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Artefatti intelligenti
Questo è intelligente!
Ma è difficile: ha una componente di convenzionalità molto impegnativa(valore posizionale)
Artefatti intelligenti
Questo è intelligente!
Ma è difficile: non si presta a esercizi veloci di conteggio oltre il 9
Artefatti intelligentiprima dell’abaco
Dall’inizio della scuola primaria
Dall’inizio della scuola primariaalla secondaria di primo grado
Il libroPARTE 1 – L’insegnamento-apprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina
1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti
2. La Cina
3. Approfondimenti
PARTE 2 – Rappresentazione dei numeri, addizione e sottrazione con le cannucce.
4. Introduzione all’artefatto
5. Guida alle attività per l’insegnante
6. Materiali operativi per l’alunno (87 schede)
PARTE 3 – Problemi con variazione
7. Introduzione all’artefatto
8. Guida alle attività per l’insegnante
9. Materiali operativi per l’alunno (43 schede)
I temi
PROCESSI
•Contare•Rappresentare i numeri (notazione posizionale)
•Risolvere problemi aritmetici
•Avviare al pensiero algebrico
I temi
ARTEFATTI
• Cannucce (non solo)
•Problemi con variazione
•Schemi
•Equazioni figurali
PROCESSI
•Contare•Rappresentare i numeri (notazione posizionale)
•Risolvere problemi aritmetici
•Avviare al pensiero algebrico
I temi
PROCESSI
•Contare•Rappresentare i numeri (notazione posizionale)
•Risolvere problemi aritmetici
•Avviare al pensiero algebrico
PROVE INVALSI di II e
V primaria
Risultato importante della
ricerca internazionale
Il libroPARTE 1 – L’insegnamento-apprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina
1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti
2. La Cina
3. Approfondimenti
PARTE 2 – Rappresentazione dei numeri, addizione e sottrazione con le cannucce.
4. Introduzione all’artefatto
5. Guida alle attività per l’insegnante
6. Materiali operativi per l’alunno (87 schede)
PARTE 3 – Problemi con variazione
7. Introduzione all’artefatto
8. Guida alle attività per l’insegnante
9. Materiali operativi per l’alunno (43 schede)
Perché questi temi: INVALSI(e Indicazioni)
AMBITO PREVALENTENumeriSCOPO DELLA DOMANDAVerificare il possesso di strategie di conteggio.PROCESSO PREVALENTEConoscere e utilizzare algoritmi e procedure.Indicazioni nazionaliContare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre, … RISULTATI DEL CAMPIONEMancata risposta: 1,3Errata: 42,6 Corretta: 56,1
problema
Valore posizionale
36 -28=8..
con il “prestito” di una decina
36 – 28? Slego un fascetto e prendo i
bastonciniche mi servono
cultura
bambino
problema
Valore posizionale
36 -28=8..
con il “prestito” di una decina
36 – 28?
cultura
bambino
Legare
slegare
ComporreScomporre
problema
Valore posizionale
C’è un potenziale semiotico nelle cannucce
il doppio legame tra
una consegna (alla portata dei bambini)
e
quel particolare elemento del sapere da insegnare
problema
Valore posizionale cultura
bambino
Segni, testi situati
Segni, testi matematici
Dove agisce l’insegnante?
Modello delle scatole trasparenti
48Scuola estiva 2013 - seconde
Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è?
Modello delle scatole trasparenti
49Scuola estiva 2013 - seconde
Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è?
Modello delle scatole trasparenti
51Scuola estiva 2013 - seconde
Lego i fascetti che posso e li metto
nella scatola
Artefatti intelligentiprima dell’abaco
Dall’inizio della scuola primariaalla secondaria di primo grado
Nota storica: la pascalina
…. invenzione che consente di eseguire ogni genere di operazione aritmetica, in modo nuovo e comodo …..Questa macchina semplifica ed elimina nelle sue operazioni tutto quanto è superfluo, il più incompetente troverà tanti vantaggi quanto il più esperto. Senza trattenere o prendere a prestito nulla, la macchina fa da sola quanto l’operatore desidera, senza che lui se ne debba in alcun modo preoccupare.
(B. Pascal, 1645)
Nota storica: la pascalina
Klein (1924) così commenta il senso delle macchine da calcolo ed in particolare della Brunsviga.
Nota storica: la pascalina
Mi sia permesso riassumere osservando che il principio teorico della macchina è molto elementare e rappresenta semplicemente una realizzazione tecnica delle regole che si usano sempre nel calcolo numerico […].
(Felix Klein)
Nota storica: la pascalina
Nell’esistenza di una tale macchina vediamo una incontestabile conferma che solo le regole dell’operazione, e non il significato dei numeri, sono importanti nel calcolo; perché la macchina può seguire solo queste; è costruita per fare esattamente questo; non potrebbe cogliere intuitivamente il significato dei numeri.
(Felix Klein)
Nota storica: la pascalina
Non riterremo dunque accidentale che un uomo come Leibniz, pensatore astratto di primo livello, e uomo di grande talento pratico, sia stato, al tempo stesso, sia il padre della pura matematica formale che l’inventore di una macchina calcolatrice.
(Felix Klein)
Analisi del potenziale semiotico
Alcuni significati matematici:
Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci.
Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci.
Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.
Analisi del potenziale semiotico
Alcuni significati matematici:
Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci.
Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci.
Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.
Rappresentazionepolinomiale dei
numeri.Collegamento tra aspetti semantici
e sintattici
Conta usando la pascalina
Prima elementare: Mara Boni
Conta usando la pascalina
Prima elementare: Mara Boni
Rappresentazionepolinomiale dei
numeri.Collegamento tra aspetti semantici
e sintattici
La “filastrocca” di Alice
Da zero si va avanti di uno e si fa zero più uno.
Dall’uno si va avanti di uno e si fa uno più uno.
Dal due si va avanti di uno e si fa due più uno.
Dal tre si va avanti di uno e si fa tre più uno.
Dal quattro si va avanti di uno e si fa quattro più uno.
Dal cinque si va avanti di uno e si fa cinque più uno.
Dal sei si va avanti di uno e si fa sei più uno.
Dal sette si va avanti di uno e si fa sette più uno.
Dall’otto si va avanti di uno e si fa otto più uno.
Dal nove si va avanti di uno e si fa nove più uno.
E nell’altra ruota è andato avanti di uno e è arrivato sul numero uno.
INSEGNANTE: Sì e però che numero è questo, Alice? Che numero è lì? Che numero si è formato? Guardatelo.
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La “filastrocca” di Alice
VOCE: Dieci.
INSEGNANTE: Dieci. Abbiamo il dieci. Avete visto? Dopo il nove siamo andati avanti di uno e si è formato il dieci. Sai andare avanti ancora un po’? Dai!
ALICE: Dal dieci si va avanti di uno e si fa dieci più uno e con l’uno si mette un altro uno e diventa undici. Poi vai avanti di uno e diventa ..
INSEGNANTE: Scusate, sempre con la ruotina di destraeh, la ruotina gialla di destra, sempre la ruotina gialla Alice muove. Alice, Marta, sempre sta muovendo la ruota di destra, Alice muove qui, correttamente qui, non lì, Marta, qui. Ecco qui, avete visto?, sempre qui va avanti di uno, vero Alice?
•ALICE
•Dal dodici va avanti di uno e diventa tredici.
•Poi dal tredici si va avanti di uno e diventa quattordici eccetera ..
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La Pascalina
Apre, fino dalla prima elementare, a nuove avventure (addizioni-sottrazioni con numeri fino a 3 cifre; addizioni e sottrazioni per iterazione dell’operatore +1 o -1 e per decomposizione del numero in unità, decine, centinaia, ecc.)
Suggerisce la realizzazione di procedure facilmente automatizzabili
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Per i bambini di livello “alto”che le “inventano” spontaneamente
Per i bambini con difficoltà che le possono imitare
Dentro lo schema
La risposta di Alice, colta al volo dall’insegnante e proposta a tutti come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra
Artefatto (le ruote, andare avanti, girare, i gesti, diventa, l’uno che si mette con un altro uno, diventa …)
Matematica (i numerali nell’ordine standard, l’operatore +1, …..).
Dentro lo schema
La risposta di Alice, colta al volo dall’insegnante e proposta come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra
Aspetti sintattici (la conta realizzata in modo automatico)
Aspetti semantici (il numero degli scatti necessari)
Qualche mese dopo(seconda elementare)
Prova individuale con una pascalina a testa:
Costruisci il numero 23 e spiega con parole e disegni come hai fatto (partendo da zero).
Una nuova consegna (di natura semiotica)
Spiega come hai fatto. Puoi aiutarti con queste parole (o numeri).
Avanti di 1
Rumoretto
Clic clac / zzz / tru tri /tic tac
Vado di 1
Vado avanti di 1
+1
Scatta
Che numero è? Scrivilo in parole.
Restituisce agli allievi e dà valore ai segni da loro prodotti.
In molti protocolli gli allievi disegnano mani, evocando gesti.
Sono segni-artefatto che evocano l’esperienza concreta (situata).
Dovranno essere trasformati in
segni matematici.
Una nuova consegna (di natura semiotica)
Analisi del potenziale semiotico
Alcuni significati matematici:
Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci.
Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci.
Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.
La consegna (individuale)
Scrivi le istruzioni d’uso della Pascalina per l’operazione di addizione
(caso particolare suggerito:
28 + 14)
Due protocolli
Christian: Ho scritto il primo addendo, 28, poi ho aggiunto il secondo, ruotando in senso orario la rotella delle unità quattro volte e la rotella delle decine una sola volta. Il risultato è 42. Orlando: Ho scritto il numero 28, poi ho girato in senso orario 14 volte la ruota in basso a destra, quella delle unità. Il risultato è 42.
Una nuova consegna
Guarda che cosa hanno scritto Christian e Orlando per calcolare sulla pascalina:
28 + 14
Prova a scrivere le espressioni matematiche che rappresentano i due diversi procedimenti.
Una nuova consegna
Guarda che cosa hanno scritto Christian e Orlando per calcolare sulla pascalina:
28 + 14
Prova a scrivere le espressioni matematiche che rappresentano i due diversi procedimenti.
Globalmente
• Usano solo i segni matematici (7/23)• Usano segni matematici e linguaggio iconico
(2/23)• Usano segni matematici e linguaggio verbale
(10/23)• Usano segni matematici, linguaggio verbale e
linguaggio iconico (4/23)
Solo segni matematici (M. Y. N.)
Christian
= (20 + 10) + (4 + 8) =
= 30 + 12 =
= 42
Orlando
= (20 + 8) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =
= 20 + (8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =
= 20 + 22 =
= 42
Segni matematici e linguaggio verbale
Le due operazioni sono le stesse, solo che cambia come le svolgono.
Christian: 28 + 1 da + 4 u = 42
Orlando: 28 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 42
(L. F.)
Analisi del potenziale semiotico
Alcuni significati matematici:
Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci.
Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci.
Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.
Potenzialità della pascalina(esempio di macchina matematica)
È un artefatto polisemico.
L’introduzione in classe non determina in modo automatico il modo in cui è usato e concettualizzato dagli allievi.
Crea – potenzialmente - le condizioni per generare la produzione di voci diverse (la polifonia di Bachtin) per una discussione matematica.
99
Le prime consegne
Disegna e descrivi come è fatta la Pascalina senza farla girare.
Descrivi come funziona.
Le prime consegne
Descrivi come funziona.
“Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle”
Problemi autoposti
Come fare per far muovere tutte e cinque le ruote insieme?
“ Con qualsiasi numero che finisce per 00 facendo un clic dell’ultima ruota a destra in senso antiorario si muovono tutte e cinque le ruote”
“ Con tutti i numeri che finiscono per 99, facendo un clic dell’ultima ruota a destra in senso orario si muovono tutte e cinque le ruote”
Altri problemi
• Eseguire una moltiplicazione• Eseguire una divisione• Eseguire un’addizione girando la ruota delle
unità solo in verso orario• Eseguire un’addizione minimizzando il numero
degli scatti (dei passi): es. 15 + 19• Eseguire una sottrazione mnimizzando il
numero degli scatti (dei passi): es. 17 – 9• Congetturare che cosa può avvenire
eseguendo l’addizione 998 + 5; eseguire ed interpretare il risultato
Altri riferimenti storici
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Informazioni/Antologia/Pascal.htm
Alcuni riferimenti
Tesi di dottorato di Rossella Garuti:
http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-progetto/tesi-di-dottorato-sul-progetto-regionale.html
Volume del progetto Regionale:
http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-progetto/libro-progetto-regionale/documento16016366.html