita su R\{13} ed e definitivamente di segno positivo o negativoper t→ +∞. Riscriviamo poi f come

f(t) =b

3t− 1− t

t2 + 1=

(b− 3)t2 + t+ b

(t2 + 1)(3t− 1).

Per t→ +∞ f e asintotica a b−33t se b 6= 3, a 1

3t2se b = 3. Pertanto l’integrale di f fra 1 e +∞ di f converge

se e solo se b = 3.Se b = 3, si ha poi

∫ +∞

1f(t)dt = lim

ω→+∞

∫ ω

1f(t)dt = lim

ω→+∞

∫ ω

3t− 1− t

t2 + 1

limω→+∞

(log |3t− 1| − 1

2log(t2 + 1))

∣∣∣ω

1= lim

ω→+∞(−1

2log(ω2 + 1) + log |3ω − 1|+ 1

2log(2)− log 2)

= limω→+∞

log3ω − 1√ω2 + 1

2log(2)− log 2 = log 3 +

2log(2)− log 2 =

(b) La funzione integrale e sempre definita per x > 1 (con limite eventualmente infinito se b 6= 3). Per x < 1,occorre studiare l’integrabilita di f in x = 1

3 . Per t→ 13 f e una funzione infinita e vale

f(t) ∼ b

3t− 1− 3

se b 6= 0; f non presenta invece singolarita se b = 0. Quindi il dominio di F e (13 ,+∞) se b 6= 0, mentrecoincide con tutto R se b = 0.

Facoltativo. Calcoliamo il limite assegnato per mezzo del Teorema di de l’Hopital. Osserviamo che

limx→1

x− 1

3t− 1− t

t2 + 1

)dt = lim

x− 1.

Per il teorema fondamentale del Calcolo integrale si ha

limx→1

F ′(x) = limx→1

f(x) =b− 1

cosı chelimx→1

x− 1

3t− 1− t

t2 + 1

b− 1

(a) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di g(x) = x3 sin(x+ x3)

(b) Determinare lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di h(t) = cosh(t) + cos(t).

(c) Determinare l’ordine di infinitesimo della funzione:

f(x) = cosh(x+ x3) + cos(x+ x3)− x3 sin(x+ x3)

12− 2ex

Svolgimento. (a) Calcoliamo lo sviluppo di McLaurin di ordine 4 della funzione sin(x+ x3). Si ha

sin(x+ x3) = x+ x3 − 1

3!(x+ x3)3 + o(x4) = x+ x3 − 1

3!x3 + o(x4) = x+

6x3 + o(x4) .

Lo sviluppo di McLaurin di ordine 7 di g(x) e allora

g(x) = x4 +5

6x6 + o(x7) .

(b) Dagli sviluppi noti si deduce che

h(t) = cosh(t) + cos(t) = 1 +1

4!t4 +

6!t6 + o(t7) + 1− 1

4!t4 − 1

6!t6 + o(t7)

= 2 +1

12t4 + o(t7) .

(c) Osserviamo innanzitutto che

cosh(x+ x3) + cos(x+ x3) = 2 +1

12(x+ x3)4 + o((x+ x3)7) = 2 +

12x4 +

3x6 + o(x7) .

Quindif(x) = 2 +

12x4 +

3x6 + o(x7)− 1

6x6 + o(x7)

)− 2(1 + x10 + o(x10))

= 2 +19

72x6 + o(x7)− 2(1 + o(x7)) =

72x6 + o(x7) .

L’ordine di infinitesimo della funzione f per x→ 0 e pertanto uguale a 6.

Esercizio 4 [5 punti] (Tema 1) Si consideri la funzione:

f(x, y) = log((5− x)(y4 − 1)

Svolgimento. (a) SianoD1 = {(x, y) ∈ R2 : x < 5, y > 1} ,D2 = {(x, y) ∈ R2 : x < 5, y < −1} ,

D3 = {(x, y) ∈ R2 : x > 5,−1 < y < 1} .Il dominio D della funzione e dato da

D = D1 ∪D2 ∪D3 .

(b) D e un insieme aperto come unione di tre insiemi aperti.(c) Si ha

(x− 5)(y4 − 1)(y4 − 1) =

(x− 5)

(5− x)(y4 − 1)(4y3)(5− x)) =

(y4 − 1).

Esercizio 4 [5 punti] (Tema 3) Si consideri la funzione:

f(x, y) = log((x− 3)(y2 − 1)

Svolgimento. (a) SianoD1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 3, y > 1} ,D2 = {(x, y) ∈ R2 : x > 3, y < −1} ,

D3 = {(x, y) ∈ R2 : x < 3,−1 < y < 1} .Il dominio D della funzione e dato da

D = D1 ∪D2 ∪D3 .

(b) D e un insieme aperto come unione di tre insiemi aperti.(c) Si ha

(x− 3)(y2 − 1)(y2 − 1) =

(x− 3)

(x− 3)(y2 − 1)(2y(x− 3)) =

(y2 − 1).

ANALISI MATEMATICA 1Commissione L. Caravenna, V. Casarino, S. Zoccante

Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 16 Settembre 2015

Nome, Cognome, numero di matricola:

TEMA - parte B

Esercizio 1 (10 punti). Si consideri la funzione

f(x) = x log(x) + x � x2 + 11 .

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del domınio ed eventuali asintoti di f .b) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio.c) Determinare gli intervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali di f .d) Dimostrare, in particolare, che f presenta un unico zero x0 nel suo dominio e dare una stima perx0 (determinare, cioe, due interi m e n tali che m x0 n).e) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 (8 punti). Si consideri la successione (an), dove

an = e(n�2) � cos⇣↵

1) Determinare al variare di ↵ 2 R l’ordine di infinitesimo di an per n ! 1.2) Discutere al variare di ↵ 2 R la convergenza della serie

⇣e(n�2) � cos

⇣↵n

⌘⌘

Esercizio 3 (8 punti). Siano � e ! parametri reali fissati.1) Calcolare l’integrale indefinito Z

e�x cos(!x) dx .

2) Discutere la convergenza ed eventualmente calcolare l’integrale generalizzato

0e�2x cos(⇡x) dx .

Esercizio 4 (6 punti). Data la funzione

G(x, y) =x + 1

sinh(|y|) ,

1) stabilire e disegnare nel piano il domınio in cui essa e derivabile con derivate continue, giustificandoadeguatamente la risposta;

2) scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione G in O = (�1, 1, 0).

Tempo concesso: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni

e calcolatrici di qualsiasi tipo. Chi e sorpreso a parlare o copiare verra allontanato dall’aula e non potra sostenere l’ appello

successivo.

TEMA - parte B

f(x) = x2 � x log(x) � x � 12 .

an = e(↵2n�2) � cos

✓e(↵2n�2) � cos

◆◆.

e!x sin(�x) dx .

0e�3x sin(⇡x) dx .

G(x, y) =y + 1

tanh(|x|) ,

2) scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione G in O = (1,�1, 0).

successivo.

TEMA - parte B

f(x) = x log(x) + x � x2 + 11 .

Traccia di Soluzione. a) La funzione f(x) somma e prodotto di polinomi e di log(x). Ildominio di f e quindi determinato dal dominio della funzione log(x):

domf = {x 2 R : x > 0} .

I limiti agli estremi del dominio valgono

limx!0+

f(x) = 11 e limx!+1

f(x) = limx!+1

✓1 � 1

x� log x

x� 11

◆= �1 .

Non esistono asintoti orizzontali, verticali o obliqui.b) f e continua e derivabile in ogni punto del suo dominio, come somma e prodotto di funzionicontinue e derivabili.c) Calcoliamo la derivata di f . Otteniamo

f 0(x) = log x + 2 � 2x .

Dal confronto fra i grafici di log x e di 2(x � 1) segue che

log x 2(x � 1)

per ogni x > 1 e per x 2 (0,↵), per un certo ↵ 2 (0, 1). Ne deduciamo che f e decrescente perx 2 (0,↵) e per x > 1, crescente in (↵, 1). Quindi f ha un minimo locale in x = ↵ e un massimolocale in x = 1 (dove vale 11). Quindi f non ha minimo globale e ha massimo globale in x = 1.d) f e strettamente decrescente per x > 1, in 1 vale 11 e per x ! +1 tende a �1. Quindi, per ilteorema di esistenza degli zeri, f ha esattamente uno zero sull’intervallo (1, +1).

Dobbiamo ora dimostrare che non esistono altri zeri, quindi, in particolare, che f > 0 in (0, 1).E su�ciente dimostrare che f(↵) > 0. Ricordiamo che ↵ e caratterizzato dalla proprieta log↵ =2(↵� 1). Allora

f(↵) = ↵ log(↵) + ↵� ↵2 + 11 = 2↵(↵� 1) + ↵� ↵2 + 11 = ↵2 � ↵ + 11 � �↵ + 11 > 10

per ogni valore di ↵ in (0, 1). Quindi f e strettamente positiva sull’intervallo (0, 1) e ha esattamenteuno zero sull’intervallo (1, +1).

Per dare una stima dell’unico zero x0, calcoliamo, per esempio,

f(6) = 6 log(6) + 6 � 36 + 11 = 6 log 6 � 19 < 0 ,

dal momento che log 6 < 3 < 196 (siccome 6 < 8 = 23 < e3).

Possiamo a↵ermare, per esempio, che x0 2 (3, 6) siccome calcolando inoltre f(3) otteniamo

f(3) = 3 log(3) + 5 > 3 + 5 = 8 .

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

(a) I grafici y = log(x) e y = 2(x � 1)

0 2,5 5 7,5 10

(b) Il grafico di y = x log(x) + x � x2 + 11

an = e(n�2) � cos⇣↵

⇣e(n�2) � cos

⇣↵n

⌘⌘

Traccia di Soluzione. 1) Per n ! 1, si ha che n�2 ! 0 e ↵/n ! 0. Utilizzando gli sviluppidi Taylor, otteniamo

an = e(n�2) � cos⇣↵

⌘= 1 +

◆� 1 +

✓1 +

Poiche 1 + 12↵

2 6= 0 per ogni valore di ↵ in R, possiamo concludere che l’ordine di infinitesimo di an

per n ! 1 e 2 per ogni ↵ 2 R.

2) Per discutere la convergenza della serie

⇣e(n�2) � cos

⇣↵n

⌘⌘

usiamo il criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi. Poiche dal punto precedente

an ⇠✓

per n ! +1 eP

n2N1n2 converge, la serie data converge per ogni valore di ↵ in R.

e�x cos(!x) dx .

Traccia di Soluzione. 1) Osserviamo innanzi tutto che se � = ! = 0 l’integrando e identica-mente uguale a 1, e quindi l’integrale indefinito e x + C. Se � = 0 e ! 6= 0, inoltre

Ze�x cos(!x) dx =

Zcos(!x) dx =

sin(!x)

!+ C .

Possiamo quindi assumere, da questo momento in poi, che � sia diverso da zero. Integriamo perparti una prima volta, ponendo, per esempio, f 0(x) = e�x e g(x) = cos(!x). Allora

Ze�x cos(!x) dx =

�cos(!x) +

Ze�x sin(!x) dx .

Integriamo per parti l’integrale a destra, ponendo ora f 0(x) = e�x e g(x) = sin(!x). Allora

Ze�x sin(!x) dx =

�sin(!x) � !

Ze�x cos(!x) dx .

Risulta quindi

Ze�x cos(!x) dx =

�cos(!x) +

⇣e�x

�sin(!x) � !

Ze�x cos(!x) dx

da cui ✓1 +

◆Ze�x cos(!x) dx =

�cos(!x) +

�2e�x sin(!x) ,

cioe ancora Ze�x cos(!x) dx =

�2 + !2

⇣� cos(!x) + ! sin(!x)

2) Si puo usare il teorema del confronto con |e�2x cos(⇡x)| e�2x. Possiamo infatti vedere chel’integrale assegnato e convergente (anche assolutamente) perche

��Z +1

0e�2x cos(⇡x) dx

�� Z +1

0e�2x

�� cos(⇡x)�� dx

0e�2x dx =

Per calcolare il valore dell’integrare, o come alternativa per dire che converge, valutiamo il limite

limR!+1

Risulta dal punto 1) che

limR!+1

0e�2x cos(⇡x) dx = lim

⇣�2 e�2x

4 + ⇡2

⇣cos(⇡x) � ⇡

2sin(⇡x)

⌘⌘��R

= limR!+1

⇣�2 e�2R

4 + ⇡2

⇣cos(⇡R) � ⇡

2sin(⇡R)

4 + ⇡2

4 + ⇡2,

dal momento che per R ! +1 si ha

e�2R⇣

cos(⇡R) � ⇡

2sin(⇡R)

⌘! 0

perche prodotto di una funzione limitata ( cos(⇡R) � ⇡2 sin(⇡R)) per una infinitesima ( e�2R).

G(x, y) =x + 1

sinh(|y|) ,

2) scrivere l’equazione del piano tangente al grafico della funzione G in O = (�1, 1, 0).

Traccia di Soluzione. 1) La funzione e definita nell’insieme

dom G = D = {(x, y) 2 R2 : sinh |y| 6= 0} = {(x, y) 2 R2 : y 6= 0} .

Sul semipiano superiore D+ = {(x, y) 2 R2 : y > 0} si ha G(x, y) = x+1sinh(y) , che e derivabile con

derivate continue, in quanto quoziente di funzioni derivabili con derivate continue, con denominatorediverso da zero.

Analogamente, sul semipiano inferiore D� = {(x, y) 2 R2 : y < 0} si ha G(x, y) = x+1sinh(�y) , che

e derivabile con derivate continue, in quanto quoziente di funzioni derivabili con derivate continue,con denominatore diverso da zero.

Possiamo quindi concludere che G e derivabile con derivate continue su tutto il suo dominio D.

2) Osserviamo che in un intorno di (�1, 1) possiamo scrivere sinh(|y|) = sinh(y).

Risulta inoltre@G

sinh(y)e

�(x + 1) cosh(y)

(sinh(y))2,

da cui, in particolare,@G

@x(�1, 1) =

sinh(1)e@G

@y(�1, 1) = 0 .

L’equazione del piano tangente al grafico di G in O e allora

sinh(1)(x + 1) .

Vicenza, 7 Luglio 2015

TEMA - parte B

f(x) = e2x � 3ex + 2 .

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Disegnare il grafico di g(x) = |f(x)| e studiare, a partire dal grafico, l’esistenza di eventuali puntidi discontinuita o di non derivabilita per g.f) Facoltativo. Determinare, a partire dal grafico, eventuali punti di minimo e di massimo locali oglobali di g(x) = |f(x)|.

Esercizio 2 (8 punti). a) Calcolare il limite

limx!0

log(1 + 3x)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2).

b) Discutere, al variare di ↵ > 0, l’esistenza e il valore del limite

limx!0

log(1 + 3x↵)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2).

Esercizio 3 (8 punti) Si consideri la funzione

f(x) =1

x log(|x|) .

1. Si determini il dominio D = {x 2 R | f e definita e continua in x}.

2. Si determini una primitiva G(x) di f(x) nel dominio D.

3. Facoltativo: Si scriva la funzione integrale

F (x) =

Z 2x+e

t log(|t|)dt,

precisando qual e il dominio di definizione della funzione integrale F (x).

Esercizio 4 (6 punti)

Data la funzioneF (x, y) = x2 � 3y2 + y6 ,

1) stabilire se essa e derivabile in R2 con derivate continue, giustificando adeguatamente la risposta;

2) in caso a↵ermativo, scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di F in P = (1, 1,�1).

successivo.

TEMA - parte B

f(x) = e�2x � 3e�x + 2 .

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Disegnare il grafico di g(x) = |f(x)| e studiare, a partire dal grafico, l’esistenza di eventuali puntidi discontinuita o di non derivabilita per g.f) Facoltativo. Determinare, a partire dal grafico, eventuali punti di minimo e di massimo locali oglobali di g(x) = |f(x)|

limx!0

log(1 + 5x)�

1 + 3x � 1�

arcsin(2x + x3).

b) Discutere, al variare di � > 0, l’esistenza e il valore del limite

limx!0

log(1 + 5x�)�

1 + 3x � 1�

arcsin(2x + x3).

f(x) =1

(x + e) log(|x + e|) .

F (x) =

(t + e) log(|t + e|)dt,

Data la funzioneF (x, y) = y2 � 3x2 + x6 ,

1) stabilire se essa e derivabile in R2 con derivate continue, giustificando adeguatamente la risposta;

successivo.

TEMA - parte B- Soluzioni

f(x) = e2x � 3ex + 2 .

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f . Determinare ancheeventuali intersezioni del grafico di f con gli assi.c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Disegnare il grafico di g(x) = |f(x)| e studiare, a partire dal grafico, l’esistenza di eventuali puntidi discontinuita o di non derivabilita per g.f) Facoltativo. Determinare, a partire dal grafico, eventuali punti di minimo e di massimo locale oglobale di g(x) = |f(x)|.

Soluzione dell’esercizio 1.

a) Il dominio di f e R; f non presenta simmetrie o periodicita.b) Si ha

limx!+1

f(x) = +1 , limx!�1

f(x) = 2 .

y = 2 e quindi asintoto orizzontale sinistro; non esistono asintoti obliqui o verticali. Il grafico di finterseca gli assi nei due punti (0, 0) e (log 2, 0).c) f e continua in tutti i punti di R come conseguenza del teorema sulla continuita di sommae composizione di funzioni continue. Analogamente, f e derivabile in tutti i punti di R comeconseguenza del teorema sulla derivabilita di somma e composizione di funzioni derivabili.

Risulta inoltref 0(x) = ex(2ex � 3) ,

cosı che f e crescente per x > log(32) e decrescente per x < log(3

2). Quindi x0 = log(32) e punto di

minimo globale. Non esistono punti di massimo locale o globale. Si osservi anche, per poter poidisegnare il grafico, che 0 < log(3

2) < 1 e che f(log(32)) = �1

4 . Si ha inoltre f(0) = 0.

e) Il grafico di g e uguale al grafico di f su (�1, 0) e su (log 2, +1). E invece uguale a quello di �fsull’intervallo (0, log 2). La funzione g e continua in R e derivabile in R \ {0, log 2}, dove abbiamodue punti angolosi.f) Si osserva dal grafico di g che x0 = log(3

2) e punto di massimo locale per g (con g(log(32)) = 1

4), eche x = 0 e x = log 2 sono punti di minimo assoluto per g (che si annulla nei due punti).

limx!0

log(1 + 3x)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2).

b) Discutere, al variare di ↵ > 0, l’esistenza e il valore del limite

limx!0

log(1 + 3x↵)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2).

Soluzione dell’esercizio 2. a) Utilizzando gli sviluppi di McLaurin al primo ordine, si ottiene

limx!0

log(1 + 3x)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2)= lim

(3x + o(x))�1 + 2

3x + o(x) � 1�

x + o(x)

= limx!0

(3x + o(x))�

23x + o(x)

x + o(x)= lim

(2x2 + o(x2))

x + o(x)= 0 .

b) Utilizzando ancora gli sviluppi di McLaurin al primo ordine, si ottiene questa volta

limx!0

log(1 + 3x↵)�

1 + 2x � 1�

arcsin(x + x2)= lim

(3x↵ + o(x↵))�1 + 2

3x + o(x) � 1�

x + o(x)

= limx!0

(3x↵ + o(x↵))�

23x + o(x)

x + o(x)= lim

2x↵+1 + o(x↵+1)

x + o(x).

Quest’ultimo limite vale 0 per qualunque ↵ strettamente positivo.

f(x) =1

x log(|x|) .

F (x) =

Z 2x+e

t log(|t|)dt,

Soluzione dell’esercizio 3. 1. f e definita e continua su D = {x 2 R : x 6= 0, x 6= ±1}.2. Calcolando l’integrale

x log(x)dx (con la sostituzione log x = t, dxx = dt) sugli intervalli (0, 1) e

(1, +1), e l’integraleR

1x log(�x)dx su (�1,�1) e (�1, 0) (oppure ricordando che una primitiva di

1t e log |t|), si ottiene

G(x) = log | log |x|| + C per ogni x 2 D .

Facoltatitivo: RisultaF (x) = G(2x + e) � G(e) = log(log(2x + e)) .

Il dominio si trova imponendo

(log |2x + e| > 0

2x + e > 0() 2x + e > 1 () x >

1 � e

Data la funzioneF (x, y) = x2 � 3y2 + y6 ,

1) stabilire se essa e derivabile con continuita in R2, giustificando adeguatamente la risposta;

Soluzione dell’esercizio 4. 1) La funzione assegnata e derivabile con continuita in R2, perchee un polinomio.2) L’equazione del piano tangente in P e

z = F (1, 1) + (@xF )(1, 1)(x � 1) + (@yF )(1, 1)(y � 1)

= �1 + 2(x � 1) + 0(y � 1) ,

cioe z = �3 + 2x.

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Vicenza, 12 Febbraio 2015

TEMA1 - parte B

f(x) =

{x2 + 2(ex − 1− x) per x ≤ 0

3xln(x) per x > 0

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Dedurre dal grafico l’immagine secondo f dell’intervallo (1,+∞).

Suggerimento: Si osservi che 2x + 2(ex − 1) < 0 per ogni x < 0.

Esercizio 2 (7 punti). Si consideri la successione

an =3en − e

√n + arctan(e

sinh(n + 1)

a) Dimostrare che limn→∞

b) Studiare il carattere della serie

∞∑

ancosh(n)

c) Facoltativo. Denotiamo con [[x]] la parte intera di x ∈ R. Studiare il carattere della serie

∞∑

an +[[

]]· (n− 1)!

cosh(n)

f(x) = − 1

x2 − 2x− 8.

1) Si determini il piu grande intervallo (a, b) tale che f(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b).2) Si calcoli l’area della regione

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−1, 2) , 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Data la funzione

F (x, y) = arcsin( 1

1 +√x2 − 81

)+ arctan (x2 + y2 − 16) ,

1) determinarne il dominio D, disegnarlo e stabilire se si tratta di un insieme aperto o limitato;

2) stabilire ove la funzione e derivabile parzialmente rispetto a y e calcolarne la derivata parziale∂F∂y .

successivo.

TEMA2 - parte B

f(x) =

{2(x + 1− ex)− x2 per x ≤ 0

− 2xln(x) per x > 0

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Dedurre dal grafico l’immagine secondo f dell’intervallo (e,+∞).

Suggerimento: Si osservi che x + ex − 1 < 0 per ogni x < 0.

bn =4en − 3e

√n + 5 cos(e

cosh(n + 2)

∞∑

bnsinh(n)

∞∑

bn +[[

]]· (n− 1)!

sinh(n)

f(x) = − 1

x2 − 8x− 20.

1) Si determini il piu grande intervallo (c, d) tale che f(x) > 0 per ogni x ∈ (c, d).2) Si calcoli l’area della regione

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−1, 5) , 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Data la funzione

1 +√y2 − 81

)+ cos (x2 + y2 − 25) ,

2) stabilire ove la funzione e derivabile parzialmente rispetto a x e calcolarne la derivata parziale∂F∂x .

successivo.

TEMA3 - parte B

f(x) =

{x2 + 5(ex − 1− x) per x ≤ 0

3xln(x) per x > 0

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Dedurre dal grafico l’immagine secondo f dell’intervallo (1,+∞).

an =7en − 8e

√n + 6 arctan(e

sinh(n + 2)

an =14

∞∑

ancosh(n)

∞∑

an +[[

]]· (n− 1)!

cosh(n)

f(x) = − 1

x2 + 2x− 8.

1) Si determini il piu grande intervallo (a, b) tale che f(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b).2) Si calcoli l’area della regione

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−2, 1) , 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Data la funzione

1 +√x2 − 16

)+ arctan (x2 + y2 − 36) ,

2) stabilire ove la funzione e derivabile parzialmente rispetto a y e calcolarne la derivata parziale∂F∂y .

successivo.

TEMA4 - parte B

f(x) =

{5(1 + x− ex)− x2 per x ≤ 0

− 2xln(x) per x > 0

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Dedurre dal grafico l’immagine secondo f dell’intervallo (e,+∞).

bn =6en − 8e

√n − sin(e

cosh(n + 1)

bn =12

∞∑

bnsinh(n)

∞∑

bn +[[

]]· (n− 1)!

sinh(n)

f(x) = − 1

x2 + 8x− 20.

1) Si determini il piu grande intervallo (c, d) tale che f(x) > 0 per ogni x ∈ (c, d).2) Si calcoli l’area della regione

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−5, 1) , 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Data la funzione

1 +√y2 − 16

)+ sin (x2 + y2 − 49) ,

2) stabilire ove la funzione e derivabile parzialmente rispetto a x e calcolarne la derivata parziale∂F∂x .

successivo.

TEMA - parte B

f(x) =

(x2 + 2(ex � 1 � x) per x 0

3xln(x) per x > 0

a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita di f .b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .c) Studiare la continuita e la derivabilita di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gliintervalli di monotonıa ed eventuali massimi e minimi locali o globali.d) Disegnare un grafico qualitativo di f .e) Dedurre dal grafico l’immagine secondo f dell’intervallo (1, +1).

Svolgimento:a) Risulta domf = {x 2 R : x 6= 1}. f non presenta simmetrie o periodicita.b) Risulta

limx!�1

f(x) = +1

(con ordine di infinito pari a due, quindi non esiste un asintoto obliquo sinistro),

limx!+1

f(x) = +1

(con ordine di infinito minore di uno, quindi non esiste un asintoto obliquo destro); si ha inoltre

limx!1+

f(x) = +1 e limx!1�

f(x) = �1 ,

quindi x = 1 e asintoto verticale.c) Per x < 0, x 2 (0, 1) e x > 1 f e continua come conseguenza dell’algebra delle funzioni continue.Occorre verificare la continuita solo in x = 0. Poiche

limx!0+

ln(x)= 0 = f(0) ,

f e continua su tutto il suo dominio.

Studiamo ora la derivabilita. Risulta

f 0(x) =

(2x + 2(ex � 1) per x < 0

3 ln x�1(ln(x))2

per x > 0, x 6= 1 ,

quindi f e derivabile se x < 0, x 2 (0, 1) e x > 1.

In x = 0 calcoliamo il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra, ottenendo

limx!0�

x2 + 2(ex � 1 � x) � 0

x= lim

x!0�

x2 + x2 + o(x2)

x= lim

x!0�

2x2 + o(x2)

limx!0+

3xln(x)

x= lim

ln(x)= 0 ,

quindi f e derivabile anche in x = 0.

Per quanto riguarda la monotonia, osserviamo che per x < 0 la funzione 2x + 2(ex � 1) estrettamente negativa come somma di due funzioni strettamente negative, quindi f e strettamente

decrescente per x < 0. Anche sull’intervallo (0, 1) f e strettamente decrescente, perche 3 ln x�1(ln(x))2

Infine, analizzando il segno di 3 ln x�1(ln(x))2

, deduciamo che f e strettamente decrescente in (1, e) e

strettamente crescente in (e, +1). In x = e la funzione f presenta un minimo relativo e vale 3e. fnon ha massimo e minimo assoluto.e) L’immagine secondo f dell’intervallo (1, +1) e l’intervallo [3e, +1).

an =3en � e

pn + arctan(e

sinh(n + 1)

a) Dimostrare che limn!1

b) Discutere la convergenza della serie:

cosh(n)

c) Facoltativo. Denotiamo con [[x]] la parte intera di x 2 R. Discutere la convergenza della serie

an +⇥⇥

⇤⇤· (n � 1)!

cosh(n)

Svolgimento: a) Per n ! +1, si ha

3en � ep

n + arctan(ep

n) ⇠ 3en

sinh(n + 1) ⇠ 1

2en+1 ,

da cui

limn!1

an = limn!1

12en+1

= limn!1

b) In base al criterio del confronto, la serieP1

cosh(n) e convergente perche per n ! 1 il terminegenerico soddisfa

cosh(n)� 3

e cosh n� 6

Notiamo che si puo usare anche il criterio del confronto asintotico, osservando che

cosh(n)⇠ 6

e cosh n⇠ 12

en+1per n ! +1.

c) Facoltativo. La serie1X

an +⇥⇥

⇤⇤· (n � 1)!

cosh(n)

e uguale alla serieP1

cosh(n) (quindi e convergente) perche⇥⇥

⇤⇤= 0 per ogni n � 2, in quanto .

la parte intera di un numero strettamente compreso fra 0 e 1 vale 0.

f(x) = � 1

x2 � 2x � 8.

1) Si determini il piu grande intervallo (a, b) tale che f(x) > 0 per ogni x 2 (a, b).2) Si calcoli l’area della regione

D = {(x, y) 2 R2 : x 2 (�1, 2) , 0 y f(x)} .

Svolgimento: a) Le radici di x2 � 2x � 8 sono �2 e 4, quindi x2 � 2x � 8 < 0 (e f(x) > 0)nell’intervallo (�2, 4), da cui (a, b) = (�2, 4).b) Poiche la funzione f e positiva in (�1, 2), si ha

Area(D) =

�1f(x)dx ,

Area(D) = �Z 2

x2 � 2x � 8dx = �

(x + 2)(x � 4)dx .

Dalla decomposizione in fratti semplici

(x + 2)(x � 4)=

x + 2� 1

x � 4

ricaviamo

�Z 2

(x + 2)(x � 4)=

⇣Z 2

x + 2dx �

x � 4dx⌘

⇣log |x + 2|

��2

�1� log |x � 4|

��2

da cui

Area(D) =1

⇣log 4 � log 2 + log 5

6log 10 .

Data la funzione

F (x, y) = arcsin⇣ 1

x2 � 81

⌘+ arctan (x2 + y2 � 16) ,

2) stabilire ove la funzione e derivabile parzialmente rispetto a y e calcolarne la derivata parziale@F@y .

Svolgimento: 1) Bisogna imporre innanzitutto

�1 1

x2 � 81 1 , (1)

in quanto l’argomento dell’arcoseno deve essere compreso fra �1 e 1. Osserviamo che la disequazione(1) e sempre soddisfatta.

Dobbiamo inoltre imporre chep

x2 � 81 sia ben definita, cioe che x2 � 81 � 0. Risolvendo ladisequazione, si ottiene x �9 oppure x � 9.

Risulta alloraD = domF := {(x, y) 2 R2 : x �9, x � 9, y 2 R} .

Il dominio non e aperto, perche i punti sulle rette x = ±9 non sono punti interni al dominio. InoltreD non e limitato.

2) In ogni punto del dominio D la funzione F e derivabile rispetto a y e la derivata vale

@y(x, y) =

1 + (x2 + y2 � 16)2,

(si osservi, in particolare, che

�arcsin

x2 � 81

�= 0 ) .

-20-15

-10 -5 5 10

-20-15

-10 -5 5 10

-20-15

-10 -5 5 10

(c)Tem

-20-15

-10 -5 5 10

Vicenza, 27 Gennaio 2015

TEMA1 - parte B

Esercizio 1 (10 punti).

Si consideri la funzione f(x) = (x2 − 1)e1/x

1. Determinare dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;

2. determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, eventuali punti in cui epossibile prolungare la funzione per continuita;

3. studiare la continuita e la derivabilita di f ; in particolare, provare che la derivata prima siannulla in un solo punto, di cui si dara una stima, e quindi determinare la monotonia dellafunzione (non e richiesto lo studio della derivata seconda);

4. calcolare i limiti significativi di f ′

Data la funzione

h(x) =1

3x2 sin2(x) ,

1. scrivere lo sviluppo di McLaurin di h di ordine 4;

2. calcolare per mezzo degli sviluppi di McLaurin la derivata di ordine 12 di h in x = 0.Suggerimento: Si sconsiglia di scrivere lo sviluppo completo fino all’ordine 12.

Determinare per quali α ∈ R la serie

+∞∑

converge.

Si consideri la funzione integrale

F (x) =

t2 − t+ 1dt .

1. Senza calcolare l’integrale, determinare l’intervallo di convessita di F .

2. Calcolare poi ∫ 1

t2 − t+ 1dt .

Domanda facoltativa : Stabilire se la funzione integrale F e limitata per x→ +∞.

successivo.

TEMA2 - parte B

Si consideri la funzione f(x) = (x2 − 1)e−1/x

Data la funzioneh(x) = 3x2

(1− cosx

Determinare per quali b ∈ R la serie

+∞∑

converge.

F (x) =

t2 − 2t+ 2dt .

Domanda facoltativa : Stabilire se la funzione integrale F e limitata per x→ −∞.

successivo.

TEMA3 - parte B

Si consideri la funzione f(x) = (1− x2)e1/x

Data la funzione

h(x) =1

2x2 sin2(x) ,

Determinare per quali α ∈ R la serie

+∞∑

converge.

F (x) =

t2 + t+ 1dt .

Domanda facoltativa : Stabilire se la funzione integrale F e limitata per x→ +∞.

successivo.

TEMA4 - parte B

Si consideri la funzione f(x) = (1− x2)e−1/x

Data la funzioneh(x) = 2x2

(1− cosx

Determinare per quali b ∈ R la serie

+∞∑

converge.

F (x) =

t2 + 2t+ 2dt .

Domanda facoltativa : Stabilire se la funzione integrale F e limitata per x→ −∞.

successivo.

TEMA - parte B

Si consideri la funzione f(x) = (x2 � 1)e1/x.

4. calcolare i limiti significativi di f 0

Svolgimento.

1. Il dominio di f e R \ {0}; f non e pari, ne dispari, ne simmetrica; f e positiva se |x| > 1,negativa in (�1, 0) [ (0, 1); gli unici zeri di f sono x = 1 e x = �1.

2. Vale limx!±1

e1/x = 1 , da cui segue

limx!±1

(x2 � 1)e1/x = +1 .

Si ha inoltre limx!0+

e1/x = +1 , e limx!0�

e1/x = 0 , da cui deduciamo

limx!0+

(x2 � 1)e1/x = �1 .e limx!0�

(x2 � 1)e1/x = 0 .

Non esistono asintoti obliqui, perche la funzione tende a +1 con ordine di infinito 2, x = 0e asintoto verticale destro. Osserviamo anche che la funzione non puo essere prolungataper continuita in x = 0 (anche se puo essere prolungata per continuita da sinistra).

3. f e continua e derivabile su tutto il suo dominio. Calcoliamo adesso la sua derivata:

f 0(x) = 2xe1/x � 1

x2(x2 � 1)e1/x =

⇣2x3 � x2 + 1

⌘e1/x .

Per studiare il segno di f 0 dobbiamo studiare il segno di

g(x) = 2x3 � x2 + 1 .

Studio di g. La funzione g e definita su tutto R, tende a +1 per x ! +1 e a �1 perx ! �1, e la sua derivata vale

g0(x) = 6x2 � 2x = 2x(3x � 1) .

Quindi g e crescente per x < 0 e per x > 13 , decrescente sull’intervallo (0, 1

3). In particolare,il punto x = 0 e punto di massimo relativo (e si ha g(0) = 1), mentre il punto x = 1

3 epunto di minimo relativo (e si ha g(1

3) = 1 � 127). Ne deduciamo che g si annulla soltanto

in un certo punto a < 0, ed e negativa sull’intervallo (�1, a), positiva su (a, +1).

Per dare una stima di a, calcoliamo, per esempio, g(�1) = �2 � 1 + 1 = �2. Poiche ge strettamente crescente sull’intervallo [�1, 0], g(�1) = �2 e g(0) = 1, concludiamo chea 2 (�1, 0).

Applicazione allo studio di f . Poiche

f 0(x) =g(x)

x2e1/x ,

f 0 e positiva se e solo se g lo e. Deduciamo quindi dallo studio di g che f e decrescente in(�1, a), crescente in (a, 0) e in (0, +1).

4. Il limite significativo di f 0 e

limx!0�

⇣2x3 � x2 + 1

⌘e1/x = 0 .

Nell’ultima pagina e presentato il grafico di f in due diverse scale.

Data la funzione

h(x) =1

3x2 sin2(x) ,

Svolgimento.

1. Dallo sviluppo elementare sin x = x � 13!x

3 + o(x3) per x ! 0 deduciamo

sin2 x =�x � 1

3!x3 + o(x3)

�2= x2 � 2

3!x4 + o(x4) ,

da cui

h(x) =1

3x2 sin2(x) =

3x2�x2 � 2

3!x4 + o(x4)

3x4 + o(x4) .

2. Consideriamo lo sviluppo di sin x fino all’ordine 9:

sin x = x � 1

3!x3 +

5!x5 � 1

7!x7 +

9!x9 + o(x9) .

Si ha quindi

h(x) =1

3x2 sin2(x) =

3x2�x � 1

3!x3 +

5!x5 � 1

7!x7 +

9!x9 + o(x9)

Ricordiamo che, dato lo sviluppo di Taylor di una funzione h vicino a x = 0, il coe�cientek-imo dello sviluppo, ak, soddisfa la relazione ak = h(k)(0)/k!. Ci interessa quindi soltanto

il coe�ciente del monomio x10 presente in�x� 1

3!x3 + 1

5!x5 � 1

7!x7 + 1

9!x9 + o(x9)

�2. Esso e

dato da � 1

Possiamo quindi concludere che

h(12)(0) =12!

⇣� 1

Determinare per quali ↵ 2 R la serie

5n↵n

converge.

Svolgimento. Posto an := n4

5n↵n, studiamo innanzitutto la convergenza assoluta, per mezzodel criterio del rapporto:

limn!+1

an= lim

⇣n + 1

⌘4⇣ 5n

⌘ |↵|n+1

|↵|n =1

5|↵| .

Quindi, per il criterio del rapporto, se |↵| < 5 la serie converge assolutamente (quindi anchesemplicemente).

Se ↵ � 5, la serie (che in questo caso e a termini positivi) diverge, in quanto il termineennesimo non tende a zero ed e violata la condizione necessaria.

Se ↵ �5, la serie non converge, perche e violata la condizione necessaria.

F (x) =

t2 � t + 1dt .

2. Calcolare poi Z 1

t2 � t + 1dt .

Svolgimento.

1. Poniamo

f(x) =1

x2 � x + 1.

Poiche il denominatore non si annulla in alcun punto di R, f e continua e derivabile sututto R.Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale segue allora F 0(x) = f(x), da cui anche

F 00(x) = f 0(x) = � 2x � 1

(x2 � x + 1)2.

Concludiamo allora che F e convessa in (�1, 12), concava in (1

2 , +1).

2. Calcoliamo innanzitutto l’integrale indefinito

t2 � t + 1dt .

t2 � t + 1dt =

(t � 12)2 + 3

= (t � 1

2= ⌧)

⌧2 + 34

d⌧ =4

2 + 1d⌧

= (2p3⌧ = u, d⌧ =

u2 + 1du =

p3 arctan u + C

p3 arctan

⇣ 2p3(t � 1

da cui segue Z 1

t2 � t + 1dt =

arctan� 1p

�� arctan

�� 1p

�⌘.

-2,5-2

-1,5-1

0,5 1 1,5

-20-16

-12 -8 -4 4 8 12

-4,8-4

-3,2-2,4

-1,6-0,8

1,62,4

Tema 2

Tema 3

Tema 4

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) = log

✓sin(2x) +

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita ed il segno di f ;

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;

(d) disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) Facoltativo: calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.

Svolgimento:a) La funzione e periodica di periodo ⇡ infatti f(x + ⇡) = f(x), quindi la studieremo in [0,⇡].Dominio: dobbiamo risolvere la disequazione sin(2x) + 1/2 > 0 che, in [0,⇡], ha come soluzioni[0, 7

12⇡) [ (1112⇡,⇡] e in tutto R il dominio e [k⇡, 7

12⇡ + k⇡) [ (1112⇡ + k⇡, 7

12⇡ + k⇡].Da ora in poi studieremo la funzione in D = [0, 7

12⇡) [ (1112⇡,⇡] e poi la estenderemo tenendo

conto della periodicita.Segno: f(x) > 0 se sin(2x) + 1/2 > 1, quindi sin(2x) > 1/2. Risolto in D si ottiene x 2 [ ⇡12 , 5

12⇡].b)i limiti significativi sono limx!( 7⇡

12) = �1, limx!( 11⇡

12) = �1.

Inoltre f(0) = f(⇡) = � log 2 < 0.c) La funzione dove e definita e continua e derivabile.

f 0(x) = 2 cos(2x)sin(2x)+1/2 , che si annulla in D solo se x = ⇡/4 (notare che 3

4⇡ non appartiene al dominio).

Quindi per i punti di D si ha che f e crescente in (0,⇡/4) decrescente in (⇡/4, 712⇡) e crescente

in (1112⇡,⇡). Quindi x = ⇡/4 e un punto di massimo relativo e dal segno della funzione si deduce

che e anche un punto di massimo assoluto con f(⇡/4) = log(3/2).Non ci sono limiti di f 0 significativi perche in x = 0 e in x = ⇡ la funzione e derivabile e si attaccaattraverso la sua periodicita.

Facoltativo: f 00(x) = � 4 cos2(2x)(sin(2x)+1/2)2

� 4 sin(2x)sin(2x)+1/2 = � 4

(sin(2x)+1/2)2(1+ 1

2 sin(2x)) da cui si osserva

che f 00(x) < 0 nel suo dominio, cioe la f e sempre concava.

an = n↵(3 sin(1/n2) � log(1 + 3/n2))

(a) Discutere per quali ↵ 2 R la successione tende a zero.

(b) Discutere per quali ↵ 2 R converge la serieP+1

Svolgimento: (cenno)

Poiche per x ! 0 vale:

log(1 + x) = x � x2

2+ o(x2), sin(x) = x + o(x2),

possiamo riscrivere la successione come:

an = n↵

n2+ o(

n4) � 3

2n4+ o(

2n4�↵+ o(

n4�↵).

Utilizzando lo sviluppo precedente abbiamo:

limn!+1

an = limn!+1

2n4�↵+ o(

n4�↵) =

0 ↵ < 492 ↵ = 4+1 ↵ > 4.

Se ↵ � 4 la serie non converge poiche non e infinitesima. Se ↵ < 4 la serie e asintotica allaserie armonica generalizzata con esponente 4 � ↵ che converge se e solo se

4 � ↵ > 1 ) ↵ < 3.

Esercizio 3 Data la funzione

f(x) =�x2 + 1

�e2x.

(a) Determinarne una primitiva

(b) Calcolare l’area della regione del piano definita da

A = {(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 1 y f(x).}.

Per trovare una primitiva di f determiniamoR

f(x)dx, che si calcola utilizzando la tecnicadi integrazione per parti per due passaggi.

Z �x2 + 1

�e2x =

2e2x�x2 + 1

�� 1

Ze2x(2x)dx =

e2x x2 + 1

xe2x = e2x x2 + 1

2xe2x � 1

Ze2xdx

x2 + 1 � x

�+ cost.

Z �x2 + 1

�e2x = e2x 2x2 � 2x + 3

4+ cost.

(b) Si ha che f(0) = 1 e se x > 0 allora x2 + 1 > 1 e anche e2x > 1, da cui f(x) � 1 per ognix 2 [0, 1]. Quindi

Area A =

0(f(x) � 1)dx =

0f(x)dx �

01dx = e2x 2x2 � 2x + 3

��1

� x��1

✓2 � 2 + 3

◆� 3

4� 1 =

3e2 � 7

Esercizio 4 Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) =1

log( yx)

(a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se e chiuso e limitato.

(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (1, e, f(1, e)), giustificando larisposta.

Svolgimento: (cenno) (a) Il dominio e

D = {(x, y) : x 6= 0, y/x > 0, log(y/x) 6= 0} = {(x, y) : (x, y > 0 o x, y < 0) e y 6= x}, cioeil primo ed il terzo quadrante esclusi gli assi e la prima bisettrice, y = x. D quindi e aperto eillimitato.

(b) (1, e) 2 D, dove f e continua e di↵erenziabile, perche composizione di funzioni derivabilicon derivate continue. Quindi esiste il piano tangente in (1, e, f(1, e)). Si ha: f(1, e) = 1/ log(e) =1 e le derivate parziali sono:

fx(x, y) = � 1

log2( yx)

⇣� y

⌘=) fx(1, e) = 1,

fy(x, y) = � 1

log2( yx)

◆=) fx(1, e) = �1

Quindi l’equazione del piano tangente richiesta e

z = 1 + x � 1 � y � e

e= x � y

f(x) = arcsin

✓ |2x � 2|x2 + 1

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .

Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;

Svolgimento: (cenno) a) Il dominio si ricava ponendo |2x � 2| x2 + 1, e si ha:

D = {x 2 R, x �1 �p

2, x � �1 +p

Non ci sono simmetrie. Poiche l’argomento della funzione arcsin e sempre maggiore o uguale azero, anche f � 0 sempre. Inoltre 0 f(x) ⇡/2, e f(1) = 0, mentre f(�1±

p2) = ⇡/2, quindi

x = 1 e punto di minimo assoluto e x = �1 ±p

2 sono punti di massimo assoluto per f .

b) limx!±1 f(x) = 0, quindi la retta y = 0 e asintoto orizzontale per x ! ±1.

c) La funzione e continua nel suo dominio.

Se x �1 �p

2 oppure �1 +p

2 x 1, f(x) = arcsin⇣�2x+2x2+1

⌘, quindi

f 0(x) =2x2 � 4x � 2

(x2 + 1)p

(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2per x < �1 �

p2 o �1 +

p2 < x < 1 .

Si ha f 0(x) > 0 per x < �1 �p

2, quindi in questo intervallo la funzione e crescente, e f 0(x) < 0per �1 +

p2 < x < 1, dove quindi e decrescente.

Inoltre limx!�1�p

2 f 0(x) = +1, limx!�1+p

2 f 0(x) = �1, limx!1� f 0(x) = �1.

Se x � 1 si ha f(x) = arcsin⇣

2x�2x2+1

⌘, che da per x > 1

f 0(x) = � 2x2 � 4x � 2

(x2 + 1)p

(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2.

Si ha che 1 < x < 1 +p

2, f 0(x) > 0, se x > 1 +p

2, f 0(x) < 0. Inoltre limx!1+ f 0(x) = 1.

Quindi x = 1 e un punto angoloso, e x = 1 +p

2 e un punto di massimo locale per f .

Out[6]=

Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato

x2 + 4x + 9dx.

(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integrale

1arctan

x2�↵

x2 + 4x + 9dx

converge.

(a) Si noti che x2 + 4x + 9 = 5 + (x + 2)2, da cui si ha:

x2 + 4x + 9dx =

1 +⇣

⌘2 dx =1

p5 arctan

✓x + 2p

◆ ��b

✓⇡

2� arctan(

(b) Si deve solo discutere l’integrabilita in +1. Si ha che:

- se 2 � ↵ > 0 allora limx!+1 arctan�

1x2�↵

�= 0,

-se ↵ = 2 allora arctan 1 = ⇡/4,

-se ↵ > 2 allora limx!+1 arctan�

1x2�↵

�= ⇡/2.

Nel primo caso (↵ < 2) la funzione integranda f(x) e f(x) ⇠ 1x4�↵ quindi e integrabile se

4 � ↵ > 1 che, in questo caso e sempre vero. Nel secondo caso (↵ = 2) f(x) ⇠ ⇡4x2 quindi e

integrabile. Nel terzo caso (↵ > 2) f(x) ⇠ ⇡2x2 quindi e integrabile.

OPPURE: Nel primo caso la funzione integranda della parte (b) e o-piccolo di quella dellaparte (a), quindi integrabile, nel secondo e nel terzo caso la funzione integranda della parte (b)e asintotica a quella della parte (a), quindi di nuovo integrabile.

OPPURE: 0 f(x) ⇡2

1x2+4x+9

⇠ ⇡2x2 per cui f e integrabile per ogni ↵ 2 R per il Teorema

del confronto.

Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite

limn!+1

↵n + (n2 � 4) log

◆�.

Si ha: log⇣

⌘= log

⇣1 + �2

⌘. Quando n ! +1, si ha �2

n+2 ! 0, quindi possiamo usare

lo sviluppo del logaritmo e scrivere:

✓1 +

n + 2� 1

(n + 2)2+ o

(n + 2)2

Sostituendo lo sviluppo nel limite si ha:

limn!+1

↵n + (n + 2)(n � 2)

✓ �2

n + 2� 1

(n + 2)2+ o(

(n + 2)2)

◆�=

= limn!+1

↵n � 2(n � 2) � 2

(n � 2)

(n + 2)+ o(

n � 2

(n + 2)2)

limn!+1

(↵� 2)n + 4 � 2

(n � 2)

(n + 2)+ o(

n � 2

(n + 2)2)

+1 ↵ > 22 ↵ = 2

�1 ↵ < 2

(OPPURE: log⇣

⌘= � log

�n+2

�= log

�1 + 2

�= � 2

n + 2n2 + o

�1n2

�...)

Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) =

rxy � 4

x2 + 4y2

(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (4, 2, f(4, 2)), giustificando larisposta.

Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).

(a) Il dominio e dato dalla condizione xy > 4, cioe il dominio sopra l’iperbole del primoquadrante e sotto quella del terzo. E un insieme aperto e illimitato.

(b) La funzione e di↵erenziabile nel suo dominio, quindi il piano tangente e definito dall’equazione

z = f(4, 2)) +@

@xf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

(x � 4) +@

@yf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

(y � 2).

Si ha:@

@xf(x, y) =

✓xy � 4

x2 + 4y2

◆�1/2 y(x2 + 4y2) � 2x(xy � 4)

(x2 + 4y2)2.

@yf(x, y) =

✓xy � 4

x2 + 4y2

◆�1/2 x(x2 + 4y2) � 8y(xy � 4)

(x2 + 4y2)2.

Quindi@

@xf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

@yf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

Da cui il piano tangente risulta:

z =1p8

64(x � 4) +

32(y � 2).

telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Si consideri la funzione

f(x) = arcsin

✓ |2 + 2x|1 + x2

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .

Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;

Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato

x2 + 6x + 14dx.

(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integraleZ +1

1arctan

x3�↵

x2 + 6x + 14dx

converge.

Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite

limn!+1

↵n � (n2 � 9) log

n � 3

◆�.

f(x, y) = log

xy � 4

4x2 + y2

(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (2, 4, f(2, 4)), giustificando larisposta.

Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).

telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

f(x) = 2 arctan

✓3 � x

◆� 2|x|

(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;

(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;

(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.

Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie.b) limx!�2� f(x) = �⇡ � 4, limx!�2+ f(x) = ⇡ � 4. La funzione non puo essere prolungata percontinuita in x = �2, dove c’e un salto.

limx!+1 f(x) = limx!+1 2 arctan⇣

3�xx+2

⌘� 2x = �1,

limx!+1f(x)

x = �2, limx!+1 f(x) + 2x = limx!+1 2 arctan⇣

3�xx+2

⌘= �⇡/2.

Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = �2x � ⇡/2.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = 2x � ⇡/2 easintoto obliquo per f(x) quando x ! �1.

c) Se x > 0, si ha f 0(x) = 2⇣

�5(x+2)2+(3�x)2

� 1⌘, che e strettamente negativa per ogni x > 0.

Se x < 0, x 6= �2, si ha f 0(x) = 2⇣

�5(x+2)2+(3�x)2

+ 1⌘

= 2 2x2�2x+8(x+2)2+(3�x)2

che e sempre strettamente

positiva.Si ha: limx!0� f 0(x) = 16/13 e limx!0+ f 0(x) = �36/13Quindi x = 0 e un punto angoloso per f .La funzione f(x) e crescente negli intervalli (�1,�2) e (�2, 0), ha un punto di massimo relativoin x = 0 e poi e decrescente in (0, +1). La funzione non presenta minimo assoluto, mentre x = 0e anche massimo assoluto.Ha senso calcolare limx!�2+ f 0(x) = limx!�2� f 0(x) = 8/5.d) Per il grafico si veda il disegno.e) (Facoltativo) Si calcola facilmente che per x 6= 0 e x 6= �2, si ha f”(x) = 10 4x�2

[(x+2)2+(3�x)2]2, che

risulta positiva quando x > 1/2, quindi la funzione e concava negli intervalli (�1,�2), (�2, 0),e (0, 1/2), presenta un punto di flesso in x = 1/2 ed e convessa in (1/2, +1).

-10-5510

Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie

2n + log(n3) + n an

3n + cos n + 2.

Svolgimento: (cenno) Se a > 2 il numeratore del termine della serie e asintotico a nan, se a = 2il numeratore del termine della serie e asintotico a (1 + n)2n. Se a < 2 (anche se a < 1!) ilnumeratore e asintotico a 2n. Il denominatore e asintotico a 3n, quindi si ha chei) se a > 2 il termine della serie e asintotico a nan

3n e la serie corrispondente converge (usando ilcriterio della radice o del rapporto) se e solo se a < 3 (se a = 3 il termine della serie tende a +1e quindi la serie non converge).

ii) se a = 2 il termine della serie e asintotico a (1+n)2n

3n e la serie corrispondente converge (usandoil criterio della radice o del rapporto).iii) se a < 2 il termine della serie e asintotico a 2n

3n e la serie corrispondente converge perche euna serie geometrica con ragione q < 1.Quindi la serie converge per ogni 0 a < 3.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2

0earcsin(2x) dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin(2x)...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earcsin(2x)}.Svolgimento: (cenno) a) con la sostituzione t = arcsin(2x), poiche 2x = sin t, 2dx = cos t dt,integrando due volte per parti si ottiene:

0earcsin(2x)dx =

Z ⇡/2

0et cos t dt =

2(et cos t|⇡/2

Z ⇡/2

0et sin t dt) =

2(et cos t|⇡/2

0 + et sin t|⇡/20 �

Z ⇡/2

0et cos t dt).

Quindi si ottiene a destra lo stesso integrale (in t) che abbiamo a sinistra e quindi

Z ⇡/2

0et cos t dt =

2(et cos t + et sin t)|⇡/2

da cui Z ⇡/2

0et cos t dt =

2(e⇡/2 � 1).

Quindi Z 1/2

0earcsin(2x) dx =

4(e⇡/2 � 1).

b) (Facoltativo) L’area di A e

0(earcsin(2x) +x)dx =

0earcsin(2x)dx+

0xdx =

4(e⇡/2�1)+

2|1/20 =

4(e⇡/2�1)+

Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite

limx!0+

ex2 � cos(p

x) + x

x2 sin�

�+ a

px sin

(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:

f(x) =

(1 + x2)3

1�cos x x < 0ex2�cos(

x2 sin( 2x)+a

px sin

⌘ x > 0

Svolgimento: (cenno) a) usando gli sviluppi di McLaurin il numeratore del limite e

ex2 � cos(p

x) + x = 1 + x2 � 1 +1

2x � 1

4!x2 + x + o(x2) =

2x + o(x).

Il denominatore e

x2 sin

◆+ a

px sin

◆= x2 sin

◆+ a

2x + o(x).

quindi il limite e uguale a

limx!0+

32x + o(x)a2x + o(x)

b) Calcoliamo il limite per x ! 0� della f(x) e poi lo imponiamo uguale al limite per x ! 0+

della f(x) che e proprio 3a .

Per x ! 0� dobbiamo considerare la f(x) definita per x < 0, quindi dobbiamo calcolare

limx!0�

(1 + x2)3

1�cos x = limx!0�

e3 log(1+x2)

1�cos x .

Calcoliamo il limite (con McLaurin) dell’esponente (si puo fare anche con L’Hopital) :

limx!0�

3 log(1 + x2)

1 � cos x= lim

x!0�

x2/2x2 = 6.

quindi limx!0� f(x) = e6

Quindi f(x) e prolungabile per continuita in x = 0 se e solo se 3a = e6 cioe a = 3e�6.

facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.

f(x) = 2 arctan

✓x � 3

◆+ 2|x|

Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie

3n + log(n2) + n bn

5n + sin n + 3.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2

0earccos(2x) dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos(2x)...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earccos(2x)}.

limx!0+

3ax tan x + x3 sin�

cosh x � ex4 + x2.

f(x) =

(1 � x)1

3(1�e�x) x < 03ax tan x+x3 sin( 1

3x)cosh x�ex4

+x2x > 0

f(x) = 2 arctan

✓x + 3

2 � x

◆� 2|x|

Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie

4n + cos n + 7

n2a n + n2 + 2n.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1

0e3 arcsin x dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin x...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e3 arcsin x}.

limx!0+

x2 sin( 1x) + 5ax

x arcsin(p

x) + e2x2 � cos(p

f(x) =

(1 � x)2

1�ex x < 0x2 sin( 1

x)+5ax

x arcsin(p

x)+e2x2�cos(p

x)x > 0

f(x) = 2 arctan

✓x + 3

x � 2

◆+ 2|x|

Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie

4n + sin n + 2

3n + n3 + n2 bn.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1

0e2 arccos x dx.

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos x...).(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e2 arccos x}.

limx!0+

2x sinh x � cos x + e�x4

5ax arcsin x + x3 sin�

f(x) =

(1 + x2)2

cosh x�1 , x < 02x sinh x�cos x+e�x4

5ax arcsin x+x3 sin( 5x)

, x > 0

f(x) = x ex�2x+2

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).

(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.

(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite

limx!0+

ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)

x2 log(1 + x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (2 � x) sinh x.

(b) Calcolare l’integrale definito Z 4

0|2 � x| sinh x dx.

(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 4

|2 � x| sinh x

x↵�1dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2

p2/3) della funzione

f(x, y) = arctan

3x + y

(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).

f(x) = x ex�33+x

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2) per x ! 0.

limx!0+

log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2)

x2 arctan(x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 1) sinh x.

0|x � 1| sinh x dx.

|x � 1| sinh x

x↵�1dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2

p2/3, 1/3) della funzione

f(x, y) = arcsin

2x + y

f(x) = x e3+xx�3

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3) per x ! 0.

limx!0+

sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3)

x3 arctan(x↵).

|3 � x| sinh x

x↵�2dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2/3,�

f(x, y) = arctan

x + 4y

f(x) = x ex+2x�2

(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi.

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3) per x ! 0.

limx!0+

tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3)

x3 log(1 + x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 4) sinh x.

0|x � 4| sinh x dx.

|x � 4| sinh x

x↵�2dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (

p5/3, 2/3) della funzione

f(x, y) = arcsin

x + 5y

Cenni di svolgimento del TEMA

f(x) = x ex�2x+2

Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie. f(x) > 0 sse x > 0,f(x) = 0 sse x = 0.b) limx!�2� f(x) = �1, limx!�2+ f(x) = 0. La retta x = �2 e un asintoto verticale sinistro.

limx!+1 f(x) = +1, limx!+1f(x)

x = e,

limx!+1 f(x) � ex = limx!+1 xe(ex�2x+2

�1 � 1) = limx!+1 xe(e�4

x+2 � 1) = limx!+1 xe( �4x+2) =

�4e.L’ultimo passaggio e motivato dal fatto che e

�4x+2 � 1 ⇠ �4

x+2 per x ! +1.Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = ex � 4e.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = ex�4e e asintotoobliquo per la f(x) anche quando x ! �1.

c) f 0(x) = ex�2x+2 (1 + x 4

(x+2)2) = e

x�2x+2 x2+8x+4

(x+2)2. f 0(x) > 0 se e solo se x2 + 8x + 4 > 0 e risolvendo

la disequazione si ottiene, f 0(x) > 0 sse x > �4 +p

12 o x < �4 �p

12. Quindi si ottiene che laf(x) e crescente per x < �4 �

p12, ha un punto di massimo relativo in x = �4 �

p12 e poi e

decrescente tra x = �4p

12 e x = �2. Tra x = �2 e x = �4+p

12 decresce, ha in x = �4+p

12un punto di minimo relativo e per x > �4 +sqrt12 e strettamente crescente.e) Ha senso studiare limx!�2+ f 0(x). Per x ! �2+, raccogliendo ”e” come sopra, si puo dire che

f 0(x) ⇠ e e�4

x+2 �8(x+2)2

. Con la sostituzione y = 1x+2 (y ! +1) si ottiene f 0(y) ⇠ e e�4y(�8y2) =

�8e y2

e4y ! 0 se y ! +1, quindi limx!�2+ f 0(x) = 0 e il grafico di f si attacca a x = �2+ contangente orizzontale.

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.

limx!0+

ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)

x2 log(1 + x↵).

Svolgimento: (cenno)a) ex+x2 � 1�x�x2 +sin(x2) = 1+(x+x2)+ 1

2(x+x2)2 � 1�x�x2 +x2 + o(x2) = 32x2 + o(x2)

per x ! 0 quindi la funzione e infinitesima di ordine 2 per x ! 0.

b) limx!0+ex+x2�1�x�x2+sin(x2)

x2 log(1+x↵)= limx!0+

32x2+o(x2)

x2 log(1+x↵)= limx!0+

3/2+o(1)log(1+x↵) .

Se ↵ > 0, x↵ ! 0+ se x ! 0+, quindi log(1 + x↵) = x↵ + o(x↵) e il limite limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) =

limx!0+3/2+o(1)x↵+o(x↵) = +1.

Se ↵ = 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = limx!0+

3/2+o(1)log(2) = 3

2 log 2 .

Se ↵ < 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = 0, perche il denominatore tende a +1.

(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzato

|2 � x| sinh x

x↵�1dx.

Svolgimento: (cenno) a) Integrando per partiR(2 � x) sinh xdx = (2 � x) cosh x +

Rcosh xdx = (2 � x) cosh x + sinh x + C.

b)R 40 |2 � x| sinh x dx =

R 20 (2 � x) sinh x dx +

R 42 (x � 2) sinh x dx = [(2 � x) cosh x + sinh x]20 �

[(2 � x) cosh x + sinh x]42 = 2 sinh 2 � 2 + 2 cosh 4 � sinh 4.c) L’integrale e da considerarsi in senso generalizzato perche la funzione integranda e illimitatain x = 0 se ↵ � 1 > 0. Quindi se ↵ � 1 0 l’integrale e un integrale definito e quindi converge.Se ↵ � 1 > 0, f(x) = |2�x| sinh x

x↵�1 ⇠ 2xx↵�1 = 2

x↵�2 per x ! 0 quindi dal principio del confrontoasintotico, converge tra (0, 4) se e solo se ↵� 2 < 1 cioe ↵ < 3.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2

f(x, y) = arctan

3x + y

Svolgimento: (cenno) (NB: il punto (1, 0) e interno al dominio di f : nel dominio deve esserey 6= �3x e (1, 0) verifica y > �3x, per cui e in un aperto contenuto nel dominio).

(a) Le derivate parziali di f nel suo dominio esistono e sono:

@x(x, y) = � 1

1 +⇣

(3x + y)2;

@y(x, y) =

1 +⇣

(3x + y)2.

Quindi @f@x (1, 0) = 0 e @f

@y (1, 0) = 1/3 e poiche le derivate parziali sono funzioni continue in unintorno di (1, 0), f e di↵erenziabile in tal punto e vale la Formula del Gradiente per il calcolodella derivata direzionale:

Dvf(1, 0) =@f

@x(1, 0) v1 +

@y(1, 0) v2 = �2

(b) Per es, in coordinate polari: x = ⇢ cos ✓, y = ⇢ sin ✓, si ha

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = lim⇢!0+

= arctan

✓⇢ sin ✓

3⇢ cos ✓ + ⇢ sin ✓

◆= arctan

✓sin ✓

3 cos ✓ + sin ✓

che dipende da ✓, per cui il limite non esiste. Analogamente, lungo le rette y = mx, si ottiene

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = limx!0

= arctan

3x + mx

◆= arctan

che dipende da m, per cui ancora risulta dimostrato che il limite non esiste. Nel caso particolarepoi del limite lungo gli assi:

lim(x!0)

f(x, 0) = 0, lim(y!0)

f(0, y) = arctan 1.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) =log(1 + x2)

x� 2 arctan(x)

(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;

(e) disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione

g(x) = e�x � cos(p

(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite

limn!+1

e�1/n � cos(p

2/n) + an2q

1 + 1n2 � 1

Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:

Z 2⇡

0x2| sin x| dx.

(b) Scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].

Esercizio 4 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie

(�1)n

✓1pn� sin

◆◆, a � 1/2 .

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,

appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

f(x) =log(1 + x2)

x� 2 arctan(x)

(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;

(e) disegnare un grafico qualitativo di f .

Sol. (a) Dom(f) = R \ {0} e f e dispari. Possiamo quindi in seguito limitare lo studio a x > 0.

(b) Usando lo sviluppo del logaritmo, limx!0+ f(x) = limx!0+ [x2

x �2 arctan(x)] = 0. Quindi(tenendo anche conto della simmetria) f si prolunga per continuita in x = 0 ponendo f(0) = 0.Per la gerarchia degli infiniti, limx!+1 f(x) = 0 � 2⇡/2 = �⇡. Quindi y = �⇡ e un asintotoorizzontale a +1 (e y = ⇡ e un asintoto orizzontale a �1).

(c) Per x 6= 0, f e derivabile e vale

f 0(x) = � 1

x2log(1 + x2) +

1 + x2� 2

1 + x2= � log(1 + x2)

Quindi f 0(x) < 0 per ogni x > 0 e quindi f e strettamente decrescente. Per simmetria, lo e ancheper x < 0. Percio f non ha max e min relativi o assoluti ma solo inf f = �⇡ e sup f = +⇡.Attacco in x = 0±: usando lo sviluppo del logaritmo, , limx!0± f 0(x) = � limx!0± x2

x2 = �1.Quindi f e derivabile in x = 0 con f 0(0) = �1.

(d) Per x 6= 0, f e derivabile due volte e vale

f 00(x) =2

x3(1 + x2)

⇥(1 + x2) log(1 + x2) � x2

Per x > 0 f 00(x) > 0 se e solo se log(1+x2) > x2

1+x2 e questo e sempre vero, per es. per confronto

dei grafici di y = log(1 + x2) e y = x2

1+x2 . Quindi per x > 0 f e convessa mentre per x < 0 econcava. In x = 0 c’e un punto di flesso. La funzione e derivabile due volte anche in x = 0,perche usando lo sviluppo del logaritmo e l’asintoticita 1 + x2 ⇠ 1, si ottiene che

limx!0±

f 00(x) = � limx!0±

(1 + x2)(x2 � 1

2x4) � x2 + o(x4)

�= � lim

x3= 0.

Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione

g(x) = e�x � cos(p

(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite

L = limn!+1

e�1/n � cos(p

2/n) + an2q

1 + 1n2 � 1

Sol. (a) Usando gli sviluppi di esponenziale e coseno in x = 0 si ottiene:

g(x) = 1 � x +1

2x2 � 1

6x3 �

1 � x +

24(4x2) � 1

6!(8x3)

�+ o(x3) =

3x2 � 7

45x3 + o(x3).

(b) Usando il punto (a) e lo sviluppo dip

1 + x:

L = limn!+1

1n2 � 7

451n3 + a

= 2 limn!+1

◆� 7

�= 2

Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:

Z 2⇡

0x2| sin x| dx

(b) scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].

Sol. Essendo | sin x| = sin x per x 2 [0,⇡] e | sin x| = � sin x per x 2 [⇡, 2⇡], l’integrale diventa

Z 2⇡

0x2| sin x| dx =

0x2 sin x dx �

Z 2⇡

⇡x2 sin x dx.

Poiche, integrando per parti in modo indefinito, si ha che

Zx2 sin x dx = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cost,

si ottiene

I = [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]⇡0 � [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]2⇡⇡ = 6⇡2 � 8.

Facoltativo: per definizione:

F (x) =

⇢ R x0 t2 sin t dt = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x � 2 se x 2 [0,⇡]R ⇡0 t2 sin t dt �

R x⇡ t2 sin t dt = 2⇡2 � 6 + x2 cos x � 2x sin x � 2 cos x se x 2]⇡, 2⇡].

(�1)n

✓1pn� sin

◆◆, a � 1/2 .

Sol. Per lo studio della convergenza assoluta, osserviamo che per ogni a > 1/2, an.= 1p

sin�

�⇠ 1p

nper la gerarchia degli infinitesimi. Quindi an > 0 per n grande e la serie non

converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico con 1/n↵ con ↵ = 1/2 < 1.Per a = 1/2, dallo sviluppo del seno segue che an ⇠ 1

6n3/2 (> 0) e quindi la serie convergeassolutamente.

Per la convergenza semplice, per a = 1/2, segue da quella assoluta. Per a > 1/2, la serienon converge assolutamente ma e infinitesima. Quindi per il Criterio delle serie alternate (odi Leibnitz), la serie converge se an e decrescente. Per dimostrare questo, poniamo f(x)

1px� sin

�1xa

�e deriviamo:

f 0(x) = � 1

2 x3/2+ cos

◆⇣ a

Dalla gerarchia degli infinitesimi, poiche a > 1/2, segue che per x su�cientemente grande:

f 0(x) = � 1

2 x3/2+ o

◆⇠ � 1

2 x3/2< 0.

Quindi an e anche infinitesima e la serie converge anche per a > 1/2.

f(x) = cosh3 x � 9 cosh2 x + 24 cosh x � 18

(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).

Domanda facoltativa: Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = �, al variare di � nell’intervallo

[0, 3].

Svolgimento. (a) Dom(f) = R, f e pari e quindi possiamo limitarci a studiarla per x � 0.

(b) Usando la definizione di cosh e le asintoticita a +1, si ha che

limx!+1

f(x) = limx!+1

e non esiste asintoto obliquo visto che f ha crescita superlineare a +1. Inoltre f e continua inR e f(0) = �2.

(c) f e derivabile infinite volte in R e

f 0(x) = sinh x�3 cosh2 x � 18 cosh x + 24

Per x � 0, sinh x � 0 quindi basta studiare il segno dell’espressione tra parentesi. Poniamot = cosh x:

3 cosh2 x � 18 cosh x + 24 = 3(t2 � 6t + 8) � 0

se e solo se t = cosh x 2 oppure t = cosh x � 4. Quindi otteniamo che f 0(x) � 0, e quindi f ecrescente, per x � 0 se e solo se x 2 [0, sett cosh 2][ [sett cosh 4, +1[. In R, i punti 0, ±sett cosh 4risultano di minimo relativo, mentre ±sett cosh 2 sono di massimo relativo. Non esiste massimoassoluto, perche sup f = +1, mentre esiste il minimo assoluto che viene assunto in tutti i punti0, ±sett cosh 4 e vale �2. Non ci sono limiti di f 0 significativi.

-3-2-1123

Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite

L = limx!0+

arctan(x + x3) � x +�cos�

�� 1�x5

xa log x + 2x � 1 � log 2 sin x.

Svolgimento. Grazie agli sviluppi di Mac Laurin, arctan(x+x3) = (x+x3)� 13x3 +o(x3), mentre�

cos�

�� 1�x5 = o(x3), visto che per il teorema sul limite del prodotto di una f. infinitesima

con una limitata si ha

limx!0+

�cos�

�� 1�x5

x3= 0.

Quindi: Numeratore= 23x3 + o(x3).

Sviluppando 2x = elog 2 x = 1 + log 2 x + (log 2)2

2 x2 + o(x2) e sin x = x� 16x3 + o(x3), si ottiene

Denominatore = xa log x +(log 2)2

2x2 + o(x2) =

(se 0 < a 2 : xa log x + o(xa log x)

se a > 2 : (log 2)2

2 x2 + o(x2)

In conclusione: 8><>:

se 0 < a 2 : L = limx!0+

23x3+o(x3)

xa log x+o(xa log x) = 0

se a > 2 : L = limx!0+

23x3+o(x3)

(log 2)2

2x2+o(x2)

Esercizio 3 Calcolare l’integrale definito

10 + exdx .

Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato

(sinh x)↵

10 + exdx

al variare di ↵ 2 R.

Svolgimento. Utilizzando il cambiamento di variabile y = ex, si ha:

10 + exdx =

10 + y

Inoltre ponendo:1

(10 + y)y=

10 + y,

si trova A = 1/10 e B = �1/10, quindi abbiamo:

10 + y

y� 1

10 + ydy =

10[log(y) � log(10 + y)]|e1 =

1 + log

10 + e

◆�.

Facoltativo Si ha (sinh x)↵ ⇠ (ex/2)↵, quando x ! +1, quindi

(sinh x)↵

10 + ex⇠ e↵x

2↵(10 + ex),

Ponendo, come sopra y = ex, si ha:

2↵(10 + ex)=

2↵y↵

(10 + y)

Quando y ! +1, la seconda funzione integranda e asintotica a 1y2�↵ , che sappiamo essere

integrabile se e solo se 2 � ↵ > 1. Quindi l’integrale generalizzato converge se e solo se ↵ < 1.

f(x, y) = log(x + ey) + 3x2 +p

y + 1 ,

1) determinarne il dominio e rappresentarlo nel piano cartesiano.

2) Calcolare il gradiente in (0, 0) e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico in quelpunto.

3) Calcolare la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo u = (p

2/2) .

Svolgimento.

1. Il dominio e dato da:D = {(x, y) | y � �1, x > �ey }.

2. Derivando si ha:

x + ey+ 6x,

x + ey+

2(y + 1)�1/2.

Quindi si ha:rf(0, 0) = (1, 3/2).

Poiche f(0, 0) = 1, l’equazione del piano tangente risulta:

z = 1 + x +3

3. Per calcolare la derivata direzionale si puo utilizzare la formula del gradiente e si ottiene:

@u= rf(0, 0) · u =

f(x) = e| log(x2)|+x+3x .

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);

Esercizio 2

(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di

f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x).

(b) Calcolare poi il limite

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1,

al variare di ↵ > 1.

Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie

(sin(2n) + 3)

✓2n2 tan

◆◆n

f(x, y) = log

✓4x2 � y2

4x2 + y2

1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.

2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).

3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (1, 0) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.

f(x) = e| log(x2)|+x+5x .

Esercizio 2

f(x) = log(1 + 2x) · (1 + arctan(x)).

limx!0+

ef(x) � 1 � 2x

x↵+1,

al variare di ↵ > �1.

(5 + cos(3n))

3n2 sin

◆◆n

f(x, y) = log

✓y2 � 4x2

4x2 + y2

f(x) = e| log(x2)|+x�3x .

Esercizio 2

f(x) = (2 + sin(4x)) · log(1 + 4x).

limx!0+

ef(x) � 1 � 8x

x↵�1,

(sin(3n) + 4)

✓4n2 arctan

◆◆n

f(x, y) = log

✓x2 + 9y2

x2 � 9y2

f(x) = e| log(x2)|+x�5x .

Esercizio 2

f(x) = (tan x +2

3) · log(1 + 3x).

limx!0+

ef(x) � 1 � 2x

x↵+1,

al variare di ↵ > �1.

(4 + cos(2n))

5n2 sinh

◆◆n

f(x, y) = log

✓x2 + 9y2

9y2 � x2

Esercizio 1. Si consideri la funzione

f(x) = e| log(x2)|+x+3x

Sol. (a) Dominio R \ {0}, no simmetrie, f(x) > 0 8x 6= 0.

(b) , limx!0+ f(x) = +1, limx!0� f(x) = 0. Infatti

limx!0±

(| log(x2)| +x + 3

x) = lim

x!0±x| log(x2)| + x + 3

x= lim

x!0±3

per la gerarchia degli infinitesimi (limx!0±(x| log(x2)| + x) = 0).

Si osservi che, togliendo il valore assoluto:

f(x) =

x+3x se log(x2) � 0, cioe se x �1 o x � 1,

x2 se log(x2) < 0, cioe se �1 < x < 1.(1)

Quindi limx!±1f(x)

x = limx!±1 x ex+3

x = ±1 e non ci sono asintoti obliqui a ±1.

(c) Derivando (1) per x 6= ±1, 0:

f 0(x) =

x+3x (2x � 3) se x < �1 o x > 1,

� ex+3

x4 (2x + 3) se �1 < x < 1.(2)

Quindi:

f 0(x) > 0 per x < �1 o x > 1 se e solo se x > 3/2 e vale 0 per x = 3/2 (> 1);

f 0(x) > 0 per �1 < x < 1 se e solo se x < �3/2 (< �1, non appartenente a ] � 1, 1[).

Segue che f e strettamente decrescente in ] �1, 0[ e in ]0, 3/2[ ed e strettamente crescentein ]3/2, +1[. Ha minimo relativo in 3/2, non ha minimo assoluto e inf f = 0; non ha massimoassoluto e sup f = +1.

(Fac) Gli attacchi di f 0 da calcolare sono in ±1± e in 0�.

Si ha:

limx!1�

f 0(x) = limx!1�

�ex+3

x4(2x + 3) = �5e4.

limx!1+

f 0(x) = limx!1+

x (2x � 3) = �e�2.

Quindi f non risulta derivabilie in x = 1.

limx!�1�

f 0(x) = limx!1�

x (2x � 3) = �5e�2.

limx!�1+

f 0(x) = limx!1+

�ex+3

x4(2x + 3) = �e�2.

Quindi f non risulta derivabilie in x = �1. Infine si ha:

limx!0�

f 0(x) = limx!0�

�ex+3

x4(2x + 3) = lim

x!0��e(2x + 3)

x4= �3e lim

x!0�

Ponendo y = � 3x , se x ! 0� allora y ! +1, quindi il limite diventa:

y!+1y4

ey= 0.

Esercizio 2

f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x)

(b) calcolare per ↵ > 1:

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1.

Sol. (a) Per gli sviluppi del sinh e del log si ha:

f(x) =

✓2 + 2x +

3x3 + o(x3)

◆✓2x � 2x2 +

3x3 + o(x3)

da cui segue che lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di f e: f(x) = 4x + 43x3 + o(x3).

(b) Usando lo sviluppo precedente e lo sviluppo dell’esponenziale:

ef(x) = 1 + f(x) +1

2[f(x)]2 + o([f(x)]2) = 1 + 4x +

2(4x)2 + o(x2) = 1 + 4x + 8x2 + o(x2)

da cui si ottiene

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1= lim

x!0+8x3�↵ =

0 se 1 < ↵ < 38 se ↵ = 3+1 se ↵ > 3

(sin(2n) + 3)

✓2n2 arctan

◆◆n

Sol. Metodo 1. Osserviamo che an.= (sin(2n)+3)

�2n2 arctan

�1n2

��ne positiva e che, essendo

2 (sin(2n) + 3) 4, posto bn.=�2n2 arctan

�1n2

��n, si ha 0 < 2 bn an 4 bn, per cui per cui

la serie data converge o diverge se e solo se converge o diverge, rispettivamente, la serie ⌃ bn, peril Criterio del Confronto. Studiamo quindi la convergenza di ⌃ bn con il criterio della radice:

L = limn!+1

bn = limn!+1

s✓2n2 arctan

◆◆n

= limn!+1

✓2n2 arctan

◆◆= 2.

Poiche L = 2 > 1, la serie data diverge.

Metodo 2. Si puo anche applicare direttamente il criterio della radice ad an, dopo avermostrato che e a termini positivi:

limn!+1

an = limn!+1

log(sin(2n)+3) log(1 +

✓2n2 arctan

◆◆= 2,

perche e1n

log(sin(2n)+3) tende a e0 = 1, essendo log 2 log(sin(2n) + 3) log(4), successionelimitata, moltiplicata per la successione infinitesima 1/n.

Esercizio 4 Data

f(x, y) = log

✓4x2 � y2

4x2 + y2

(a) disegnare il dominio di f e dire se risulta aperto o chiuso, limitato o illimitato.

(b) Dire se esiste ed in tal caso calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).

(c) Gradiente in (1,p

2) ed equazione del piano tangente al grafico di f in quel punto.

Sol.(a) Il dominio di f e

⇢(x, y) :

4x2 � y2

4x2 + y2> 0

�=�(x, y) : 4x2 > y2, (x, y) 6= (0, 0)

= {(x, y) : �2|x| < y < 2|x|, (x, y) 6= (0, 0)}

E aperto e illimitato.

(b) Metodo 1. In coordinate polari:

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = lim⇢!0+

✓⇢2(4 cos2 ✓ � sin2 ✓)

⇢2(4 cos2 ✓ + sin2 ✓)

◆= log

✓4 cos2 ✓ � sin2 ✓

4 cos2 ✓ + sin2 ✓

che dipende da ✓, per cui il limite non esiste.

Metodo 2. Per dire che il limite non esiste basta osservare che lungo la retta y = 0, f(x, 0) =

log⇣

⌘= 0 mentre lungo y = x, f(x, x) = log

⇣4x2�x2

4x2+x2

⌘= log(3/5), per cui i due limiti a (0, 0)

sono diversi.

(c) (1, 0) e interno al dominio di f che risulta ivi continua e derivabile infinite volte, per cui fe di↵erenziabile ed esiste il piano tangente. Si ha

@x(x, y) =

(4x2 � y2)(4x2 + y2),

@y(x, y) = � 16x2y

(4x2 � y2)(4x2 + y2)

per cui rf(1, 0) = (0, 0), f(1, 0) = 0 e il piano tangente e

z = 0.

f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|

Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite

limx!+1

↵x↵ sin�

�� 4x3 + 2xp

1 + x6 � 1 + 3x3.

(�1)n3p

4 + n � 3p

np2 log n

Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato

xe�|4�x|

xae�|4�x|

al variare di a 2 R.

f(x) = log |e � ex| + 2 arctan(1 � ex)

limx!+1

p1 + x4 � 1 + 2x4

6x4 � ↵x↵ arctan�

�+ 3x

(�1)n3p

5 + n � 3p

np4 log n

xe�x

e|3�x| dx.

xae�x

e|3�x| dx.

f(x) = 2 arctan(ex � 3) � log |e3 � ex|

limx!+1

↵x↵�cosh

�� 1�� 2x2 + 5x

log(1 + x2) � 3x2.

(�1)n3p

2 + n � 3p

np3 log n

xe�|1�x|

xae�|1�x|

f(x) = log |ex � e4| � 2 arctan(ex � 4)

limx!+1

x3 � 4 log(1 + x3)

6x4 � ↵x↵ arctan�

�+ 3x

(�1)n3p

3 + n � 3p

np5 log n

xe�x

e|2�x| dx.

xae�x

e|2�x| dx.

Svolgimento TEMA 1

Esercizio 1 .

f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|(a) Il dominio e {x : |ex � e2| > 0} = {x : ex � e2 6= 0} = R \ {2}. Non ci sono simmetrie operiodicita evidenti.

(b) Limiti:

1. limx!�1 f(x) = 2 arctan(�2) � log(e2) = �2 arctan 2 � 2 (< 0). Quindi c’e un asintotoorizzontale y = �2 arctan 2 � 2 a �1.

2. limx!+1 f(x) = �1, e poiche |ex � e2| = ex � e2 quando x � 2, per tali x possiamoriscrivere

f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log[ex(1 � e2�x)] = 2 arctan(ex � 2) � x � log(1 � e2�x)

Si ottiene allora che limx!+1f(x)

x = �1 e limx!+1[f(x)+x] = ⇡. Quindi f ha y = �x+⇡come asintoto obliquo a +1.

3. limx!2± f(x) = +1, quindi x = 2 e un asintoto verticale completo.

(c) Derivabilita: f e continua e derivabile 8x 6= 2 perche composizione di f ivi derivabili.

f 0(x) =2 ex

1 + (ex � 2)2� ex

ex � e2=

[1 + (ex � 2)2](ex � e2)[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2],

dove f 0(x) > 0 se e solo se

[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2]

ex � e2= � [e2x � 6ex + 2e2 + 5]

ex � e2> 0.

Poiche il polinomio di secondo grado in ex dentro le parentesi quadre a numeratore ha � < 0 (percui e sempre strettamente positivo), f 0(x) > se e solo se ex � e2 < 0, cioe se x < 2. la funzionef e allora strettamente crescente per x < 2 e strettamente decrescente per x > 2. Inoltre f eillimitata, perche sup f = +1 e inf f = �1 e non assume max e min relativi o assoluti.

Esercizio 2 . Il limite

L = limx!+1

↵x↵ sin�

�� 4x3 + 2xp

1 + x6 � 1 + 3x3

e una forma indeterminata 1/1. A numeratore, poiche limx!+1 1x = 0, possiamo sviluppare

con Mac Laurin

x� 1

x3+ o(

che sostituendo e usando le proprieta di ”o-piccolo” porta a

↵x↵ sin

◆�4x3+2x = ↵x↵�1�↵

6x↵�3�4x3+2x+o(x↵�3) =

�4x3 + o(x3) se ↵ < 4,��2

3 + 2�x + o(x) se ↵ = 4,

↵x↵�1 + o(x↵�1) se ↵ > 4.

A denominatore,p

1 + x6 ⇠ x3 a +1, dunquep

1 + x6 � 1 + 3x3 = 4x3 + o(x3). In conclusione,L = �1 se ↵ 2]0, 4[; L = 0 se ↵ = 4 e L = +1 se ↵ > 4.

Esercizio 3 .

Osserviamo che la serie e a termini di segno alterno, poiche bn :=3p4+n� 3pnp

2 log n> 0 per ogni

n � 2.

Studiamo innanzitutto la convergenza assoluta.

Ricordando che x3 � y3 = (x � y)(x2 + xy + y2), poniamo x = 3p

4 + n e y = 3p

n, ottenendo

bn =3p

4 + n � 3p

np2 log n

=4 + n � n

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n.

Quando n ! +1, si ha

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n⇠ 4

2n2/3(log n)1/2.

La serieP+1

n2/3(log n)1/2 diverge, perche, per esempio, 1n2/3(log n)1/2 > 1

n5/6 per ogni n > 1.

Poiche la serie armonica generalizzataP+1

n5/6 diverge, per il criterio del confronto diverge

ancheP+1

n2/3(log n)1/2 .

Come applicazione del criterio del confronto asintotico, ne deduciamo che diverge ancheP+1n=2 bn , cioe che la serie data non converge assolutamente.

Passiamo ora a studiare la convergenza semplice della serie data. Dai conti appena svoltisi deduce che bn tende a zero quando n ! +1. Per poter applicare il criterio di Leibniz, esu�ciente dimostrare che {bn} e monotona decrescente, almeno definitivamente.

Metodo 1. bn e decrescente perche reciproco di una successione positiva strettamente crescente,infatti

(4 + n)2 + 3p

(4 + n)n +3p

n2⌘ p

2 log n

e somma di successioni strettamente crescenti e positive moltiplicate per una successione crescentee positiva.

Metodo 2. Consideriamo la funzione

f(x) =3p

4 + x � 3p

xp2 log x

Derivando f , otteniamo

f 0(x) =1

2 log x

3(4 + x)�2/3 � 1

3(x)�2/3

⌘p2 log x � ( 3

px + 4 � 3

2 log x

⇣(x)2/3 � (4 + x)2/3

3(4 + x)2/3x2/3

⌘p2 log x � ( 3

px + 4 � 3

2 log x

Osserviamo ora che⇣

(x)2/3�(4+x)2/3

3(4+x)2/3x2/3

⌘p2 log x < 0 e che ( 3

px + 4 � 3

2 log x> 0 per ogni

x � 2, cosı che f 0(x) < 0 per ogni x � 2. Come conseguenza del criterio di Leibniz, la serie dataconverge semplicemente.

Esercizio 4 .

Osserviamo cheZ +1

xe�|4�x|

exdx =

xex�4

exdx +

xe4�x

purche entrambi gli integrali esistano finiti. Li studiamo quindi separatamente.

Osserviamo prima di tutto cheZ 4

xex�4

exdx =

0xe�4 dx = 8e�4 .

Si ha inoltreZ +1

xe4�x

exdx = e4 lim

xe�x

exdx = e4 lim

4xe�2x dx .

Calcoliamo l’integrale indefinitoR

xe�2x dx , integrando per parti. Ponendo f(x) = x e g0(x) =e�2x, otteniamo Z

xe�2x dx = �x

2e�2x � 1

4e�2x ,

da cui segueZ +1

xe4�x

exdx = e4 lim

4xe�2x dx = e4 lim

⇣� x

2e�2x � 1

4e�2x

⌘��R

4e4e�8 =

4e�4 .

Poiche entrambi gli integrali esistono finiti, concludiamo cheZ +1

xe�|4�x|

exdx =

xex�4

exdx +

xe4�x

exdx = 8e�4 +

4e�4 =

4e�4 .

Domanda facoltativa:

xae�|4�x|

Possono esservi problemi di convergenza sia per x ! 0+, sia per x ! +1. Studiamo quindiseparatamente i due integrali

xae�|4�x|

exdx e

xae�|4�x|

exdx .

L’integrale generalizzato assegnato converge se entrambi gli integrali convergono. Abbiamo gi aosservato che Z 4

xae�|4�x|

exdx = e�4

0xa dx.

Questo integrale converge per ogni valore a > �1. Risulta inoltreZ +1

xae4�x

exdx = e4

4xae�2x dx =

Questo integrale converge per ogni valore reale di a, perche la funzione xae�2x e infinitesima diordine superiore a 1 al tendere di x ! +1 per ogni valore di a.

In conclusione, l’integrale assegnato converge per ogni valore di a > �1.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

f(x) =x2

4 log2 x + 2 log x + 1

(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).

(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 4

(x− 2)√xdx.

(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio

(x− 2)√xdx .

Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie

+∞∑

(2n + 1)!

(n + 1)n

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:

limx→0+

log(1 + x + x2)− sinx

1− cosx + x4 log x.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a

questo.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

f(x) =x2

3 log2 x + 2 log x + 1

(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.

(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).

(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 5

1√x (x− 3)

(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio

1√x (x− 3)

Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie

+∞∑

(n + 1)n

(2n + 1)!

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:

limx→0+

ex+x2 − 1− log(1 + x)

sin(x2) + x3 log x.

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a

questo.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Soluzioni del TEMA1Esercizio 1

(a) Si osservi che f(x) = x2

g(x) , ove g(x) = p(log x) e p(t) = 4t2 + 2t+ 1. Poiche il polinomio 4t2 + 2t+ 1

ha discriminante negativo, il denominatore di f non si annulla mai. Per la presenza della funzionelog x risulta quindi

domf = {x ∈ R : x > 0}.La funzione non presenta simmetrie o periodicita ed e sempre positiva.

(b) Risultalimx→0+

f(x) = 0

x→+∞f(x) = +∞ .

Non ha senso cercare eventuali asintoti obliqui per x → +∞, perche f tende a +∞ con ordinemaggiore di uno.

(c) La funzione e continua e derivabile su tutto il suo dominio come conseguenza dei teoremi sullacontinuita e sulla derivabilita del quoziente e della composizione di funzioni. Risulta, inoltre,

f ′(x) =8x log2 x− 4x log x

g2(x).

La funzione risulta allora crescente sugli intervalli (0, 1) e (e1/2,+∞), decrescente in (1, e1/2).

f presenta un massimo relativo in x = 1 (ove assume il valore 1) e un mnimo relativo in e1/2, oveassume il valore e/3. La funzione non ha ne massimi ne minimi assoluti.

(d) Risulta

limx→0+

f ′(x) = limx→0+

8x log2 x− 4x log x

g2(x)= 0 .

Esercizio 2

(a). Per il calcolo dell’integrale definito, tramite la sostituzione x = t2 (che implica “dx = 2t dt”, x = 3ed x = 4 da sostituire con t =

√3 e t = 2 rispettivamente) otteniamo

(x− 2)√xdx = 2

t2 − 2dt.

Osserviamo che si ha t2 − 2 = (t−√

2)(t +√

2); inoltre l’equazione

t−√

t +√

t2 − 2

implica: A =√

2/4 e B = −√

2/4. Abbiamo pertanto

t2 − 2dt =

t−√

2− 1

t +√

[log |t−

√2| − log |t +

√2|]2√3

[(2−

√2)(√

3 +√

(2 +√

2)(√

3−√

2− 1)(√

3 +√

2 + 1)(√

3−√

(b). Essendo l’integranda continua solo su (0, 2), si deve studiare il suo comportamento sia intorno alpunto x = 0 che al punto x = 2. Per il primo notiamo che

(x− 2)√x∼ −1

2x−1/2 per x→ 0+.

Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio converge.

Per x = 2 osserviamo1

(x− 2)√x∼ (x− 2)−1√

2per x→ 2−.

Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio diverge.

(In alternativa, si puo usare il risultato del punto (a) e la definizione di integrale improprio:∫ 2

0· · · =

limξ→0+∫ 1

ξ· · ·+ limη→2−

∫ η1. . . dove il primo limite e convergente mentre il secondo e divergente.)

Esercizio 3 Essendo una serie a termini positivi, si puo provare ad usare il criterio del rapporto:

(2(n + 1) + 1)!

(n + 1 + 1)n+1

(n + 1)n

(2n + 1)!=

(2n + 3)!

(n + 2)n+1

(n + 1)n

(2n + 1)!=

=(2n + 1)!(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)n(n + 2)

(n + 1)n

(2n + 1)!=

(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

(n + 1

=(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

(1− 1

(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

[(1− 1

)n+2] n

= +∞,

dove nel calcolo del limite si e tenuto conto che limn(1− 1n+2 )n+2 = e−1, limn

nn+2 = 1 e limn

(2n+2)(2n+3)(n+2) =

Quindi limnan+1

an= +∞ e, per il principio del rapporto, la serie diverge.

Esercizio 4

limx→0+

log(1 + x + x2)− sinx

1− cosx + x4 log x.

Scriviamo lo sviluppo di McLaurin del numeratore:

log(1 + x + x2)− sinx = (x + x2)− 1

2(x + x2)2 +

3(x + x2)3 − x +

3!+ o(x3) =

2+ o(x2),

per x→ 0.

Al denominatore:

1− cosx + x4 log x =x2

2+ o(x2),

per x→ 0, dove abbiamo tenuto conto che limx→0+x4 log xx2 = 0 quindi x4 log x = o(x2). Quindi facendo il

quoziente si ottiene che il limite e = 1.

Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�1|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.

(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.

Facoltativo: Studiare la convessita di f sull’intervallo (1, +1) e determinare gli eventuali flessi.

(a) Determinare il dominio della funzione

f(x) =4 + log x

x(9 � log2 x)

e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita.

(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.

Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:

n� log(1 +

n)⌘ 1

(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.

(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.

g(x, y) = e2x log y

(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.

(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (1, 1) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).

N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a

questo.

Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�4|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.

Facoltativo: studiare la convessita di f sull’intervallo (2, +1) e determinare gli eventuali flessi.

(a) Determinare il dominio della funzione

f(x) =3 + log x

x(16 � log2 x)

e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 3 sul quale la funzione e definita.

(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.

Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:

n� log(1 +

n)⌘ 1

(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.

(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.

g(x, y) = e2y log x

(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.

(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (2, 2) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).

N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

questo.

Soluzioni del tema

Esercizio 1f(x) = earctan |x2�1|

(a) Il dominio di f e tutto R. Inoltre, poiche f(x) = f(�x), la funzione e pari, cioe simmetrica rispettoall’asse delle ordinate. La funzione, essendo un esponenziale, e sempre positiva e inoltre, poichel’argomento dell’esponente e sempre maggiore o uguale a zero, si ha che f(x) � 1 per ogni x 2 R.Inoltre f(±1) = 1 quindi x = ±1 sono i punti di minimo assoluto e f = 1 e il minimo assoluto. Perla simmetria della funzione, studiamola per x � 0 e di conseguenza otterremo le informazioni ancheper gli x < 0.

(b) limx!+1 f(x) = e⇡/2 quindi y = e⇡/2 e un asintoto orizzontale per x ! +1. Inoltre, poichearctan() < ⇡/2 si ha che f(x) < e⇡/2, quindi f(x) tende a e⇡/2 ”da sotto”.

(c) La funzione e continua su R perche composizione di funzioni continue. Per studiarne la derivata

prima conviene spezzare la funzione per x > 1 e per 0 < x < 1. Per x > 1 si ha f(x) = earctan(x2�1)

da cui f 0(x) = earctan(x2�1) 11+(x2�1)2 2x. Quindi, poiche stiamo considerando gli x > 1 si ha che

f 0 > 0 cioe f e strettamente crescente per ogni x > 1. Per 0 < x < 1 si ha f(x) = earctan(1�x2) da

cui f 0(x) = earctan(1�x2) 11+(1�x2)2 (�2x). Quindi, poiche stiamo considerando gli 0 < x < 1 si ha che

f 0 < 0 cioe f e strettamente decrescente per ogni 0 < x < 1. Inoltre abbiamo gia osservato in a)che x = 1 e un punto di minimo assoluto. Nel punto x = 0 f e derivabile. Inoltre f e strettamentedecrescente a destra di 0 ed e simmetrica, f(0) = e⇡/4, quindi x = 0 e un punto di massimo relativo.

(d) Dall’espressione della derivata prima di f trovata in c) si ha che f 0+(1) = limx!1+ f 0(x) = 2 e

f 0�(1) = limx!1� f 0(x) = �2 quindi f non e derivabile in x = 1 e x = 1 e un punto spigoloso. Una

volta ottenute tutte queste informazioni si puo disegnare il grafico per x > 0 e poi disegnare la curvasimmetrica rispetto all’asse delle y ottenendo cosı il grafico di f(x).

Facoltativo: Derivando l’espressione di f 0 per x > 1 si ottiene f 00(x) = earctan(x2�1) 2(1+(x2�1)2)2 (�3x4 +

2 + 4x2). Poiche la funzione e due volte derivabile per x > 1 i possibili flessi si trovano cercando gli zeri

di f 00, cie risolvendo �3x4 + 2 + 4x2 = 0. Ponendo x2 = y si ha 3y2 � 4y � 2 = 0 da cui x2 = 2+p

Quindi c’e un flesso per x > 1 in x0 =

3 e la funzione e concava a destra di tale punto e convessaper 1 < x < x0.

Esercizio 2

(a) Il dominio della funzione

f(x) =4 + log x

x(9 � log2 x)

si ottiene imponendo x > 0 (in quanto x e argomento del logaritmo) e la condizione log2 x 6= 9, cioelog x 6= ±3, cioe ancora x 6= e±3. Risulta quindi

domf := {x > 0 : x 6= e±3} = (0, e�3) [ (e�3, e3) [ (e3, +1) .

Cio implica che il piu grande intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita sia (e�3, e3).

(b) Calcoliamo l’integrale indefinito

Z4 + log x

x(9 � log2 x)dx

imponendo la sostituzione log x = t. Otteniamo

Z4 + t

9 � t2dt =

Z3 + t + 1

(3 + t)(3 � t)dt =

3 � tdt +

(3 + t)(3 � t)dt

f(x) = arctan

✓e2x

e2x + 1

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.

(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.

Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione

inversa ed il suo dominio.

Esercizio 2. (8 punti)

(a) Calcolare una primitiva di

f(x) =1

x3arctan(

(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11

f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.

(a) Stabilire per quali ↵ > 0, la successione ak = tan 1k � sin 1

k↵ converge per k ! +1.

(b) Studiare il carattere della serie+1X

f(x, y) = log

✓y log(x � 1)

(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.

(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e + 1, 1).

N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

questo.

f(x) = arctan

✓e3x

e3x + 1

f(x) =2

x3arctan(

(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = sin 1k� � e1/k + 1 converge per k ! +1.

al variare di � > 0.

f(x, y) = log

✓(y � 2) log x

(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e, 3).

questo.

f(x) = arctan

✓e2x

e2x + 2

f(x) =1

x3arctan(

(a) Stabilire per quali ↵ > 0 la successione ak = sin 1k � sinh 1

k↵ converge per k ! +1.

f(x, y) = log

✓x log(y � 1)

(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (1, e + 1).

questo.

f(x) = arctan

✓e3x

e3x + 2

f(x) =3

x3arctan(

(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = e1/k� � 1 � sin1

kconverge per k ! +1.

al variare di � > 0.

f(x, y) = log

✓(x � 2) log y

(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (3, e).

questo.

Soluzioni del tema 1

Esercizio 1

(a) dom(f) = R; infatti arctan e definita su tutto R e e2x + 1 6= 0 per ogni x 2 R.

La funzione non presenta simmetrie ne evidenti periodicita.

Segno: f(x) > 0 8x 2 R. Infatti f > 0 equivale a e2x

e2x+1 > 0 e quest’ultima e sempre verificata.

(b) Si halim

x!+1f(x) = arctan 1 = ⇡/4, lim

x!�1f(x) = arctan 0 = 0

perche arctan e continua e perche ( e2x

e2x+1 ) ! 1 e ! 0 rispettivamente per x ! +1 e per x ! �1.

Ne deduciamo che le rette y = ⇡/4 e y = 0 sono rispettivamente l’asintoto orizzontale per x ! +1e per x ! �1.

(c) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e anche derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.

Risulta poi

f 0(x) =1

1 +⇣

2e2x(e2x + 1) � e2x(2e2x)

(e2x + 1)2=

2e4x + 2e2x + 1.

Ne segue che f 0 > 0 su R. Quindi la funzione f e sempre strettamente crescente e non presentapunti di massimo o minimo ne relativi ne assoluti.

(Si osservi che a questa conclusione si puo giungere osservando che f(x) ⌘ arctan(1 � 1e2x+1 ) e la

composizione di funzioni strettamente crescenti).

Non richiesto: per il teorema di monotonia si evince facilmente che inf(f) = 0, sup(f) = ⇡/4.

(d) Risulta

f 00(x) =4e2x(2e4x + 2e2x + 1) � 2e2x(8e4x + 4e2x)

[2e4x + 2e2x + 1]2=

[2e4x + 2e2x + 1]2��2e4x + 1

Ne segue che lo studio di f 00 > 0 equivale a quello di �2e4x + 1 > 0. Quindi abbiamo f 00 > 0 perx < � ln 2

4 , f 00 < 0 per x > � ln 24 e f 00(� ln 2

4 ) = 0.

La funzione e convessa su (�1,� ln 24 ), concava su (� ln 2

4 , +1) e presenta un flesso in � ln 24 (non

richiesto: con coe�ciente angolare della tangente pari a 1/(p

2 + 1)).

Domanda facoltativa. Essendo strettamente crescente, f e invertibile sul suo dominio. Denotiamog la sua inversa, cioe g = f�1. Abbiamo: dom(g) = Im(f) = (0,⇡/4).

Ricordiamo che si costruisce la funzione inversa tramite la relazione “g(y) = x00 se e solo se f(x) = y.Osserviamo che arctan(. . . ) = y se e solo se (. . . ) = tan y se e solo se (1 � tan y)e2x = tan y se e solo se

e2x = tan y1�tan y se e solo se x = 1

2 log⇣

tan y1�tan y

⌘. Pertanto abbiamo g(y) = 1

2 log⇣

tan y1�tan y

Esercizio 2

a) Con la sostituzione y = 2/x, poiche dy = � 2x2 dx, l’integrale diventa:

x3arctan

xdx = �1

Zy arctan y dy.

Integrando per parti prendendo y come fattore integrante:

Zy arctan y dy =

2arctan y �

1 + y2dy =

2arctan y � 1

Zy2 + 1 � 1

1 + y2dy

Dividiamo ora il numeratore per il denominatore e otteniamo:

2arctan y � 1

Z1dy +

1 + y2dy =

2arctan y � y

2arctan y.

Ritornando alla variabile x e tenendo conto del fattore �1/4 a moltiplicare si ha che una primitiva di f(x)e G(x) = � 1

2x2 arctan 2x + 1

4x � 18 arctan 2

b) Poiche arctan y ⇠ y se y ! 0, si ha che, per x ! +1 f(x) = 1x3 arctan 2

x ⇠ 1x3

2x = 2

x4 . Quindi peril principio del confronto asintotico f(x) e asintotica ad un funzione che e integrabile in (1, +1) e quindie integrabile. Per calcolare l’integrale, si usa la definizione di integrale generalizzato:

x3arctan

xdx = lim

x3arctan

xdx = lim

K!+1G(K) � G(1)

dove G(x) e la primitiva trovata sopra al punto a). Quindi si ottiene

x3arctan

xdx = lim

K!+1� 1

2K2arctan

4K� 1

8arctan

K� 1 +

8arctan 2 =

8arctan 2 � 1.

Esercizio 3

(a) Dalle stime asintotiche sin x ⇠ x e tan x ⇠ x per x ! 0 e dal fatto che 1k↵ ! 0 per k ! +1, per

ogni valore di ↵ > 0, e immediato dedurre che la successione ak converge a 0 per k ! +1, per ogni↵ > 0.

(b) Osserviamo che se ↵ 2 (0, 1), allora tan 1k � sin 1

k↵ ⇠ � 1k↵ , perche

limk!+1

tan 1k � sin 1

= limt!0

tan t � sin t↵

t↵= lim

t!0(t1�↵ � 1) = �1 .

Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la serie data non converge se↵ 2 (0, 1).

Se ↵ > 1, si ha tan 1k � sin 1

k↵ ⇠ 1k , perche

limk!+1

tan 1k � sin 1

= limt!0

tan t � sin t↵

t= lim

t!0(1 � t↵�1) = 1 .

Anche in questo caso, dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la seriedata non converge se ↵ > 1.

Infine, se ↵ = 1, dagli sviluppi elementari si ottiene

k� sin

3k3� 1

3!k3+ o(

k3+ o(

per k ! +1. Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce in questo caso che la seriedata converge se ↵ = 1.

Esercizio 4

a) Il dominio di f(x, y) e il sottoinsieme di R2 formato da tutte le coppie del piano tali che x > 1 ey log(x � 1) > 0. La seconda disuguaglianza porta a trovare i punti(

x > 2oppure

(y < 0

quindi si ottiene che il dominio e D = D1 [ D2 dove D1 = {(x, y) : x > 2 e y > 0} e D2 = {(x, y) : 1 <x < 2 e y < 0}.Il dominio e l’unione di due insieme aperti quindi e aperto.

b) L’equazione del piano tangente al grafico di f in (e + 1, 1) si ottiene dalla formula:

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x � x0) + fy(x0, y0)(y � y0).

Si ha che f(e + 1, 1) = 0.

Calcoliamoci le derivate parziali di f :

fx(x, y) =1

y log(x � 1)

x � 1, fy(x, y) =

y log(x � 1)log(x � 1) =

Calcolate in (e + 1, 1) si ha fx(e + 1, 1) = 1e , fy(e + 1, 1) = 1, da cui otteniamo l’equazione del piano

tangente cercata:

e(x � e � 1) + y � 1 =

e+ y � 2 � 1

� log 24

f(� log 24 )

f(x) = log |e2x � 1| +2

e2x � 1.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .

(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.

Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.

2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

(a) Trovarne una primitiva.

(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 4, +1).

(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione

g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9

al variare del parametro ↵ 2 R.

(b) Determinare ↵ in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie

(�1)n

3n � 2 log n.

questo.

Esercizio 1. (9 punti) Si consideri la funzione

f(x) = log |e4x � 1| +3

e4x � 1.

2e2x + 2ex

pe2x + 2ex � 8

g(x) = � arctan(2x) � log (1 + sin(2x)) � 2x2 ,

al variare del parametro � 2 R.

(b) Determinare � in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

Esercizio 4. (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie

(�1)n

4n � log n.

questo.

f(x) = log |e2x � 1| +3

e2x � 1.

2e2x + ex

pe2x + ex � 6

g(x) = log (1 � sinh(3x)) + ↵ arctan(3x) +9

al variare del parametro ↵ 2 R.

(b) Determinare ↵ in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

(�1)n

3n � log n.

questo.

f(x) = log |e3x � 1| +2

e3x � 1.

2e2x � ex

pe2x � ex � 6

g(x) = log (1 � sinh(2x)) + � arctan(2x) + 2x2 ,

al variare del parametro � 2 R.

(b) Determinare � in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

(�1)n

2n � log n.

questo.

Soluzioni del tema 1

Esercizio 1

(a) Osserviamo innanzitutto che la funzione f si puo esprimere come

f(x) =

(log(e2x � 1) + 2

e2x�1 se x > 0 ,

log(1 � e2x) + 2e2x�1 se x < 0 .

Il dominio di f e l’insieme dom f := {x 2 R : x 6= 0}. La funzione non presenta simmetrie neperiodicita. Si ha, inoltre, lim

x!+1f(x) = +1, lim

x!�1f(x) = �2, lim

x!0+f(x) = (y = e2x � 1) =

limy!0+

(log y + 2/y) = +1 (per gerarchia degli infiniti) e limx!0�

f(x) = �1.

La retta y = �2 e quindi asintoto orizzontale sinistro.Per x > 0, osserviamo che

f(x) = 2x + log�1 � 1

e2x � 1; (1)

cio implica limx!+1

x= 2 e lim

�f(x) � 2x

�= 0, cosı che la retta y = 2x e asintoto obliquo

destro per f .

(b) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e inoltre derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.Risulta, inoltre, per x > 0,

f 0(x) =2e2x

e2x � 1� 4e2x

(e2x � 1)2=

2e2x(e2x � 3)

(e2x � 1)2,

cosı che f e decrescente sull’intervallo (0, log 32 ), crescente in ( log 3

2 ,+1).

Il punto x1 = log 32 e un punto di minimo relativo (non assoluto), e si ha f(x1) = log 2 + 1.

Per x < 0 si ha poi

f 0(x) =�2e2x

1 � e2x� 4e2x

(e2x � 1)2= �2e2x(3 � e2x)

(1 � e2x)2.

Poiche e2x < 3 per ogni x < 0, risulta f 0(x) < 0 per ogni x < 0, cosı che f e decrescente sull’intervallo(�1, 0).

Domanda facoltativa. Infine, per stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0 studiamo laconvessita di f . Per calcolare la derivata seconda, scriviamo f 0(x) = h(g(x)), x > 0, con g(x) = e2x

e h(t) = 2t(t�3)(t�1)2 .

Poiche risulta h(t) = 2 � 2t�1 � 4

(t�1)2 , si ha allora

f 00(x) = h0(g(x)) g0(x) = 2e2x⇣ 2

(e2x � 1)2+

(e2x � 1)3

⌘� 0

per ogni x > 0. Dalla convessita di f si deduce che non esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.

Un’altra possibilita consiste nello studiare il segno di f(x)� 2x usando la formula (??). Si dimostrafacilmente, usando gli sviluppi elementari per x ! +1, che f(x) � 2x > 0.

Esercizio 2

Innanzitutto consideriamo la sostituzione ex = y. Poiche ex dx = dy si ha

Z2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

Z2y � 5p

y2 � 5y + 6dy.

Al numeratore si ha proprio la derivata della funzione sotto radice, quindi con la sostituzione y2�5y+6 = z,l’integrale diventa Z

dz = 2z1/2 + C

e considerando le sostituzioni fatte si ha che una primitiva della funzione e 2p

e2x � 5ex + 6 + C, C 2 R.Per calcolare l’integrale generalizzato basta usare la definizione:

2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

dx = limk!+1

2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

dx = limk!+1

e2k � 5ek + 6 � 2p

2 = +1.

Quindi l’integrale diverge a +1.

Esercizio 3

(a) Dagli sviluppi elementari si deduce che

g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9

= sin(3x) � 1

�sin(3x)

�3 � 3↵x +1

3↵(3x)3 +

2x2 + o(x3)

= 3(1 � ↵)x +9

2x2 � 9

2x2 � 1

3!(3x)3 + 9x3 + 9↵x3 + o(x3)

= 3(1 � ↵)x + 9(↵ +1

2)x3 + o(x3) ,

per x ! 0, al variare del parametro ↵ 2 R (si osservi che nel primo passaggio si e usata la relazioneo([sinx]3) = o(x3)).

(b) A�nche risulti g(x) = o(x2) per x ! 0 , il termine di primo grado nello sviluppo di g deveannullarsi. Bisogna quindi imporre ↵ = 1.

Esercizio 4 Denotiamo an :=p

n3n�2 log n .

*) Convergenza assoluta. Si deve studiare il comportamento della serieP+1

n=1 an. Osserviamo che

n|{z}=n�1/2

1 � 2 log n3n| {z }

in particolare ne deduciamo che an ⇠ 13n�1/2. Per il criterio del confronto asintotico, essendo

divergente la serieP+1

n=1 n�1/2, la serieP+1

n=1 an e divergente.

*) Convergenza semplice. Verifichiamo le ipotesi del criterio di Leibniz. Ovviamente abbiamo an > 0.Inoltre, per i calcoli del punto precedente, abbiamo anche: an ! 0 per n ! +1. Rimane dadimostrare che an sia definitivamente decrescente. A questo scopo basta provare che la funzione

f(x) :=

3x � 2 log x

abbia derivata definitivamente negativa per x ! +1. Infatti si ha

f 0(x) =�3x � 2 log x + 4

x[3x � 2 log x]2< 0 (almeno) per x >

In conclusione: tutte le ipotesi del criterio di Leibniz sono verificate e quindi la serie convergesemplicemente.

��y = 2x

y = �2

f( log 32 )

log 32

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta

Esercizio 1

f(x) = 3x e� arctan

x2�9

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f 0, se significativi.

Non e richiesto lo studio della convessita.

Esercizio 2 Calcolare

limn!+1

n3 arcsin�

�� n sin(n) + (n + 1) arctan(n!)

n! + 2en2+log(n2)en2

Esercizio 3 Calcolare Z ⇡4

�⇡4

| sin x|cos2 x + 7 cos x + 12

Esercizio 4 Data+1X

log(n + 1) � log n

3 + nx2n+1,

(a) studiare la convergenza della serie 8x � 0;

(b) (Facoltativo) studiare la convergenza della serie 8x < 0.

Tempo: due ore e mezza.

TEMA1Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = arctan

( |x− 3|x

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.

Esercizio 2 Calcolare l’integrale improprio

∫ +∞

sinh2 x + | sinh2 x− 4|+ 6dx

Esercizio 3 Calcolare il limite seguente

limx→+∞

xa + ax + sin(x2)

6ex +√x6 + 2x + 1

per ogni valore del parametro a > 0.

f(x, y) =

{sin(√

x2+y2) log(1+x2y2)x per x 6= 0

0 per x = 0

(a) Discutere la continuita di f in (x, y) = (0, 0).

(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilita e la differenziabilita di f in (x, y) = (0, 0).

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di

regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il

compito.

Traccia di soluzione del Tema 1

Commissione A. Centomo, M. Motta

12 luglio 2011

Esercizio 1

f(x) = arctan

!|x ! 3|

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti incui è possibile prolungare la funzione.

(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.

Non è richiesto lo studio della convessità.

Soluzione. La funzione è definita in D =R\{0} e possiamo riscriverla nella forma

f(x) =

#$$$$$$%$$$$$$&

arctan

"x " (3, + #)

arctan

"x " ( !#, 0) $ (0, 3).

La funzione non presenta simmetrie e

f(x) > 0 x " (0, +#)f(x) < 0 x " ( !#, 0).

I limiti agli estremi del dominio sono

limx"+#

f(x)= arctan 2 limx"0+

f(x)=!

limx"$#

f(x)= 0 limx"0!

f(x)= ! !

da cui possiamo concludere che

a) la retta y = arctan 2 è asintoto orizzontale destro;

b) la retta y = 0 è asintoto orizzontale sinistro;

c) la funzione non è prolungabile per continuità in x= 0.

La derivata prima di f è

f !(x) =

#$$%$$&

5x2 ! 12x +9x " (3, + #)

x2 + 9x " (! #, 0)$ (0, 3).

Lo studio del segno della derivata prima è immediato

f !(x) > 0 x " (3, +#)f !(x) < 0 x " ( !#, 0) $ (0, 3)

da cui possiamo concludere che:

1. f(x) è monotona strettamente crescente in (3, +!)

2. f(x) è monotona strettamente decrescente in (" !, 0) e in (0, 3)

3. il punto x= 3 è di minimo relativo

4. f(x) non ammette massimo e minimo assoluto e sup f =!/2 mentre inf f = " !/2.

Per x= 3 si ha

limx!3+

f "(x)=1

x!3!f "(x)= " 1

da cui possiamo conclude che x= 3 è un punto angoloso.

Per determinare gli attacchi di f osserviamo che

limx!0!

arctan!

x= lim

arctan!

z= lim

z!0+" 3

z2 +9= " 1

Figura 1. Grafico di f

Esercizio 2

Calcolare l’integrale improprio #

+# coshx

sinh2x + |sinh2x " 4| + 6d x

Soluzione. Osserviamo che

|sinh2x " 4| =$

sinh2x " 4 x # [settsinh 2, + !)

4 " sinh2x x # [0, settsinh 2]da cui

+# coshx

sinh2x+ |sinh2x " 4| + 6d x =

settsinh 2

cosh x dx +1

settsinh 2

+# coshx

sinh2x +1d x.

Utilizziamo la sostituzione z = sinh x

1+ z2=

2arctan 2.

2 Sezione

Esercizio 3

Calcolare il limite seguente

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 + 2x+ 1!

per ogni valore del parametro a > 0.

Soluzione. Iniziamo dallo studio del denominatore osservando che

limx!+"

x6 +2x+ 1! = lim

x!+"6ex

x3 + o(x3)= + ".

Possiamo quindi calcolare il limite distinguendo i seguenti casi

i. a > 1

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 + 2x+ 1! = lim

x!+"ax

i cui valori sono

a) 0 se 1 <a < e,

b) 1/6 se a = e

c) + " se a > e

ii. 0 <a # 1

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 +2x +1! = lim

x!+"xa

6ex= 0.

Esercizio 4

f(x, y)=

sin( x2 + y2$

) log(1+ x2y2)

xper x 0

0 per x= 0

(a) Discutere la continuità di f in (x, y)= (0, 0).

(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilità e la di!erenziabilità di f in (x, y)= (0, 0).

Soluzione. Osserviamo che per ogni (x, y)$ {(x, y) $R2: 0 < x2 + y2$

# 1} si ha

0 # sin( x2 + y2$

) log(1+ x2y2)

x# log (1 +x2y2)

x# x2y2

x= xy2

da cui, utilizzando il teorema del confronto, concludiamo che

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y)= 0.

Quindi f è continua in (0, 0). Possiamo calcolare le derivate parziali di f nel punto (0, 0) ricor-rendo alla definizione %

&(0, 0)= lim

f(h, 0)% f(0, 0)

&(0, 0) = lim

f(0, h)% f(0, 0)

A questo punto calcoliamo

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) % f(0, 0)% &f(0, 0) · (x, y)

x2 + y2$ = lim

(x,y)!(0,0)=

sin( x2 + y2$

) log(1 + x2y2)

x x2 + y2$ = 0

da cui concludiamo che f(x, y) = f(0, 0) % &f(0, 0) · (x, y) + o('(x, y)') ossia che f è di!erenzia-bile in (0, 0).

Esercizio 4 3

di A. Centomo & M. Motta

24 febbraio 2011

Esercizio 1

f(x)= 2log (cosh (3x))! 6x

(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non è richiesto lo studio del segno dif .

(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.

Soluzione. (a) La funzione è definita su tutto R. Osservato che

f( !x)= 2log (cosh (3x)) +6x= f(x)+ 12x

possiamo concludere che f(x) non presenta simmetrie.

(b) Per calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, osserviamo che pos-siamo riscrivere f(x) nella forma

f(x) = 2log!e3x + e"3x

"! 2log 2! 6x

= 2log(e3x(1+ e"6x))! 2log 2! 6x

= 2log (1 + e"6x)! 2log 2e anche

f(x) = 2log!e3x + e"3x

"! 2log 2! 6x

= 2log(e"3x(e6x + 1))! 2log 2! 6x

= 2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x.

Ora i limiti agli estremi del dominio sono

limx#+$

f(x)= ! 2log 2 limx#"$

f(x)= + "

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 2log 2 è asintoto orizzontale destro.Inoltre

limx#"$

2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12xx

limx#"$

#2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x+ 12x

$=! 2log 2

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 12x ! 2log 2 è asintoto obliquo sini-stro.

(c) La funzione è continua e derivabile in R e la sua derivata prima è

f !(x)= 6sinh(3x)

cosh(3x)! 6= 6(tanh(3x)! 1)

oppure, usando la prima delle formulazioni equivalenti di f ,

f !(x) =! 12e"6x

1+ e"6x

ed è sempre strettamente negativa (ricordiamo: ! 1 < tanh y < 1 "y #R). In conclusione la fun-zione è monotona strettamente decrescente su tutto R.

Esercizio 2

Calcolare l’integrale !

log"(2+ x)4x

Soluzione. Iniziamo osservando che

log"(2+ x)4x

4x log (2 + x)d x.

Ora, integrando per parti, si ha!

4x log (2 +x)d x="2x2log (2+ x)

2 + xdx= 16 log 2!

2 + xdx.

La funzione integranda dell’ultimo integrale è una funzione razionale e il grado del suo numera-tore è maggiore di quello del denominatore. Quindi, ricorrendo all’algoritmo di divisione euclidea(Ru!ni), si ha

2x2 = (2x ! 4)(2 + x)+ 8

da cui !

2 +xdx =

(2x ! 4)d x +

2 +xdx

(2x ! 4)d x +

2 +xdx=

"x2 ! 4x

2+ [8log |2 +x|]0

2 =! 4 +8 log 2.

In conclusione

I = 16 log 2+ 4! 8 log 2 =4 + 8 log 2.

2 Sezione

Nota 1. Osserviamo che per risolvere l’esercizio non serviva conoscere l’algoritmo di divisioneeuclidea in quanto si ha anche la decomposizione

2+ xdx = 2

!x2 + 2x ! 2x

2 + xdx

!x(2 +x)

2 + xdx ! 4

!x+ 2 ! 2

2 +xd x

= x2 ! 4x +8log|x+ 2| + ccon c "R.

Esercizio 3

an =n2 + 3n+ 1

#! n2 + 2n ! 1

(3n +6)· 1

(a) discutere la convergenza della serie$

n=2+" an per ogni valore a "R del parametro;

(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serie$

n=2+" ( ! 1)n+1 an per ogni

valore a $ 1/3 del parametro.

Soluzione. (a) La serie è a termini positivi. Per n% & si ha

n2 +3n + 1#

! n2 + 2n ! 1#

(3n + 6)=

3(n + 2)· n + 2

n2 + 3n + 1#

+ n2 + 2n ! 1# ' 1

e, nello stesso limite, an' bn con

6n· 1

2nQuindi la serie converge se

3> 1 ( a >

3e diverge se a ) 1/3.

(b) La serie a termini di segno alterno converge assolutamente e quindi anche semplicemente pera > 1/3. Per a = 1/3 la serie non converge assolutamente ma semplicemente per il criterio diLeibnitz (o delle serie a segni alterni). Infatti an è infinitesima, per quanto visto al punto (a), e

decrescente perchè a denominatore 3( n2 + 3n +1#

+ n2 + 2n ! 1#

2n è chiaramente prodottodi successioni positive crescenti e quindi crescente, per cui il reciproco è decrescente.

Esercizio 4

a) Calcolare al variare del parametro a "R il limite

limx#0+

3arctanx ! 3a2x ! a x3

3sin3x !x4.

b) Determinare i valori del parametro a "R per i quali la funzione:

%&&&'&&&(

3arctanx ! 3a2x ! a x3

3sin3x !x4x " (0, 1]

3x2sin

*x " [ ! 1, 0)

risulta prolungabile per continuità in x= 0.

Esercizio 4 3

Soluzione. (a) Posto

fa(x)=3arctan x ! 3a2x ! a x3

3sin3x ! x4

osserviamo che, per x" 0+, il numeratore si può scrivere come

3arctanx ! 3a2x ! a x3 = 3x ! x3 ! 3a2x ! a x3 +3

5x5 + o(x6)

e quindi si hanno i seguenti casi:

i. a = ! 1, fa(x)=3

5x5 + o(x6);

ii. a = 1, fa(x) =! 2x3 + o(x4);

iii. a #R\{1, ! 1}, fa(x) =3(1 ! a2)x + o(x2).

Il denominatore si può scrivere come

3sin3x ! x4 = 3x3 + o(x3).

Possiamo adesso calcolare il limite iniziale nei tre casi:

1. a = ! 1

limx!0+

5x5 + o(x6)

3x3 + o(x3)= lim

5x2 + o(x3)

3 + o(1)= 0

2. a = 1

limx!0+

! 2x3 + o(x4)

3x3 + o(x3)= lim

! 2 + o(x)

3 + o(1)=! 2

33. a #R\{1, ! 1}

limx!0+

3(1! a2)x+ o(x2)

3x3 + o(x3)= lim

(1! a2)+ o(x)

x2 + o(x2).

Per concludere notiamo che

4. se 1! a2 > 0 ossia se a # (! 1, 1) si ha

limx!0+

(1 ! a2)+ o(x)

x2 + o(x2)=+ $

5. se 1! a2 < 0 ossia se a #R\[ ! 1, 1] si ha

limx!0+

(1! a2)+ o(x)

x2 + o(x2)= !$.

(b) Dopo quanto discusso in precedenza, osservato che per x # [ ! 1, 0), si ha

0 % 3x2sin

"% 3x2

e che, per il teorema del confronto, si ha

limx!0!

f(x) =0

si conclude immediatamente che f(x) è prolungabile per continuità in x = 0 solo se a =! 1.

4 Sezione

Commissione A. Centomo, M. Motta

22 febbraio 2011

Esercizio 1

f(x) =

| 14�cos2 x|

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f ,eventuali punti in cui e possibile prolungare la funzione per continuita.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi eassoluti, inf e sup) di f . Calcolare i limiti di f 0, se significativi.

Non e richiesto lo studio della convessita di f .Soluzione. (a) La funzione e definita per ogni x 2 tale che

4� cos2(x) 6= 0.

Per risolvere in l’equazione

4� cos2(x) = 0

osserviamo che la funzione cos2(x) e periodica di periodo ⇡ e pari. Quindie su�ciente determinare le soluzioni dell’equazione, ad esempio, nell’intervallo[0,⇡/2] ottenendo x = ⇡/3, aggiungere la soluzione simmetrica x = �⇡/3 equindi estendere le soluzioni ottenute per periodicita. In conclusione, il dominiodella funzione e

D = \ {x 2 : x = ±⇡/3 + k⇡, k 2 }.

La funzione e continua e positiva nel suo dominio. Inoltre f : D ! si puoscrivere nella forma

f(x) = 2� 1

| 14�cos2 x|

e f(�x) = f(x), f(x+⇡) = f(x) per ogni x 2 D, quindi f(x) e pari e periodicadi periodo ⇡.Per questo possiamo limitare il resto dello studio della funzione alla particolarerestrizione all’insieme D \ [0,⇡/2] = [0,⇡/2] \ {⇡/3}.(b) Agli estremi di [0,⇡/2] \ {⇡/3}, per la continuita di f , si ha

f(0) =1

2f(⇡/2) =

e l’unico limite da calcolare e

limx!⇡/3+

f(x) = limx!⇡/3�

f(x) = 0

da cui possiamo dedurre che f(x) e prolungabile per continuita su tutto [0,⇡/2]ponendo f(⇡/3) = 0, anzi, su tutto ponendo f(±⇡/3 + k⇡) = 0 per ognik 2 . La funzione non ha asintoti.(c) La funzione f(x) e derivabile per ogni x 2 [0,⇡/2] \ {⇡/3} e si ha

f 0(x) = e� log 2

| 14�cos2 x| · 2 log 2 sinx cos x�

14 � cos2 x

�| 14 � cos2 x|

e in particolare f 0(0) = f 0(⇡/2) = 0.Equivalentemente, essendo

�� 14 � cos2 x

�� = ±�

14 � cos2 x

�per 1

4 � cos2 x � 0(risp., < 0),

f 0(x) = ± log 2 · 2� 1

| 14�cos2 x| · 2 sinx cos x

�14 � cos2 x

�2 per1

4� cos2 x > 0 (risp., < 0).

Quindi lo studio del segno della derivata prima f 0(x) > 0, si riduce alla dise-quazione

4� cos2 x > 0

la cui soluzione e

f 0(x) > 0 x 2 (⇡/3,⇡/2) f 0(x) < 0 x 2 (0,⇡/3)

da cui possiamo concludere che f(x) e monotona strettamente decrescente nel-l’intervallo (0,⇡/3) e monotona strettamente crescente nell’intervallo (⇡/3,⇡/2).Il punto x = 0 e punto di massimo relativo e assoluto, il punto x = ⇡/2 e puntodi massimo relativo in [0,⇡/2]. Il punto x = ⇡/3 e di minimo assoluto per la fun-zione prolungata per continuita (0 e l’estremo inferiore della funzione data). Sututto D, f ha massimo assoluto in x = k⇡ e massimo relativo in x = ±⇡/2+k⇡per ogni k 2 . Il suo prolungamento per continuit a ad ha minimo assolutoin x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 . Prima di abbozzare il grafico valutiamo ilimiti significativi della derivata prima:

limx!⇡/3+

f 0(x) = limx!⇡/3+

2642 sinx cos x

log 2·

log2 2

( 14�cos2 x)

Osserviamo che

limx!⇡/3+

2 sinx cos x

log 2=

2 log 2

e posto

z = log 2

4� cos2 x

◆�1

limx!⇡/3+

log2 2

( 14�cos2 x)

= limz!+1

ez= 0.

Analogamente si calcola che limx!⇡/3� f 0(x) = 0 da cui possiamo concludereche

limx!⇡/3

f 0(x) = 0.

Quindi la funzione prolungata per continuita ad risulta derivabile anche intutti i punti x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 .

Figura 1: Grafico di f(x)

Esercizio 2

Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite

limx!0+

x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)

1 � cos x � x � log(1 � sinh x)

Soluzione. Nel limite per x ! 0+ si ha

⇣1 � earcsin2(x)

⌘=��x2 + o(x3)

�2= x4 + o(x4)

da cui, per il numeratore, si ottiene

x3a log x + 1 � earcsin2(x) = x3a log x + x4 + o(x4).

Inoltre

log(1 � sinh x) = � sinh x � sinh2 x

2+ o(sinh2 x)

da cui

log(1 � sinh x) = ��x + o(x2)

�� 1

�x2 + o(x2)

�+ o(x2)

e quindi

log(1 � sinh x) = �x � 1

2x2 + o(x2).

Inoltre

1 � cos x =x2

2+ o(x3).

In conclusione per il deonominatore si ha

1 � cos x � x � log(1 � sinh x) = x2 + o(x2).

Allora

limx!0+

x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)

1 � cos x � x � log(1 � sinh x)= lim

x3a log x + x4 + o(x4)

x2 + o(x2)

limx!0+

x3a log x + x4 + o(x4)

x2 + o(x2)= lim

x!0+x3a�2 log x.

Si hanno i seguenti casi

i. 3a � 2 > 0 ossia a > 2/3 il limite vale 0;

ii. 3a � 2 0 ossia a 2/3 il limite vale �1.

Esercizio 3

Si consideri il seguente integrale

x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ dx.

(a) Determinare i valori del parametro a 2 per cui l’integrale generalizzatoconverge.

(b) Calcolare l’integrale per a = 1.

Soluzione. (a) Nel limite per x ! +1 si ha

x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ ⇠ 1

x6a�5 log2 x

e quindi l’integrale e convergente se

6a � 5 � 1 , a � 1.

(b) Per calcolare l’integrale il valore I dell’integrale nel caso a = 1 calcoliamoprima di tutto

(1 + x)⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ dx.

Ricorrendo alla sostituzione

z = log(1 + x) dz =dx

si ha Z1

z2 + 2z + 2dz =

(z + 1)2 + 1dz = arctan(z + 1)

da cui

I = limk!+1

arctan(log(k + 1) + 1) � arctan(log 2 + 1) =⇡

2� arctan(log 2 + 1).

Esercizio 4

Data la successione

an =2n

pn + 2

log�1 + 3e�n

(a) calcolarne il limite.

(b) Discutere la convergenza della serieP+1

n=1 an.

Soluzione. (a) Nel limite per n ! 1 si ha

log�1 + 3e�n

�= 3e�n + o(e�n),

da cui

an =2n

pn + 2

log�1 + 3e�n

pn + 2

·3e�n+o(2n

pn + 2

·e�n) ⇠ 32n

n + 2) en

da cui si vede che {an}n2 e una successione infinitesima per il criterio delconfronto asintotico, grazie alla scala degli infiniti (2n = o(en)) .(b) La serie

e a termini positivi e per quanto visto nel punto (a), nel limite per n ! 1 siha si ha

an ⇠ 32n

n + 2) en= 3

(2/e)n

pn + 2

La serie geometrica di ragione 2/e < 1 e convergente e, sempre per n ! 1, siha

an = o

✓✓2

◆n◆(cioe, an e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a

da cui possiamo concludere subito che la serie e convergente, per il criterio delconfronto asintotico.Utilizzando invece il criterio del rapporto, si ha

limn!1

3 · 2n+1

n + 1 + 2)en+1· (

pn + 2)en

3 · 2n=

da cui concludiamo come prima che la serie converge.

Vicenza, 10-02-2011

TEMA1Esercizio 1. Si consideri la funzione

f(x) =

| 14−cos2 x|

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.

Non e richiesto lo studio della convessita di f .

limx→0+

x3a log x + (1− earcsin(x))2

1− cosx− x− log(1− sinhx).

Esercizio 3 Si consideri il seguente integrale∫ +∞

x5(a−1)(1 + x)a[log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.

Esercizio 4 Data la successione

an =2n√n + 2

log(1 + 3e−n

(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞

n=1 an

compito.

Vicenza, 10-02-2011

f(x) =

| 14−sin2 x|

limx→0+

x tanx− log(1− sinx)− x

x5a log x + earctan2(x) − 1.

an = (3n + en) log

n=1 an

x3(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x + 6 arctanx + 10]dx.

compito.

Vicenza, 10-02-2011

f(x) =

| cos2 x− 34 |

an =en + 2

nlog(1 + 3−n

n=1 an

limx→0+

(etan(x) − 1)2 + x3a log x

x arcsinx− log(1− sinx)− x.

xa(1 + x)3(a−1)[log2 x + 4 log x + 5

compito.

Vicenza, 10-02-2011

f(x) =

| sin2 x− 34 |

(1 + x)4(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x− 2 arctanx + 2]dx.

limx→0+

log(1− sinx) + x + cosx− 1

x7a log x + 1− esinh2(x).

an = (2n + en) log

e−n√n

n=1 an

compito.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

f(x) =p

8x �p

|x � 1|.(a) Determinare il dominio di f ,

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,

(c) studiare la derivabilita di f , calcolare f 0 e studiare la monotonia di f ,

(d) calcolare gli attacchi di f ,

(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.

Esercizio 2 (6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavita e convessita della funzione

f(x) = |x|3e�(x+2).

Esercizio 3 (6 punti) Calcolare il limite

limx!0+

log(1 + x) � ex + x2 + 6x + 1pcosh(x) � 1

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare delparametro ↵ > 0, della serie

(�1)n arctan(2

n↵).

Esercizio 5 (6 punti + 2 del facoltativo)

(a) Calcolare il seguente integrale indefinitoZ

ex + 2e�xdx.

(b) Facoltativo: dalle informazioni ottenute in (a), calcolareZ +1

ex + 2e�xdx.

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli

successivi a questo.

Analisi 1

Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi

15 settembre 2010

Esercizio 1

(7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = |3x ! 1|!

(a) Determinare il dominio di f ,

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,

(c) calcolare f ! e studiare la monotonia di f ,

(d) calcolare i limiti di f ! agli estremi del dominio,

(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.

Soluzione. La funzione è definita e continua in D = [0, + #). Inoltre

limx"+#

f(x)= limx"+#

3x ! 1"

= limx"+#

3x ! 1"

+ 2x" = +#.

Prima di calcolare la derivata I conviene riscrivere la funzione come

3x ! 1"

, x $ 1

1! 3x"

, 0 %x <1

3da cui

f !(x) =

"##$##%

2 3x ! 1" ! 1

2x" , x >

2 1 ! 3x" ! 1

2x" , 0< x <

Osserviamo che f !(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è sempre strettamente negativa. Quindi, perx & (1/3, + #), studiamo il segno della derivata I

2 3x ! 1" ! 1

2x" > 0 ' 3

2 3x ! 1" >

da cui

2 3x ! 1" >

2x" ' 3 2x

"> 2 3x ! 1

"' 18x > 12x ! 4 ' x >! 2

e, essendo ! 2/3< 1/3, f !(x)< 0 in (1/3, + #). Possiamo concludere che:

a) f(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è monotona strettamente decrescente;

b) f(x) ristretta all’intervallo (1/3, + #) è monotona strettamente crescente.

Calcoliamo quindi i seguenti limiti:

limx"0+

f !(x)= ! #

limx" 1

!f !(x)= !# lim

+f !(x) =+ #

da cui possiamo concludere in particolare che il punto (1/3, ! 2/3!

) è una cuspide.

Esercizio 2

(6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavità e convessità della funzione

f(x)= |x|3e!(x+1).

Soluzione. La funzione è definita su tutto R e si può riscrivere nella forma

!x3 e!(x+1), x ! 0

" x3 e!(x+1), x < 0.La derivata prima è

f "(x) =

!x2 (3" x)e!(x+1), x > 0

" x2 (3" x)e!(x+1), x < 0.la derivata seconda è

f ""(x)=

!x(x2 " 6x + 6)e!(x+1), x > 0

" x(x2 " 6x +6)e!(x+1), x < 0.

Prima di procedere allo studio del segno della derivata II osserviamo che

x2 " 6x " 6 ! 0 # x $ 3 " 3%

& x ! 3+ 3%

Suddividiamo lo studio della derivata II in due parti.

A) Per valori di x che cadono nell’intervallo ( " ', 0) si ha sempre f ""(x) > 0. Quindi f(x) èstrettamente convessa in (" ', 0);

B) Per valori di x che cadono nell’intervallo (0, +') si ha:

i. f ""(x) > 0 se x ( (0, 3 " 3%

) ) (3 + 3%

, + '). Quindi f(x) è convessa in ciascunodei due intervalli dell’unione;

ii. f ""(x)< 0 nell’intervallo (3 " 3%

, 3+ 3%

). Quindi f(x) è concava in tale intervallo.

I punti di flesso di f sono x1 = 3 " 3%

e x2 = 3 + 3%

. Per concludere l’esercizio vediamo cosa sipuò dire del punto x= 0. Osserviamo che

limx#0+

f "(x)= limx#0!

f "(x)= 0 limx#0+

f ""(x)= limx#0!

f ""(x) =0.

2 Sezione

Per quanto visto in precedenza, in opportuni intorni destri e sinistri di x = 0, la funzione èsempre convessa e quindi x = 0 non è un punto di flesso. Non sarebbe di!cile vedere che x = 0 èun punto di minimo relativo.

Esercizio 3

(6 punti) Calcolare il limite

limx!0+

(cosh(x)! 1)1/2

ex ! log(1 + x) +x2 + 5x ! 1.

Soluzione. Nel limite x" 0+ si ha

cosh(x) ! 1 =x2

2+ o(x3) log(1 +x)= x + o(x) ex ! 1= x+ o(x).

Per quanto riguarda il numeratore osserviamo che

limx!0+

!cosh (x) ! 1

= limx!0+

(cosh (x)! 1)1/2

da cui possiamo concludere che, nel limite di x" 0+, si ha

(cosh(x) ! 1)1/2 =2

2x + o(x).

Sostituendo gli sviluppi per il denominatore si ha direttamente

ex ! log(1+ x)+ x2 + 5x ! 1= 5x + o(x).

Il limite di partenza diviene

limx!0+

2x + o(x)

5x + o(x)= lim

2+ o(1)

5 + o(1)=

Esercizio 4

(7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare del parametro ! > 0, dellaserie

+#(! 1)nlog

Soluzione. La serie si presenta nella forma

+#( ! 1)nan (1)

an = log

Osserviamo subito che an > 0 per ogni n $ 1 e per ogni ! > 0. Quindi la serie è a termini disegno alterno. Iniziamo studiando la convergenza assoluta ossia la convergenza della serie a ter-mini positivi

Nel limite per n" + % e per ! > 0 si ha

an = log

Esercizio 4 3

Ricordato che la serie armonica generalizzata

converge per ! > 1, per il Criterio del confronto asintotico, possiamo concludere che la serie (1)converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per ! > 1.

Resta da discutere la convergenza semplice nel caso 0 <! ! 1.

Per quanto osservato all’inizio possiamo ricorrere al Criterio di Leibniz:

1. la successione {an} è a termini positivi;

2. la successione {an} è infinitesima. Infatti si ha

limn"+!

per ogni ! > 0;

3. la successione {an} è monotona strettamente decrescente in quanto

(n +1)!

#< log

(n + 1)! <1

per ogni n # 1 e se ! > 0.

Quindi per il Criterio di Leibniz la serie converge semplicemente se ! $ (0, 1].

Esercizio 5

(6 punti) Calcolare il seguente integrale indefinito$

e#x + 3exd x.

(2 punti) Facoltativo: dalle informazioni ottenute al punto precedente, calcolare$

e#x + 3exd x.

Soluzione. Osserviamo che $1

e#x +3exd x =

1+ 3e2xd x

e quindi utilizziamo il Teorema di integrazione per sostituzione con

y = 3%

ex dy = 3%

ottenendo3

1 + y2dy =

3arctan y

da cui $1

e#x + 3exd x=

3arctan 3

A questo punto possiamo concludere l’esercizio in quanto

e#x + 3exd x= lim

3arctan 3

6& " 3

4 Sezione

Analisi 1

20 luglio 2010

Esercizio 1

f(x) =xsin 3x

(a) Determinare il dominio di f e il segno.

(c) Studiare la continuità ed eventuali estendibilità per continuità.

(d) Studiare la derivabilità di f ; calcolare f !.

(e) Calcolare il limite di f !(x) agli estremi del dominio.

Soluzione. Per risolvere l’esercizio conviene riscrivere la funzione nella forma

f(x) = esin 3x log x

da cui si vede subito che il dominio è D = (0, + !) e che la funzione è definita strettamente posi-tiva in D. Osserviamo che la funzione non ammette limite per x" + !. Inoltre

limx"0+

sin 3x log x = limx"0+

sin 3x

3x3x log x =0

in quanto

limx"0+

sin 3x

3x= 1 lim

x"0+3x log x =0.

Possiamo allora concludere che

limx"0+

f(x)= e0 = 1.

La funzione non ammette asintoti verticali, orizzontali e obliqui. La funzione è continua nel suodominio e può essere estesa per continuità su [0, + !) ponendo f(0)= 1.

La derivata I di f(x) è

f !(x)= esin 3x log x

!3 cos 3x log x +

sin 3x

da cui concludiamo che la funzione è derivabile in D. Per concludere l’esercizio osserviamo che

limx"0+

!3 cos 3x log x+

sin 3x

"= 3 lim

x"0+cos 3x log x+ 3 =# !

e, ricordato che

limx"0+

f(x) =1

limx"0+

f !(x) = limx"0+

!3 cos 3x log x+

sin 3x

"=# !.

Esercizio 2

f(x)= arctan

!x # 1

e si determinino i valori di ! > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.

Soluzione. La derivata I di f(x) è

f !(x)=1

"2 · !x !!(x ! 1)

!2x2 + (x ! 1)2=

!2 x2 + x2 ! 2x+ 1

ed è definita per ogni x "R+. La derivata II di f(x) è

f !!(x)= ! 2!(!2x+ x ! 1)

(!2 x2 +x2 ! 2x + 1)2

e si annulla in x= 1/2 quando

!2 ! 1 =0.

ossia, ricordato che ! > 0, solo per ! = 1. In corrispondenza di tale valore si ha

f !!(x)= ! 4x ! 2

(2x2 ! 2x+ 1)2

! 4x ! 2

(2x2 ! 2x + 1)2> 0 # x <

Possiamo allora concludere che esiste un intorno sinistro di x = 1/2 in cui si ha f !!(x) > 0 e unintorno destro di x = 1/2 in cui f !!(x) < 0 e ciò conferma che x= 1/2 è un punto di flesso.

Esercizio 3

(7 punti) Studiare il comportamento della serie

+#e1/n ! 1! log(1+ sin(1/n))

arctann

Soluzione. Nel limite di n$ +% si ha

%e1/n = 1+

2n2+ o

da cui, sostituendo, possiamo concludere che

e1/n ! 1! log

$1+ sin

2n2+ o

Il numeratore è asintotico a 1/n2 e quindi è definitivamente positivo per n $ + %. In altri ter-mini, per n “grande”, la serie è a termini positivi. Posto

an =e1/n ! 1 ! log(1 + sin(1/n))

arctanne ricordato che

limn$+#

arctann ="

2si ha

da cui, sapendo che la serie armonica generalizzata di termine generico 1/n2 converge, per il Cri-terio del confronto asintotico si ha che la serie di partenza converge.

2 Section

Esercizio 4

(7 punti) Calcolare il seguente integrale definito!

sin(log x)d x.

Soluzione. Utilizziamo la sostituzione

y = log x dy =1

xdx y1 =0 y2 = log 2

da cui !

sin(log x)d x =

ey sin ydy.

Integrando per parti!

ey sin ydy = [ey sin y]0log 2 !

ey cos ydy =2 sin(log 2)!!

ey cos ydy

e quindi !

ey sin ydy =2 sin(log 2)! [ey cos y]0log 2 !

ey sin ydy

da cui !

ey sin ydy = sin(log 2) ! 1

2(2 cos (log 2) ! 1)= sin(log 2)! cos (log 2) +

Esercizio 5

(5 punti) Si consideri la funzione in due variabili

f(x, y)= y2 + 2y + x2 +7 ! 2 log x.

Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.

Soluzione. La funzione è definita in

D = {(x, y) "R2 : x > 0}.

Per determinare i punti critici calcoliamo innanzitutto il gradiente della funzione

"2x ! 2

x, 2y +2

quindi risolviamo il sistema $%&

2x ! 2

2y +2 =0le cui soluzioni sono '

x1 = 1y1 =! 1

'x2 = ! 1y2 =! 1

L’unico punto critico in D è P =(1, ! 1). La matrice hessiana risulta

H(x, y) =

H(1, ! 1)=

"4 00 2

il determinante della matrice hessiana è 8> 0 e osservato che

!x2(1, ! 1) =4 > 0

possiamo concludere che il punto critico è un minimo locale.

Esercizio 5 3

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi

Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

f(x) = xsin(2x)

(a) Determinare il dominio di f e il segno.

(b) Determinare il limx→0+ f(x) ed eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita ed eventuali estendibilita per continuita.

(d) Studiare la derivabilita di f ; calcolare f ′.

(e) Calcolare il limite di f ′(x) agli estremi del dominio.

f(x) = arctan

α(x− 1)

e si determinino i valori di α > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.

Esercizio 3 (7 punti) Studiare il comportamento della serie

+∞∑

e1/n − 1 − log (1 + sinh(1/n))

arctan(n2)

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente integrale definito

1cos(log x) dx.

Esercizio 5 (5 punti) Si consideri la funzione in due variabili

f(x, y) = x2 + 2x+ y2 + 5 − 2 log y.

Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.

Analisi 1

8 febbraio 2010

Esercizio 1

f(x) = arctan

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed even-tuali asintoti di f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimoe minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f !, se significativi.

Soluzione. La funzione è definita positiva in D =R\{0} e

limx"+#

f(x) =!2

limx"$#

f(x) = 0.

Inoltre

limx"0+

f(x) =!2

limx"0!

f(x) = 0.

Possiamo concludere che la funzione presenta un asintoto orizzontale destro e un asin-toto orizzontale sinistro rispettivamente di equazione y = !/2 e y = 0.

La funzione è limitata in D e quindi non ammette altri asintoti.

La funzione è derivabile in D e

f !(x) =e2x+

Lo studio del segno della derivata prima si riduce a

f !(x) " 0 # 2x2 ! 1 " 0 # x $! 2%

2& x " 2

Possiamo concludere che

• f è monotona strettamente crescente se ristretta agli intervalli ( ! ', ! 2%

/2) e( 2%

/2, +');

• f è monotona strettamente decrescente se ristretta agli intervalli ( ! 2%

/2, 0) e

(0, 2%

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

f(x) = arctan(e(

3x+x))

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.

Esercizio 2 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π

0x3 cos(2x2) dx.

(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = 1nα + e

1n arcsin( 1n) − sin( 1n + 1

n2 ) al variare delparametro reale α > 0.

(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞

n=1 an converge.

Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione

f(x) = x3(1− e1x2 ) + 2 arctanx.

f(x, y) = exy−3y.

(a) Calcolare le derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y).

(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

f(x) = arctan(e(x+

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.

∫ 2π

0x3 sin(3x2) dx.

(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = cos( 1n) log(1 +1n)− arcsin( 1n − 1

2n2 ) +1nα al variare

del parametro reale α > 0.

(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞

n=1 an converge.

Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione

f(x) = arctan(2x) + x3(e1x2 − 1).

f(x, y) = exy−3x.

(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.

Analisi 1

26 gennaio 2010

f(x) = arctan!

" log(1 +x)

(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.

(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo eminimo) relativo e assoluto di f , i limiti di f ! se significativi.

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni ricavate dai punti precedenti, direse esistono e quanti sono gli zeri della funzione g(x) = f(x) " 27x.

Soluzione. Il dominio di f è D = [0, +#), f(0) =0, e

limx"+#

f(x) = "#.

La derivata prima di f è

f !(x)=1

2 x! · 1

1 +x" 1

2 x! " 1

$· 11 + x

=1 " 2 x

(1 +x)

ed è definita in (0, + #). Lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studiodella disequazione

1 " 2 x! $ 0 % 0 & x & 1

da cui concludiamo che la funzione è monotona strettamente crescente in (0, 1/4) emonotona strettamente decrescente in (1/4, + #). Il punto x = 1/4 è di massimo rela-tivo e assoluto

f(1/4) = arctan(1/2)" log 5 + log 4

L’unico limite significativo della derivata prima è

limx"0+

f !(x) =+#.

(Facoltativo) La funzione g(x) è definita continua in D e ha uno zero in x = 0. Pervedere se ci sono altri zeri in D osserviamo che

g(x)= 0 ! f(x)= r(x) (1)

dove r(x) = 27x. Per quanto visto sopra la funzione f(x) è limitata superiormente e

max(0,+!)

f = f(1/4) <!4

+2 <r(1/4) =274

Da (2) e dal fatto che r(x) è monotona strettamente crescente possiamo concludere che

g(x) < 0

per ogni x " [1/4, + #) e quindi che, se esistono altri zeri di g oltre x = 0, questi devonocadere nell’intervallo (0, 1/4). Per x$ 0+

g(x) % x& ' 28x > 0 ! 0 <x <

e quindi g(x) è definitivamente positiva per x $ 0+. Per il Teorema degli zeri esisteallora almeno un valore di " " (0, 1/4) tale che g(") = 0 e quindi g ammette almeno duezeri. Si può dimostrare che " è unico osservando che la derivata prima

g "(x) = f "(x) ' 27=

2 x& ' 1

"· 11 + x

è continua e monotona strettamente decrescente in (0, 1/4] con

limx#0+

g "(x) =+ # g "(1/4) =' 27.

Dal Teorema degli zeri, tenuto conto anche della monotonia di g ", possiamo concludereche esiste unico # " (0, 1/4) tale che g "(#) = 0. Quindi g(x) è monotona strettamentecrescente in [0, #) e strettamente decrescente in (# , 1/4]. Il punto x = # è di massimoassoluto e g(#) > 0. Quindi " " (# , 1/4) è l’unico zero di g oltre a x= 0.

Esercizio 2 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale " > 0:

limx#0+

(x ' arcsinx)2 ' log(1 + sin2x)

x! +x log(1 +x).

Soluzione. Il limite si presenta come forma indeterminata del tipo [0/0]. Per x ! 0+ siha

arcsinx= x+ o(x2) log(1 +x) =x " x2

2+ o(x2) sin(x) =x + o(x2)

da cui

limx!0+

(x " arcsinx)2 " log(1 + sin2x)x! + x log(1 +x)

= limx!0+

"x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2).

Distinguiamo i seguenti casi:

1. 0 < ! < 2 allora

limx!0+

" x2 + o(x2)x! +x2 + o(x2)

= limx!0+

"x2 + o(x2)x! + o(x!)

2. ! = 2 allora

limx!0+

" x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2)= lim

"x2 + o(x2)

2x2 + o(x2)=" 1

23. ! > 2 allora

limx!0+

"x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2)= lim

"x2 + o(x2)

x2 + o(x2)= " 1.

cos 2x 1 " tanx# d x.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di"

cos 2x 1 " tanx# d x.

Soluzione. Si ha direttamente!

cos 2x 1 " tanx# dx =

#" 2 1 " tanx

"/6=2 " 2 1 " 3

(Facoltativo) Il modo più semplice di studiare la convergenza è

cos 2x 1 " tanx# d x = lim

cos 2x 1 " tanx# d x= 2 + lim

" 2 1 " tan y#

da cui si vede che l’integrale converge.

Nota 1. L’integrale di partenza di può risolvere con la sostituzione y =1 " tanx.

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza della serie

+$ 'logn+ 2nlogn + sinn

Soluzione. La serie è a termini positivi. Per discutere la convergenza ricorriamo al Cri-terio della radice e calcoliamo il limite:

limn!+$

logn+2nlogn + sinn3n =2 lim

n!+$elog

en log3·'

1 +logn

2nlogn+

2nlogn

limn!+"

elog2 n

en log3= lim

n!+"elog

2n#n log3 = limn!+"

!log2n

n# log3

dove si è utilizzato

limn!+"

!log2n

n! log 3

"= !".

Allora il limite (3) vale 0 < 1 e quindi per il Criterio della radice la serie converge.

Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale ! # R, la fun-zione

f(x) = (3x2 ! 1)e!x+2

ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangentein tale punto.

(Facoltativo) Per tali valori del parametro !, determinare gli intervalli di convessità dif .

Soluzione. La funzione è derivabile e

f $(x) = (3!x2 +6x ! !)e!x+2

inoltre

f $$(0)= e2(6 ! !2).

I valori di ! che annullano la derivata seconda sono ! = ± 6$

. L’equazione delle tan-genti corrispondenti a tali valori sono

y =! 6$

e2x ! e2 y = 6$

e2x ! e2.

(Facoltativo) Nel caso ! = 6$

f(x) = (3x2 ! 1)e 6%

che è definita su tutto R. La derivata prima di f è

f $(x) = (6x+ (3x2 ! 1) 6$

e la derivata seconda di f è

f $$(x)= 6x(3x+ 2 6$

Lo studio del segno della derivata seconda si riduce alla disequazione

x(3x+ 2 6$

) > 0 % x <! 23

& x > 0

da cui

f $$(x) > 0 x #!

!", ! 23

f strettamente convessa

f $$(x) < 0 x #!

"f strettamente concava

f $$(x) > 0 x # (0, +") f strettamente convessa

e i punti x= 0 e x =! 2 6$

/3 sono punti di flesso. Il caso ! = ! 6$

è del tutto analogo.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi

Vicenza, 26-01-2010

f(x) = arctan(√

2x)− log (1 + 2x)

(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f , i limiti di f ′ se significativi.

(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni precedenti, dire se esistono e quanti sonogli zeri della funzione g(x) = f(x)− 29x.

+∞∑

(nlogn + sinn+ 5 log n

Esercizio 3 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale α > 0:

limx→0+

xα + x(ex − 1)

(x− log(1 + x))2 + log(1 + arcsinx2).

Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 2

1− log xdx.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ e

1−log xdx.

Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale α ∈ R, la funzione

f(x) = (x2 − 3)eαx+1

ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangente in talepunto.

(Facoltativo) Per tali valori del parametro α, determinare gli intervalli di convessita di f .

Vicenza, 26-01-2010

TEMA3Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = 2 log (1 + x)− arctan(√x)

f(x) = (1− 2x2)eαx−1

limx→0+

log(1 + 3 sin2 x) + (arcsinx− x)2

x sinx+ xα.

+∞∑

(n2 + cosn+ nlogn

Esercizio 5 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π/4

cosx√1− sinx

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ π/2

0cosx√1−sinx

Vicenza, 26-01-2010

TEMA4Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = log (1 + 2x)− arctan(√

f(x) = (3− x2)eαx+2

limx→0+

xα + x sinx

(x− sinx)2 − log(1 + arcsin2 x).

Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 4

log x− 1dx.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ 4e

log x−1dx.

+∞∑

(2nlogn + 5n

3n + sinn

• il punto xM =! 2"

/2 è punto di massimo relativo (non assoluto);

• il punto xm = 2"

/2 è punto di minimo relativo (non assoluto).

I valori massimo e minimo assunti dalla funzione sono rispettivamente:

f(xM) = arctan!

e!2 2" "

f(xm)= arctan!

e2 2" "

Calcoliamo i limiti significativi della derivata prima.

Nel limite x# 0+, si ha

limx#0+

x =+$e si vede che #

allora

f $(x)=

$2· 2x2 ! 1

x2%! 1

da cui si conclude che

limx#0+

f $(x) = 0.

Analogamente si vede che

limx#0!

f $(x) = 0

Esercizio 2

(6 punti) Calcolare il seguente integrale definito%

x3sin(2x2)d x.

2 Sezione

Soluzione. Iniziamo calcolando una primitiva della funzione integranda. Con la sostitu-zione

y =x2 dy = 2xdx

si ha !x3sin(2x2)d x=

!y sin (2y)dy

Integrando per parti si ha

!y sin (2y)dy =! y

4cos (2y) +

!cos (2y)dy =! y

4cos (2y) +

18sin (2y)

da cui!

x3sin(2x2)d x=

4cos (2x2) +

8sin (2x2)

4cos (2!2) +

8sin (2!2).

Esercizio 3

(7 punti)

(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = arcsin$

n · sin$

n! alvariare del parametro reale " > 0.

(b) Determinare per quali " > 0 la serie&

n=1+! an converge.

Soluzione. Nel limite per n" + # si ha

arcsin

da cui, sviluppando i calcoli, anche

arcsin

6n3+ o

Inoltre

e1/n · sin'

2n2 + o

6n3 + o

da cui, sviluppando i calcoli, anche

e1/n · sin'

3n3+ o

In conclusione allora

arcsin

(! e1/n · sin

6n3 + o

e quindi

an =1n" ! 1

6n3+ o

Possiamo distingere i seguenti casi

1. per " $ 3 si ha che an è infinitesimo di ordine 3 rispetto a 1/n;

Esercizio 3 3

2. 0 < ! < 3: an è infinitesimo di ordine ! rispetto a 1/n.

Per il Criterio del confronto asintotico e tenuto conto di quanto noto sulla convergenzadella serie armonica generalizzata, possiamo concludere che la serie

risulta convergente per ! > 1 e divergente per 0< ! ! 1.

Esercizio 4

(6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x"± #, della funzione

f(x) =x3 log

#+ arctan 3x.

Soluzione. Per x" ±#, si ha

da cui osserviamo che

limx"±!

f(x) = limx"±!

1 + o(1)+arctan(3x)

#=± #.

limx"+!

= limx"+!

"1 + o(1) +

arctan(3x)x

Inoltre

limx"+!

f(x) $x = limx"+!

o(x) + arctan (3x) ="2.

La funzione ha come asintoto obliquo destro la retta di equazione y = x + "/2. La fun-zione è dispari, in quanto f( $x) =$ f(x), quindi

limx"#!

= limx"+!

f( $ x)$ x

= limx"+!

Inoltre

limx"#!

f(x) $x= limx"#!

o(x) + arctan (3x) =$ "2.

In conclusione l’asintoto obliquo sinistro è la retta di equazione y = x $ "/2.

Esercizio 5

(6 punti) Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) = exy+2x.

(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti cri-tici e determinarne la natura.

4 Sezione

Soluzione. Le derivate parziali sono

=(y +2)exy+2x !f!y

= x exy+2x.

L’unico punto critico di f è P = (0, ! 2). La matrice Hessiana in tale punto risulta

D2f(P )=

!0 11 0

e, osservato che detD2f(P ) =! 1 < 0, possiamo concludere che P è un punto di sella.

Esercizio 5 5

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta

Vicenza, 15-09-2009

f(x) =e�

11+cos x

1 + cos x

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. (Non e richiesto lo studio della derivata seconda ne quello degli intervalli diconvessita e di concavita).

Esercizio 2 Calcolare il seguente limite:

limx!2+

ex�2 � x + cos(x � 2) + (x � 2)4 sin⇣

1x�2

log(x � 1) � (x � 2).

Esercizio 3 Dire per quali ↵ 2 R la serie

(cos n + 2)

✓p1 + ↵

|1 � ↵|

converge.

Vicenza, 15-07-2009

Esercizio 1

f(x) = |arctanx|arctan x

(b) Determinare eventuali estendibilita per continuita; nel caso proseguire nello studio dellafunzione estesa.

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia, i puntiestremi e gli eventuali punti di massimo e di minimo, relativo e assoluto, di f . Calcolare ilimiti di f 0, individuando gli eventuali punti angolosi e cuspidi. (Non e richiesto lo studiodella derivata seconda ne quello degli intervalli di convessita e di concavita).

Esercizio 2 Data la serie 1X

(�1)n 1

n↵sin

✓1pn

1. dire per quali ↵ > 0 converge assolutamente;

2. dire per quali ↵ > 0 converge semplicemente.

Esercizio 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy

y00 + 2y0 + y = e�x

y(0) = 12

y0(0) = 32

Vicenza, 11-02-2009

(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1. I Temi 2, 3 e 4 possono essere svolti in mododel tutto simile)

Esercizio 1

f(x) = arctan

(cos(3x)− 1

cos(3x) + 1

Cenno della risoluzione

La funzione e definita in D = R \ {π3 + 23kπ, k ∈ Z}.

E pari quindi si studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.E anche periodica di periodo 2

3π, quindi basta studiarla in [0, π3 [.

f(x) ≥ 0 se e solo se arctan(cos(3x)−1cos(3x)+1

)≥ −π

3 , che, essendo arctan(·) crescente, equivale a

cos(3x)−1cos(3x)+1 ≥ tan(−π

3 ) = −√

3. Risolvendo, si ottiene che f(x) ≥ 0 se e solo se x ≤ x∗ =

13 arccos

(1−√3

1+√3

)che e un numero appartenente a ]π6 ,

π3 [.

limx→0+ f(x) = f(0) = π3 .

limx→(π3−) f(x) = −π

6 (si noti che in questo caso cos(3x)→ −1+).

Non ci sono asintoti. Si puo estendere la funzione ad una funzione continua in tutto R.L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) =1

1 +(cos(3x)−1cos(3x)+1

cos(3x)− 1

cos(3x) + 1

)′= ... =

−3 sin(3x)

cos2(3x) + 1.

Quindi f(x) e strettamente decrescente in [0, π3 [. Il punto x = 0 (e tutti i punti xk = 23kπ, k ∈ Z)

e un punto di massimo relativo ed assoluto, mentre x = π3 (e tutti i punti π

3 + 23kπ, k ∈ Z) e un

punto di minimo relativo ed assoluto.L’ attacco di f ′ in π

3 e limx→π3− f ′(x) = 0.

Quindi f si puo estendere ad una funzione continua e derivabile con derivata continua in tuttoR.

f ′′(x) =−9 cos(3x)

(cos2(3x) + 1)2(cos2(3x) + 1 + 2 sin2(3x)).

Quindi f e concava in [0, π6 [ e convessa in ]π6 ,π3 [ e ha un flesso in x = π

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale definito

∫ (tan 1)/2

0log(1 + arctan2(2x)

1 + 4x2dx.

Cenno della risoluzioneCon la sostituzione y = arctan(2x) (per cui dy = 2

1+4x2dx e y(0) = 0, y((tan 1)/2) = 1) l’integrale

diventa

0log(1 + y2

{y log(1 + y2)

]10− 2

1 + y2dy

{y log(1 + y2)− 2y + 2 arctan y

2log 2 +

4− 1,

dove nel primo passaggio si e integrato per parti.

Esercizio 3

Si consideri la successione

an =2 · n5 + 5 · 2n + n!

nn+1 · log(1 + 3n) + n · (−1)n+1

(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.

(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑

Cenno della risoluzionePer la scala delle successioni infinite, 2 · n5, 5 · 2n = o(n!). Inoltre usando Mac-Laurin e la scaladelle successioni infinite, nn+1 · log(1+ 3

n) = nn+1( 3n +o( 3

n)) = 3nn+o(nn) e n · (−1)n+1 = o(nn).Quindi

an ∼n!

e limn an = 0 sempre per la scala. Inoltre per il teorema di confronto asintotico la serie∑+∞

n=1 anconverge se e solo se converge la serie 1

∑+∞n=1

n!nn . Usando il criterio del rapporto per quest’ultima:

(n+ 1)!

(n+ 1)n+1

n!= ... =

(n+ 1)n=

1(1 + 1

)n →1

Poiche 1e < 1, la serie data converge.

Vicenza, 11-02-2009

Esercizio 1

f(x) = arctan

(cos(5x)− 1

cos(5x) + 1

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita.

(b) Determinare il segno di f (non e essenziale per lo studio del grafico di f , si consiglia dirispondere a questa domanda dopo aver svolto gli altri esercizi).

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.

(e) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.

(f) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

Esercizio 2

∫ (e2−1)/2

0log(1 + log2(2x+ 1)

2x+ 1dx.

an =n!− 3 · n3 log n+ 5 · 3n

n · cos2 n+ nn+1 · arcsin(2n

Vicenza, 11-02-2009

Esercizio 1

f(x) = arctan

(1− cos(3x)

1 + cos(3x)

)− π

Esercizio 2

∫ (tan 1)/3

0log(1 + arctan2(3x)

1 + 9x2dx.

Esercizio 3

an =4n+1 − n!− 3n · (n+ 1)

n2 · sinn+ nn+1 · log(1− 12n)

Vicenza, 11-02-2009

Esercizio 1

f(x) = arctan

(1− cos(5x)

1 + cos(5x)

)− π

Esercizio 2

∫ (e2−1)/3

0log(1 + log2(3x+ 1)

3x+ 1dx.

Esercizio 3

an =2n · log n+ 2 · n6 − n!

n2 · (−1)n+1 − nn+1 · tan( 13n)

Vicenza, 28-01-2009

(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1 e del solo Es. 1 del Tema 2. Gli esercizirimanenti del Tema 2 e i Temi 3 e 4 possono essere svolti in modo del tutto simile a questi.)

f(x) = e2

log(9−x2)

La funzione e definita in D = {|x| < 3, x 6= ±2√

2}. E sempre positiva e pari quindi si studiaper gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→3 f(x) = 1.limx→(2

√2)+ f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0−).

limx→(2√2)− f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0+).

Si puo estendere la funzione in [2√

2, 3] ad una funzione continua.L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) = e2

log(9−x2)−2

log2(9− x2)

9− x2(−2x).

Quindi f(x) e strettamente crescente nei due intervalli [0, 2√

2), (2√

2, 3). Il punto x = 0 e unpunto di minimo relativo. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del dominio dove il limite dellafunzione e finito.limx→3 f

′(x) = +∞.limx→(2

√2)+ f ′(x) = 0.

Per calcolare quest’ultimo limite si puo usare il fatto che il fattore 4x9−x2 e limitato in un intorno di

2 e per l’altra parte si puo usare la sostituzione y = 1log(9−x2) , se x→ (2

√2)+, si ha y → −∞,

quindi il limite si riconduce allo studio del limite limy→−∞ e2yy2 che si riconduce alla scala degliinfiniti con l’ulteriore sostituzione z = −y.

Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

limx→0+

xa − 2 sin2 x + 1− e−x2

x− arctan(x + 1

+ 4−13x

Cenno della risoluzionesin2 x = (x− x3

6 + o(x3))2 = x2 − x4

3 + o(x4).

e−x2

= 1− x2 + x4

2 + o(x4)Quindi il numeratore diventa

NUM. = xa − x2 +x4

6+ o(x4).

arctan(x + x3

6 ) = (x + x3

6 )− 13(x + x3

6 )3 + o(x3) = x + x3

6 − x3

3 + o(x3) = x− x3

6 + o(x3).

Il termine 4−13x = o(x3).

Quindi il denominatore diventa

DENOM. =x3

6+ o(x3).

Quindi il limite diventa

limx→0+

xa − x2 + x4

6 + o(x4)x3

6 + o(x3).

Quindi si hanno tre casi:

1) a > 2 : = limx→0+−x2+o(x2)x3

6+o(x3)

= −∞

2) a = 2 : = limx→0+x4

6+o(x4)

6+o(x3)

2) a < 2 : = limx→0+xa+o(xa)x3

6+o(x3)

= +∞.

Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito

∫ π/2

sin(2x) + sinx

cos2 x− 5 cosx + 6dx.

Cenno della risoluzione Tenendo conto che sin(2x) = 2 sinx cosx raccogliendo al numeratoresinx e usando la sostituzione cosx = y l’integrale diventa

−∫ 0

2y + 1

y2 − 5y + 6dy =

2y + 1

y2 − 5y + 6dy.

Tendo conto che y2 − 5y + 6 = (y − 3)(y − 2) la funzione razionale si puo decomporre:

2y + 1

(y − 3)(y − 2)=

y − 3+

y − 2

con A = 7 e B = −5 e si ottiene cosı

2y + 1

y2 − 5y + 6dy =

y − 3dy −

y − 2dy = 7 log 2− 7 log 3 + 5 log 2 = 12 log 2− 7 log 3.

f(x) = e2

log(x2−4)

La funzione e definita in D = (]−∞,−2[∪]2,+∞[) \ {±√

5}. E sempre positiva e pari quindisi studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→2 f(x) = 1.limx→(

√5)+ f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0+).

limx→(√5)− f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0−).

limx→+∞ f(x) = 1. (asintoto orizzontale)L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) = e2

log(x2−4)3

log2(x2 − 4)

x2 − 4(−2x).

Quindi f(x) e strettamente decrescente nei due intervalli ]2,√

5[, ]√

5,+∞[. La funzione non ha

min e max relativi ed assoluti (se si prolunga per continuita in 2+ e in√

ha max rel. in 2 emin rel. e assoluto in

√5). inf f = 0, sup f = +∞. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del

dominio dove il limite della funzione e finito.limx→2 f

′(x) = +∞.limx→(

√5)− f ′(x) = 0.

Per calcolare quest’ultimo limite si possono usare gli argomenti usati nella sol. dell’Es.1 del Tema1.

Vicenza, 28-01-2009

f(x) = e3

log(x2−4)

limx→0+

3−12x + ex−

14x2 − 1− x

xa − log(1− x2)− 2 tan2 x

∫ π/2

sin(2x) + 3 cosx

sin2 x− 6 sinx + 8dx.

Vicenza, 28-01-2009

f(x) = e2

log(5−x2)

limx→0+

xa + 2(1− cosx)− 2 sinh2 x

x− arcsin(x− 1

12x3)− 2−

∫ π

3 sinx + sin(2x)

cos2 x− cosx− 6dx.

Vicenza, 28-01-2009

f(x) = e5

log(x2−8)

limx→0+

3−2x + x + 1− ex−

xa − log(1− x2)− 2 sin2 x

∫ π

3 cosx + sin(2x)

sin2 x + sinx− 6dx.

MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Esercizio 1 Studiare la funzione

f(x) =p

4 cos2 x � 1 + | sin x|.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Studiare il segno di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. Non e richiesto lo studio della convessita di f .

Esercizio 2 Calcolare per ogni valore reale del parametro ↵ il limite

limx!0+

↵2x2 log(x) + x sin(x)

x4 log(1 + x) + ex2+x � 1 � x � ↵x.

Esercizio 3 Determinare la primitiva F : [e,+1[! R della funzione

f(x) =1

x(log2 x + |1 � log x|)

che soddisfa la condizione F (e) =p

Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.

Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi

tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.

MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) = arctan

✓e2x + 1

e2x � 1

◆� x

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Non e richiesto lo studiodel segno di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.

an3/2 � 6

⇣a2pn� sin

⇣1pn

⌘⌘� 2

�1 + 1

n � 2n3

�pn � 1

(a) Calcolare il limite limn!+1 an al variare del parametro a 2 R.

(b) Discutere la convergenza della serieP+1

n=1 an per ogni a 2 R.

Esercizio 3 (a) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A1 ✓ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:

|z| � 1

(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A2 ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:

��|z| + i

z + z + 4

�� 1/2.

(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:

✓|z| � 1

◆✓��|z| + i

z + z + 4

�� 1/2

◆ 0.

MATEMATICA ACanali, 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) = log�2ex + 3e�x + |x| � 5

(a) Preliminarmente, studiare brevemente la funzione

g(x) = 2ex + 3e�x + |x| � 5.

(b) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita di f . Non e richiesto lostudio del segno di f .

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Non e richiesto lo studiodella convessita di f .

Esercizio 2 Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numericomplessi che soddisfano la seguente disequazione:

��|p

2z| + 2iRe(z)

z � z

�� 1.

Esercizio 3 Si consideri, per ogni ↵ 2 R, la seguente equazione di↵erenziale:

y00 + y0 � 2y = ↵e�2x + sin(x).

(a) Determinarne la soluzione per ogni valore del parametro reale ↵.

(b) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione periodicae specificare tali soluzioni.

(c) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione y(x) taleche limx!�1 y(x) = +1 e specificare tali soluzioni.

MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta, G. ZampieriIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

f(x) = e�|x(x+3)| (x + |x + 3|)

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, eperiodicita e segno.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.

Esercizio 2 Si consideri l’integrale improprio

(1 + x2)1�a

log3(2�a)(3 + x) [arctan2 x + | arctan2 x � arctanx|]dx

(a) Determinare i valori del parametro reale a per cui l’integrale converge.

Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy seguente

(y0 = 2xy

y(0) = c

per i due valori c = 2 e c = 0 della condizione iniziale.

MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri

f(x) = log

!x + 5

|x + 4|

"! x + 5

|x + 4| .

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,periodicita e segno.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.

(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.

Esercizio 2 Si calcoli il limite

limx"+#

x3 + 3 ! 4x + cos#3ex2

sinh(x) + ("

x)x + 5x.

Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x

limx"0+

x ! tan("

(ex ! 1)"

Esercizio 4 Si studi la convergenza della serie

"n + 1 ! "

MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri

f(x) =x + 3

|x + 2| ! log

!x + 3

|x + 2|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,

periodicita e segno.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo

e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.

(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.

limx"+#

sinh(x) + ("

x)x + 3x

"x3 + 1 + 5x + cos

#5ex2 ! 5

Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x

limx"0

sin(x ! tan(x))(ex)

1 ! cos(x).

Esercizio 4 Si studi il carattere della serie

"2n + 1 !

MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Prova scritta – 5 settembre 2007

1) [10 punti ] Studiare la funzione

f(x) = xlog |x| � 1

log x + 1.

(Determinare il dominio D; studiarne il segno; calcolare i limiti per x che tende ai punti difrontiera del dominio e trovare gli eventuali asintoti; studiare la continuita e la derivabilita dif ed eventuali attacchi di f 0; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; studiarne la convessita e trovare gli eventuali flessi; disegnare un abbozzomotivato del grafico di f .)

2) [10 punti ] Per ogni valore del parametro reale ↵ � 0, determinare il carattere della seguenteserie:

n2 (sinn + 2)2

nlog(1+↵).

3) [10 punti ] Dopo aver verificato che esiste finito, si calcoli l’integrale

x + 2q1 � x2

Prova scritta – 24 luglio 2007

f(x) = esinh

“x2+12�x

(Dominio, segno, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e derivabilita, crescenza edecrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f 0, abbozzo delgrafico. Non e richiesto lo studio di f 00.)

2) [8 punti ] Risolvere la seguente equazione in C e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss

Im(iz2 + 2z) > Re(zz).

3) [10 punti ] (i) Calcolare l’integrale indefinito della funzione

f(x) =1

|ex � e| � 7e�x, �1 < x 1.

(ii) Determinare la primitiva di f , F : [0, 1] ! R tale che F (1) = 0.

Prova scritta – 8 gennaio 2007

f(x) = |x � 3| � arctan

✓x � 2

|x � 3|

(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).

2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:

limx!0

ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2

log(1 + x2) � x2 � 5�(1/x2).

3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

(y0 = (y � 1)2 6x + 3

x2 + x + 1y(0) = 4

f(x) = |x � 2| � arctan

✓x � 1

|x � 2|

limx!0

ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2

log(1 + x2) � x2 � 3�1

(y0 = 4x + 4

x2 + 2x + 2(2 � y)2

y(�1) = 1

f(x) = |x + 3| + arctan

✓x + 2

|x + 3|

limx!0

ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2

cos(x) � 1 + x2

2 � 5�1

(y0 = (y � 1)2 8x + 2

2x2 + x + 1y(0) = 3

f(x) = |x + 2| + arctan

✓x + 1

|x + 2|

limx!0

ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2

cos(x) � 1 + x2

2 � 3�1

(y0 = 4x + 6

x2 + 3x + 3(2 � y)2

y(�1) = 1

Prova scritta – 15 dicembre 2006

f(x) = log

µ |x ° 1|x

∂° 2x

(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).

2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:

z4 + 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.

3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

2 log x + 2)dx.

(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.

4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).

Si consideri il problema di Cauchy

(y0 = ex2

y(1) = Æ.

Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).

MOTIVARE LE RISPOSTE.

f(x) = x ° log

µ |x ° 1|x

z4 + 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

3 log x + 3)dx.

(y0 = ex2

y(1) = Æ.

f(x) = log

µ |x|x + 1

∂° 2x

z4 ° 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

5 log x + 5)dx.

(y0 = ex2

y(1) = Æ.

f(x) = x ° log

µ |x|x + 1

z4 ° 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

6 log x + 6)dx.

(y0 = ex2

y(1) = Æ.

Soluzioni del tema 1.

1) La funzione e definita per|x ° 1|

x > 0, x 6= 0, quindi il dominio D e

D = {x > 0, x 6= 1}.

Limiti finiti e infiniti:limx!0+ f(x) = +1,limx!1± f(x) = °1,limx!+1 f(x) = °1,

limx!+1f(x)

x = °2, limx!+1 f(x) + 2x = 0.Quindi la retta y = °2x e asintoto obliquo per x ! +1.La funzione e continua e derivabile nel suo dominio di definizione perche somma, quoziente ecomposizione di funzioni continue e derivabili.f 0(x) = 1°2x2+2x

x(x°1) se x > 1,

f 0(x) = °1+2x2°2xx(1°x) se x < 1

quindi

f 0(x) =1 ° 2x2 + 2x

x(x ° 1), 8x 2 D.

Studiando il segno di 1 ° 2x2 + 2x, si ottiene che f e strettamente decrescente in (0, 1) e in

32 ,+1), strettamente crescente in (1, 1+

2 ). Ha un punto di massimo relativo in x = 1+p

mentre non esistono punti di massimo e minimo assoluto in quanto sup f = +1, inf f = °1.La derivata seconda e

f 00(x) =1 ° 2x

x2(x ° 1)2, 8x 2 D.

Quindi f e concava se x > 1 e se x 2 (1/2, 1) mentre e convessa in (0, 1/2) e ha un punto di flessoin x = 1/2.

2) Ponendo w = z2, si ha un’equazione di secondo grado. La formula ridotta da

w = °3 ° 6i ±p

(3 + 6i)2 ° 5 ° 12i = °3 ° 6i ±p°32 + 24i. (1)

Per trovare le radici, si risolve l’equazione (x + iy)2 = °32 + 24i, x, y 2 R, da cui

(x2 ° y2 = °32

2xy = 24,,

(x4 + 32x2 ° 144 = 0

y = 12/x.

Risolvendo l’equazione biquadratica si ottiene x2 = °16 ± 20, di cui solo la soluzione positiva eaccettabile. In definitiva, le due radici nella (1) sono ±(2 + 6i). Sostituendo, otteniamo le dueequazioni z2 = °1 e z2 = °5°12i. Le soluzioni della prima sono evidentemente z1 = i e z2 = °i.Per risolvere la seconda, si imposta un sistema analogo a quello precedente:

(x2 ° y2 = °5

2xy = °12,,

(x4 + 5x2 ° 36 = 0

y = °6/x.

Come prima, la biquadratica ha solo due soluzioni reali, x = ±2; corrispondentemente, y = ®3.Concludendo, otteniamo le soluzioni z3 = 2 ° 3i e z4 = °2 + 3i. La rappresentazione nel pianodi Gauss consiste nell’insieme dei quattro punti di coordinate (0, 1), (0,°1), (2,°3), (°2, 3).

3) (i) La funzione integranda f(x) = (1+x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x+2p

2 log x+2)e definita, positiva e continua

su tutto l’intervallo [1, +1[. L’integrale quindi converge se e solo se f e integrabile in sensogeneralizzato in un intorno di +1. Poiche nell’intorno di +1 si ha

f(x) ª x3(1°Æ)

x2°Æ log2 x=

x2°Æ°3+3Æ log2 x=

x2Æ°1 log2 x,

dal criterio di confronto asintotico con la funzione f(x) = 1xa logb x

dove a = 2Æ° 1 e b = 2, segue

che l’integrale converge se e solo se 2Æ° 1 ∏ 1, cioe per Æ ∏ 1.

(ii) Per Æ = 1, l’integrale di f tra 1 e x (con x > 1), diventa

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt =

Z log x

2)2dy =

∑° 1

∏log x

log x +p

dove la prima uguaglianza si ottiene operando la sostituzione y = log t. Passando al limite perx ! +1, risulta infine

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt = lim

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt =

Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza

Prova scritta di Matematica Adel 5 Settembre 2006

GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE

(1)Si consideri la funzione

f(x) = sin(π2− x)etanx

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e peri-odicita.

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)

(2) Si consideri il seguente problema di Cauchy:

{y′(x) = y(x)

2x− ex

y(−1) = 1.

(a) Determinare la soluzione in un intorno di x0 = −1.

(b) Trovare il dominio massimale della soluzione.

(3) Data la successione

(√1 + 2 sin

)− e−

)n1−a per ogni n ∈ N,

(a) discutere la convergenza della serie∑+∞

n=1 an al variare del parametroa > 0.

(b) (Facoltativo) Studiare la convergenza della serie∑+∞

n=1(−1)n+1an nelcaso a = 1.

Prova scritta di Matematica Adel 19 Settembre 2006

(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)

(1) Si consideri la funzione

f(x) = arctan

✓x + 1

x � 1+ log(x2)

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f 00)

(2) Per ogni valore di ↵ 2 RI , determinare il seguente limite:

limx!0+

2x � sin(↵x) � 1 + x3 sin 1x

1 � cos(p

x) � 12log(x + 1)

(3) Determinare il carattere della seguente serie:

pn4 + 2n � n2

Prova scritta di Matematica Adel 20 Luglio 2006

(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)

f(x) = (x � 1) e1p

x2�1

(a) Determinare il dominio, il segno ed eventuali simmetrie di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ver-ticali.

(d) (Fac.) Determinare eventuali asintoti obliqui di f .

(2) Determinare le radici del seguente polinomio:

P (z) = z4 + (2i + 1)z2 + 2i.

(3) Data la funzione integrale

F (x) =

⇥log(1 + t2) � arctan(ta)

⇤dt,

(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente

limx!0+

(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.

Prova scritta di Matematica Adel 12 dicembre 2005

f(x) = log�x + 1 + e|x+1|�

(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi e disegnare un grafico qualitativodi f .

(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .

(2) Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguentedisequazione:

��z

z + iRez

�� 1.

Disegnare A nel piano complesso.

(a) Discutere al variare del parametro a 2 R la convergenza del seguenteintegrale improprio

Z ⇡/4

tan|a|/2 x (tan2 x + 1)

x2�a(1 +p

tan x)dx.

Esame di Analisi 1 e di Matematica 1del 21 giugno 2005

f(x) =p

x2 + 8x + 15 � |x � 1|

(a) Determinare il dominio di f .

(2) (a) Calcolare, se esiste, il limite della successione

an = (�1)nn2

✓1 � n arctan

◆◆+

(�1)n+1

per n tendente a +1.(b) Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie

P+1n=1 an.

(3) Calcolare la primitiva F : [�1, +1[! R della funzione seguente

f(x) =

px + 1

|x � 1| + 2

tale che F (�1) = 2⇡.

Esame di Matematica A del 11 gennaio 2005

f(x) = log1

1 + cos x� 1

1 + cos x

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, e periodicita di f .

(c) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f ristretta a (�⇡, ⇡).

(2) Si consideri la serie

(�3)n

3n+1n log(1 + n) � 3nn sin�

(a) Studiare il segno della successione

bn = 3n+1n log(1 + n) � 3nn sin

per n tendente a +1.

(b) Discutere la convergenza assoluta della serie data.

(c) Discutere la convergenza semplice della serie data. (Suggerimento: us-are il punto (a))

(3) Per ogni ↵ 6= �1 si consideri la seguente equazione di↵erenziale:

y00 � ↵y = cos(x).

(a) Determinare le soluzioni per ogni ↵ 6= �1.

(b) Dire se esistono soluzioni y(x), tali che limx!+1 y(x) = +1. In casoa↵ermativo, determinarle.

(c) Fissato ↵ = 0, dire se esistono soluzioni limite. In caso a↵ermativo,determinarle.

(d) (facoltativo) Determinare le soluzioni per ↵ = �1.

Esame di Matematica A del 14 dicembre 2004

f(x) =x2

x + 1e

(a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventualiasintoti di f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f .

(2) Calcolare il seguente limite:

limx!0+

e(x+x2) � 1 � sin(x)

x2 + arctan(x3) + x3 sin( 1x).

(3) Si consideri il seguente integrale improprio

xa2�1(x2 + |1 � 2x|a) .

(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.

Esame di Matematica A/Analisi 1 del 19/9/2005

SCHEMA DI SOLUZIONE

f(x) = arcsin

!1 ! x2

1 + x2

(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie, continuita, limitiagli estremi del dominio, e gli eventuali asintoti di f .

(b) Determinare la derivabilita, gli eventuali punti angolosi, gli intervallidi monotonia, e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f .

(c) Determinare gli intervalli di concavita e convessita e gli eventuali puntidi flesso di f .

Soluzione: Dominio: deve essere:###1!x2

### " 1 #$ !1 " 1!x2

1+x2 " 1 #$ !1 ! x2 " 1 ! x2 " 1 + x2

#$ !1 " 1 " 1 + 2x2

disuguaglianze chiaramente soddisfatte per ogni x % R. Il dominio e quinditutto R.Simmetrie: chiaramente f e pari.Continuita: Essendo f composizione di funzioni continue e continua.Derivabilita: La funzione g(x) = 1!x2

1+x2 e ovunque derivabile; arcsin e deriv-abile in (!1, 1); quindi f e certamente derivabile, almeno per gli x % R percui g(x) &= ±1; si ha g(x) = 1 #$ x = 0, mentre g(x) = !1 non e maiverificato. Percio f e certamente derivabile in R/{0} e si ha:

f "(x) =1$

1 ! g2(x)

(1 + x2)2

Per vedere se f e derivabile in 0 calcoliamo i limiti destro e sinistro di f " inx = 0; essendo f continua in x = 0 il limite destro, se esiste sara la derivata

destra, e quello sinistro la derivata sinistra; anzi essendo f ! dispari, bastafare il limite destro, per x !" 0+. Si noti che:

!1 ! g2(x) =

!(1 ! g(x))(1 + g(x)) # 2x per x !" 0+

e in definitivalim

x"0±f !(x) = $2

e quindi 0 e punto angoloso per f .Monotonia: f !(x) < 0 per x > 0; f e strettamente decrescente su [0, +%); fe strettamente crescente su !%, 0]. Il punto x = 0 e di max assoluto, dovef vale f(0) = !/2.Asintoti: essendo

limx"±#

g(x) = !1

si halim

x"±#f(x) = !!/2

e quindi y = !!/2 e asintoto orizzontale bilatero per f ; il valore !!/2 el’estremo inferiore di f , ma non e raggiunto: f non ha minimo.Convessita: per x &= 0, si ha

f !!(x) =1!

1 ! g2(x)

"g(x) (g!(x)2)

1 ! g2(x)+ g!!(x)

calcoli diretti (anche se un po lunghi) mostrano che

g(x) (g!(x)2)

1 ! g2(x)+ g!!(x) =

(1 + x2)3> 0

pertanto f e strettamente convessa su (!%, 0) ' (0, +%).Abbozzo di grafico:

(2) Al variare del parametro ! ! R, calcolare il seguente limite:

limx"#0+

$1 " !x2

Soluzione: Dobbiamo calcolare

limx"#0+

cos x "$

1 " !x2

x4! cos x.

Usando gli sviluppi di Mac Laurin si ottiene che

cos x = 1 " 1

24x4 + o(x5),

$1 " !x2 = 1 " !

2x2 " !2

8x4 + o(x4).

Se ! %= 1, si ha

limx"#0+

cos x "$

1 + !x2

x4! cos x= lim

x2 + o(x3)

#$$$%$$$&

+&, se ! > 1,

"&, se 12

< ! < 1,

"14, se ! = 1

0, se ! < 12.

Se ! = 1, si ha

limx"#0+

cos x "$

1 + x2

x4 cos x= lim

16x4 + o(x4)

(3) Si consideri il seguente integrale improprio

(x " 1)2(x2 + xa + 1)dx.

(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.

Soluzione: (a) Per ogni a > 0 la funzione integranda

fa(x) =6x2a

(x " 1)2(x2 + xa + 1)

e continua in [2, +![. In un intorno di +! si ha

fa(x) "

6xa!2, se a > 2,

3, se a = 2,1

x2(2!a) , se 0 < a < 2.

Quindi dal criterio del confronto asintotico segue che l’integrale converge per0 < a < 3/2.(b) Calcoliamo l’integrale indefinito

(x # 1)2(x2 + x + 1)dx.

Si puo scomporre

(x # 1)2(x2 + x + 1)=

x # 1+

(x # 1)2+

C(2x + 1)

(x2 + x + 1)+

(x2 + x + 1).

Facendo denominatore comune ed eguagliando i coe!cienti delle varie potenzedi x, si ottiene A = 2, B = 2, C = #1, D = 1. Quindi

(x # 1)2(x2 + x + 1)dx =

log(x # 1)2

x2 + x + 1# 2

x # 1+

arctan

''+ c.

In conclusione, l’integrale cercato e

(x # 1)2(x2 + xa + 1)dx =

+ log 7 + 2 # 2$3

arctan5$3.

Esame di Matematica A, di Matematica 1 e di Analisi1 del 5 settembre 2005

f(x) = 1 � sin x log

��sin x

��

(a) Determinare il dominio, eventuali periodicita e simmetrie e studiare ilsegno di f . Calcolare i limiti agli estremi del dominio di f . (Sugg.Studiare f nel piu piccolo intervallo possibile..)

(b) Calcolare f 0 e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Deter-minare eventuali attacchi di f 0.

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto R). Non e richiesto lostudio di f 00.

Soluzione:(a) Il dominio di f e D = R \ {sin x 6= 0} = R \ {x 2 R : x =k⇡, k 2 N}. La funzione e 2⇡–periodica e f(x) � 1 e dispari, quindi bastastudiarla nell’intervallo D \ [0, ⇡] =]0, ⇡[. 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0,quindi f(x) = 1� sin x log

⇥sin x

⇤e poiche 0 < sin x

e, si ha che log

⇥sin x

log⇥

⇤= �1 per cui sin x log

⇥sin x

⇤> 0 e f(x) > 1 > 0 8x 2]0, ⇡[.

limx!0+

f(x) = limx!⇡�

f(x) = 1,

e f si estende per continuita a tutto R.(b) 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0, quindi f(x) = 1 � sin x log

⇥sin x

f 0(x) = � cos x

�+ sin x

�= � cos x

�+ 1

Per quanto gia osservato, log⇥

sin xe

⇤ �1, dunque

�+ 1 0 8x 2]0, ⇡[

e f 0(x) � 0 se e solo se cos x � 0, cioe x 2]0, ⇡/2]. Percio f e monotonacrescente in ]0, ⇡/2] e decrescente in ]⇡/2, ⇡[ e assume un massimo relativo inx = ⇡/2. Per la periodicita e le simmetrie di f , per k 2 Z i punti ⇡/2 + 2k⇡sono di massimo assoluto, mentre i punti �⇡/2+2k⇡ sono di minimo assoluto.Gli attacchi di f 0 in 0+ e in ⇡� sono

limx!0+

= +1, limx!⇡�

f 0(x) = �1,

quindi nei punti k⇡ con k 2 Z f non e derivabile e ha tangente verticale.

(2) Calcolare al variare del parametro a > 0 il seguente limite:

L = limx!+1

xa + ex3�1 � e1/x

x sin x � ex3 sin (1/x).

Soluzione: Poiche 1 � e1/x e asintotica a �1/x, in breve, 1 � e1/x ⇠ �1/x,per x ! +1, il numeratore soddisfa

xa + ex3�1 � e1/x

�⇠ xa � ex2 ⇠

�ex2 se a < 2(1 � e)x2 se a = 2xa se a > 2

mentre x sin x = o(x2) e �ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2, per cui

x sin x � ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2.

Il limite richiesto vale allora

1 se a < 2(1�e)�e

se a = 2

�1 se a > 2.

(3) Calcolare l’integrale

arccos

��x � 1p2

�� dx.

Soluzione: Il dominio della funzione integranda e

⇢x 2 R :

��x � 1p2

�� 1

⇢x 2 R :

1p2� 1 x 1 +

e quindi D ⇢ [0,p

2]. Inoltre, dalla definizione di modulo si ha

arccos

��x � 1p2

�� dx =

Z p2/2

arccos

✓1p2� x

◆dx+

arccos

✓x � 1p

◆dx.

Operando le sostituzioni y = 1p2� x e y = x� 1p

2rispettivamente nel primo

e nel secondo integrale, si ottiene

Z p2/2

arccos y dy = 2

y arccos y

��p

2/20 +

Z p2/2

y dyp1 � y2

4⇡+2

✓1 � 1p

dove la penultima uguaglianza si ha integrando per parti.

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,

Prof. M. Motta

Analisi 1, N.O.Vicenza, 22 giugno 2004.

Esercizio 1

Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x

Esercizio 2

(a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:

∫ √π/2

xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))

e giustificare la risposta.

(b) Calcolare l’integrale per α = 1.

Esercizio 3

(a) Calcolare il limite della successione

an =1 + tan3

)− esin

3( 1n)

1n3+α

2( 2n) − e

per n → +∞ al variare del parametro α ∈ IR.

(b) Dire per quali valori di α ∈ IR la serie∑+∞

n=1 an converge.

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,

Doc. M. Motta

Analisi Matematica 1, V.OVicenza-29-04-03.

Esercizio 1

Studiare la funzionef(x) = xe

1|2x|−1

Esercizio 2

Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:

limx→+∞

)1/x − 2e1/x + cos(1x

xlog(1x

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 .

Esercizio 3

(a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di

z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.

(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme

A ={z ∈ C :

∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8

(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).

Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i...

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