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Appunti di estimo
1
MATEMATICA FINANZIARIA – CAP. 1420 INTERESSE SEMPLICE Interesse semplice
nrCI
)1( nrCM n = frazione di anno [1]
Montante semplice di rate costanti
121............
121
121
121 321 knrRnrRnrRnrRM [2]
Poiché la formula è una progressione aritmetica, diviene
21krkRM R= importo rata; k= numero delle rate, +1 per le rate
anticipate, -1 per rate posticipate
INTERESSE COMPOSTO Interesse composto
C M
G F M A M G L A S O N D
R R R R R R R R R R R R M
G F M A M G L A S O N D
Primo anno
C0 M1
G F M A M G L A S O N D Secondo anno C1
M2
G F M A M G L A S O N D Terzo anno C2
M3
G F M A M G L A S O N D
……………
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)1(01 rCC )1(12 rCC )1(23 rCC
n
n rCC )1(0 nn qCC 0 )1(0 nqCI [3]
Ricorda che nq esprime il (CAPITALE + INTERESSE) per valori unitari (cioè di un euro!!!!); quindi se a nq detraggo un euro, ho il valore unitario degli interessi )1(0 nqCI ANNUALITÀ L’annualità è definita come l’importo pagabile/esigibile costantemente ogni anno. Esse possono essere:
limitate; illimitate;
nell’ambito di ogni anno esse possono essere: anticipate; posticipate; mediamente anticipate.
Accumulazione finale di annualità posticipate (An )
a a a a
An
Anno 1 Anno 2 Anno …… Anno n
aaqaqaqA nnn
n ...........321
)1...........( 321 nnnn qqqaA
trattandosi di una progressione geometrica, la formula sopra scritta…..diviene…..
rqaA
n
n1 [4]
Accumulazione finale di annualità anticipate (An)
a a a a
An
Anno 1 Anno 2 Anno ….. Anno n
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rqaqA
n
n1 ….in pratica moltiplicando la formula precedente [4] [5]
per “q”,aggiungo un anno!!!! Accumulazione finale di annualità mediamente anticipate (An)
a a a a
An
Anno 1 Anno 2 Anno …… Anno n
rqraA
n
n1
1261 ….in pratica moltiplicando la formula [4] per [5]
“
1261 r ”, aggiungo 6 mesi!!!!
Accumulazione iniziale (A0) Le accumulazioni finali delle annualità, nelle tre tipologie sopra esposte (posticipate, anticipate,
mediamente anticipate), possono essere anticipate al tempo attuale con il coefficiente
nq
1 ,
dividendo le rispettive formule per tale coefficiente. Pertanto si ha che:
Annualità posticipate
n
n
qrqaA 1
0 [7]
Annualità anticipate
n
n
qrqaqA 1
0 [8]
Annualità mediamente anticipate
n
n
qrqraA 1
12610 [9]
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Rata annua delle annualità Dalle formule precedenti è possibile ricavare le formule per calcolare l’importo della rata annua di annualità anticipate, posticipate o mediamente anticipate. Il calcolo può essere fatto sia partendo dalla accumulazione finale, sia da quella iniziale. Dalla accumulazione finale
Annualità posticipata 1
nn qrAa [10]
Annualità anticipata 1
1
nn qr
qAa [11]
Annualità mediamente anticipata 1
1261
1
nn qr
rAa [12]
Dalla accumulazione iniziale
Annualità posticipata 10
n
n
qrqAa [13]
Annualità anticipata 1
10
n
n
qrq
qAa [14]
Annualità mediamente anticipata 1
1261
10
n
n
qrq
rAa [15]
REINTEGRAZIONE E’ la quota annua da accantonare ogni anno per costituire in n anni un capitale sufficiente per reintegrare un bene. La formula da applicare è la [10].
1int
nfire qrVVQ iV valore iniziale del bene; fV valore finale del bene [16]
AMMORTAMENTO Si parla di ammortamento quando si ha a che fare con un debito. La quota di ammortamento è la cifra (=rata) che ogni anno (=annualità) si deve pagare per estinguere in n anni un debito. In questo caso la formula da applicare è la [13], nel caso appunto che l’annualità sia pagata posticipata.
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Rata annua posticipata 10
n
n
amm qrqAQ [17]
Frequentemente i mutui, per esempio per l’acquisto di una casa, hanno rate mensili; le formule da applicare in questo caso sono:
Rata mensile 11
10
kn
kn
kr
kr
kr
AR r=saggio interesse [18-a]
k= numero rate annue
…..dall’accumulazione finale 11
knn
krkr
AR [18-b]
….il debito residuo di un mutuo n
n
rrrkrkRDebito
)1(1)1(
21
[18-b]
k= numero rate annue; n= numero anni mancanti
Annualità illimitate Si presentano delle annualità illimitate quando ogni anno, per un periodo di tempo che tende a infinito, c’è un importo di denaro che si riceve/paga. E’ il caso del calcolo del valore di capitalizzazione (=accumulazione iniziale) di un bene, il quale viene calcolato partendo dal Bf.
raA 0 [19]
rBfVc [20]
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PERIODICITA’ La periodicità è un importo che si ripete costantemente ogni n anni per un numero di periodi o turni pari a t oppure pari a ∞. Esse possono essere:
periodicità limitate (turni pari a t); periodicità illimitate (turni pari a ∞).
nell’ambito di ogni turno esse possono essere: anticipate; posticipate;
Periodicità limitate
Accumulazione finale di periodicità limitate posticipate
P1 P2 P3 P... Pn
Ant
Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni)
PPqPqPqA tntntnnt ........)3()2()1(
Trattandosi di una progressione geometrica, la formula diventa:
11
n
nt
nt qqPA n = numero anni del turno; t = numero di turni [21]
Accumulazione finale di periodicità limitate anticipate (caso molto raro)
P1 P2 P3 P... Pn
Ant
Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni) In questo caso devo semplicemente applicare la formula precedente [21], “aggiungendo un turno con il coefficiente nq , la quale diviene:
nn
nt
nt qqqPA
11 [22]
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Accumulazione iniziale di periodicità limitate posticipate
P1 P2 P3 P... Pn
A0
Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni) Anche in questo caso devo semplicemente applicare la formula precedente [21] per trovare
l’accumulazione finale; poi il valore ottenuto lo sconto all’attualità con il coefficiente ntq1 .
ntn
nt
ntnt qqqP
qAA 1
111
0
Periodicità illimitate In questo caso ha senso trovare solo l’accumulazione iniziale, in quanto, poiché il numero di turni tendono a ∞, non esiste una accumulazione finale.
Periodicità illimitata posticipata
P1 P2 P3 P... P∞
A0
Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno ….(5 anni)
11
0 nq
PA [23]
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Periodicità illimitata anticipata
P1 P2 P3 P... P∞
A0
Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno ….(5 anni) In questo caso, partendo dalla formula precedente [23], la moltiplico per il coefficiente nq
nn q
qPA
11
0 [24]
INTERESSI CONVERTIBILI La situazione degli interessi convertibili si presenta nel caso di mutui o prestiti al consumo; nel regime dell’interesse convertibile, l’interesse si somma al capitale che lo ha generato k volte in un anno a intervalli regolari. Se per esempio si stipula un mutuo con rate semestrali, gli interessi si sommano al capitale ogni sei mesi; detto in altri termini, gli interessi maturano con cadenza semestrale. Co M0,5
C0,5 M1
Primo semestre Secondo semestre
C1 M1,5
C1,5 M2
= Cn Terzo semestre Quarto semestre
Accumulazione finale kn
n krCC
10 k=numero rate all’anno; n = numero anni [25]
Accumulazione finale
kr
kr
RA
kn
n
11
[26]
= Cn
Capitale alla fine del quarto semestre
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Calcolo della rata 11
10
kn
kn
kr
kr
kr
AR [27]
Accumulazione iniziale data la rata….
kr
krkr
RA kn
kn
1
110 [28]
Accumulazione iniziale dato il capitale finale…. knn
kr
AA
1
10 [29]
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10
FORMULARIO DI MATEMATICA FINANZIARIA INTERESSE SEMPLICE
)1( nrCM
n = frazione di anno
[1]
INTERESSE COMPOSTO
n
n qCC 0 )1(0 nqCI
[2]
[3]
ANNUALITA’
ANNUALITA’ LIMITATA
POSTICIPATA
rqaA
n
n1
n
n
qrqaA 1
0
[4]
[5]
ANTICIPATA
rqaqA
n
n1
n
n
qrqaqA 1
0
[6]
[7]
MEDIAM. ANTICIPATA
rqraA
n
n1
1261
n
n
qrqraA 1
12610
[8]
[9]
ANNUALITA’ ILLIMITATA
raA 0
[10]
Appunti di estimo
11
PERIODICITA’
PERIODICITA’ LIMITATE
POSTICIPATA 11
n
nt
nt qqPA
ntn
nt
ntnt qqqP
qAA 1
111
0
[11]
[12] ANTICIPATA (caso
rarissimo!!!) n
n
nt
nt qqqPA
11
[13]
PERIODICITA’ ILLIMITATE
POSTICIPATA 1
10
nqPA
[14]
ANTICIPATA nn q
qPA
11
0
[15]
INTERESSE CONVERTIBILE
ACCUMULAZIONE FINALE k=numero rate all’anno n= numero di anni
kn
n krCC
10
kr
kr
RA
kn
n
11
[16]
[17]
Appunti di estimo
12
ACCUMULAZIONE INIZIALE
kr
krkr
RA kn
kn
1
110
knn
kr
AA
1
10
[18]
[19]
CALCOLO DELLA RATA
11
10
kn
kn
kr
kr
kr
AR
[20]
Ultima revisione: 23/09/2013