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S. Vitale A.A. 2003-2004 1
Cinematica del punto materialePunto materiale: oggetto di dimensioni lineari
trascurabili rispetto alla precisione con cui se ne vuole determinare la posizione
x
z
Astronave, atomo, etc…..
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Coordinate nello spazioLontano da grandi masse vale sperimentalmente la
geometria Euclidea
x
y
z
zo
yo xo
ro
O
2 2 2o o o or x y z= + +
Sole
θ ≈ 4”
Gauss et al., ca 1°
Le linee rette sono definite dai raggi di luce
Einstein et al.
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Coordinate Sferiche
x
y
z
φo
θo
ro
O
( ) ( )o o o ox r Sin Cos= θ φ
( ) ( )o o o oy r Sin Sin= θ φ
( )o o oz =r Cos θ
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Longitudine = φoLatitudine = 90°-θo
ro=R⊕
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Coordinate cilindriche
( )o o ox Cos= ρ φ
x
y
z
zo
φoρο
( )o o oy Sin= ρ φ
o oz z=
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Descrizione del moto di un punto materiale
Il moto è interamente noto nell’intervallo di tempo t1< t < t2 se sono note
xo(t), yo(t) e zo(t) nello stesso intervallo
(o ro(t), φo(t) e zo(t) etc.)
La legge oraria
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Al passare del tempo il punto descrive una curva nello spazio: la traiettoria
( ) ( ) ( )o o oo o
t tx t r Cos 2 ; y t r Sin 2 ; z t v t;t t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o o
o
r 1 m t 50 smv 0.01 s
= =
=
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Stessa Traiettoria, diversa legge oraria
( ) ( ) ( )o o oo o
t tx t r Cos 2 ; y t r Sin 2 ; z t v t;t t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o o
o
r 1 m t 50 smv 0.01 s
−
−
= =
=
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Nuovo concetto: lo spostamentoPunto che va da A a B
( ) ( )( ) ( )
2 2B A B A
B A B A
r x x y y
x x r Cos ; y y r Sin
∆ = − + −
− = ∆ φ − = ∆ φ
Le due grandezze
r∆
A
B
x
y
xA xB
yB
yADefiniscono un nuovo oggetto
matematico
{∆x = xB-xA , ∆y = yB-yA}C
Dφ
∆r
Nota: lo spostamento A B è uguale a C D
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A
B
x
y
xA xB
yB
yA
DyD
xD
1r∆
2r∆
3r∆{ }3 D A D Ar x x ,y y∆ ≡ − −
( ) ( ){( ) ( )}
D B B A
D B B A
x x x x ,
y y y y
= − + −
− + − =
{ }1 2 1 2x x , y y= ∆ + ∆ ∆ + ∆f1 23
der rr ∆≡∆ + ∆
Somma di spostamenti
2r∆1r∆
Nota: la somma è commutativa1 2 2 1r r r r+ = +∆ ∆ ∆ ∆
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x
y
∆x
1r∆∆y
1r∆
∆x
∆y
∆x
∆y 1r∆
rΣ∆
1 1 1r r r rΣ = + +∆∆ ∆ ∆
1
1
xy
33
xy
Σ
Σ
∆∆ =
∆∆
=
def
13 rrΣ∆ ∆≡
1 1
d
1
efr x yr x ,a a yaΣ Σ Σ∆ ∆= ⇔ = =∆ ∆ ∆ ∆
a volte uno spostamento
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Qualche osservazione
1 1a ; x y ax yΣ Σ= =∆ ∆∆ ∆2 21 1 1
2 2a axr rayΣ = ∆ =∆ ∆∆ +
A
B1r∆
1r−∆ Es: α= - 1
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Queste sono le proprietà di un “campo vettoriale”
Gli spostamenti sono dunque vettori e godono di tutte le loro proprietà
I numeri come a, che non dipendono dalla scelta delle coordinate si chiamano scalari
(Es: misure di tempo, misure di temperatura, misure di massa etc.)
La lunghezza di uno spostamento è uno scalare
(verificare che non dipende dalla scelta delle coordinate)
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ϕ
ϕ
P
x
y
yP
xP
x P’
x’
y’
y P’
( )'Px Cos φ
( )'Py Sin φ
Trasformando le coordinate
( ) ( )PP ''Px Cosx y Sinφ= − φ
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ϕ
ϕ
P
x
y
yP
xP
x P’
x’
y’
y P’
( )'Px Sin φ( )'Py Cos φ
( ) ( )PP ''Px Siny y Cosφ= + φ
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Cos 0.876
Sin 0.56
π⎡ ⎤ ≈⎢ ⎥⎣ ⎦π⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
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La legge di trasformazione e la sua inversa:
x’ e y’ sono ruotate di ϕ rispetto a x e y
x e y sono ruotate di -ϕ rispetto a x’ e y’
( ) ( )( ) ( )
' 'P P P
' 'P P P
x x Cos y Sin
y x Sin y Cos
= φ − φ
= φ + φ
( ) ( )( ) ( )
'P P P
'P P P
x x Cos y Sin
y x Sin y Cos
= φ + φ
= − φ + φ
φ ↔ −φ
Cambiando segno a ϕ il seno cambia segno ed il coseno no
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La trasformazione degli spostamenti
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' 'P P P Q Q Q
' ' ' 'P P P Q Q Q
x x Cos y Sin & x x Cos y Sin
y x Sin y Cos & y x Sin y Cos
= φ − φ = φ − φ
= φ + φ = φ + φ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' 'P Q P Q P Q
' ' ' 'P Q P
x x' y'
y
Q P
x'
Q
y'
x x x x Cos y y Sin
y y x x Sin y y Cos
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
− = − φ − − φ
− = − φ + − φ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' 'P Q P Q P Q
x x' y'
' ' ' 'P Q P Q P Q
y x' y'
x x x x Cos y y Sin
y y x x Sin y y Cos
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
− = − φ − − φ
− = − φ + − φ
Le componenti dello spostamento si trasformano come le coordinate dei punti
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Il modulo di uno spostamento( ) ( )( ) ( )
x x'Cos y'Sin
y x'Sin y'Cos
∆ = ∆ φ − ∆ φ
∆ = ∆ φ + ∆ φ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x' Cos y' Sin 2 x' y'Cos Sin
+ + + +y x' Sin y' Cos 2 x' y'Sin Cos
∆ =∆ φ +∆ φ − ∆ ∆ φ φ
∆ =∆ φ +∆ φ + ∆ ∆ φ φ
( ) ( )
( ) ( )1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
r x y x' Cos Sin
y' Sin o r'C s=
=
⎡ ⎤∆ = ∆ + ∆ = ∆ φ + φ +⎣ ⎦
= ∆⎡ ⎤+∆ φ + φ⎣ ⎦
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
1
r x y x' Cos Sin
y' Sin Cos r'=
=
⎡ ⎤∆ = ∆ + ∆ = ∆ φ + φ +⎣ ⎦
⎡ ⎤+∆ φ + φ = ∆⎣ ⎦E’ uno scalare
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Trasformazione di uno spostamento quando si ruotano gli assi di un angolo ϕ
( ) ( )( ) ( )
x x'Cos y'Sin
y x'Sin y'Cos
∆ = ∆ φ − ∆ φ
∆ = ∆ φ + ∆ φ
x’
y’
x
y
ϕ
ϕ
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A
B
xA xB
yA
yBxB-xA= x’B-x’A
yB-yA= y’B-y’A
OO’
y’B
y’A
A
xA
yA
O
r
Note: Le tre coordinate cartesiane di un punto sono
le componenti dello spostamento che porta dall’origine a quel punto:
Il raggio vettore r
Le tre componenti di uno spostamento non
dipendono dalla scelta dell’origine ma solo
dall’orientazione degli assi
Se si cambia origine le coordinate cartesiane
cambiano ed cambiar
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Una coppia di grandezze fisiche che si trasformano come le componenti cartesiane di uno spostamento quando si cambia il sistema di coordianate formano
un vettore
In particolare:
La somma (differenza) di due vettori è un vettore
Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore
Tutto vale anche in 3 dimensioni
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A
B1r∆
BrArUno spostamento è la differenza fra il raggio vettore del punto di arrivo e
quello del punto di partenza
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Un utile esercizio: la legge oraria della Terra1 AU=distanza media Sole-Terra=1.496×1011m
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Conversione in coordinate cartesiane
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]
x Distanza Cos Hlong Cos Hlat
y Distanza Sin Hlong Cos Hlat ;z Distanza Sin Hlat
= × ×
= × × = ×
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30 giorni
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Coordinate cartesiane
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La relazione fraspostamento e
tempo trascorso: ilconcetto di
velocità
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Lo spostamento
va a 0
Il rapportotende ad un limite finito
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Il modulo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x t t x t y t t y t z t tt
zt t
t∆ ∆
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∆ − + ∆ − +∆
∆ −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x t t x t y t t y t z t t z tt t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∆ − + ∆ − + ∆ −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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Alcune conclusioniDividendo le tre componenti del vettore
spostamento per lo scalare tempo si ottiene ancora un vettore: la velocità media
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1
x t x t y t y t z t z tv , ,
t t t t t t⎧ ⎫− − −
= ⎨ ⎬− − −⎩ ⎭
( ) ( ) ( )2 11 22 1
r t r tv t ,t
t t−
≡−
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( ) ( ) ( )2 12 1 x 1 22 1
x t x tSe t t allora v t indip da t
t t−
→ →−
Vettore velocità istantanea
( )v t ≡
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 0 t 0 t 0
x t+ t x t y t+ t y t z t+ t z t, ,Lim Lim Limt t t∆ → ∆ → ∆ →
⎧ ⎫∆ − ∆ − ∆ −⎨ ⎬∆ ∆ ∆⎩ ⎭
( ) ( ) ( ){ }x y zv t , v t , v t ≡
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Direzione e verso
Tangente alla traiettoria. Verso di percorrenza
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φ
Modulo: lunghezza
dell’arco di traiettoria
nell’unità di tempo
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( ) ( )t
Lim r t t r t 0∆ →
⎡ ⎤+ ∆ − =⎣ ⎦
( ) ( ) ( )t
r t t r tLim v t
t∆ →⎡ ⎤+ ∆ −
=⎢ ⎥∆⎣ ⎦
lunghezza di traiettoriaModulo: tempo impiegato
Direzione: tangente alla traiettoriaVerso: stesso verso di percorrenza della traiettoria
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Moto rettilineo uniforme( ) oy oy t v t y= +( ) ox ox t v t x= + ( ) oz oz t v t z= +
( ) { }ox o oy o oz or t v t x , v t y , v t z= + + +
( ) ( )def dr t
v tdt
≡
( ) ( ) ( )oy oox o oz od v t yd v t x d v t z, ,dt dt dt
⎧ ⎫++ +⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
{ }ox oy ozv , v , v=Un vettore costante( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x y zv t v t v t v t= + + 2 2 2ox oy ozv v v= + +
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Si può rappresentare in un piano
x
y
O
( )v t( )r t ( )r t∆
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Componenti della velocità
x
y
O
( )v t
φ
( )xv v Cos= φ
( )v t
( )yv v Sin= φ
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Unità di misura nel SI m/s
Valori tipici
Suono (in aria STP) 340 m/s
Luce 3 108m/s
Automobile 35 m/s
Aereo (Jet commerciale) 250 m/s
Crosta terrestre 10-10 m/s
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Moto circolare uniforme
( ) ( )o ox t r Cos t= ω ( ) ( )o oy t r Sin t= ω ( )z t 0=
[ ] [ ] 1o or l t−= ω =
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Ancora sulle leggi fisiche: la proporzionalità fra potenze di grandezze misurate
A KB C Dα γ β=Es: legge di Toricelli
h Patm
vuot
o
( ) ( )atm
3
P PaSI : h m 0.102
kgm
=⎛ ⎞ρ⎜ ⎟⎝ ⎠
ρ= densità
Patm=pressioneatmosferica
L
M3
ML
ρ =
( ) ( ) ( )( )
3atmP Pa L mSI : h m 0.102
M kg⎡ ⎤⎣ ⎦=
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Cambiamento di unità:
( ) ( ) ( )( )
3atmP Pa L mSI : h m 0.102
M kg⎡ ⎤⎣ ⎦=
Grandezza Unità di partenza Unità di Arrivo Fattore di Conversione
Pressione
Lunghezza
Massa
Pascal Torr 1 Pascal =0.007506 Torr
Metro Centimetro 1 Metro = 100 Centimetri
Kilogrammo Grammo 1 Kilogrammo = 1000 Grammi
( ) ( ) ( ) ( )( )
3atmP Torr 0.0075 L cm 100h cm h m 0.102
100 M gr 1000⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅ =
( )( )
( ) ( )( )
3atm
3
P Torr L cm100 1000h cm 0.102M gr0.0075 100
⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦=⋅
( ) ( ) ( )( )
3atmP Torr L cmh cm 1.36
M gr⎡ ⎤⎣ ⎦= Le
gge d
i pro
porz
iona
lità
è sal
va
Cam
bia la costante
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Cambiamento di unità:A=kAA’, B=kBB’, C=kCC’, D=kDD’
A B C Dk A' Kk B' k C' k D'α α γ γ β β= =
B C D
A
Kk k k B' C' D'k
α γ βα γ β⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠A' K'B' C' D'α γ β→ =
Ok: la proporzionalità è osservata da entrambi gli osservatori
( ) ( )A Bk AA Sin ' Sin k B'B ≠= →No: solo uno dei due osservatori trova la legge
obbedita
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Il rapporto di due numeri che si misurano nelle stesse unità non dipende dalla scelta dell’unità di
misura (numero puro)
B
o o B o
B B' k B' B B' k B'
= =
Una funzione trascendente di un numero puro può comparire in una legge fisica
oo
BA A Sin B
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠B
oA o B
A' B' kA Sin k B' k
⎛ ⎞→ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
BA o
o B
B' kA' k A Sin B' k
⎛ ⎞→ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠o
o
B' A' SinB'
⎛ ⎞→ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
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Moto circolare uniforme
( ) ( )o ox t r Cos t= ω ( ) ( )o oy t r Sin t= ω ( )z t 0=
[ ] [ ] 1o or l t−= ω =
( )r t = ( ) ( ) ( )2 2 2x t y t z t+ + =
( ) ( )2 2 2 2o or Cos t r Sin tω + ω = or
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Velocità
( ) ( ) ( )o oxdx t dr Cos t
v tdt dt
ω= = ( )o o or Sin t⎡ ⎤= ω − ω⎣ ⎦
( ) ( ) ( )o oydy t dr Sin t
v tdt dt
ω= = ( )o o or Cos t= ω ω
( ) ( )zdz t
v t 0dt
= =
( ) ( ) ( ){ }o o o ov t r Sin t ,Cos t= ω − ω ω
( ) ( ) ( )2 2o o o o o ov t r Sin t Cos t r= ω ω + ω = ω
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x
y
O
otφ = ω
( ) ( )o oy t r Sin t= ω
( )r t
( ) ( )o ox t r Cos t= ω
2π
θ = − φ
( ) ( )y o o ov t r Cos t= ω ω( ) ( )x o o ov t r Sin t= −ω ω
( )v t
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( ) ( )r t v t⊥
( ) ( )r t v t⋅ ≡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y zx t v t y t v t z t v t+ +
( ) ( )( ) ( )
o o o o o
o o o o o
r Cos t r Sin t
r Sin t r Cos t
⎡ ⎤= ω × −ω ω⎣ ⎦+ ω ω ω 0=
Ma anche
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t v t r t v t Cos r t v t⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦
( ) ( )r t v t2π
⋅ = ±
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( )r t( )r t t+ ∆
( ) ( )r t t r t+ ∆ −
δ
2 2π δ
−
Al tendere di ∆t 0, δ 0 e π/2-δ/2 π/2
( ) ( ) ( )r t r tt t r+ ∆ − ⊥La derivata di un vettore di modulo costante è
ortogonale al vettore derivato