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Cap. VI La diffrazioneCap. VI La diffrazione
1. Il Principio di Huygens
2. Teoria di Frauhofer
3. Potere risolutivo angolare
1. Il principio di Huygens1. Il principio di Huygens
onda piana
fronte d’onda
Introduciamo ora:
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica secondaria in fase con la primaria”
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica secondaria in fase con la primaria”
onda piana
fronte d’onda
Evidenze sperimentaliEvidenze sperimentali
onde sferiche
onde sferiche
la fenditura (foro)la fenditura (foro)
diaframma
la luce non si propaga sempre in linea retta!la luce non si propaga sempre in linea retta!
previsioni dell’ottica geometrica
sorgenti puntiformi
onda piana
fronte d’ondail discoil disco
discoopaco
diffrazionediffrazione
luce al centro del disco d’ombra!
luce al centro del disco d’ombra!
ombrageometrica
diffrazione ai bordidiffrazione ai bordi
diffrazionediffrazione più in generale:
ombrageometrica
luce “oltre” i bordi d’ombra!
luce “oltre” i bordi d’ombra!
ostacolo
diaframma
diffrazionediffrazione
2. teoria qualitativa della diffrazione2. teoria qualitativa della diffrazione
2
D
P
altre frangescure D
mλ
sin schermo
sin2
DSi consideri la prima metà della fenditura
prima frangia scura 2
λ sin
2
D
Le sue estremità daranno:
diaframma
diffrazionediffrazione
teoria della diffrazione di Frauhofer: L >> Dteoria della diffrazione di Frauhofer: L >> D
2
D P
in P:
dxdE a 0
schermo
xdx
A
per il raggio AP:
tdxtdEdE sin a sin 0
2
Dper il raggio da dx:
tdxdE sin a
con:
λ
sin 2
x
quindi in P:
dxx
tdEE
D
D
λ
sin 2 sin a
2
2
L
diffrazione di Frauhoferdiffrazione di Frauhofer diaframma
2
D
2
DP
schermo
xdx
A
dxx
tdEE
D
D
λ
sin 2 sin a
2
2
quindi in P:
)sin( a dxcxb
è un integrale del tipo:
tD
DDtE
sin
λ
sin λ
sin sin
a )(
la cui soluzione è (Mencuccini-Silvestrini):
λ
sin λ
sin sin
a 0
D
DDEcon ampiezza:
L
diffrazione di Frauhoferdiffrazione di Frauhofer diaframma
2
D
2
DP
schermo
xdx
Al’intensità sarà:
222 sin
2
a
Z
DI
λ
sin
D
con:
λ
sin λ
sin sin
a 0
D
DDE
se l'ampiezza è:
D
λ
D
λ 2
D
λ 3
D
λ 2
D
λ 0 sin
I
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
min Im
max tg I risoluzionegrafica ( )
Dm
λ sin min
L
diffrazionediffrazione
diaframma
diffrazionediffrazionela diffrazione di Frauhofer
fenomenologia
la diffrazione di Frauhoferfenomenologia
D
schermo
sin
ottica ondulatoriaottica geometricaIonda piana
L
diffrazione di Frauhoferdiffrazione di Frauhofer diaframma
2
D
2
DP
schermo
xdx
A
222 sin
2
a
Z
DI
λ
sin
Dcon:
si noti il comportamento per:
0 λ D
sin
0.2
0.4
0.6
0.8
I0
λ
D
0.0
D
λ 3
D
λ
D
λ 2
D
λ 3
D
λ
D
λ 2
1.0
λ
2 2sinθ0 D
“larghezza” del massimo centrale( )
Dm
λ sin min
diffrazionediffrazione
diaframma
diffrazionediffrazione
ondapiana
la diffrazione di Frauhoferle dimensione della fenditura
la diffrazione di Frauhoferle dimensione della fenditura
diffrazionediffrazione
diaframma
diffrazionediffrazione
D
P
schermo
λ
sin
D
assumendo:
0.005 sin 200 λ 0 D
mm .10 D
m 0.5 λ
22 4.7 .00750 θ1.5 *θ *sinθ max
'0
II
Per i massimi, si trova che:
L
Intensità
D
λ
D
λ 2
D
λ 2
D
λ
0
la diffrazione di Frauhofer esempio numericola diffrazione di Frauhofer esempio numerico
2
1
y
222 sin
2
a
Z
DI
D
λ sin 0
diffrazionediffrazione
disco opaco
fenditura
diffrazioneai bordi
diffrazionediffrazione
diaframma
diffrazionediffrazione
D
schermo3. potere risolutivo angolare3. potere risolutivo angolare
222 sin
2
a
Z
DI
S1
S2
I
D
λ 2
DR
λ se: le sorgenti sono indistinguibili
potere risolutivo angolare
diffrazionediffrazionediffrazionediffrazione
D
potere risolutivo angolare di uno strumento ottico
potere risolutivo angolare di uno strumento ottico
S1
S2
DR
λ
S2
1
2
DR
λ se: le stelle sono indistinguibili
per due stelle lontane è determinante la separazione angolare:
2
2
diffrazionediffrazionediffrazionediffrazionelimite diffrattivo per la
collimazione di un fascio
limite diffrattivo per la collimazione di un fascio
DR
λ è comunque:
S1
D
è impossibile ottenere un fascio perfettamente collimato come questo:
Esercizio numericoEsercizio numerico
5.1 Una luce violetta di lunghezza d’onda = 415 nm incidendo su una fenditura origina un picco centrale di diffrazione largo 9.2 cm su uno schermo posto a distanza L = 2.25 m. Qual è l’apertura della fenditura?
5.1 Una luce violetta di lunghezza d’onda = 415 nm incidendo su una fenditura origina un picco centrale di diffrazione largo 9.2 cm su uno schermo posto a distanza L = 2.25 m. Qual è l’apertura della fenditura?
Esercizio numericoEsercizio numerico
5.2 In un esperimento di diffrazione alla Fraunhofer mediante fenditura rettangolare di apertura D = 30 m, vengono utilizzate due onde monocromatiche di lunghezza d’onda 1 = 6000 Å e 2 = 5000 Å. Determinare il valore minimo di per cui si ha sovrapposizione di due frange scure.
5.2 In un esperimento di diffrazione alla Fraunhofer mediante fenditura rettangolare di apertura D = 30 m, vengono utilizzate due onde monocromatiche di lunghezza d’onda 1 = 6000 Å e 2 = 5000 Å. Determinare il valore minimo di per cui si ha sovrapposizione di due frange scure.
D
1 2
Esercizio numericoEsercizio numerico
5.3 Si calcoli la minima dimensione che deve avere un cratere sulla luna perché possa essere visibile (“risolto”) con un telescopio il cui obiettivo ha un diametro D = 60 cm, assumendo per la distanza Terra-Luna il valore l = 380.000 km e che la risoluzione sia solo limitata dalla diffrazione.
5.3 Si calcoli la minima dimensione che deve avere un cratere sulla luna perché possa essere visibile (“risolto”) con un telescopio il cui obiettivo ha un diametro D = 60 cm, assumendo per la distanza Terra-Luna il valore l = 380.000 km e che la risoluzione sia solo limitata dalla diffrazione.
D
l