CAPITOLO 1: MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI …...MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI...

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CAPITOLO 1: MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI MATRICI Siano ed due numeri appartenenti ad N . La tabella di numeri reali n m

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

aaaaaaaa

..........................................

......

2232221

1131211

è chiamata matrice. Possiamo abbreviare la notazione scrivendo ( )ijaA = , con ,ℜ∈ija m,...,i 1= e . n,...,j 1=Diremo che questa è una matrice (numero delle righe) per (numero delle colonne) ovvero una matrice

m nnm× . Per esempio la seconda colonna

della matrice è e la quarta riga

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

( )na...aaaa 444434241

(il numero degli elementi di una colonna è uguale al numero delle righe; il numero degli elementi di una riga è uguale al numero delle colonne). Chiameremo la componente della matrice, elemento comune alla riga ed alla

ija esimaij −esimai − esimaj − colonna.

Denoteremo la matrice A anche con e nmA × ( ) nmA × se vogliamo metterene in evidenza le dimensioni . Quando denotiamo una matrice con ( )ija , allora denota la riga ei j la colonna di appartenenza del numero . ija ESEMPIO 1. La seguente è una matrice 32× :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −01

Ha due righe e tre colonne: le righe sono ( )101 − (prima riga)

e ( (seconda riga); le colonne sono (prima colonna),

(seconda colonna) e (terza colonna).

)012 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−01

Le righe di una matrice possono essere viste come delle orizzontali o “vettori riga”, mentre le colonne possono essere viste come delle verticali o “vettori colonna”. Un vettore riga di, dimensione

, è una matrice , mentre un vettore colonna, di dimensione , è una matrice .

nm× uplen −

uplem −n n×1 n

ESEMPIO 2. Per la matrice risultano ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−21

331 =a e . 122 −=a

•un singolo numero può essere visto come la matrice a 11× : ( . )a•sia ( ) nmija

×una matrice. Se nm = (numero delle righe uguale al numero

delle colonne) allora la matrice è detta quadrata. •definiamo matrice nulla quella matrice con tutti gli elementi . La

matrice nulla è la matrice .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

00000000000000000000

La matrice nulla di dimensione nm× sarà denotata nmO × . PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN NUMERO REALE Siano e ℜ∈c ( ) nmijaA

×= una matrice.

Definiamo la matrice la cui cA esimaij − componente è , scriveremo ijca( ) nmijcacA

Scriveremo A− per la matrice ( )A1− : ( ) nmijaA×

= ⇒ ( ) nmijaA×

−=− .

ESEMPIO 3. Siano , ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=21

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

B e 2=c . Allora

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=21

22A ( ) =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

320242

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−42

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

. ( )⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=−=−

SOMMA DI MATRICI Quando sono della stessa dimensione è definita la somma di due matrici. Siano ( ) nmijaA

×= e ( ) nmijbB

×= due matrici con le stesse dimensioni.

Definiamo BA + la matrice ( ) nmijd×

con ijijij bad += , per ogni

m,...,i 1= e . n,...,j 1=

ESEMPIO 4. Siano ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

A e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

Allora . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+

•se è la matrice nulla, di dimensione O nm× , allora abbiamo

AOAAO =+=+ . Inoltre ( ) OAAAA =−=−+ ; la matrice A− è chiamata inversa additiva della matrice A . MATRICE TRASPOSTA Siano ( )

nmijaA×

= e ( )mnijbB

×= due matrici. Fissati { }mi ,...,1∈ e

consideriamone rispettivamente le componenti { nj ,...,1∈ }

Amatrice Bmatrice

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

→−.

......

ijarigai e .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

→−

jibrigaj

↑− colonnaj ↑− colonnai Se le due componenti sono uguali, allora la matrice B è chiamata trasposta della matrice A e denotata TA . Data una matrice si ottiene la trasposta scambiandone le righe con le colonne. Se A è una matrice , allora la sua trasposta,nm× TA , è una matrice la cui prima riga è la prima colonna di

mn×A , la seconda riga è la seconda

colonna di A , etc.. Un caso importante è quello di una matrice quadrata A ( nm = ) per cui

TAA = . Una tale matrice è detta simmetrica.

ESEMPIO 5. •se , allora . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=21

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Notiamo che ( ) =TTA =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

A=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−21

•se , allora ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

101013131

A⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

101013131

TA e TAA = .

NOTA 1.•se A e B sono matrici della stessa dimensione, allora

. ( ) TTT BABA +=+

•( ) AATT = .

PRODOTTO DI MATRICI Siano ( ) nmijaA

×= e ( )

pnjkbB×

= due matrici con il numero delle colonne

della prima uguale al numero delle righe della seconda. È possibile definirne la matrice prodotto ( ) pmikcAB ×= , ove

( ) ( ) ( ) ( ) ∑=

=++++=n

jjkijnkinkikikiik baba...bababac

1332211 .

ESEMPIO 6. Le matrici e ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=×21

23A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=× 0

32B possono

essere moltiplicate tra di loro. Sono definite le matrici AB , di dimensione , e33× BA , di dimensione 22× . Calcoliamo le componenti della matrice ( ) 33×= ikcAB . Componente . 11cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :

( ) 6211421

1411 =⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=c .

Componente . 12cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :

( ) 1110410

1412 =⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=c .

Componente . 13cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :

( ) ( ) 4011401

1413 −=⋅+−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=c .

Componente . 21cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :

( ) ( ) 2211021

1021 −=⋅−+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=c .

Componente . 22cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :

( ) ( ) 1110010

1022 −=⋅−+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=c .

Componente . 23cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :

( ) ( ) ( ) 0011001

1023 =⋅−+−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=c .

Componente . 31cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :

( ) 7221321

2311 =⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=c .

Componente . 32cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :

( ) 2120310

2332 =⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=c .

Componente . 33cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :

( ) ( ) 3021301

2333 −=⋅+−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=c .

In definitiva = ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −01

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

327012416

Calcoliamo le componenti della matrice ( ) 22×= ikdBA . Componente . 11dSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice B per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice A :

( ) 1304

10111 =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=d .

Componente . 12dSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice B per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice A :

( ) 121

110112 −=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−=d .

Componente . 21dSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice B per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice A :

( ) 8304

01221 =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=d .

Componente . 22dSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice B per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice A :

( ) 121

101222 =

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=d .

In definitiva = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −01

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −1811

Ragionando sulle sole dimensioni si deduce che la moltiplicazione di matrici non è una operazione commutativa.

ESEMPIO 7. Siano , e

tre matrici di diversa dimensione.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=× 231

51232A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=×

122143

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=× 1131

Sono definite le matrici prodotto ( ) 22×= ABAB con

AB = = ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛231512

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

122143

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1241515

( ) 23×= BCBC con

BC = = ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

122143

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 1131

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

( ) ( )( ) 22×= BCABCA con

( )BCA = = ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛231512

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 08

( ) ( )( ) 22×= CABCAB con

( )CAB = = . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1241515

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 1131

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 08

Risulta ( ) ( )CABBCA = .

Se è una matrice ( mx...xxxX 321= ) m×1 (potremmo anche riscrivere con le virgole per guadagnare spazio) e ( mx,...,x,xX 21= )

( ) nmijaA×

= , allora risulta definito il prodotto XAY = e

( )mx,...,x,xY 21= =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

a......aa...............

a......aaa......aa

( )ny,...,y,y 21 ,

↑ ↑ ↑ m×1 nm× n×1 dove mkmkkk ax...axaxy +++= 2211 . In questo caso Y è ancora un vettore riga, ma di diversa dimensione.

D’altra parte siano , , e 1×nX

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

nx......xx

( ) nmijaA×

= . Allora è definito

anche il vettore colonna AXY = :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

a......aa...............

a......aaa......aa

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

nx......xx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

my...yy

↑ ↑ ↑ nm× 1×n 1×m dove niniii xa...xaxay +++= 2211 . •se A è una matrice quadrata allora è definito il prodotto AA che risulta essere ancora una matrice quadrata delle stesse dimensioni di A . Sarà denotata 2A . Similmente può essere definita la matrice quadrata pA , con ∈p N .

•possiamo definire matrice unitaria, di dimensione nn× , la matrice con

, ovvero , con la

proprietà:

⎩⎨⎧

=ji,,ji,

aij 01

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

100000010000

001000000100000010000001

........................

nnnnnnn IBIIB == ×× .

•se Aè una matrice quadrata nn× , allora possiamo definire . nIA =0

NOTA 2. •se A è una matrice nn× e p , ∈q N , allora

qppqqp AAAAA +== . •il prodotto di due matrici non è commutativo.

Con e sono definite le matrici prodotto⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

B ABe BA .

AB= = e⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1023

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −5012

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5076

BA= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −5012

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1023

= . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5036

In alcuni casi può essere AB= BA .

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO DI MATRICI Siano , , , e nmA × pnB × pnC × qpD × ℜ∈a . •legge distributiva. Sono definite le matrici CB + , ( )CBA + , AB , AC , aB , , e risultano ,

( )aBA ( )ABa( ) ACABCBA +=+ ( ) ( )ABaaBA = .

•legge associativa. Sono definite le matrici AB , ( )CAB , BC , ( )BCA e risulta ( )CAB = . ( )BCA•legge della trasposta di un prodotto.

TB è una matrice di dimensione np × , TA è una matrice di dimensione e sono definiti i prodotti di matricimn× AB , TT AB . Inoltre ( ) TTT ABAB = .

ESEMPIO 8. Con e risultano ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

1A ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

21TA ,

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −=

=AB⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 0

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

3141140

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −=

TT AB ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −13

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−=

3111448

102; si osserva che

. ( ) TTT ABAB = MATRICE INVERSA Non esiste una operazione di divisione per le matrici. Sotto certe ipotesi, per le matrici quadrate, è possibile definire la matrice inversa. DEFINIZIONE Sia data la matrice . La matrice nnA × B è una inversa per A se . nIBAAB ==Per l’esistenza dei due prodotti deve essere . nnB ×

NOTA 3. La matrice inversa con la proprietà nIBAAB == può essere definita solo per le matrici quadrate. Siano e . nmA × qpB ×

Se è definito il prodotto AB , allora pn = e ( ) qmAB × . Se , allora . nIAB = qm =Se è definito il prodotto BA , allora mq = e ( ) npBA × . Se , allora nIBA = np = . In conclusione qpnm === .

ESEMPIO 9. La matrice ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

12B è l’inversa della

matrice . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

AB= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

12= ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−+−

23661132

= = e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

BA= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

12⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−+−234432

23 = = .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

Una matrice quadrata si dice singolare se non ha inversa; quella che ha inversa si dice non singolare o invertibile. PROPRIETÀ DELLA MATRICE INVERSA Senza sapere come e quando si determina la matrice inversa, è possibile, con la sola definizione, provarne le seguenti proprietà. •l’inversa di una matrice non singolare è unica. Siano B e D due inverse della matrice A . Allora

nIBAAB == , . nIDAAD ==

nIBA = ⇒ ( ) DDIDBABAD n === ⇒ ( ) DADB = (ove ) ⇒ nIAD =DB = .

L’inversa della matrice A , quando esiste, sarà denotata da 1−A .

•se la matrice A è non singolare risulta ( ) AA =−− 11 .

La scrittura può essere letta in due modi:”nIAAAA == −− 11 1−A è

l’inversa di A” ovvero “ A è l’inversa di 1−A ”. •siano e due matrici non singolari, allora nnA × nnB × ( ) 111 −−− = ABAB .

Poiché ( )ABAB 11 −− = ( )BAAB 11 −− = BB 1− = , nI

( )11 −− ABAB = ( ) 11 −− ABBA = 1−AA = e per l’unicità della matrice inversa si ha la tesi.

•siano e due matrici non singolari tali che nnA × nnB × nIAB = , allora

e, per definizione,nIBA = 1−= AB .

nIAB = (moltiplicando a destra per la matrice A) ⇒ ( ) AABAAAB == ; (moltiplicando a sinistra per la matrice( ) ABAA = 1−A ) ⇒

⇒ . ( ) AABAAA 11 −− = nIBA =

• sia A una matrice non singolare allora la matrice TA è non singolare e

( ) ( )TT AA 11 −−= .

1−= AAIn ⇒ ( ) ( ) ( ) TTTTnn AAAAII 11 −− === ;

AAIn1−= ⇒ ( ) ( ) ( )TTTT

nn AAAAII 11 −− === .

Per le due implicazioni precedenti la matrice ( )TA 1− risulta essere una inversa della matrice TA . Per l’unicità della matrice inversa possiamo

porre ( ) ( )TT AA 11 −−= .

Quali sono delle condizioni sufficienti affinché una matrice quadrata A sia non singolare? Deve essere il suo determinante diverso da zero. DETERMINANTE E’ possibile calcolare solo il determinante di una matrice quadrata. Determinante di ordine 1. Sia , cioè 11×A ( )aA = (matrice ridotta ad un numero). Allora il determinante della matrice A , denotato ( )Adet , risulta essere . ( ) aAdet = Determinante di ordine . 2

Sia , . Definiamo 22×A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

A ( ) 21122211 aaaaAdet −= .

ESEMPIO 10. Il determinante della matrice è ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

( ) 2643241 −=−=⋅−⋅=Adet .

Il determinante della matrice ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

( ) ( ) ( ) 24352 =⋅−−⋅−=Bdet .

NOTA 4. Se allora22×A ( ) ( )TAdetAdet = .

Se , allora , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

AT ( ) bcadAdet −= e

( ) cbadAdet T −= .

Determinante di ordine 3 .

Sia . Allora ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A ( )Adet =

332211 aaa + +312312 aaa 322113 aaa 332112 aaa− 322311 aaa− 312213 aaa− .

Un metodo per calcolare il determinante di una matrice 33× sarà di seguito illustrato. •con le colonne della matrice A si scrive la tabella

↑1a ↑2a ↑3a ↑1a ↑2a

•si considera la diagonale (prima da sinistra)

ed il prodotto dei suoi elementi: ; 332211 aaa•si considera la diagonale

ed il prodotto dei suoi elementi: ; 312312 aaa•si considera la diagonale

ed il prodotto dei suoi elementi: ; 322113 aaa•si considera la diagonale (prima da destra)

ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 312213 aaa− ; •si considera la diagonale

ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 322311 aaa− ; •si considera la diagonale

ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 332112 aaa− ; • è uguale alla somma (algebrica) dei sei prodotti precedentemente definiti.

( )Adet

ESEMPIO 11. Calcolare il determinante della matrice . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

132213321

Si scrive la tabella e si considerano i sei prodotti: ,

1111 =⋅⋅

8222 =⋅⋅ 27333 =⋅⋅ , 6213 −=⋅⋅− , 6321 −=⋅⋅− e 6132 −=⋅⋅− . Allora = ( )Adet 186662781 =−−−++ .

NOTA 5. •siano e . Allora nnA × nnB × ( ) ( ) ( )BdetAdetABdet = .

• ( ) ( )TAdetAdet = .

•se esiste 1−A allora ( ) ( )AdetAdet 11 =− ; segue dalla prima proprietà

ricordando che risulta ( ) 1=nIdet .

ANCORA SULLA MATRICE INVERSA Sia tale che . Allora esistennA × ( ) 0≠Adet 1−A . Vediamo cosa accade nel caso 2=n .

Siano , con⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

A ( ) 0≠−= bcadAdet , e (“candidata”

matrice inversa), con (la condizione

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2IAX = 2IXA = , per quanto già visto è inutile).

2IAX = ⇔ = ⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dcba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛wzyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

dwcydzcxbwaybzax

= ⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎩⎨⎧

dzcxbzax

e . ⎩⎨⎧

dwcybway

Questi ultimi sono due sistemi di due equazioni e due incognite.

ESEMPIO 12. Determinare, se esiste, l’inversa della matrice .

Poiché la matrice inversa esiste. Le componenti si

ottengono risolvendo il sistema

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

( ) 246 =−=Adet

⎩⎨⎧

, nelle incognite x e z , ed il

sistema ⎩⎨⎧

, nelle incognite e . y w

Primo sistema:

⎩⎨⎧

⇔ ⇔ ⎩⎨⎧

068448

⎩⎨⎧

=−=+

⇔ ⎩⎨⎧

−=+−=

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

Secondo sistema:

⎩⎨⎧

⇔ ⇔ ⎩⎨⎧

268048

⎩⎨⎧

−=−=+22

⎩⎨⎧

=−=1

Allora la matrice inversa risulta essere

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−=12

SISTEMI LINEARI Un sistema con p equazioni lineari e incognite può essere scritto nella forma

⎪⎪⎪

=++++=++++

pqpqppp

cxa....xaxaxa..........................................................................................................................cxa....xaxaxacxa....xaxaxa

332211

22323222121

11313212111

Poniamo per la matrice , qpA ×

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

a.....aaa..................................................a.....aaaa.....aaa

2232221

1131211

1×qX per il vettore colonna e per il vettore colonna .

Allora il sistema può essere riscritto nella forma vettoriale

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

qx..xxx

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

CAX = (dimensionalmente 11 ××× = pqqp CXA ). A è la matrice dei coefficienti, X è il vettore colonna incognito o delle incognite e C è il vettore colonna dei termini noti. Per il sistema riveste importanza la matrice

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

qpqppp

ca.....aaa............................................................ca.....aaaca.....aaa

22232221

11131211

di dimensione ( 1+ )× qp , chiamata matrice completa del sistema. La matrice B si ricava dalla matrice A aggiungendovi, a destra, una

colonna, formata dalle componenti del vettore colonna ( ) esimaq −+1 C . ESEMPIO 13. •per il sistema, con equazioni e le incognite 2 2 x e , y

⎩⎨⎧

=−=+

, la matrice completa è . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=421132

•per il sistema, con equazioni e le incognite 3 3 x , e y z ,

⎪⎩

⎪⎨

=++=−+=+−

zyxzyxzyx

, la matrice completa è⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

223101135121

•per il sistema, con equazioni e le 5 incognite 3 x , , y z , u e v ,

⎪⎩

⎪⎨

=+=−+=++−

vuvzyvuyx

, la matrice completa è ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

011000110110021011

METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS Il metodo di riduzione di Gauss, mediante trasformazioni della matrice completa B, permette: •di stabilire se il sistema: non ha soluzioni, ha una sola soluzione, ha infinite soluzioni. •se esistono soluzioni, di “preparare” il sistema per il calcolo delle stesse. Le trasformazioni della matrice B sono legate ad operazioni sulle equazioni del sistema che non ne variano le soluzioni. •scambiare tra di loro due righe:

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

............................b...bbbb

............................

qjjjjj

qiiiii

14321 →

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

............................b...bbbb

............................

qiiiii

qjjjjj

• moltiplicare una riga per una costante 0≠α :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

..........................

..........................b......bbb

..........................

qiiii 1321 →

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

αααα +

..........................

..........................b......bbb....................................................

qiiii 1321

• sostituire una riga con la stessa sommata ad un’altra:

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

.....................b......bb

.....................

121 →

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+++ ++

.....................bb......bbbb

.....................b......bb

.....................

qiqjijij

112211

• scambiare tra di loro due delle prime colonne (l’ultima non si tocca!): q

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+−−−

qppjpi

qpjpip

b...b...b...b...b...b...

........................b...b...b...b...b...b...

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+−−−

qppipj

qpipjp

b...b...b...b...b...b...

........................b...b...b...b...b...b...

(attenzione alle incognite!). Si opera fino ad ottenere una matrice B equivalente (cioè a cui corrisponde un sistema con le stesse soluzioni) con : • (componente in alto a sinistra); 011 ≠b•dalla seconda riga, il primo elemento non nullo, se esiste, si trova a destra del primo elemento non nullo della riga precedente. ESEMPIO 14.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

0000000202310013212302003120

3210421

←←

errore!!

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

0000000202000013212002003120

3210421

Quando una matrice ha questa struttura si dice che è a scalini: •nella riduzione a scalini di una matrice col metodo di Gauss, il modo di operare non è unico; •l’esistenza ed il numero delle soluzioni di un sistema non dipende dalla riduzione a scalini della sua matrice completa. Si considera la sua ultima riga non nulla (non costituita da tutti ). 0Se l’unico elemento non nullo è quello più a destra allora il sistema non ha soluzione, altrimenti esistono delle soluzioni. Sia “ s = numero delle incognite meno il numero delle righe non nulle della matrice completa ridotta a scalini”.

Se 0=s allora la soluzione è unica, come vettore colonna, e facilmente calcolabile; Se 0>s allora occorrono s parametri per descrivere tutte le soluzioni. La matrice a scalini, per come è costruita, non può essere 0<s .

ESEMPIO 15. •si riduca a scalini la matrice . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=421132

Si moltiplica per 2− la riga: ; a2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 842132

si sostituisce alla riga la somma delle due righe: . a2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 770132

Questa è una matrice a scalini.

•per il sistema , con equazioni e le 2 incognite ⎩⎨⎧

=−=+

2 x , , la

matrice completa è

B che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 770132

Allora la soluzione è unica e la si può trovare risolvendo il sistema equivalente

⎩⎨⎧

−==+

Il sistema è detto equivalente perché ha tutte e solo le soluzioni del sistema di partenza. Dalla seconda equazione otteniamo 1−=y ; sostituendo il valore trovato nella prima equazione abbiamo 132 =−x ⇔ 2=x .

L’unica soluzione del sistema è il vettore colonna . Per comodità,

invece di , possiamo scrivere

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12 ( )T12 − ovvero ( )T1,2 − .

ESEMPIO 16. •si riduca a scalini la matrice ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

223101135121

Si sostituisce alla riga la riga meno la riga: a3 a3 a1

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

315001135121

aa 13 −←

(sono segnate le variazioni dell’ultima matrice rispetto alla precedente); si moltiplica per 3 la riga: a1

; ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

31500113

15363 a13 ⋅←

si sostituisce alla riga la riga meno la riga: a2 a1 a2

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

31501547015363

aa 21 −← ;

si moltiplica per 75 la riga: a2

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

315050

720 a27

5 ⋅← ;

si divide per la riga (la si moltiplica per 3 a1 31 ) e si sostituisce la riga

con la somma della e della riga:

a3a2 a3

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−−

505121

⋅←;

si moltiplica per 57 la riga, e per a2 27

7 la riga: a3

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

2100154705121

⋅←

⋅← .

La matrice ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

2100154705121

è a scalini.

•per il sistema , di 3equazioni nelle 3 incognite ⎪⎩

⎪⎨

=++=−+=+−

zyxzyxzyx

x , e y z ,

la matrice completa è B che ridotta a scalini diventa ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

2100154705121

Allora la soluzione è unica e la si può trovare risolvendo il sistema

. ⎪⎩

⎪⎨

==+−=+−

zzyzyx

⎪⎩

⎪⎨

==+−=+−

zzyzyx

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

==+−=+−

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

==−=−

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧−

===−

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

x ⇔ .

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

L’unica soluzione del sistema è ( )T2,1,1 − .

Si possono fare più operazioni per volta però è meglio se la somma e la sostituzione di righe sono fatte in tempi diversi!

ESEMPIO 17. •si riduca a scalini la matrice⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

1511473124111

Operazioni di riduzione a scalini:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

151141462416444

2214⋅←⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

153021060

−←−← ;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

153015304111

⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

000015304111

aa 32 +←.

La matrice è a scalini. ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

000015304111

•per il sistema , di 3equazioni e le 3 incognite ⎪⎩

⎪⎨

=++=+−=−+

zyxzyxzyx

x , e y z ,

la matrice completa è B che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

000015304111

Allora la soluzione non è unica (vedere Esempio 19).

ESEMPIO 18. Si riduca a scalini la matrice ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−=

835501223111

Operazioni per la riduzione a scalini:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

166101005101030101010

3225110

⋅←⋅←⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−−−

16110030150030101010

−←−← ;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−−−

16110021003111

151101

⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−−−

1611002211003111

a211⋅← ;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−−

600021003111

⋅← .

⎜⎜⎜

−−−−−

600021003111

•per il sistema ⎪⎩

⎪⎨

=−+=++=−+

zyxzyxzyx

, di 3 equazioni e le 3 incognite x , e y

z , la matrice completa è B , che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−−

600021003111

Allora il sistema non ha soluzioni; la terza equazione diventerebbe “0 ”. 6−=

CALCOLO DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA LINEARE, QUANDO QUESTA NON E’ UNICA Limitiamoci ad alcuni esempi.

ESEMPIO 19. Determinare tutte le soluzioni del sistema ,

di 3 equazioni e le incognite

⎪⎩

⎪⎨

=++=+−=−+

zyxzyxzyx

3 x , e y z . Per quanto già visto nell’Esempio 17 al sistema corrispondono la matrice

completa ridotta a scalini ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

000015304111

ed il sistema di due equazioni e

tre incognite ⎩⎨⎧

=−=−+

53 zyzyx

•soluzione particolare del sistema. Con una certa libertà si cerca una soluzione (non nulla) del sistema.

Ponendo otteniamo il sistema 0=z⎪⎩

⎪⎨

z, che ha per soluzione

( T0,, 3

11 ) . Questa è una soluzione particolare, non nulla, del sistema in esame. •sistema omogeneo associato e sua soluzione. Il sistema omogeneo ridotto, associato al sistema di partenza, è

(se ⎩⎨⎧

=−=−+

CAX = è un sistema lineare, allora OAX = , ove è

un vettore colonna con tutti gli elementi nulli è il sistema omogeneo associato).

Questo sistema ha sempre soluzioni, almeno la soluzione nulla. •una delle tre incognite (in generale s delle incognite) viene vista come un parametro (conserva per semplicità lo stesso nome), e la si sposta a destra del segno "" = . •il vincolo, nella scelta del parametro, è il seguente: la matrice quadrata (di dimensione uguale al numero delle righe non nulle della matrice ridotta a scalini) che si forma con i coefficienti rimasti a sinistra del segno "" = uguale deve avere gli elementi sulla diagonale principale non nulli e tutti gli elementi al di sotto della stessa nulli. Rispettato il vincolo, vi è una certa libertà. Trasformiamo l’incognita z in parametro.

•sistema corrispondente: ⎩⎨⎧

•matrice quadrata: ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3011

•conti per la soluzione del sistema omogeneo:

⎩⎨⎧

53 ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=−=−=

zzzyzx

•la soluzione generale del sistema omogeneo associato è ( )Tzzz ,, 35

32− , con

. ℜ∈z

La trasformazione dell’incognita in parametro, y⎩⎨⎧

−−

=−=−

35, è

ammissibile; mentre la trasformazione dell’incognita x in

parametro,⎩⎨⎧ −

=−=−

, non è conveniente.

•soluzione generale del sistema: la soluzione generale del sistema si ottiene sommando alla soluzione generale del sistema omogeneo associato la soluzione particolare precedentemente ottenuta. Per il sistema in esame la soluzione generale è ( ) +−

Tzzz ,, 3

532 ( )T0,, 3

ESEMPIO 20. Determinare tutte le soluzioni del sistema

, di 3 equazioni e le incognite ⎪⎩

⎪⎨

−−

=+++=+++=+++

532253uzyxuzyxuzyx

4 x , , y z e u .

•matrice completa: . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−=

1513232513

01111B

•riduzione della matrice completa:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

315396641026

332216

⋅←⋅←⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

3117706244001111

−←−←

⋅←

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

622141402171414001111

⋅←

⋅← ,

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

15150003122001111

⋅← ,

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

110003122001111

a3151 ⋅←

⎜⎜⎜

−−

110003122001111

•esistenza della soluzione e numero di parametri necessari per descriverla: il sistema ha soluzione e necessitano 134 =−=s (numero incognite meno numero righe non nulle della matrice ridotta) parametri.

•sistema equivalente da risolvere: ⎪⎩

⎪⎨

=−=+−=+++

22uuzyuzyx

, ovvero

,con la scelta di come parametro (la matrice quadrata

corrispondente a questa scelta è ).

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−=+−=++

1232 yy

uuzuzx

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

100120111

•soluzione particolare del sistema equivalente:

posto otteniamo il sistema 0=y

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==−=−−=−+

0131201

, che può essere facilmente

risolto a partire dalla seconda equazione;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==−=−−=−+

0131201

⇔ ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−=−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−=−=

una soluzione particolare del sistema è ( )T1,2,0,3 −− . •soluzione generale del sistema omogeneo associato: il sistema omogeneo associato è

⎪⎩

⎪⎨

=−=+−=+++

22uuzyuzyx

, ovvero ⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−=+−=++

022 yy

uuzuzx

•soluzione del sistema omogeneo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=−−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

la soluzione generale del sistema omogeneo è ( )Tyyy 0,,,2− , con . ℜ∈y

•soluzione generale del sistema: ( ) +− Tyyy 0,,,2 ( )T1,2,0,3 −− , con . ℜ∈y

ESEMPIO 21. Determinare tutte le soluzioni del sistema

, di 3equazioni e le incognite ⎪⎩

⎪⎨

=+=−+=++−

vuvzyuuyx

5 x , , y z , e u v .

•matrice completa: , già a scalini. ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

011000110110021011

•esistenza della soluzione e numero di parametri necessari per descriverla: il sistema ha soluzione e necessitano 235 =−=s parametri.

•sistema da risolvere: ⎪⎩

⎪⎨

=+=−+=++−

vuvzyvuyx

, ovvero ⎪⎩

⎪⎨

−−−

==−=+

, dopo

aver scelto le incognite e come parametri (alla scelta corrisponde la

matrice quadrata ).

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−100110

•soluzione particolare del sistema: dopo aver posto 0== uy otteniamo il

sistema , ⇔ , che ha per soluzione

⎪⎪⎪

==−=+==

010200

vvzvxuy

⎪⎪⎪

( )T0,0,1,0,0 ;

•soluzione generale del sistema omogeneo associato.

il sistema omogeneo associato è ⎪⎩

⎪⎨

−−−

==−=+

vvzvx 2

si pone e si determina la soluzione del sistema dipendente solo dal parametro :

⎪⎪⎪

=−=−

vyvzyvx

⎪⎪⎪

soluzione . ( )Tyyy 0,0,,, −Si pone e si determina una soluzione del sistema dipendente solo dal parametro u :

⎪⎪⎪

−==−

−=+==

⇔ ⇔ ;

⎪⎪⎪

−=−=−=−

uvuzuuxuu

⎪⎪⎪

−=−=

uvuzuxuu

soluzione . ( )Tuuuu −− ,,,0,La soluzione generale del sistema omogeneo è ( ) +− Tyyy 0,0,,, ( )Tuuuu −− ,,,0, , con ℜ∈u,y . •soluzione generale del sistema: ( ) +T0,0,1,0,0 ( ) +− Tyyy 0,0,,, ( )Tuuuu −− ,,,0, , con ℜ∈u,y .

CAPITOLO 1: MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI …...MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI...

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