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Prof. Calogero Contrino
grandezze fisiche vettoriali
operazioni con i vettori
Appunti di Fisica
14/01/2014
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Appunti di Fisica
Prof Calogero Contrino
Si considerino le seguenti situazioni:
Grandezze vettoriali:
Introduzione: determinazione di una temperatura
1. Si vuole conoscere la temperatura di un liquido che è riposto in un dato contenitore .
Per risolvere il problema si immerge adeguatamente il bulbo di un termometro all’interno del
liquido, quindi si aspetta il tempo richiesto nel manuale d’uso del termometro (tempo di
risposta) infine si effettua la lettura sullo strumento, il risultato è un numero che nel campo
d’incertezza della procedura eseguita individua univocamente il valore cercato della grandezza
(temperatura).
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2. Si vuole indicare la posizione di una persona che si trova a piazza San Pietro (cerchietto rosso
nella figura) .
Grandezze vettoriali:
introduzione : determinazione di una posizione
Per risolvere questo problema si può prendere come riferimento l’obelisco al centro della
piazza, quindi si misura la distanza della persona dall’obelisco (p.e.15 m).
Il solo valore della distanza misurata non risponde però all’informazione richiesta, infatti ogni
punto della circonferenza con centro sull’obelisco fornisce lo stesso risultato.
Volendo proseguire nella risoluzione si può pensare di individuare una data direzione (p.e.
l’allineamento tra l’obelisco ed il portone d’ingresso della basilica) e specificare che la precedente
distanza va riferita ad essa.
Il problema è completamente risolto nel momento
in cui oltre alle informazioni precedenti viene
specificato che la persona si trova dalla parte di
via della Conciliazione e non dalla parte del
sagrato della basilica.
In definitiva la posizione è correttamente
individuata da tre informazioni :
il valore della distanza (15m),
la direzione (allineamento obelisco-portone);
il verso (dalla parte di via della Conciliazione).
Ancora una volta però non si è stati precisi nel fornire l’indicazione
richiesta , in quanto sono due i punti così individuati.
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Grandezze vettoriali:
introduzione : determinazione di uno spostamento
In definitiva anche lo spostamento è
correttamente individuato ancora da tre
informazioni :
il valore della distanza (30m),
la direzione (allineamento obelisco-portone);
il verso (dalla parte di via della Conciliazione).
3. In riferimento alla situazione precedente si supponga che la stessa persona, dopo un certo
tempo , si ritrovi all’ingresso della piazza (punto di colore giallo) e si voglia valutare il suo
spostamento (segmento di colore giallo) tra le due posizioni, indipendentemente dall’effettivo
percorso seguito ( linea tratteggiata di colore azzurro)
Per risolvere questo problema si misurerà ancora la distanza tra le due posizioni (p.e. 30m), ma
anche in questo caso il valore della distanza misurata da solo non fornirà l’informazione
richiesta , infatti ogni punto della circonferenza con centro sulla posizione iniziale e di raggio
30m da lo stesso risultato. Pertanto si dovrà fare riferimento alla direzione (stesso
allineamento del caso precedente) e specificare che la persona si è avvicinata a via della
Conciliazione.
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Le grandezze per le quali si deve procedere nella loro identificazione come nel caso della
temperatura vengono dette grandezze scalari, mentre quelle per le quali si deve procedere
come nel caso della posizione o dello spostamento vengono dette grandezze vettoriali.
Grandezze vettoriali:
Grandezze scalari e vettoriali : definizioni
Si hanno in proposito le seguenti
definizioni
Dicesi grandezza scalare (o semplicemente scalare) una grandezza che è univocamente
determinata da un valore numerico.
Dicesi grandezza vettoriale (o semplicemente vettore ) una grandezza che è univocamente
determinata da un valore numerico ( il cui valore assoluto è detto intensità o modulo), una
direzione ed un verso.
Per operare una distinzione tra grandezze scalari e vettoriali dal punto di vista dei simboli si
adotta la seguente convenzione :
Le grandezze scalari son individuate da una lettera minuscola o maiuscola
(p.e. p per indicare la pressione, T per indicare la temperatura termodinamica etc.)
Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera minuscola o maiuscola sulla quale è
sovrascritta una freccia (p.e. v per indicare la velocità, E per indicare il campo elettrico)
L’intensità o modulo di una grandezza vettoriale è indicata dal simbolo del vettore racchiuso
tra due segmenti verticali (p.e. , ) v E
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Grandezze vettoriali:
Rappresentazione grafica
A
Volendo operare delle traslazioni del vettore sul piano ci si dovrà servire di riga e
squadretta. Questo modo di procedere porta ovviamente a delle imprecisioni anche importanti
nelle diverse operazioni in cui il vettore è coinvolto (figura in basso a destra).
A
A
avendo a disposizione un righello graduato, stabilita una determinata direzione, su di un
foglio bianco si traccerà un segmento orientato di una determinata lunghezza proporzionale,
secondo la scala fissata, all’intensità del vettore (La situazione è quella della figura in basso a sinistra).
Una generica grandezza vettoriale , caratterizzata da una intensità , una direzione ed un
verso, dal punto di vista grafico, viene individuata da un segmento orientato, dopo che sia
stata fissata una opportuna scala di rappresentazione.
A A
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Grandezze vettoriali:
Rappresentazione grafica : considerazioni
A
A
Si rifletta sul fatto che lo spostamento mediante traslazione su un foglio di disegno non
modifica le informazioni sulla grandezza in esame in quanto il segmento che la rappresenta
mantiene la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso.
La stessa cosa non accadrebbe nel caso di uno spostamento che presentasse anche una
rotazione in quanto non sarebbe conservata la direzione .
B A
Si può in definitiva concludere che nelle operazioni tra grandezze vettoriali che saranno
esaminate più avanti i segmenti orientati che le rappresentano potranno essere traslati
senza inficiare la validità dei risultati ottenuti. Si può pertanto dare una prima intuitiva
A questo punto, visto che una grandezza
vettoriale ha le caratteristiche geometriche
tipiche dei segmenti orientati, al fine di poter
correttamente procedere nelle operazioni su
di essi esaminiamo in modo più approfondito
e rigoroso dal punto di vista geometrico
alcuni concetti basilari .
definizione un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio senza subire
deformazioni , restando parallello a se stesso (movimento di traslazione).
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Grandezze vettoriali:
Geometria : assioma dell’ordine
Come si vedrà in modo organico nel corso di geometria, per una qualsiasi retta, si ha il
seguente
A B
I punti di una retta si possono ordinare in modo tale che:
a. Dati due punti distinti A, B si ha :
b. Dati tre punti distinti A, B ,C ,
A B
A B C
o B precede A o A precede B
se A precede B e B precede C allora A precede C
Assioma dell’ordine
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Grandezze vettoriali:
Geometria : retta orientata
L’assioma dell’ordine determina una duplice possibilità di ordinamento dei punti di una retta,
Retta orientata
fissata una delle due possibilità di ordinamento si dirà che la retta è orientata .
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Grandezze vettoriali:
Geometria : segmenti orientati
Segmenti orientati BA
Segmenti orientati
Anche un segmento, essendo un particolare sottoinsieme di punti di una retta, può essere
pensato come un insieme ordinato e quindi anche su di esso si possono fissare ad arbitrio
due versi di percorrenza .
, quando l’ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da A a B . AB
Pertanto un segmento di estremi A e B si dirà orientato da A a B e si indicherà con il simbolo
Un segmento di estremi A e B si dirà orientato da B a A e si indicherà con il simbolo BA
quando l’ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da B a A .
B A
I segmenti orientati e si dicono opposti BA AB
B A
Segmenti orientati AB
A B A B
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Grandezze vettoriali:
Geometria : relazione di equipollenza tre segmenti orientati
A3
Segmenti orientati equipollenti
A1
Consideriamo l’ insieme dei segmenti orientati giacenti su un dato piano e che siano
caratterizzati dalle seguenti proprietà :
AiBi
• Siano tutti congruenti
• Abbiano tutti la stessa direzione ( giacciono su rette parallele)
• Abbiano tutti lo stesso verso
B1
B3
A2
B2
Ai
Bi
In tale situazione si dirà che gli elementi dell’ insieme sono in una relazione di equipollenza
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Grandezze vettoriali:
Geometria : proprietà della relazione di equipollenza
E
Proprietà della relazione di equipollenza
A
La relazione di equipollenza è una relazione che gode delle seguenti proprietà :
• Riflessiva (un segmento è equipollente a se stesso)
B
F
C
D
• Simmetrica ( se un segmento è equipollente ad un segmento allora il segmento
è equipollente al segmento )
AB CD
CD AB
• Transitiva ( se un segmento è equipollente ad un segmento e il segmento
è equipollente ad un segmento allora il segmento è equipollente al
segmento ) .
AB CD CD EF AB
EF Una relazione che gode delle precedenti proprietà è, come noto dall’algebra, una relazione di
equivalenza
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Grandezze vettoriali:
Geometria : classi di equivalenza della relazione di equipollenza
A3
Classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti
A1
Si osservi che la relazione di equipollenza, essendo una relazione di equivalenza, suddivide
l’insieme di tutti i segmenti orientati del piano in sottoinsiemi di segmenti ognuno dei quali è
caratterizzato da una stessa direzione stesso verso e stessa lunghezza .
B1
B3
A2
B2
Ai
Bi
Tali sottoinsiemi sono le classi di equivalenza della relazione di equipollenza.
Gli elementi di una data classe di equivalenza hanno tutti le stesse caratteristiche, pertanto,
individuato uno degli elementi, restano determinate le caratteristiche di tutti gli altri.
La classe di equivalenza individuata da un determinato elemento sarà simbolicamente
indicata p.e. come segue ( vedi figura) : A2B2
C1D1
E3F3
C1
D1 C2
D2
Ci
Di
C3
D3
F1 E1
F2 E2
Fi Ei
F3 E3
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Grandezze vettoriali:
Geometria : definizione di vettore
A3
tre vettori come classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti
A1
B1
B3
A2
B2
Ai
Bi
Si può dare a questo punto la seguente
C1
D1 C2
D2
Ci
Di
C3
D3
F1 E1
F2 E2
Fi Ei
F3 E3
Si sottolinea che la scelta di , e per rappresentare rispettivamente la totalità
dei segmenti , e è del tutto arbitraria (essendoci la possibilità di infinite scelte)
A2B2 C1D1 E3F3
AiBi CiDi EiFi
definizione
Dicesi vettore (simbolo v ) una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti OP
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Grandezze vettoriali:
definizione di vettore : le due interpretazioni
La duplice interpretazione del concetto di vettore
La possibilità di rappresentare un vettore con uno qualsiasi dei segmenti orientati
appartenenti alla data classe di equivalenza costituisce un’interpretazione alternativa a quella
esaminata all’inizio della trattazione basata su spostamenti che implicano la conservazione
del parallelismo.
A1
B1
A2
B2 Ai Bi
a
a
A3
B3 a
Si ripropongono di seguito le definizioni derivanti dalle due diverse interpretazioni :
un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio restando costantemente
parallello a se stesso (movimento di traslazione).
un vettore è una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti.
a
a
a
a
a
Le linee tratteggiate di colore blu
indicano i movimenti di traslazione
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Grandezze vettoriali:
vettore : considerazioni pratiche
Le due interpretazioni hanno entrambe la loro validità concettuale la prima risponde
perfettamente a considerazioni di tipo geometrico (assenza di movimento) . In entrambi i casi
però volendo operare per via grafica si dovranno necessariamente effettuare delle traslazioni.
Per limitare le imprecisioni nella procedura esaminata in precedenza, che qui si richiama,
A
A
A
A
prima dopo prima dopo
risulta più comodo ed efficace servirsi di un foglio di carta millimetrata (in basso a destra nella
figura sono evidenziate per comodità le retinature dei cm), inoltre sarà necessario solo l’uso
di un righello, infatti le direzioni vengono conservate dalle misure dei segmenti tratteggiati in
colore blu, cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento orientato che
rappresenta il vettore e che, misurati (in realtà è un conteggio perché la misurazione avviene lungo le
due direzioni della quadrettatura), possono essere riportati ovunque sul foglio.
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Ed essendo xc , yc , xp , yp le coordinate rispettivamente della coda e della punta dopo la
traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato:
Pertanto essendo xc , yc , xp , yp le coordinate rispettivamente della coda e della punta prima
della traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato:
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Grandezze vettoriali:
Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano
A
A
prima dopo
Un ulteriore passo avanti, consiste nell’opportunità di riferire il vettore sul piano ad un sistema
di assi cartesiani ortogonali, dove possono essere rilevate le coordinate delle posizioni della
coda e della punta, proiettando sugli assi, come appreso alla scuola media, gli estremi del
vettore.
A [(xc , yc) ; (xp , yp)]
A [(xc , yc) ; (xp , yp)]
xc xp
yc
yp
xc
yc
yp
L’ impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un
vettore sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta.
xp
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Pertanto un generico vettore sarà cosi indicato simbolicamente:
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L’ impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un vettore
sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta.
Grandezze vettoriali:
Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano
p
A
c
p
vettori con coda in punti generici
c
p B
gli stessi vettori con coda nell’origine
p
Nel seguito saranno illustrate le operazioni di base in cui sono coinvolti, impiegando un
metodo grafico (più avanti nel corso sarà introdotto un metodo analitico).
Se però si
conviene di posizionare tutti i vettori ponendo la coda nell’origine del sistema di riferimento
basta solo la coppia di numeri data dalle coordinate della punta.
A
xp
yp
A (xp , yp)
xc xp
yc
yp
xc
yc
yp
xp c c
yp
xp B
Per comprendere a livello intuitivo il metodo grafico si prenderanno in esame situazioni in cui
come vettori di riferimento son scelti gli spostamenti .
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Sia assegnato un sistema di assi cartesiani ortogonali rispetto al quale sono rappresentati tre
posizioni successive assunte da un corpo passando dapprima dalla posizione A alla posizione
B e successivamente dalla posizione B alla posizione C secondo un generico percorso
indicato dalla linea tratteggiata di colore fucsia .
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Grandezze vettoriali:
Addizione di vettori
y
x
A
B
C
Indicando con s1 = AB lo spostamento nel passaggio dal punto A al punto B e con s2 = BC
quello nel passaggio tra il punto B ed il punto C,
Esso rappresenta la somma degli spostamenti
parziali e si scriverà pertanto: s = s1+ s2 .
s1
s2
s
addizione di spostamenti
Si osservi che il vettore s è un segmento
orientato con la coda coincidente con quella di s1 e la punta coincidente con quella di s2 ,
mentre s1 e s2 sono consecutivi (la punta del primo coincide con la coda del secondo).
• I vettori addendi dovranno essere consecutivi
(metodo punta-coda).
lo spostamento complessivo nel passaggio
tra il punto A ed il punto C sarà s = AC.
Questa è la caratteristica fondamentale
dell’operazione di addizione col metodo grafico che
dovrà essere osservata per qualsiasi tipo di vettori:
• Il vettore risultante avrà la coda coincidente con la
coda del primo vettore addendo e la punta
coincidente con la punta del secondo vettore
addendo.
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Grandezze vettoriali:
Addizione di vettori : metodo punta coda
A
fig. a
B
fig. b
L’addizione tra vettori gode quindi della proprietà commutativa: C = A B + = B A +
A
B
C A
C
La figura b ci mostra che il vettore C può essere ugualmente ottenuto traslando il vettore A,
rendendolo consecutivo al vettore B e congiungendo la coda di B con la punta di A
Dati due vettori , con le code coincidenti con l’origine di un piano cartesiano,
il vettore somma si costruisce come indicato nella figura a:
A (xA,yA) B (xB,yB)
C (xC,yC) = A (xA,yA) B (xB,yB) +
si sposta parallelemente a se stesso il vettore B sino a renderlo consecutivo al vettore A , il
risultato C è il vettore con la coda coincidente con quella di A e la punta coincidente con quella
di B .
B
C = A B + = C B A +
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Grandezze vettoriali:
Addizione di vettori : metodo del parallelogramma
A
fig. c
B
fig. d
B
Il metodo precedente ci suggerisce che il vettore può essere ricavato con
una costruzione grafica alternativa senza spostare uno dei due vettori addendi. C = A B + = B A +
A
B
C C
Dalla figura c dove sono sovrapposte le due costruzioni viste nelle figg. a e b si nota che il
vettore C può essere ugualmente ottenuto costruendo il parallelogramma di lati A e B , in
questo caso il vettore somma C è dato dal segmento orientato che va dal vertice individuato
dalle code dei due addendi al vertice opposto (diagonale principale ).
A
Questo nuova procedura, riportata nella figura d , è detta metodo del parallelogramma .
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Dalla figura f si deduce che due vettori opposti
in un piano cartesiano hanno le coordinate della punta opposte.
Nella figure in basso sono riportati vettori opposti rispettivamente in un foglio senza riferimenti
ed in un foglio millimetrato con assi cartesiani.
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Grandezze vettoriali:
Vettore opposto di un vettore assegnato
fig. f
A
B
Si ha la seguente
definizione
B
B
Dato un vettore A , dicesi opposto del vettore A il vettore B = - A che ha la stessa intensità di
A, la stessa direzione di A e verso opposto ad A
fig. e = B A ־ = B A ־
Pertanto il vettore opposto del vettore A(x,y) è il vettore B(−x, −y )
A
yp = −yp
yp
xp
xp = −yp
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La proprietà geometrica corrisponde quindi perfettamente a quella
algebrica ; si ha cioè :
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Grandezze vettoriali:
Sottrazione tra vettori
fig. h
A
B
Dalle figure in basso si evince che il vettore C si ottiene anche dalla somma del vettore A con
l’opposto del vettore B .
fig. g
Anche per i vettori la sottrazione è definita in termini di operazione inversa dell’addizione, si ha
infatti la seguente
definizione
Dati due vettori A , B dicesi differenza tra il vettore A ed il vettore B il vettore C = A - B tale
che sommato al vettore B, da come risultato il vettore A ; in simboli : C = A - B ⇔ A = B + C
C = A B −
A
= A (− ) + B
D B = −
D B = −
C
C = A B − = A B (− ) +
C
C = A B − C = A B − = A B (− ) + = A (− ) + B
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Grandezze vettoriali:
Sottrazione tra vettori
fig. l
Le due operazioni danno come risultato i vettori C e D che differiscono per il loro verso.
Anche per la sottrazione tra vettori non vale la proprietà commutativa, si ha cioè:
fig. i C = A B − = A B (− ) +
A − B ≠ B − A
Infatti ( vedi le figure ) si ha : e C = A B − = A B (− ) + D = B − = A + A B (− )
D = B − = A + A B (− )
Da notare che pur con versi opposti i due vettori hanno la stessa direzione e la stessa
intensità e vengono determinati dalla diagonale secondaria (punta-punta) del parallelogramma
costruito sui vettori A e B.
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Grandezze vettoriali:
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Necessita talvolta eseguire la moltiplicazione di un vettore per una grandezza scalare . A tale
scopo si da la seguente definizione :
definizione
fig. m
Dato un vettore A ed un numero reale , il prodotto del numero per il vettore A è un vettore B
tale che: |B| = ||·|A|, la sua direzione coincide con quella quella di A ed il suo verso è
concorde con quello di A se > 0 ed opposto a quello di A se < 0 ( per = 0 si ottiene il
vettore nullo 0 ).
B A = > 0 fig. n B A = < 0
1 > > 0
> 1
-1 < < 0
< -1
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I vettori ed sono detti i componenti di A rispettivamente
lungo r e lungo s. Ar As
Nel caso in cui le direzioni assegnate siano quelle degli assi coordinati di un
piano cartesiano la situazione sarà quella della figura q e si avrà :
quindi a partire dalla punta di A si tracciano le rette parallele ad r’ ed s’ le
quali intersecano rispettivamente le rette s’ ed r’ in due punti che determinano i vettori As ed Ar,
che essendo lati di un parallelogramma la cui diagonale è il vettore A soddisfano alla
condizione richiesta: .
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Grandezze vettoriali:
Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate
fig. q
A
fig. p
È sempre possibile scomporre in modo univoco un vettore secondo due direzioni assegnate,
trovare cioè due vettori, aventi direzioni fissate tali che la loro somma sia il vettore iniziale.
As
r
s’
r’
Ar
s
A = Ar + As
Con riferimento alla figura p, dato il vettore A e volendo scomporlo secondo le direzioni r, s con
riga e squadra si tracciano le rette r’, s’ parallele rispettivamente ad r ed s e passanti per la
coda del vettore A ;
A = Ar + As
A = Ax + Ay
Ax
Ay
A = Ax + Ay
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e per quanto visto nella pagina precedente si potrà quindi scrivere:
, dove con Ax ed Ay si sono indicate le coordinate xA e yA della punta del
vettore A
Dalla definizione del prodotto di uno scalare per un vettore, dati due vettori i, j di intensità
unitaria e direzioni e versi coincidenti rispettivamente con quelli degli assi coordinati x, y si ha :
mentre i e j sono detti rispettivamente versore
dell’asse x e versore dell’asse y.
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Grandezze vettoriali:
Scomposizione di un vettore secondo gli assi coordinati
fig. r A = Ax + Ay
Ax
Ay
xA
yA
A = Ax + i Ay j
i = Ax ; Ax j Ay Ay = 1
La 1) è detta rappresentazione cartesiana del vettore A ed Ax , Ay sono le componenti del
vettore A rispettivamente lungo x e lungo y ,
= Ax + i Ay j
i
j
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Grandezze vettoriali:
Addizione di due vettori con metodo algebrico
fig. s
Si deduce nel seguito un metodo algebrico per eseguire l’addizione di due vettori di cui sia nota
la rappresentazione.
C = A + B
Bx
By
xB
yB
Ay
Ax xA
yA
xC
Cy
O
H
Y
H’
Y’
O’
A tale scopo, assegnati i vettori B = Bx + i By j A = Ax + i Ay j e (vedi fig.s),
si ricavi con metodo grafico il vettore somma ( p.e. con il metodo punta-coda
traslando il vettore B ).
C = A + B
xC = xA +O’H’= xA + OH = xA + xB ; yC = yA +H’Y’= yA + HY = yA + yB .
yC
Ed essendo per le definizioni precedenti : xc = Cx ; yC = Cy; xA = Ax ; yA = Ay; xB = Bx; yB = By .
Si ha : Cx = Ax + Bx ; Cy = Ay + By ;
Da cui segue infine :
C = Cx + i Cy j = ( Ax + Bx ) + ( Ay + By ) ; i j
Si può quindi concludere che:
Le componenti del vettore somma di due
vettori assegnati in forma cartesiana sono
date dalla somma delle rispettive
componenti dei vettori addendi .
Dalla costruzione grafica effettuata, essendo i due triangoli OHY e O’H’Y’ congruenti, ne
consegue che per le coordinate della punta di C valgono le seguenti relazioni :
Cx
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Grandezze vettoriali:
Sottrazione di due vettori con metodo algebrico
fig. t
xB
yB
yA
O
H
H’
O’
yC
Le componenti del vettore differenza di due vettori assegnati in forma cartesiana sono date
dalla differenza delle rispettive componenti dei vettore minuendo e del vettore sottraendo .
= A B (− ) +
Dalla relazione e dal metodo per eseguire l’addizione ,visto prima, si deduce
immediatamente il metodo algebrico per eseguire la sottrazione di due vettori di cui sia nota la
rappresentazione cartesiana. Si ha infatti dati due vettori A , B (vedi anche la figura t):
A B − = A B (− ) +
= (Ax − Bx) + (Ay − By) i j C = A B − = Cx + i Cy j [ Ax + (−Bx )] + [( Ay +(− By )] ; j i =
Si può quindi concludere che:
xA
−xB
Y
Y’
xC
−yB
C
C = A − B
C
Si osservi, come visto in precedenza con il
metodo grafico, che:
• il vettore differenza coincide per direzione
ed intensità con la diagonale secondaria
del parallelogramma costruito sui vettori A
e B .
A − B A − B
• non vale la proprietà commutativa
essendo opposti i vettori e .
D = − C
D = B − A