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Le “curve di livello”Le “curve di livello”

I.T.C. “Cassandro” Barletta

Attraverso l’ elaboratore elettronico il grafico di una funzione di 2 variabili si può costruire:

• per punti

• con le “curve di livello”

x

z

y

Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY

x

z

y

Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY

x

z

y

Nel piano XY le curve di livello sono rappresentate da un “fascio di curve”

x

y

In questo esempio le curve di livello sono circonferenze concentriche:

Svolgiamo un esempio con i calcoli:

z = x2 + y2

Svolgiamo un esempio con i calcoli:

z = x2 + y2

Intersechiamo questa funzione con piani paralleli al piano XY. Questi piani hanno equazione: z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:

z = x2 + y2

z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:

z = x2 + y2

z = k

→k = x2 + y2

z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:

z = x2 + y2

z = k

→k = x2 + y2

z = k

Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nell’ origine e raggio √ k .

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10

x2 + y2 = k

Costruzione in 3-D per punti della funzionez = x2 +

y2

Esercizio:

Determiniamo alcune linee di livello della funzione:

z = x2 + y2 – 10x

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

z = x2 + y2 – 10x

z = k

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

k = x2 + y2 – 10x

z = k

z = k

z = x2 + y2 – 10x

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

k = x2 + y2 – 10x

Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto

α = - a/2 β = - b/2

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

k = x2 + y2 – 10x

Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto

C (5; 0)

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

k = x2 + y2 – 10x

Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto

C (5; 0)

e aventi raggio: r = √ α2 + β2 – c

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

k = x2 + y2 – 10x

Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto

C (5; 0)

e aventi raggio: r = √ 25 + k .

r = √ 25 + k

Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi:

k ≥ - 25

r = √ 25 + k

Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi:

k ≥ - 25

Le curve di livello non esistono se

k < - 25

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

Per k = -25 si ha il Per k = -25 si ha il punto (5; 0)punto (5; 0)

Esercizio:

Determiniamo alcune linee di livello della funzione:

x

yxz

6

422

kzx

yxz

6

422

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

kzx

yxz

6

422

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

kzx

yxk

6

422

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

kz

xx

yxkx 6

6

46

22

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

kz

xx

yxkx 6

6

46

22

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

kz

xx

yxkx 6

6

46

22

04622 kxyx

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono

equazioni di circonferenze con centro nel punto

α = 3k β = 0

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono

equazioni di circonferenze con centro nel punto

α = 3k β = 0C (3k; 0)

Le sezioni ottenute hanno equazioni:

x2 + y2 – 6kx + 4 = 0Al variare di k, queste sono

equazioni di circonferenze con centro nel punto

α = 3k β = 0C (3k; 0)

e raggio: r = √ 9k2 - 4

r = √ 9k2 - 4

Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:

r = √ 9k2 - 4

Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:

k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3

r = √ 9k2 - 4

Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:

k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3

Le curve di livello non esistono se

-2/3 < k < 2/3