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Controllo ottimo delle superfici di commutazione nei sistemi ibridi
autonomi
Mauro Boccadoro*, Magnus Egerstedty e Yorai Wardiy
*DIEI - Università di Perugia
y ECE - Georgia Institute of Technology, Atlanta (GA) USA
Sommario
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni
Sistemi ibridi
Dinamica:
Siano ti , xi gli istanti e gli stati di commutazione
Controllo ottimo di sistemi ibridi
Caso fi=fi(x) s=s(i,t) controllo in ciclo aperto s=s(i,x) controllo in feedback
Dinamica:
Funzione costo:
Problema: trovare ingressi continui u(.), sequenza e istanti di commutazione che
minimizzino J
tramite la “progettazione”di superfici di commutazione parametrizzate, i.e.,
Superfici di commutazione ottime
Controllo ottimo di un sistema ibrido autonomo
Trovare i valori dei parametri ai che minimizzano J
• L(x) differenziabile
• modi fi Lipschitz in Rn
• gi differenziabili, con #h parametri
• Raggiungimento delle superfici di commutazione in maniera trasversale (implica “continuità” delle esecuzioni del sistema), i.e.,
detti ti e xi gli i-esimi istanti di commutazione e corrispettivi stati
dove
Ipotesi
Dinamica variazionaledei sistemi ibridi
La dinamica variazionale di sistemi “ordinari”è data da
dove sta per la matrice di transizione di stato del sistema linearizzato
Dinamica variazionaledei sistemi ibridi (2)
Per sistemi ibridi con commutazioni dipendenti dallo stato
con superfici parametrizzate,dove
Dinamica autonomaTermini forzanti
Approccio alla soluzione1) Calcolare il gradiente dJ/da, a={a1,a2,…}
Approccio alla soluzione (2)
2) Applicare algoritmi numerici a discesa del gradiente (soluzioni ottime locali)
Complessità del calcolo del gradiente:
Sono necessarie due integrazioni: una in avanti per i termini Rk e Lk
T, una all'indietro per p(tk+)
Si noti che le traiettorie devono continuare ad essere trasversali durante l’ottimizzazione: ciò implica
• continuità delle esecuzioni (quindi, continuità di J in a)
• applicabilità dei metodi a discesa del gradiente
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni
Continuità delle soluzioni
Discontinuità delle soluzioni
Discontinuità delle soluzioni
Algoritmo di ArmijoConsente di trovare il passo ottimale nella discesa del gradiente tramite un controllo della funzione obiettivo J
J continua J discontinua
Possibilità di estendere l’algoritmo per l’ottimizzazione di funzioni discontinue
Sommario
1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di
commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni
Applicazione (1): Stabilizzazione
Applicazione (1): Stabilizzazione
Stabilizzazione tramite ottimizzazione delle superfici di
commutazione
• Intro: paradigma “reattivo” e “deliberativo” nella robotica mobile– Paradigma reattivo: il robot commuta tra
differenti comportamenti quando vengono percepiti variazioni ambientali
• progettazione modulare (modi di comportamento concepiti per compiti specifici)
– Paradigma deliberativo: possono essere elaborati cammini ottimali
• alta complessità computazionale
Applicazione (2): distanze di sicurezza per robot mobili
Dato un set di comportamenti, progettare le leggi di commutazione ottime
e.g., missione di raggiungere una destinazione evitando un ostacolo
Dati i comportamenti: vai-a-destinazione e fuggi-dall’ostacolo, identificare le superfici di commutazione ottime attorno all’ostacolo
Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi
Nei lavori correlati: viene stabilita una distanza di sicurezza dall’ostacolo• Qual’è il suo ottimo?• La forma circolare di tale superficie di commutazione è
ottima?
dinamica
modi
costo
Due superfici di commutazione circolari centrate nell’ostacolo
xg
xo
x0
Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi
Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente
Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente
Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente
Risultati (1)
Le due superfici tendono a collassare, per diverse scelte dei parametri del sistema
Utilizzare una singola superficie di commutazione
• Ottimizzazione per una singola superficie di commutazione distanza di sicurezza
• Scelta di superfici non circolari, e.g. ellittiche risultano degli ottimi locali migliori degli ottimi globali per superfici circolari
Risultati (2)
Conclusioni
Controllo ottimo dei sistemi ibridi autonomi tramite superfici di commutazione parametrizzate– Stabilizzazione– Applicazione alla robotica mobile– Per lo studio delle politiche ottime di sistemi
manifatturieri ? (dinamiche ibride, superfici di commutazione correlate ai livelli delle scorte...)
Problemi aperti– Discontinuità delle traiettorie– Algoritmi di ottimizzazione per funzioni discontinue– Dipendenza dalle condizioni iniziali