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199
1B LEZIONE
Guido Camata, g.camata@unich.it
Università degli Studi “G. D’Annunzio” Chieti-Pescara
Aprile 2011
200
INTERPOLAZIONE TRA GLI ELEMENTI
Come detto in precedenza l’equilibrio tra gli elementi non é garantito e
quindi nel programma a elementi finiti ci sono degli scarti (interelement
jumps) tra gli elementi adiacenti. Questi scarti sono un indice di quanto
l’elemento sia adatto a simulare il problema, inoltre indicano se la mesh é
sufficientemente fitta per descrivere il problema accuratamente. Gli scarti
possono essere definiti come max(si)-min(si) dove i varia tra 1 e n e n é il
numero di elementi affluenti al nodo.
Senza media Valori mediati
1 2
3 4
-1334
8156 -4482
-6005
-12416
-
20920 -2016 24179
19041
24200
13200
7800
23000
-50 -3300
-1400 -200
100 -3800 -19000
-19000
-4200
-5600 -2800 -4800 -6288
-1200
-20500
-4300
201
INTERPOLAZIONE TRA GLI ELEMENTI
Si deve fare molta attenzione all’interpretazione dei risultati. Solo
l’esperienza dell’analista é in grado di determinare l’accuratezza del
risultato. Si deve sempre tenere in mente che anche se c’é un errore
molto grande negli sforzi, il campo dello spostamento ai nodi potrebbe
essere sufficientemente corretto. Si deve raffinare la mesh dove serve
per predirre gli sforzi nei punti piu’ interessanti.
Fare la media tra in valori ottenuti negli elementi non é sempre corretto
dipende dall’entità dell’interelement jump.
Facendo il global smoothing si perde
qualsiasi informazione sull’entita’
dell’errore e sulla discontinuita’ del
campo di sforzi. ATTENZIONE!
202
ELEMENTI PIANI: ESEMPIO MODELLAZIONE DI
UNA TRAVE IN ACCIAIO
Vincoli e forze
applicate
Deformata
Tensioni
Attenzione i colori sono ottenuti con una interpolazione. I valori
calcolati sono quelli dei punti di Gauss estrapolati ai nodi
203
ELEMENTI PIANI: ESEMPIO MODELLAZIONE DI
VOLTA A BOTTE
1
2
3
U (cm) 1
2
~∞
204
FORZE EQUIVALENTI
Nella formulazione agli elementi finiti, tutte le forze devono essere
rimpiazzate da forze nodali equivalenti (forze consistenti o forze
lumped).
Per comprendere il problema consideriamo la forza di gravità (body
forces) e le forze di superficie (tractions).
205
Nella soluzione esatta in tutti gli elementi sono garantiti equilibrio e
congruenza
Nel caso di una discretizzazione a elementi finiti non é sempre vero:
1. Equilibrio delle forze ai nodi: questa condizione é sempre soddisfatta
per definizione ku = f
2. Congruenza ai nodi: elementi connessi hanno lo stesso campo di
spostamenti al nodo che li connette
EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA
SOLUZIONE
206
3. Congruenza degli spostamenti tra gli elementi: elementi connessi
hanno lo stesso campo di spostamenti sul contorno, se questa condizione
non é soddisfatta l’elemento é chiamato non-compatibile (incompatible) o
non-conforme (nonconforme)
4. Congruenza degli spostamenti all’interno dell’elemento: sempre
soddisfatta per definizione.
EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA
SOLUZIONE
Elemento non
conforme
207
5. Continuità delle tensioni e delle deformazioni fra gli elementi: non
é di solito soddisfatta, l’equilibrio fra gli elementi non necessariamente é
rispettato.
EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA
SOLUZIONE
Tensioni sxx
6. Equilibrio all’interno degli elementi: non é di solito soddisfatta.
208
ELEMENTI MEMBRANA (MEMBRANE)
Possono essere considerati l’equivalente 2D dell’elemento biella1D
z
y
x
pyy
pxy
pxx
b
a
pxx pyy
pxy
pxy
pxy
Non ci sono sforzi perpendicolari al piano.
2
2
t
xx xxtp dzs
2
2
t
yy yytp dzs
2
2
t
xy xytp dz
209
ELEMENTI MEMBRANA (MEMBRANE)
Gradi di libertà
Spesso vengono utilizzati elementi a 4 nodi con drilling d.o.f. (sap
2000, Winstrand). Ogni programma é diverso e si deve controllare gli
elementi che il software possiede. Attenzione al problema dello shear
locking.
12 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.
8 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.
y
q2
q4
q1
q3
z,w
u1
v1
u4
v4
u2
v2
u3
v3
210
ELEMENTI PLATES
Congruenza
Legge costitutiva
Diagramma di Tonti: www.dic.univ.trieste.it/perspage/tonti
Condizioni al
contorno
naturali
Condizioni al
contorno essenziali Spostamenti
approssimati u
forzeb
forze t,q
spostamenti u
Tensioni s
Deformazioni e
Applica BCs
Condizioni
sul corpo
naturali
Equilibrio forzato
(debole)
0
STRONG FORM
211
ELEMENTO PIASTRA SOTTILE (THIN PLATE)
Possono essere considerati l’equivalente 2D (teoria di Kirckhoff)
dell’elemento trave alla Bernoulli 1D
z
y
x
mxy
mxx
mxy
b
a
mxy mxy
myy
myy
mxx
2
2
t
xx xxtm t dzs
2
2
t
yy yytm t dzs
2
2
t
xy xytm t dz
v23
v23
v13
v13
2
2
t
xz xztv dz
2
2
t
yz yztv dz
212
ELEMENTO PIASTRA SOTTILE ( PLATE) Gradi di libertà
q7
q8
y
q3
q6
q1
q2
q4
q5
12 gradi di libertà
x
z,w z4
z1
z2
z3
213
ELEMENTO SHELL (PIASTRA + MEMBRANA)
Possono essere considerati
l’equivalente 2D dell’elemento trave
alla Eulero-Bernoulli 1D
z
y
x
mxy
mxx
mxy
b
a
mxy mxy
myy
myy
mxx
2
2
t
xx xxtm t dzs
2
2
t
yy yytm t dzs
2
2
t
xy xytm t dz
v23
v23
v13
v13 2
2
t
xz xztv dz
2
2
t
yz yztv dz
pyy
pxy
pxx
pyy
pxy
pxy
2
2
t
xx xxtp dzs
2
2
t
yy yytp dzs
2
2
t
xy xytp dz
214
+
12+12 = 24 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.
8+12 = 20 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.
ELEMENTO SHELL (PIASTRA + MEMBRANA) Gradi di libertà
q7
q8
y
q3
q6
q1
q2
q4
q5
x
z,w z4
z1
z2
z3
y
q2
q4
q1
q3
x
z,w
u1
v1
u4
v4
u2
v2
u3
v3
215
ELEMENTO SHELL SPESSA (THICK PLATE)
Possono essere considerati
l’equivalente 2D (teoria di Mindlin-
Reissner) dell’elemento trave alla
Eulero-Timoshenko 1D.Tengono
conto della deformazione tagliante.
z
y
x
mxy
mxx
mxy
b
a
mxy mxy
myy
myy
mxx
2
2
t
xx xxtm t dzs
2
2
t
yy yytm t dzs
2
2
t
xy xytm t dz
v23
v23
v13
v13
2
2
t
xz xztv dz
2
2
t
yz yztv dz
pyy
pxy
pxx
pyy
pxy
pxy
2
2
t
xx xxtp dzs
2
2
t
yy yytp dzs
2
2
t
xy xytp dz
ATTENZIONE: pochi programmi hanno a disposizione questo elemento
216
+
12+12 = 24 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.
8+12 = 20 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.
ELEMENTO SHELL SPESSA (THICK PLATE) Gradi di libertà
q7
q8
y
q3
q6
q1
q2
q4
q5
x
z,w z4
z1
z2
z3
y
q2
q4
q1
q3
x
z,w
u1
v1
u4
v4
u2
v2
u3
v3
217
FORMULAZIONE IDEALE
Moltissimi elementi sono stati proposti per l’elemento piastra. Un
elemento ideale dovrebbe avere i requisiti seguenti:
1. La formulazione dovrebbe essere basata sulla meccanica del
continuo e sulla teoria delle piastre.
2. L’elemento dovrebbe essere corretto numericamente e
convergente. In altre parole l’elemento dovrebbe possedere i
tre moti rigidi e essere di rango completo (no rank deficiency)
3. L’elemento non dovrebbe avere problemi di locking nelle piastre
sottili
4. L’elemento dovrebbe essere poco sensibile alle distorsioni
218
LOCKING
L’elemento shell tende al “locking” quando è molto sottile.
Questo problema si aggrava in presenza di grandi distorsioni
dell’elemento
Soluzioni possibili:
•Integrazione ridotta
•Elementi non conformi
•Formulazioni ad hoc
219
ELEMENTI SOLIDI
Gli elementi solidi possono essere visti come un’estensione in 3D
degli elementi bidimensionali. Si applicano le stesse regole degli
elementi isoparametrici bidimensionali.
8 nodi 20 nodi
Gli elementi a 8 nodi soffrono del problema dello shear locking.
Normalmente si utilizzano integrazioni ridotte o modi supplementati
(incompatible modes)
220
CONSIDERAZIONI
DI
MODELLAZIONE
221
Stima dell’errore
Considerazioni di modellazione
Condizioni di vincoli
Sistema resistente al carico gravitazionali
Sistema resistente a carichi orizzontali
Esempi
222
STIMA DELL’ERRORE
I risultati ottenuti con un software FEA contiene errori, a parte quando il modello matematico e’ molto semplice (elementi rod, beam etc.)
Gli errori possono essere classificati nel modo seguente:
• Errori inerenti la modellazione. Sono dovuti alla differenza tra il modello fisico e il modello matematico.
• Errori dell’utilizzatore. Input: condizioni di vincolo, carichi, Materiali e scelta dell’elemento; output: incapacità nell’interpretare i dati.
• Software non appropriato. Errori nell’implementazione (succede spesso).
• Errori nella discretizzazione. Si passa da un sistema fisico continuo a un sistema con un limitato d.o.f.
• Errori numerici e di troncamento. Esempio: x = 1.23456, y = 1.23455, x - y = 10-5.
• Errori di manipolazione. Sono possibili in dinamica e nelle soluzioni non Lineare.
223
STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”
Una piccola variazione numerica nei coefficienti della matrice provoca
delle grandi variazioni nei risultati.
Esempio: Ku = F
1 1 1
1 1 2 2 0
k k u P
k k k u
P
1 2
u1 u2
k1 k2
u2
u1
u2
u1
k1u1-k1u2 = P (1)
-k1u1+(k1+k2)u2 = 0 (2)
(1)
(2) k1<=k2 k1>>k2
(1)
(2)
Ben condizionato Mal condizionato
224
STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”
In ingegneria strutturale quindi le soluzioni mal condizionate sono
quelle per esempio dove una struttura rigida e’ supportata da una
regione flessibile.
P
225
STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”
FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 54 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 19 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 900 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 7.258 KB NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 54 * * * W A R N I N G * * * NUMERICAL PROBLEMS ENCOUNTERED DURING EQUATION SOLUTION: TYPE LABEL DOF X-COORD Y-COORD Z-COORD PROBLEM VALUE ----- ------- -- ----------- ----------- ----------- ------------- ----------- Joint 7 RX -0.500000 .000000 2.000000 Lost accuracy 14.3 digits * * * W A R N I N G * * * EXCESSIVE LOSS OF ACCURACY WAS DETECTED DURING THE SOLUTION OF EQUATIONS NUMBER OF DIGITS LOST EXCEEDED 11.0 * * * W A R N I N G * * * THE STRUCTURE IS UNSTABLE OR ILL-CONDITIONED !! CHECK THE STRUCTURE CAREFULLY FOR: - INADEQUATE SUPPORT CONDITIONS, OR - ONE OR MORE INTERNAL MECHANISMS, OR - ZERO OR NEGATIVE STIFFNESS PROPERTIES, OR - EXTREMELY LARGE STIFFNESS PROPERTIES, OR - BUCKLING DUE TO P-DELTA OR GEOMETRIC NonlineareITY, OR - A FREQUENCY SHIFT (IF ANY) ONTO A NATURAL FREQUENCY
226
STIMA DELL’ERRORE – Errori di discretizzazione, velocitá di convergenza
w=wx(x)
x
L
N
wx(x)
N+dN
dx
dx
x
2
2
( )( )x
d u xEA w x
dx
Se EA = cost:
xi xi+1
1 111 i i
APPROX i i
i i
x x x xu x u u
h h
Lo spostamento tra il punto x e il nodo xi:
x
hi
Soluzione esatta, u(x)
227
A) Tensione piana: = 4.562
B) Tensione piana + modi incompatibili:
= 8.572
C) Shell: = 8.567
STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh
P=100 E=104 n=0.25
A) Tensione piana: = 4.469
B) Tensione piana + modi incompatibili:
= 8.649
C) Shell: = 8.593
A=0.1x0.4
3 6Soluzione esatta: 8.64 0.18 8.820
3 5
FL FL
EI GA
4x1
4x2
L=2.4
228
STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh
A) Tensione piana: = 8.273
B) Tensione piana + modi incompatibili:
= 8.766
C) Shell: = 8.760
16x4
A) Tensione piana: = 7.048
B) Tensione piana + modi incompatibili:
= 8.711
C) Shell: = 8.694
8x2
229
STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh
Errore negli sforzi C
4x1 7%
4x2 9%
8x2 2%
16x4 -3%
A B C
4x1 49% 2% 3%
4x2 48% 3% 3%
8x2 20% 1% 1%
16x4 6% 1% 1%
1 2 2 1
2 1
q q
esatta q q
u h u hu
h h
% di errore negli spostamenti
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
4x1 4x2 8x2 16x4
ABC
230
Stima dell’errore
Considerazioni di modellazione
Condizioni di vincoli
Sistema resistente al carico gravitazionali
Sistema resistente a carichi orizzontali
Esempi
231
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE
Quali elementi si devono usare: biella, trave, membrana, shell,
Solido?
Se piani: triangolari o rettangolari?
Quanti elementi? Come le mesh devono essere raffinate?
Per rispondere a queste domande si deve capire come la
struttura e gli elementi si comportano. Un elemento può
rappresentare un campo di spostamenti non più complicato
della formulazione contenuto nella sua formazione.
Per questo motivo non si devono utilizzare elementi a 3 o 4
nodi da soli in quanto non possono rappresentare una
variazione Lineare della deformazione e perché hanno il
problema dello shear locking.
232
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE
“KEEP IT SIMPLE”, Carlos Felippa
1. Usare l’elemento più semplice in grado di risolvere il
problema
2. Mai usare elementi complicati se non si conoscono
perfettamente
3. Usare la mesh più grossa (coarse) possibile in grado di
catturare il comportamento della struttura.
233
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili
Le strutture sottili hanno modi di deformarsi più complesse
delle travi tradizionali
P
z
x
y
P
z
y
Elementi shell a 4 nodi
con d.o.f.
234
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili
1
2
s22
s11
smax
Piano analizzato
Mesh di cattiva
qualitá, deve
essere raffinata
Sforzo di
taglio elevato
-36
36
s22
Mesh
migliorata
235
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili: serbatoi
Vb
Mb Mb
Vb
Sforzo membranale
lungo la circonferenza sqq
Sforzo flessionale
sxx
x
Gradiente
molto alto
Attenzione alla
concentrazione di
tensioni
236
MODELING REMARKS Model 1 - 20 elements L=4200 mm
Flexural forces, Mxx, Myy
237
MODELING REMARKS Model 2 - 80 elements L = 1050 mm
Flexural forces, Mxx, Myy
238
MODELING REMARKS Model 3 - 240 elements L = 350 mm
Flexural forces, Mxx, Myy
239
MODELING REMARKS Model 4 - 800 elements L = 43.8 mm
Flexural forces, Mxx, Myy
240
MODELING REMARKS Model 5 - 1560 elements L = 14.6 mm
Flexural forces, Mxx, Myy
241
MODELING REMARKS Comparison - Flexural forces, Mxx
Model 1
Max = 0.2 kNm/m Model 3
Max = 96.3 kNm/m Model 5
Max = 166.8 kNm/m
242
MODELING REMARKS Comparison – Membrane forces, Fyy
Model 1
Max = 4.7 kN/m
Model 3
Max = 13.6 kN/m
Model 5
Max = 13.5 kN/m
MODELING REMARKS Connection between elements
Element 3D Degrees of Freedom
Truss 3 x node translation in DX, DY, DZ;
Beam 6 x node
translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ
Membrane 3 x node
translation in DX, DY, DZ;
Membrane + drilling 4 x node translation in DX, DY, DZ; rotation in RZ
Shell 5 x node translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ
Shell + drilling 6 x node
translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ
Brick 3 x node translation in X, Y, Z
244
CONNESSIONI TRA ELEMENTI
Elementi trave connessi a
elementi senza drilling d.o.f.
Il nodo di connessione si
comporta come una cerniera
Si può allungare la trave
facendo attenzione poiché
gli sforzi non sono realistici
nei pressi della connessione
In generale I nodi
dovrebbero corrispondere
Alcuni software permettono
di unire elementi con mesh
diverse, sfruttando la
definizione di funzione di
forma
“Zipper”
COLLEGAMENTI TRA MESH
246
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
Rifinire la mesh nei punti dove ci possono essere alti gradienti di
deformazione (tensioni).
• Angoli rientranti o spigoli
• Nella vicinanza di carichi concentrati, reazioni, fessure.
• All’interno delle strutture dove ci sono variazioni di spessori o di Materiale.
Tagli Fessure Rientranze Forze concentrate
(anche in zone)
Saldature Spessori
diversi
Zone di
interfaccia
247
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
Fessura 2
Fessura 1
Load step a (Displacement = 0.031 mm)
Load step b (Displacement = 0.077 mm)
Load step c (Displacement = 0.088 mm)
Zone con gradienti di deformazioni elevati
248
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
Load cell
Faces
Core
48.5 in
¾ in. steel Piastra
13 in
½ in. rubber pad
Teflon sheet
½ in. steel Piastra
249
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
250
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
Panel local
bending