ANGOLITEORIA

PROBLEMI RISOLTI O

SOLTANTO PROPOSTI

O

A

B

ANGOLO. E' la parte di piano compresa fra due semirette che hanno l'origine comune. L'origine si chiama vertice .

ELEMENTI DI UN ANGOLO:

0º < < 180º 0º < < 180º

0º < < 90º0º < < 90º

CLASSIFICAZIONE SECONDO L'AMPIEZZA

a) ANGOLO CONVESSO

a.1) ANGOLO ACUTO

= 90º = 90º

90º < < 180º 90º < < 180º

a.2) ANGOLO RETTO

a.3) ANGOLO OTTUSO

= 90º = 90º

+ = 180º + = 180º

CLASSIFICAZIONE SECONDO LA SOMMA

a) ANGOLI COMPLEMENTARI

b) ANGOLI SUPPLEMENTARI

c) ANGOLI ESPLEMETARI

La somma dei due angoli è

360°

CLASSIFICAZIONE SECONDO LA SOMMA

CLASSIFICAZIONE SECONDO LA POSIZIONE

a) ANGOLI CONSECUTIVI b) ANGOLI CONSECUTIVI

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Sono congruenti

Possono formare più angoliUn lato comune

01. Angoli alterni interni: m 3 = m 5; m 4 = m 6

02. Angoli alterni esterni: m 1 = m 7; m 2 = m 8

03. Angoli coniugati interni: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

04. Angoli coniugati esterni: m 1+m 8=m 2+m 7=180°

05. Ángoli corrispondenti: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7

ANGOLI GENERATI DA RETTE PARALLELE CON UNA RETTA SECANTE

1 2

34

5 6

78

+ + = x + y + + = x + y

x

y

01.-Angoli che si formano con una línea spezzata fra due rette parallele.

PROPIETA' DEGLI ANGOLI

+ + + + = 180° + + + + = 180°

02.- ANGOLI FRA DUE RETTE PARALLELE

+ = 180° + = 180°

03.- ANGOLI AVENTI, OGNUNO, I LATI PERPENDICOLARI A QUELLI DELL'ALTRO

Il complementare della differenza tra il supplementaree il complementare di un angolo "X" è uguale aldue volte il complementare dell'angolo "X". Calcolare ilmisura dell'angolo "X".

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°X = 90°

RISOLUZIONE

Problema Nº 01

Secondo l'enunciato dovrebbe essere:

Il suo sviluppo dà:

Che si riduce a:

La somma delle misure di due angoli è 80 ° e il complementare del primo angolo è il doppio del secondo angolo. Calcolare la differenza delle misure degli angoli.

Gli angoli siano: e + = 80° Dato che: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Sotitundo la(1) con la (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RISOLUZIONE

Dato che:

Diferenza fra le misure

Risolvebdu

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Sean los ángulos: y

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

+ = 50° - = 10°

(+)

2 = 60°

= 30°

= 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Dati due angoli consecutivi AOB e BOC (AOB<BOC), disegna la bisettrice OM dell' angolo AOC. Se gli angoli BOC e BOM misurano 60° e 20° rispettivamente qual'è la misura dell'angolo AOB?

A B

O C

M

60°

20°X

Dalla figura:

= 60° - 20°

Allora:

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°X = 20°

Problema Nº 04

RISOLUZIONE

La differenza delle misure di due angoli consecutivi AOB e BOC è di 30 °. Calcola la misura dell'angolo formato dalla bisettrice dell'angolo AOC e dal lato OB.

A

O

B

C

X

(- X)

( + X) ( - X) = 30º

2X=30º

X = 15°X = 15°

Problema Nº 05

RISOLUZIONE

M

Esecuzione del disegno secondo l'enunciato del problema

Dall'enunciato:

AOB - OBC = 30°

-

Successivamente AOB si sostituisce cosìcome si vede nel disegno

Dati gli angoli consecutivi AOB, BOC e COD tali che gli angoliAOC e BOD misurino ognuno 90°. Calcula la misura dell'angolo formato dalle bisettrici degli angoli AOB e COD.

A

C

BM

X

Dal disegno:

2 + = 90° + 2 = 90°

( + )

2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°

X = + + X = + +

X = 90°X = 90°

Problema Nº 06

RISOLUZIONEEsecuzione del disegno secondo l'enunciato

Se m // n . Calcola la misura dell'angolo “X”

80°

30°

X

m

n

Problema Nº 07

2 + 2 = 80° + 30°

Per la propietà

Propietà del quadrilatero concavo

+ = 55° (1)

80° = + + X (2)

Inserendo la (1) nella (2)

80° = 55° + X

X = 25°X = 25°

80°

30°

X

m

n

RISOLUZIONE

Se m // n . Calcula la misura dell'angolo “X”

5

4 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5

4 65°

X

m

n

Per la proprietà:

4 + 5 = 90°

= 10° = 10°

Angolo esterno del triangolo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°X = 105°

RISOLUZIONE

Se m // n . Calcola la misura dell'angolo ”X”

2

x

m

n

2

Problema Nº 09

3 + 3 = 180°

+ = 60° + = 60°

Angoli formati da una línea spezzata fra due rette parallele

X = + X = 60° X = 60°

RISOLUZIONE

2

x

m

n

2

x

Angoli coniugati interni

PROBLEMA 01.- Se L1 // L2 . Calcola la misura

dell'angolo x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

x

4x

3x L1

L2

m

n

30°

X

PROBLEMA 02.- Se m // n . Calcola x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03.- Se m // n . Calcola

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

3

33

m

n

PROBLEMA 04.- Se m // n . Calcula il valore di “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

40°

95°

2x

m

n

PROBLEMA 05.- Calcola la misura di x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

3

6

x

4

4

Xm

n

PROBLEMA 06.- Se m // n . Calcula la misura di x

A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07.- Se m // n. Calcola la misura di x

88°

24°

x

m

n

PROBLEMA 08.- Se m // n . Calcula la misura di x

20°

30°

X

m

n

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

x

m

n

PROBLEMA 10.- Se m // n . Calcola la misura di x

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

x

x

x

m

n

PROBLEMA 11.- Se m // n . Calcola la misura di

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2

2m

n

PROBLEMA 12.- Se m // n . Calcola la misura di x

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

x

80°

m

n

PROBLEMA 13.- Se m // n . Calcola la misura di x

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

80°

m

n

x

RISULTATI DEI PROBLEMI PROPOSTI

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º