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Costruzione di InterfacceLezione 5
Trasformazioni Affini
cignoni@iei.pi.cnr.ithttp://vcg.iei.pi.cnr.it/~cignoni
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 2
Cambi di Sistemi di riferimento
Il primo step della pipeline di rendering è quello di trasformare la scena nel sistema di riferimento della camera
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 3
Object Frame
Perché ogni oggetto ha il suo sistema di riferimento?
Uso Multiplo di uno stesso oggettoPosizione parametrica
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 4
Coordinate Omogenee
Si dice che un punto P è rappresentato dalla matrice colonna p
E un vettore w è rappresentato dalla matrice colonna a
=
13
2
1
ααα
p
=
03
2
1
δδδ
a
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 5
Trasformazioni Affini
Notare che se u è un vettore solo 9 elementi di A sono usati nella trasformazione
La quarta colonna corrisponde alla quarta riga della matrice di cambiamento di frame, che conteneva il nuovo punto di origine del frame (che chiaramente non serve se si parla di vettori)
=
010003
2
1
34333231
24232221
14131211
γγγ
αααααααααααα
Au
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Traslazione
modifica i punti di un frame sommando a tutti i punti un vettore di spostamento d
dPP +=′
dpp' +=
2
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 7
Traslazione
=
′′′
=′
=
011z
y
x
dzyx
zyx
ααα
ppdpp' +=
==′
1000100010001
z
y
x
ααα
TTpp
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 8
Traslazione
=
1000100010001
),,(z
y
x
zyx ααα
αααT
−−−
−−−=−
1000100010001
),,(),,(1z
y
x
zyxzyx ααα
αααααα TT
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 9
Rotazione
Di una rotazione si deve specificare angolo, asse punto di applicazione
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 10
Rotazione
Caso semplice asse z, intorno all’origine, di un angolo θPossiamo considerare il problema in 2d
)sin()cos(
sincos
θφρθφρ
φρφρ
+=′+=′
==
yxyx
θρ
(x’,y’)
(x,y)
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 11
Rotazione
θθθφρθφρθθθφρθφρ
φρφρ
cossincossinsincossincossinsincoscos
sincos
yxyyxx
yx
+=+=′−=−=′
==
−=
′′
yx
yx
θθθθ
cossinsincos
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 12
Rotazione
−
=
1000010000cossin00sincos
)(θθθθ
θzR
+−
=
=
1
cossinsincos
1
)(
1'''
zyxyx
zyx
zyx
z
θθθθ
θR
3
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 13
Rotazioni
−=
10000cos0sin00100sin0cos
)(θθ
θθ
θYR
−
=
10000cossin00sincos00001
)(θθθθ
θXR
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 14
Rotazione inversa
Le matrici di rotazione viste finora sono invertibili facilmente.
Quindi basta trasporre…
)()(
)cos()cos()sin()sin()()(
1
1
θθ
θθθθθθ
TRR
RR
=
=−−=−
−=
−
−
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Rotazioni
Finora abbiamo visto solo rotazioni intorno all’origine e lungo gli assi.Una rotazione arbitraria si ottiene componendo piu’ rotazioni e traslazioni
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 16
Scalatura
Non rigidaNon uniforme lungo gli assiSolo centrata all’origine
=
=′
=′=′
1000000000000
),,(z
y
x
zyx
z
y
x
zzyyxx
ββ
β
βββ
β
ββ
T
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Composizione di Trasformazioni
Le trasformazioni sono matriciL’applicazione di trasformazione è la moltiplicazione di una matrice per un vettore.L’applicazione di una sequenza di trasformazioni ad un punto corrisponde ad una sequenza di moltiplicazioni di di matrici per vettoriAssociatività CBApq =
( )( )( )ApBCq =
( )pCBAq =
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Composizione di trasformazioni
Conviene se si deve trasformare un solo punto
Conviene se si deve trasformare molti punti
( )( )( )ApBCq =
( )pCBAq =
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Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 19
Composizione di Trasformazioni
La moltiplicazione tra matrici NON è commutativaQuindi l’ordine delle trasformazioni È importante
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 20
Composizione di Trasformazioni
RTpq =
x
y
TRpq =
x
y
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Rotazione intorno ad un punto
Si ottiene spostando tutto il sistema di riferimento nel punto, facendo la rotazione e rimettendo tutto a posto
T(-p)T(p)RRp 0=
x
y
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Rotazione intorno ad un asse
L’idea e’ quella di fare :due rotazioni che portino l’asse di rotazione specificato a coincidere con l’asse z,la rotazione lungo quell’asse di quanto specificatorimettere tutto a posto
trovare non è semplice…
)()()()()( xxyyzzyyxx θθθθθ RRRRRR −−=
xy θθ
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Shearing
Sarebbe derivabile dalle altre…Lo spostamento e’ proporzionale alla coord y;
=
=′=′
+=′
10000100001000cot1
)(
cot
θ
θ
θ
xyH
zzyyyxx
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OpenGL
Nello Stato di OpenGL ci sono tre matrici 4x4 di trasformazioni
ModelViewProjectTexture
Una di queste e’ sempre la matrice correnteTutte i comandi che modificano matrici fanno sempre riferimento alla matrice corrente
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Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 25
Opengl
Per cambiare matrice CorrenteglMatrixMode( *** )
GL_MODELVIEWGL_PROJECTIONGL_TEXTURE
Per rimpiazzare la matriceglLoadIdentity()glLoadMatrix(Pointer to a matrix);
Tutti gli altri comandi modificano (moltiplicano per un altra matrice) la matrice corrente.
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OpenGl
Leggere una matriceglGetDoublev(GL_MODELVIEW_MATRIX,pointer_to_matrix)Nota: nello scambio diretto di matrici OpenGL assume che siano memorizzate in column major order (e.g. per colonne)
151173
141062
13951
12840
aaaaaaaaaaaaaaaa
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OpenGL
RotazioniglRotatef(angle, ax,ay,az);
TraslazioniglTranslatef(dx,dy,dz);
ScalatureglScalef(sx,sy,sz)
GenericaglMultMatrix(matrix_pointer)
in gradi!
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 28
Composizione di Matrici in Opengl
I comandi opengl postmoltiplicano la matrice corrente per quella specificata
x
y
x
y
RTpq =TRpq =
IglRotate RglTranslate RT
Stato della matricecorrente dopo il
comando a sinistra
IglTranslate TglRotate TR
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Stack di matrici
La matrice corrente puo’ essere salvata in uno stack e recuperata successivamenteglPushMatrix()glPopMatrix()
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Stack di Matrici
Il Matrix Stack e’ particolarmente utile quando si disegnano scene strutturate// Whole car transformation// eg position of the car on the roadglTranslate(CarPos)glRotate(CarDirection,0,1,0)For(i=0;i<4;++i)
{glPushMatrix();// relative single wheel positionglTranslate(wheelpos[i]);DrawWheel(i);glPopMatrix();
}
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Composizione di Matrici in Opengl
I comandi opengl postmoltiplicano la matrice corrente per quella specificata
x
y
x
y
RTpq = TRpq =I
glScale SglTranslate ST
Stato della matricecorrente dopo il
comando a sinistra
IglTranslate TglScale TS
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Trasformazioni
Due trasformazioni vengono applicate ai vertici della geometria che voglio disegnare
Trasformazione di ModellazionePorta la geometria nel sistema di riferimento standard della camera
Proiezione di vistaProietta la geometria dal sistema di riferimento della camera sul piano di proiezione.
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Elementi di base
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Prospettiva Classica
Il problema è quello classico, da sempre affrontato, nell’arte, in architettura e della progettazione, di riuscire a riportare su di un piano, in maniera rigorosa un oggetto tridimensionale.
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Proiezioni ortografiche classiche
L’oggetto ha una struttura regolare, ben assimilabile ad un parallelepipedo;Proietto sui lati del box.
Centro di proiezione, all’infinito, proiettori paralleli e perpendicolari al piano di proiezione Piano di proiezione perpendicolare agli assi del sistema di riferimento
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Proiezioni Assonometriche
Piani di proiezione in posizione non vincolata:
Centro di proiezione, all’infinito, proiettori paralleli e perpendicolari al piano di proiezione Piano di proiezione:
Simmetrico ai 3 assi (isometrica)Simmetrico rispetto a 2 assi (dimetrico)Posizione qualsiasi (trimetrica)
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Proiezioni Oblique
Proiettori paralleli ma non perpendicolari al piano di proiezione
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Ortografica
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Proiezioni prospettiche
Caratteristica principale: diminuzione della dimensione apparente degli oggetti all’aumentare della distanza dall COP.I proiettori passano tutti per il COP
Caso ClassicoIl centro di proiezione simmetrico rispetto alla finestra nel piano di proiezione
Caso generico, COP svincolato dal piano di proiezione
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Prospettiva classica
Al solito nella visione tradizionale del disegno tecnico si è soliti distinguere vari tipi di proiezione prospettica, indicando il numero di punti all’infinito (vanishing points);
a) three vanishing pointsb) two vanishing pointsc) one vanishing points
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Prospettiva Classica
In realtà questi, come nel caso ortogonali sono solo vincoli sul piazzamento del piano di proiezione
One point Persp: Piano di proiezione parallelo ad uno dei piani del sistema di riferimentoTwo point Persp: Piano di proiezione perpendicolare ad uno dei piani del sistema di riferimentoThree Point Persp: Piano di proiezione Libero
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Camera Frame
Si assume che la camera sia piazzata con il centro di proiezione sull’origine e diretta verso l’asse z negativo.È compito della matrice di Modellazione portare gli oggetti in questo frame.Questo sistema di riferimento è detto camera frame, o eye frame
x
y
z
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Sistemi di coordinate in OpenGL
Object: la ruota con l’origine nel centro.
World: la ruota piazzata nel sistema di riferimento del mondo (e.g. quello classico con y = alto del mondo, ecc,). Cambia quando si muove la macchina
Eye:Il sistema di riferimento in cui l’origine e’ il centro di proiezione, la z è la direzione di vista ecc.Cambia quando muovo l’osservatore.
ClipNormalized deviceWindow
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Sistema di riferimento della Camera
Come si specifica il sistema di riferimento della camera?
Matrice di trasformazione che fa parte delle matrici di modellazionePassa dalle coordinate di mondo alle coordinate di occhio
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 45
Piazzare la camera
−=
1000100
00100001
dT
?
Caso semplice,Voglio piazzare la camera in modo che inquadri oggetti centrati sull’origine (del sistema di riferimento mondo), guardando lungo la z negativa (come di default) E` solo una traslazione sull’asse z:
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 46
Piazzare la camera
Caso GeneraleDefinire una camera significa definire una proiezione (prospettica)
La camera (il centro di proiezione) è centrata in un punto detto VRP (view Reference Point)Il Piano di proiezione è perpendicolare ad un vettore VPN (view plane normal)
Del piano e’ necessario specificare anche l’orientamento, quindi
Si specifica VUP (view up vector)
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 47
Piazzare la camera
La trasformazione non e’ altro che un cambio di sistemi di riferimento.Basta definire gli assi e l’origine del un sistema di riferimento in termini dell’altro.Noi abbiamo la posizione della camera nel sistema di riferimento worldDobbiamo ancora esprimere gli assi del sistema di riferimento camera in sr World.
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 48
Camera axis in world space
Uno alla volta.L’asse z della camera e’ semplicemnte la direzione di proiezione, cioe’ la normale al piano di proiezioneL’asse x della camera deve essere perpendicolare al vettore up e all’asse z appena trovato
L’asse y e’ semplicemente il prodotto vettore tra gli altri due assi che ho trovato (attenti al segno)
zupx ×=
xzy ×=
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Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 49
Cambio di Frame
Dati due sistemi diriferimento.
Esprimiamo uno in termini dell’altro:
Questo definisce la matrice 4x4 di cambiamento di frame
{ } { }03210321 ,,,,,, QuuuPvvv
03432421410
3332321313
3232221212
3132121111
PvvvQvvvuvvvuvvvu
+++=++=++=++=
γγγγγγγγγγγγ
=
1000
434241
333231
232221
131211
γγγγγγγγγγγγ
M
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 50
Cambio di Frame
La matrice di cambiamento di frame
Date le due rappresentazioni a,b in coordinate omogenee in differenti frame (sia di un vettore che di un punto), vale:
=
0
3
2
1
0
3
2
1
Pvvv
Quuu
M
bMaabb TTTT
Pvvv
Pvvv
M
Quuu
=⇒
=
=
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 51
Noi abbiamoCamera e suoi parametri in coordinate di mondo.Vogliamo trovare la trasf M che prenda la rappresentazione di un punto pw in coordinate omogenee spazio di mondo e ne dia la sua rappresentazione in coordinate di camera pe.
we Mpp =
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 52
Eye to World
Esprimo il sistema di riferimento della camera in termini dello spazio di mondo
ew Mpp = { } { }0,,,,,, 0 zyxPnvu
=
+++=
++=
++=
++=
100000
zzzz
yyyy
xxxx
zyx
zyx
zyx
zyx
pnvupnvupnvu
zpypxpPznynxnnzvyvxvvzuyuxuu
M
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 53
World to eye
A noi serve la matrice inversa:da world a eye
Per invertirla si nota che la possiamo scrivere come un prodotto tra Rot e Tras
==
=
1000000
1000100010001
1000zzz
yyy
xyx
z
y
x
zzzz
yyyy
xxxx
nvunvunvu
ppp
pnvupnvupnvu
TRM
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 54
World to Eye
Invertire Traslazioni e rotazioni è facile…
( ) =
−−−
=== −−−−
1000100010001
1000000
1111
z
y
x
zyx
zyx
zyx
ppp
nnnvvvuuu
TRTRM
−−−−−−−−−
1000zzyyxxzyx
zzyyxxzyx
zzyyxxzyx
npnpnpnnnvpvpvpvvvupupupuuu
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In opengl
Grazie al cielo in opengl tutto ciò è ben semplicegluLookAt( eyex, eyex, eyex,
atx,aty,atz, upx,upy,upz);
Definisce la trasformazione che porta dallo spazio di mondo allo spazio di eye;NOTA bene la gluLookAt va nella ModelView Matrix
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 56
Matrici di Proiezione Prospettica
Assunto che siamo nel sistema di riferimento della camera con il centro di proiezione nell’origine, e il piano di proiezione a distanza d lungo l’asse -zVogliamo trovare la proiezionesul piano di proiezione di un punto ),,( zyx
),,( ppp zyx
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 57
Proiezione Prospettica
Si ottiene che:
Nota che questa trasformazione non è lineare, né affine, né reversibile.
dzyy
dzxx
dx
zx
pp
p
//==
=
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Coordinate Omogenee
Estendiamo la nostra def di coordinate omogenee dicendo che un punto p può essere rappresentato come
Un punto in 3D corrisponde ad una linea in 4d.Posso Sempre recuperare la forma con 1 come quarto elementoPosso fare matrici che modificano il quarto elemento.
0con ≠
= w
wwzwywx
p
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 59
Coordinate Omogenee
In particolare possiamo definire la matrice
Che effettua la trasformazione prospettica, purchè si normalizzi dividendo per la quarta componente
≈
==
=
=
1
/
/
/10/100010000100001
ddzydzx
dzzyx
zyx
d
MpqpM
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Proiezione prospettica in opengl
Finora abbiamo definito solo l’operazione di proiezione. Per definire una camera dobbiamo anche definire il view volume
Angle of viewNear and far clipping planes
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Proiezione prospettica in opengl
glFrustum(xmin,xmax,ymin,ymax,near,far);gluPerspective(fov,aspect,near,far)
-far
-near
-near
-far
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 62
Proiezioni Ortogonali
Caso particolare di proiezione parallela in cui le linee di proiezione sono perpendicolari al view planeLa proiezione è semplicemente
0=== ppp zyyxx
=
10000000000100001
1zyx
zyx
p
p
p
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 63
Proiezioni Ortogonali in OpenGL
glOrtho(xmin,xmax,ymin,ymax,near,far);I clipping planes sono a z= -near e z=-far
-far
-near
-near
-far
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 64
Hidden Surface Removal
Si deve disegnare sul frame buffer solo quelle porzioni di primitive che sono davanti a tutte le altre; esistono numerosi algoritmiTecnica Zbuffer, per ogni pixel dello schermo memorizzo la minima distanza dal centro di proiezione disegnata in quel pixel. Quando rasterizzo, disegno (e aggiorno lo zbuffer, solo se davanti.
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 65
Window e Device coords
In Opengl si distingue tra Normalized Device (screen) Coords
Sono 3d e mantengono la depth
Window CoordSono 2d.
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 66
Normalized Device Coord
In Opengl Perspective Transf + division Convertono a Normalized Device CoordLa geometria è quindi clippata sul Canonical View Volume
111
±=±=±=
zyx
12
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 67
Mapping the view volume
Sul Canonical view Volume, In questo caso la proiezione ortografica diventa
(1,1,-1)
(-1,-1,1)
−+
−−
−
−+
−−
−+
−−
000
200
020
002
minmax
minmax
minmax
minmax
minmax
minmax
nearfarnearfar
nearfar
yyyy
yy
xxxx
xx
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 68
Esempio tipico
Un app carica/genera un oggetto in un suo sistema di riferimento e lo vuole far vedere.
Calcolare il bbox dell’oggetto.Spostare l’oggetto nell’origineScalare l’oggetto fino alla dimensione desiderata che sia compatibile con le dim del mio volume di vistatraslare l’oggetto nel volume di vista
Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni 69
Esempio tipico
L’ordine delle cose deve essere quello giusto
glMatrixMode (GL_PROJECTION);
glLoadIdentity ();
gluPerspective(ViewAngle,1,.1,10);
glMatrixMode (GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity ();
glTranslatef(0,0,-4);
float d = 2.0/m.bbox.Diag();
glScalef(d, d, d);
glTranslate(-m.bbox.Center());
DrawMyObject();