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Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Serbatoi e tubi
Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata
marco.vona@unibas.it http://www.unibas.it/utenti/vona/
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
Consideriamo untubo rettilineo, molto lungo di sezione circolarecostante, disposto orizzontalmente, pieno di un fluido in pressione
La pressione al centro del tubo vale
pRp γ=
2R
Le pareti del tubo sono soggette a una sollecitazione di trazionenella direzione trasversale ovvero nella direzione degli infinitianelli di cui può considerarsi composto
pRN =
Pertanto per effetto della pressione il raggio del tubo aumenta e ladeformazione vale:
pEs
N
E== σε
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
2R
sspessore del tubo
Ovviamente ciò è valido soltanto ad una certa distanza dallesezioni d’estremità
Studiamo ora il tratto d’estremità del tubo nell’ipotesi che siaincastrato perfettamente
l
Es
Rp
Es
NRRw
2
=== ε
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
Da una certa sezione in poi effetto del vincolo sarà trascurabile el’aumento del raggio sarà pari a:
Rε
Nel tratto compreso tra l’incastro d’estremità e tale sezionel’aumento del raggio sarà minore di
Rεe la generatrice del tubo assumerà una forma curva
Lontano dal vincolo di estremità la pressione p si scarica
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
Lontano dal vincolo di estremità la pressione p si scaricaintegralmente sugli anelli mentre in prossimità del vincolo stesso lapressione assorbita dagli anelli sarà pari a:
ppa <
La pressione residua
Viene assorbita dalle strisce longitudinali che si inflettono
as ppp −=
COMPORTAMENTO DEI TUBI
In conseguenza di questi semplici ragionamenti sembra evidentepoter distinguere nei tubi due diversi tipi di comportamento
A membrana: ovvero senza effetti flessionali ad una distanzasufficientedai vincolisufficientedai vincoli
Flessionale: ovvero in prossimità dei vincoli
Consideriamo ora un tubo di lunghezzal incastrato incorrispondenza delle sezioni d’estremità
COMPORTAMENTO DEI TUBI
l
Se 2R è il diametro d del tubo, se questo ha una lunghezzaminore di 2d , il comportamento a membrana (puramentemembranale) non si verifica in alcuna sezione ma si avrà uncomportamento di tipo flessionale
COMPORTAMENTO DEI TUBI
In tal caso il suo comportamento sarà ovunque di tipomembranale
Tubo privo di vincoli di estremità. Immaginiamo il tubo privo divincoli di estremità
In tal caso, sotto l’azione della pressione internap , subirà per tuttala sua lunghezza la deformazione ε
Per rispettare la congruenza occorre applicare alla estremità deltubo i tagli Q1 e Q2 e i momenti M1 e M2
l
COMPORTAMENTO DEI TUBI
Tubo privo di vincoli di estremità
Per ragioni di simmetria sarà:
l
Q Q
M1 M2
Q1 = Q2 e M1 = M2
In questa condizione di carico la pressione è ovunque nulla edunque il comportamento del tubo sarà ovunqueflessionale
Q1 Q2
COMPORTAMENTO DEI TUBI
In generale, il comportamento di un tubo può essere consideratocome la sovrapposizione di un comportamento a membrana dovutoalla pressione applicata al tubo privo dei vincoli e di uncomportamento flessionale dovuto alle reazioni dei vincoli,applicate sul tubo non soggetto alla pressione
Ragionamenti analoghipossono essere condottinel caso di serbatoicilindrici ad asse verticale
p
COMPORTAMENTO DEI SERBATOI
Il serbatoio si comporta come un tubo incastrato alla base, libero insommità, soggetto ad una pressionep variabile linearmente conla profondità
p
COMPORTAMENTO DEI TUBI
Sotto la pressione interna gli anelli si dilatano e, in assenza divincoli, il loro raggio aumenta linearmente con la profondità(comportamento di tipo membranale)
Al contrario il vincolo da luogo ad uncomportamento flessionaleche si smorza con la distanza dal vincolo stesso
p
L’EQUAZIONE DEI TUBI
M
Qdx
Nell’ipotesi che il carico applicato sia normale lungo unqualsiasi anello del tubo risultano in generale diverse da zero lecaratteristiche di sollecitazioneM , Mθθθθ , N e Q
Tutte le caratteristiche dellasollecitazione non nulle
dθθθθMθθθθ N
R
dx
p
sollecitazione non nulledipendono solo dall’ascissa xlungo le generatrici del tubo
Le equazioni di equilibrio nonidenticamente soddisfatte sonodue
L’EQUAZIONE DEI TUBI
M
Qdx
p
1. Equilibrio delle forzenella direzione dellanormale alla superficiemedia del tubo
( ) 0=−− ϑϑϑ NdxdQRddx
ddxRd
dθθθθMθθθθ N
R
pdx
2. Equilibrio dei momentiintorno alla direttrice
( ) 0=− dxMRddx
dQRdxd ϑϑ
L’EQUAZIONE DEI TUBI
M
Qdx
p
Semplificando si ottiene
=
=+
dx
dMQ
pdx
dQ
R
N
dθθθθMθθθθ N
R
p
Ovvero sostituendoQ
pdx
Md
R
N =+2
2
L’EQUAZIONE DEI TUBI
Dall’equazione di equilibriop
dx
Md
R
N =+2
2
È evidente che il caricop si suddivide in due parti dalle quali lacomponente:
R
Npa =
È assorbita dagli anelli (comportamento a membrana) mentre laparte:
2
2
dx
Mdps =
È assorbita dalle strisce (comportamento flessionale)
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
Le equazioni di collegamento sono tre ed esprimono lesollecitazioniM , Mθθθθ , N in funzione delle caratteristiche dideformazione
Tali deformazioni, per le ipotesi fatte e lontano dai vincoli, siriducono al solo spostamento radiale
Consideriamo lo spostamento
R
w
Consideriamo lo spostamentonormale alla superficie mediaw
La deformazione circonferenzialevale
R
w=ϑε
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
Ne consegue il valore della tensione normale in direzionelongitudinale
E poichérisulta:
∂∂+
∂∂
−=
2
2
2
2
21 y
w
x
wEzx ν
νσ
σσσσx
z
E poichérisulta:
02
2
≡∂∂
y
w2
2
2
2
dx
wd
x
w =∂∂
2
2
21 dx
wdEzx ν
σ−
=ϑ
R w
ϑRy =
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
La sollecitazione flessionale conseguente si determina perintegrazione tra i due estremi definiti dallo spessore del tubo
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2 112
1
1 dx
wdD
dx
wdEzzdz
dx
wdEzzdzM x =
−=
−== ∫∫
−− ννσ
δ
δ
δ
δ
Definiamo ora la tensione in direzionecirconferenziale θσ
( )xEνσσε ϑϑ −= 1
−+=+=
2
2
21 dx
wdz
R
wEE x ν
ννσεσ ϑϑ
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
Definiamo ora la tensione in direzionecirconferenziale θσ
zθσ
( )xEνσσε ϑϑ −= 1
−+=+=
2
2
21 dx
wdz
R
wEE x ν
ννσεσ ϑϑ
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
La tensione in direzionecirconferenzialepuò essere vista come lasomma di due differenti contributi: uno costante ed uno variabile
R
wE 2
2
21 dx
wdzE
νν−
zθσ
z z
Termine assiale Termine flessionale
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
Tensione in direzionecirconferenziale
zdzR
wEsdzN == ∫
−
2
2
δ
δϑσ
Mdx
wdEszdzM ν
νσ
δ
δϑϑ =
−== ∫
−2
2
2
32
2 112
1
dxνδ −− 2 112
Sostituendo le espressioni diN ed M nell’equazione di equilibriosi ottiene
pdx
Md
R
N =+2
2
pdx
wdD
dx
dw
R
Es =
+
2
2
2
2
2
L’EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI
Nel caso di tubo a spessore costante (D= cost) si ottiene
Equazione dei tubipdx
wdDw
R
Es =+4
4
2
L’equazionedei tubi è formalmenteanalogaall’equazionedellaL’equazionedei tubi è formalmenteanalogaall’equazionedellalinea elastica dellatrave su suolo elastico con k costante disottofondo e soggetta ad un caricop
pdx
wdEJkw =+
4
4
pEJ
STUDIO DEI TUBI
Lo studio dei tubi si riconduce allo studio di elementi solidigeometricamente assialsimmetrici di forma cilindrica, spessorecostante, soggetti a carichi agenti parallelamente al pianoortogonale all’asse di simmetria
Per tali ragioni la geometria si presta ad essere descritta incoordinatecilindricher , θθθθ e lcoordinatecilindricher , θθθθ e l
Generalmente il problema viene studiato come piano, ipotesi che sipuò ritenere valida soltanto per elementi sottili (h/r piccolo)
Le equazioni principali in coordinate cilindriche si ottengono daquelle in coordinate cartesiane
Nell’ipotesi che il carico esterno applicato sia normale alla SMecostante lungo un qualsiasi anello del tubo risultano in generalediverse da zero le caratteristiche di sollecitazione in direzioneradiale ed in direzione normale alla superficie laterale del genericoelemento di dimensionidr ed altezzah
STUDIO DEI TUBI
Le equazioni di equilibrio non identicamente soddisfatte sono due
( ) 0=⋅−−⋅ ϑϑϑ dNdxdxQRddx
dRdpdx
Equilibrio delle forze lungo la normale alla SM
STUDIO DEI TUBI
dx
( ) 0=−⋅ dxMRddx
ddxQRd ϑϑ
Equilibrio dei momenti intorno alla direttrice della SM
L’INTEGRALE GENERALE DELL’EQUAZIONE DEI TUBI
L’equazione dei tubi trasformata in forma canonica:
D
pw
DR
Es
dx
wd =+24
4
Si pone: ( ) 422
2
24
112 αν =−=RsDR
Es
( )sRRs
3.11322
4 2
≅−= να
(il numeratore varia tra 1.316 perν = 0 e 1.285 per ν = 0.3 )
L’equazione dei tubi diventa:D
pw
dx
wd =+ 44
4
4α
L’INTEGRALE GENERALE DELL’EQUAZIONE DEI TUBI
Si ipotizza che il carico esternop sia espresso da un polinomioin x di grado non superiore a 3 (nei casi praticip è costanteoppure lineare)
Quindi un integrale particolare (soluzione) dell’equazione nonomogenea è data da:
2
Es
pR
D
pw
2
44==
α
Il termine di membrana dovuto al caricop non è altro chel’integrale particolare della equazione non omogenea
Si deduce che è il termine di membrana poiché la sua derivata 4°corrisponde al caricops delle strisce e cioè al comportamentoflessionale