Cenni a calcolo di probabilità elementare

La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi chesiano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto

tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale deglieventi possibili

Px = nx / ntotali

Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6eventi totali possibili = 6

eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numeroP1 = 1/6P2= 1/6P3 = 1/6P4 = 1/6P5 = 1/6P6 = 1/6

Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre

Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

PR = nRosse / nTotale

PA= nAzzurre/nTotale

5 / 10 = ½ = 0.5

5 / 10 = ½ = 0.5

Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y)

Eventi favorevoli a X (rossa= = 5eventi favorevoli a Y (azzurra=5)

eventi totali = 10

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre

Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

PR = nRosse / nTotale

PA= nAzzurre/nTotale

2 / 10 = 1/5 = 0.2

8 / 10 = 4/5 = 0.8

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre

Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

PR = nRosse / nTotale

PA= nAzzurre/nTotale

2 / 10 = 1/5 = 0.2

8 / 10 = 4/5 = 0.8

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre

Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?

PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57

PR= 5/7 = 0.71PA= 2/7 = 0.29

Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre

Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?

PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57

PR= 5/11 = 0.45PA= 6/11 = 0.55

Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire

È sempre certa la estrazione di una monetaè decrescente la probabilità di estrarre una

determinata moneta P100 > P 50 > P20manca la possibilità che venga estratta una

moneta diversa da 100, 50, 20

PC = 10/10 = 1 massima probabilità

P100 = 7/10 = 0.7

P50 = 2/10 = 0.2

P20 =

Px = 0/10 = 0

Esempio: mazzo di 40 carte da gioco (4 tipi diversi)

Probabilità che la prima carta scelta sia un asso ?

Eventi possibili = 40 carteevento favorevole , asso(a), = 4

Pa = 4 / 40 = 0.1

Probabilità che la prima carta sia un asso di spade ?

Eventi possibili = 40 carteevento favorevole , asso(s), = 1

Ps = 1 / 40 = 0..25

Probabilità che la prima carta scelta sia diversa da un asso ?

Eventi possibili = 40 carteevento favorevole , diverso da asso(d) = 36

Pd = 36 / 40 = 0.9

Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce)

testa croce

Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ?

TTT

CCC

TCT

CTC

TCC

CTT

Eventi possibili = 6eventi favorevoli (CC, CCC) = 3

probabilità = 3 /6 = 0.5

Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ?

Lancio singolo:eventi possibili = 6

evento favorevole a 4 = 1P3 = 1 / 6 = 0.1666

0.1666/ 1 = x /10000x = 1666

4

Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x

Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15

Frequenza relativa = numero successi / numero provef = x / n

F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25

È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzioneanche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento

Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presentaun evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del

numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n

Il rapporto tra il numero dei successie il numero di proveva aumentando con

il numero delle provee il rapporto tra

successi e provesi avvicina al valore

della probabilità

Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6

Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166

Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale

Ricerca su totale 499 e parziale 399

Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 299 e 199

Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 99 e 1

Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale

Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale

Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale

Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale

Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità