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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE STRUTTURALE
Università di Pisa
Corsi di Laurea in Ingegneria Edile ed EdileCorsi di Laurea in Ingegneria Edile ed Edile--ArchitetturaArchitettura
Costruzioni in Zona Sismica. Parte 2c.La progettazione strutturale antisismica
Docente:
Ing. Walter Salvatore
Anno Accademico 2003Anno Accademico 2003--20042004
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La progettazione strutturale anti-sismica
Un approccio progettuale esauriente deve prevedere i seguenti passi:
- selezione dei livelli di prestazione richiesti;- definizione dei livelli di verifica strutturale;- determinazione dei livelli di azione sismica corrispondenti a ciascun
livello di verifica;- definizione dei criteri di progetto;- scelta del modello strutturale;- selezione del tipo di analisi strutturale appropriato;- definizione delle procedure di verifica.
[Rif. Bibl. Gioncu V., Mazzolani F.M., 2002. Ductility odseismic resistant steel structures. Spon Press, New York]
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[Rif. Bibl. Petrini, Pinho, Calvi, 2004. Criteri di progettazioneantisismica degli edifici. IUSS Press, Pavia] Analisi strutturale
Richiami di dinamica strutturale: sistemi ad un grado di libertà.
Si consideri un sistema ad un grado di libertà (1-GDL) caratterizzato da una massa M, disposta
sopra due piedritti elastici di massa trascurabile e rigidezza k ed un elemento viscoso di massa
nulla e constante C.
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Analisi strutturale
Dato un sistema di riferimento inerziale fisso, rappresentata l’eccitazione sismica come uno
spostamento orizzontale del suolo xg(t), il sistema oscillerà con uno spostamento relativo u(t)
rispetto al terreno in modo tale che spostamento, velocità e accelerazione assoluti del sistema
risultino essere espressi dalle seguenti relazioni:
dove un punto soprasegnato indica la derivata prima rispetto al tempo e due punti indicano la
derivata seconda.
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Analisi strutturale
Applicando la seconda legge di Newton:
si ottiene l’equazione del moto del sistema:
dalla quale è possibile ricavare, note le condizioni iniziali del sistema ( du(t)/dt e u(t) per t=0 ), lo
spostamento nel tempo della struttura.
Più comunemente l’equazione precedente si trova scritta nella forma:
dove l’accelerazione assoluta è stata divisa in accelerazione del terreno ( d2xg/dt2 ) e accelerazione
della massa della struttura rispetto al terreno ( d2u/dt2 ) e dove sono stati introdotti due parametri
caratteristici della struttura:
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Analisi strutturale
• La pulsazione o frequenza angolare
da cui si ricava il periodo naturale
Il periodo è la caratteristica dinamica più importante di un sistema in quanto, rappresentando il
tempo impiegato per compiere un’intera oscillazione (un sistema con smorzamento nullo,
disturbato dal suo stato di quiete, u(0)∫0, oscilla indefinitamente con periodo T) dà informazioni
circa il modo con cui il sistema risponde quando sollecitato da vibrazioni del terreno.
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Analisi strutturale• Lo smorzamento relativo al critico:
dove ccr=2 m ω è lo smorzamento critico, ovvero quel valore di smorzamento tale per cui se
c¥ccr (ξ ¥1) la struttura, disturbata dal suo stato di quiete u(0)∫0, ritorna nella configurazione
iniziale senza oscillazioni. Se invece c<ccr (ξ<1), il sistema, disturbato dal suo stato di quiete,
oscilla con ampiezze decrescenti, avendo frequenza smorzata
e periodo proprio
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Analisi strutturalePer le strutture in cemento armato e muratura si assumono comunemente smorzamenti intorno al
5% dello smorzamento critico, per quelle in acciaio attorno al 2%.
Da ciò si ricava solitamente che il termine (1-ξ2) risulta essere molto prossimo ad uno: l’influenza
dello smorzamento sui parametri caratteristici della risposta dinamica risulta quindi trascurabile.
Si assume infatti generalmente
D =ω ωe coerentemente
=DT TLa soluzione dell’equazione del moto del sistema può essere scritta, assumendo ωD=ω, nella
forma dell’integrale di Duhamel:
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Analisi strutturale
Noto lo spostamento relativo del sistema è immediato ricavare la velocità relativa; derivando
l’equazione precedente di ottiene:
Ed infine l’accelerazione assoluta si ricava sostituendo nell’equazione del moto
= −ω − ωξ2x u 2 ule espressioni dello spostamento relativo e della velocità relativa.
Noto quindi il moto della struttura è possibile calcolare le azioni interne necessarie per progettare
e/o verificare una struttura. Per ottenerle è possibile seguire due strade:
- E’ possibile calcolare, essendo noti in ogni istante di tempo gli spostamenti della struttura, le
rotazioni nei nodi degli elementi strutturali (nella colonna per il caso considerato) e quindi
ricavare, conoscendo la rigidezza del singolo elemento, le caratteristiche di sollecitazione.
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Analisi strutturale
- E’ possibile definire ad ogni istante di tempo, nota la rigidezza k del sistema, una forza di
statica equivalente:
= ⋅SF k u( t )
tale che, applicata al sistema, induca spostamenti uguali a quelli calcolati risolvendo l’equazione
del moto; le azioni interne sono quindi calcolate ad ogni istante di tempo con una analisi statica
della struttura soggetta alla forza equivalente. Si noti che la forza statica equivalente coincide con
la forza di richiamo elastico indotta dal moto del sistema. Questo è facilmente intuibile se si
considera che sollecitazioni e sforzi sono dovuti al solo spostamento relativo del sistema, essendo
nulli gli effetti di un moto rigido sul sistema.
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Analisi strutturaleQuest’ultimo approccio è quello solitamente seguito nell’ingegneria sismica in quanto permette di
trattare gli effetti del terremoto come dei carichi statici. Ricordando la definizione di frequenza
propria è possibile riscrivere la forza statica equivalente nella forma:
( ) ( )= ⋅ = ω ⋅ = ⋅2SF k u( t ) m u t m a t
dove si nota che la forza statica può essere calcolata come il prodotto della massa del sistema per
una accelerazione a(t) = ω 2 u(t) generalmente indicata come pseudo-accelerazione. Il significato
di a(t) può essere inteso considerando l’equazione del moto per l’oscillatore semplice
= −ω − ωξ2x u 2 uquando lo smorzamento x è nullo, il valore assoluto della pseudo-accelerazione e quello
dell’accelerazione assoluta coincidono
= ω2x u
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Analisi strutturale
Analogamente si può definire una pseudo-velocità v(t)=ωu(t) i cui valori massimi coincidono con
quelli della velocità relativa del sistema quando lo smorzamento x è nullo.
Generalmente non è necessario calcolare FS ad ogni istante di tempo, ma è sufficiente conoscere
la massima forza agente sul sistema durante l’azione sismica, essendo quella che indurrà le
massime sollecitazioni. Risultando quindi:
= ω ⋅ = ⋅S
max 2 max maxF m u m a
Si capisce come, per valutare l’effetto di un sisma, possa essere utile conoscere lo spostamento o
la pseudo-accelerazione massimi indotti da questo su diversi sistemi ad 1-GDL, ovvero al variare
del periodo proprio del sistema, essendo T l’elemento caratterizzante il sistema.
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Analisi strutturale
Utilizzando la definizione di spettro di risposta elastico, l’espressione della forza statica
equivalente massima diventa:
= ⋅ = ⋅ ω ⋅ = ⋅S
max 2De De AeF k S m S m S
Da qui, esprimendo la forza massima in funzione del peso della struttura (W=Mg con g
accelerazione di gravità), si ottiene:
dove C è il coefficiente sismico elastico. L’equazione precedente ha il seguente significato: per
determinare il massimo sforzo e la massima deformazione di un sistema ad 1-GDL elastico, si
può applicare staticamente alla massa concentrata m una forza orizzontale
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Analisi strutturale
pari la peso della struttura moltiplicato per il coefficiente sismico, il quale viene immediatamente
ricavato dallo spettro elastico di risposta di pseudo-accelerazione SAe una volta noti periodo e
smorzamento della struttura.
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Analisi strutturaleRichiami di dinamica strutturale: sistemi a più gradi di libertà.
Le strutture tipiche dell’ingegneria civile non sono sempre schematizzabili come semplici sistemi
ad un grado di libertà, bisogna quindi fare ricorso a modelli più complessi, con molteplici gradi di
libertà. Nel caso frequente di edifici multipiano con solai rigidi nel piano, è possibile
schematizzare la struttura considerando le masse concentrate nei piani e assumendo come gradi
di libertà il minimo numero di spostamenti e rotazioni indipendenti delle masse concentrate.
Se si ipotizza, quindi, un edificio di n piani con diaframmi orizzontali infinitamente rigidi nel loro
piano e colonne infinitamente rigide assialmente, il suo comportamento nello spazio sarà descritto
da 3 µ n gradi di libertà (due spostamenti orizzontali secondo direzioni ortogonali e una rotazione
attorno all’asse verticale per piano; se ci si limita allo studio nel piano, questi si ridurranno a n
gradi di libertà, pari ai soli spostamenti orizzontali dei piani.
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Analisi strutturale
Edificio a 5 piani con solai rigidi nel piano (5 GDL)
(a) modello piano;
(b) modello con masse concentrate;
(c) modi propri di vibrare normalizzati rispetto al massimo spostamento.
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Analisi strutturale
Elemento fondamentale nell’analisi dinamica di sistemi M-GDL è l’individuazione dei
modi propri di vibrare: essi, in numero pari al numero di gradi di libertà della struttura,
costituiscono le oscillazioni periodiche libere del sistema elastico non smorzato.
La loro combinazione lineare definisce la posizione del sistema ad ogni istante.
In ciascun modo tutte le masse del sistema oscillano con la medesima pulsazione ed in
fase, mantenendo immutati i rapporti tra le ampiezze.
Ciò implica che per ogni oscillazione le masse passano attraverso il punto di massimo
spostamento allo stesso istante.
Per calcolare i modi propri di vibrare si utilizzano gli strumenti dell’analisi modale.
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Analisi strutturaleConsiderato un sistema con n GDL, non smorzato e non soggetto a forzanti, indicati con U il
vettore dei gradi di libertà (spostamenti relativi), con M la matrice delle masse, con K la matrice
delle rigidezze, l’equazione che descrive le oscillazioni libere del sistema assume la forma:
L’integrale generale del sistema di equazioni precedente può essere espresso come combinazione
lineare di n integrali del tipo:
Essendo Φ un vettore di componenti costanti, purché ω e Φ soddisfino la relazione:
la quale ammette soluzioni con valori non tutti nulli di Φ se e solo se il determinante dei
coefficienti si annulla cioè quando risulta:
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Analisi strutturale
L’equazione precedente è di grado n nell’incognita ω la cui soluzione fornisce i valori ωi delle
frequenze proprie del sistema (autovalori) e quindi i corrispondenti periodi propri:
⋅ π=
ωii
2T
Ad ogni periodo è associato un vettore Φi (autovettore) soluzione dell’equazione (K-ω2M) Φ=0
che, a meno di una costante, definisce l’i-esimo modo proprio di vibrare della struttura.
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Analisi strutturale
Nei sistemi schematizzabili con modelli piani, il modo proprio con periodo più lungo è
definito il modo fondamentale o primo modo; nel caso di modelli spaziali si considerano i tre
periodi più lunghi associati rispettivamente ai due modi traslazionali e a quello rotazionale.
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Analisi strutturale
E’ possibile dimostrare che per i modi i e j aventi distinti autovalori (ωi∫ ωj), i rispettivi
autovettori (Φi e Φj) sono ortogonali rispetto alla matrice delle masse e delle rigidezze. Ciò si
traduce numericamente nelle due relazioni matriciali:
E’ d’altra parte possibile esprimere la soluzione del sistema di equazioni che descrive il moto
dell’intera struttura tramite una sovrapposizione modale: infatti il vettore spostamento di un
sistema è descrivibile tramite un’appropriata sovrapposizione dei modi propri. Introdotte delle
particolari coordinate generalizzate zi(t), dette coordinate principali, si scrive:
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Analisi strutturale
Sostituendo la precedente espressione del vettore spostamento nell’equazioni del moto si ottiene:
Premoltiplicando per Φj e ricordando le relazioni di ortogonalità tra autovettori associati ad
autovalori distinti (Φi e Φj) con (ωi∫ ωj) si ottiene:
da cui, avendo posto:= Φ ⋅ ⋅ Φ
= Φ ⋅ ⋅ Φ
* Tj j j
* Tj j j
M M
K K
Φ
Φ
=
=
si ha:
( ) ( )⋅ + ⋅ =* *j j j jM z t K z t 0
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Analisi strutturale
Essendo il quadrato della frequenza propria del j-esimo modo proprio della struttura pari a:
Essa rappresenta l’equazione del moto del modo j-esimo. E’ quindi possibile, introducendo le
coordinate principali, trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali
accoppiate ad un sistema di n equazioni indipendenti (una per ogni modo) ad un solo grado di
libertà z(t). La risposta nelle originarie coordinate geometriche U(t) si ottiene calcolando i moti
delle coordinate principali e quindi combinandoli linearmente.
Questo significa, da un punto di vista operativo, vedere la struttura come un insieme di sistemi
ad un solo grado di libertà che collaborano a definire il comportamento globale della struttura.
l’equazione precedente diventa:
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Analisi strutturaleE’ utile notare che in molti casi i contributi agli spostamenti sono maggiori per i modi con
periodo alto e tendono a diminuire per i modi con periodo basso. Generalmente, quindi, non è
necessario calcolare tutti i modi per conoscere lo spostamento con sufficiente approssimazione.
Al limite se il primo modo di vibrare risulta essere preponderante sugli altri, ovvero gli
spostamenti dovuti al primo modo sono nettamente superiori a quelli dovuti agli altri modi, è
possibile approssimare il comportamento del sistema M-GDL con quello di un sistema ad un
solo grado di libertà avente periodo proprio pari al primo periodo della struttura.
Si consideri ora un sistema M-GDL con smorzamento viscoso (C matrice di smorzamento)
soggetto ad eccitazione sismica: in analogia con quanto visto per un sistema 1-GDL, l’equazione
del moto del sistema assume la forma:
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Analisi strutturale
dove l’effetto del sisma è rappresentato da una forza proporzionale alla matrice delle masse e
all’accelerazione del terreno tramite il vettore di influenza del terremoto R che fornisce gli
spostamenti nella direzione dei gradi di libertà del sistema per uno spostamento unitario del
terreno.
Si consideri il modello di telaio a solai rigidi nel piano:
Il modello essendo bi-dimensionale
(piano x-z) avrà come gradi di libertà i
soli spostamenti dei piani in direzione
x, da cui si deduce che, per uno
spostamento del terreno unitario in
direzione x, il vettore R associato al
modello sarà un vettore unitario.
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Analisi strutturale
Nel caso di modello spaziale di un edificio con telai orditi in direzione x e y e solai rigidi nel
piano, i gradi di libertà saranno tre per piano (due traslazioni Uix, Uiy ed una rotazione Uiθ)
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Analisi strutturaleUno spostamento unitario del terreno in direzione x fornirà quindi un vettore di influenza di
componenti unitarie in corrispondenza degli Uix e nulle per gli altri gradi di libertà. Infine, uno
spostamento del terreno unitario in direzione obliqua rispetto all’edificio (angolo q rispetto
all’asse x) fornirà un vettore con componenti non nulle in direzione x e y, pari rispettivamente a
cos(θ) e sin (θ).
Applicando quanto visto prima, dopo aver risolto il problema agli autovalori e quindi note le
frequenze proprie del sistema ωj e i modi propri Φj, anche in questo caso si riconduce la
soluzione del sistema di equazioni del moto alla soluzione di n equazioni disaccoppiate nelle
coordinate generalizzate del tipo:
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Analisi strutturale
γj rappresenta il coefficiente di partecipazione del j-esimo modo di vibrare.
Questo è possibile ammesso che si assuma che la matrice degli smorzamenti C sia fatta in modo
tale che i modi di vibrare rimangano disaccoppiati; si richiede quindi che:
Da ciò si nota come la scelta della forma della matrice degli smorzamenti sia dettata più da
esigenze di calcolo, per rendere più semplice la soluzione del problema, che non da riscontro
fisico.
A giustificazione, almeno in parte, di una tale scelta si può portare il fatto che lo smorzamento
viscoso è piccolo se confrontato con lo smorzamento isteretico indotto dal comportamento non
lineare della struttura durante il moto sismico ed inoltre la sua conoscenza è sempre comunque
approssimata.
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Analisi strutturale
Una classica espressione usata per la matrice di smorzamento è quella della matrice di Rayleigh:
C M K= α ⋅ + β ⋅Dove i parametri α e β sono tipicamente scelti per ottenere un corretto ordine di grandezza dello
smorzamento in corrispondenza degli estremi delle frequenze che contribuiscono alla risposta
della struttura.
Possono quindi essere calcolati nel seguente modo:
14max min
max min
max min
T TT TT T
α = πξ+
⋅ξβ =
π +Dove Tmax e Tmin sono i periodi non smorzati che definiscono l’intervallo di frequenze di
interesse
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Analisi strutturaleE’ utile notare che generalmente non è necessario calcolare la matrice degli smorzamenti:
l’utilizzo della decomposizione modale permette, come appena spiegato, di ridursi alla soluzione
delle equazioni del moto di sistemi ad 1-GDL e quindi è sufficiente conoscere il coefficiente di
smorzamento relativo al critico di ciascun sistema.
La conoscenza di C è necessaria solo nel caso si eseguano analisi dinamiche non lineari.
La soluzione del sistema di equazioni nelle coordinate principali zj si ottiene dalla soluzione νj(t)
dell’equazione del moto di un oscillatore semplice soggetto ad eccitazione pari all’accelerazione
del suolo:
(dove il segno della forza è poco significativo a causa del carattere oscillante dell’azione sismica)
amplificata del fattore γj:
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Analisi strutturaleIl vettore spostamento relativo prodotto nel j-esimo modo sarà allora:
Noti i contributi dei modi, per la sovrapposizione modale, il vettore spostamento relativo risulterà
pari a:
avendo indicato con Φ la matrice quadrata di componenti Φ1, Φ2,…,Φn e con Z il vettore di
componenti zi(t).
Identicamente, si potranno ottenere le sollecitazioni agenti sul sistema tramite la sovrapposizione
modale delle sollecitazioni calcolate in corrispondenza di ciascun modo.
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Analisi strutturaleOperando come nel caso di un sistema ad 1-GDL, noti gli spostamenti relativi, si calcolano le
forze statiche equivalenti associate ai modi tramite la relazione:
( ) ( ) ( )SF t K U t K Z t= ⋅ = ⋅ Φ ⋅ed essendo:
posta Ω matrice diagonale dei quadrati delle frequenze modali ω2j, si ottiene:
dove il prodotto ω2j νj è la pseudo-accelerazione del modo j-esimo.
Svolgendo, ad ogni istante di tempo t del sisma, per ogni distribuzioni di forze statiche
equivalente associata ad un modo, un’analisi statica della struttura, è possibile ricavare allo stesso
istante reazioni e sollecitazioni interne, semplicemente sommando i contributi derivanti da tutte le
analisi.
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Analisi strutturaleAd esempio, la forza di taglio alla base di un telaio di n piani a solai rigidi nel piano, è data dalla
somma di tutte le forze statiche agenti sul sistema:
essendo FSi(t) la forza agente sull’i-esimo piano della struttura.
Il termine
ha le dimensioni di una massa ed è solitamente indicato come la massa efficace della struttura nel
modo j-esimo poiché può essere interpretato come la parte di massa totale che risponde al
terremoto secondo il modo j-esimo. Questa interpretazione è valida però solo se si fa riferimento
a strutture a telaio a solai rigidi nel piano; in questo caso la massa totale risulta pari alla somma
delle masse efficaci dei vari modi:
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Analisi strutturale
Se non si è interessati al comportamento nel tempo del sistema M-GDL, ma soltanto alla
massima risposta è possibile utilizzare lo spettro di risposta come descritto nel caso di un sistema
1-GDL. Quindi, con riferimento ai valori assoluti, il massimo vettore spostamento relativo ed il
massimo taglio alla base in corrispondenza del modo j-esimo risulteranno rispettivamente:
E’ importante notare che la risposta globale del sistema non può essere ottenuta sommando
semplicemente i vettori modali dedotti con lo spettro di risposta: infatti, ciascun modo
raggiungerà il valore massimo in un tempo diverso dagli altri e quindi non vi sarà mai un istante di
tempo in cui la risposta della struttura sarà pari alla somma di tutti i vettori massimi.
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Analisi strutturalePer ottenere la risposta del sistema si utilizzano delle tecniche di combinazione dei modi derivanti
dall’analisi probabilistica. Ricordando inoltre che le masse modali dei primi modi sono
generalmente preponderanti, si deduce che per un’analisi modale con spettro di risposta può
essere sufficiente considerare solo i primi modi.
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Analisi strutturale
Metodi di analisi strutturale.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003.
Metodi di analisi strutturale
Nelle norme sono ammessi quattro metodi di analisi caratterizzati da complessità e precisione
crescenti. Essi sono:
a) statica lineare (Analisi tramite la forza laterale equivalente)
b) dinamica modale (Metodo di sovrapposizione modale)
c) statica non lineare (Analisi tipo “Push-over”)
d) dinamica non lineare (Analisi dinamica non-lineare)
La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche (regolarità, periodi propri caratteristici) e
dall’importanza della struttura che si sta studiando. In particolare, le norme definiscono “metodo
normale”, per la definizione delle sollecitazioni di progetto, l’analisi modale associata allo spettro di
progetto ed applicata ad un modello tridimensionale dell’edificio.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003.
Metodi di analisi strutturale
Considerazioni sulla regolarità in pianta ed in altezza della struttura permettono di considerare al
posto di un modello tridimensionale due modelli piani separati e al posto dell’analisi modale una
semplice analisi statica lineare, secondo quanto riassunto nella tabella:
Dinamica modaleSpazialeNoNo
Statica lineareSpazialeSìNo
Dinamica modalePianoNoSì
Statica linearePianoSìSì
AnalisiModelloAltezzaPianta
Semplificazioni ammesseRegolarità geometrica
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003.
Metodi di analisi strutturale
Nella progettazione di edifici nuovi l’utilizzo di metodi di analisi più sofisticati, come l’analisi statica
non lineare e quella dinamica non lineare, è, quindi, a discrezione del progettista, al quale è lasciato il
compito di valutare quale tipo di analisi, in relazione al tipo di progetto affrontato, dà informazioni
sufficienti per realizzare un’opera che abbia il carattere prestazionale richiesto dalle norme.
Come già precedentemente ricordato, infatti, le norme richiedono di progettare avendo come
obiettivo non solo la salvaguardia della vita umana, ma anche il controllo del danno al fine di rendere
minimi gli eventuali costi di riparazione ed adeguamento a seguito di un evento sismico con periodo
di ritorno più basso di quello del terremoto di progetto.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale
In questo approccio è permesso al progettista di fare affidamento su fonti di resistenza e di
dissipazione di energia non considerate nelle procedure basate sull’analisi e progettazione elastica: ad
esempio è possibile sfruttare l’effetto benefico di elementi “secondari” o di elementi non strutturali
sulla risposta strutturale, nonché la ridistribuzione delle forze dovuta alla non-linearità della risposta.
Inoltre gli elementi strutturali possono subire elevate deformazioni, compatibilmente con i vincoli
imposti dalle verifiche allo stato limite di danno, ammesso che mantengano la loro capacità di
sopportare i carichi verticali e venga assicurata la stabilità globale.
L’analisi non lineare consente quindi una più puntuale valutazione della risposta attesa.
Nella verifica di edifici esistenti l’analisi non-lineare, in particolare quella statica, diviene in molti casi
necessaria per valutare in modo sufficientemente attendibile la sicurezza della struttura, le norme
pertanto ne raccomandano l’utilizzazione.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
E’ il primo e più semplice metodo di analisi
sismica delle strutture. E’ basato sull’assunzione
che il comportamento della struttura è
governato dal suo periodo fondamentale di
vibrazione e della relativa forma modale.
L’analisi strutturale risulta conservativa per
edifici di piccola e media altezza con
caratteristiche di regolarità strutturale.
La distribuzione delle forze laterali segue la
forma del primo modo .
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Le caratteristiche del moto del terreno sono descritte tramite lo spettro di risposta elastico.
Lo spettro definisce l’accelerazione che deve essere sostenta dall’edificio se progettato in modo da
rimanere in campo elastico anche per terremoti di elevata intensità.
Nel caso si voglia far ricorso anche alle risorse inelastiche della struttura, è possibile ridurre le
ordinate dello spettro in ragione del fattore di struttura q.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Il metodo prevede di prendere in considerazione, in entrambe le due direzioni principali della
struttura, solo il primo modi di vibrare (modo fondamentale). Calcolati i periodi propri
fondamentali nelle due direzioni (T1x e T1y) è possibile ricavare le massime forze di taglio alla base
dell’edificio nelle due direzioni, ricavare i loro contributi lungo l’altezza dell’edificio e quindi, con
questi carichi, svolgere un’analisi statica.
Un’analisi di questo genere è in grado di dare risultati soddisfacenti solo nel caso di strutture la cui
risposta non è significativamente influenzata da modi di vibrare elevati.
Ciò avviene quando sono verificate le condizioni di regolarità in alzato e ciascun periodo
proprio fondamentale nelle due direzioni principali risulta minore di 2.5 TC, essendo TC
uno dei parametri dello spettro di risposta elastico.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Come già notato, nel caso in cui la struttura soddisfi anche le condizioni di regolarità in pianta si
studiano due modelli separati.
Facendo riferimento allo spettro di progetto la forza di taglio massima alla base in ciascuna delle sue
direzioni risulta pari a:
dove
Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di progetto (espressa in frazioni di g) corrispondente al periodo T1,
W è il peso sismico dell’intera struttura,
λ è un coefficiente correttivo,
C è il coefficiente sismico elastico.
Il taglio alla base Fb è distribuito lungo i piani proporzionalmente alle forze di inerzia corrispondenti
al modo fondamentale.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Poiché il primo modo di vibrare di un edificio multipiano a telaio con un numero limitato di piano e
sufficiente rigidezza laterale è approssimativamente lineare, le componenti dell’autovettore Φ1
possono essere espresse dalla relazione:
con zi=altezza dal suolo dell’i-esimo piano e zn=altezza dal suolo dell’ultimo piano
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Le forze di inerzia agenti sull’i-esimo piano di peso Wi risultano:
essendo:
Essendo:
Risulta:
da cui
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Per valori costanti di peso e altezza dei piani la distribuzione delle forze sismiche lungo l’altezza
assume forma triangolare.
Questo tipo di analisi trova il suo fondamento nel fatto che in molte strutture la massa efficace
relativa al primo modo risulta essere preponderante (fino all’80-90% della massa totale) rispetto
alle altra e la corrispondente ordinata spettrale è maggiore o uguale a quella degli altri modi. Infatti
sotto queste ipotesi essendo la forza di taglio alla base dovuta all’i-esimo modo pari a
iW
( )bi i a i iF g W S T ,ξ= ⋅ ⋅
e quindi il taglio alla base può essere approssimato con la somma dei contributi modali:
in cui il contributo del primo modo alla forza totale sarà preponderante e sostituendo la massa
relativa al primo modo con la massa totale del sistema M si otterrà un’approssimazione per eccesso
della forza di taglio alla base Fb.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Questa approssimazione non è più valida qualora risulti Sa1<Sa2, Sa3 … cioè se il periodo
fondamentale del sistema è alto. Si veda ad esempio il caso rappresentato nella seguente figura
Analisi con spettro di risposta di una struttura flessibile, caratterizzata da un modo fondamentale
elevato. La massa partecipante del primo modo risulta essere pari al 70% contro il 13% del secondo
modo ed il 6% del terzo.
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Analisi strutturaleMetodo della forza laterale equivalente.
Come accade nella maggior parte dei casi, lo spettro di risposta utilizzato presenta per
periodi superiori ad un secondo(T1=1.5s) bassi valori dell’ordinata spettrale:
in particolare Sa1=0.026s, mentre le ordinate degli altri modi risultano pari a Sa2=0.32s e
Sa3=0.36.
E’ immediato verificare che il contributo elastico del modo fondamentale
Fb1=0.026 µ 0.7=0.018 risulta inferiore a quello del secondo e del terzo modo,
rispettivamente Fb2=0.32 µ 0.13=0.04 e Fb3=0.36 µ 0.06=0.022; approssimare il
comportamento della struttura con quello del primo modo provoca errori sia nel valore
che nella distribuzione delle forze statiche equivalenti e, ovviamente, nei risultati
dell’analisi.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi statica lineare
L’analisi statica lineare può essere effettuata per costruzioni regolari in altezza a condizione che
il primo periodo di vibrazione, nella direzione in esame, della struttura (T1) non superi 2,5 TC.
Per edifici che non superino i 40 m di altezza, in assenza di calcoli più dettagliati, T1 può essere
stimato utilizzando la formula seguente.
T1 = C1 H3/4
Dove H è l’altezza dell’edificio, in metri, dal piano di fondazione e C1 vale
0,085 per edifici con struttura a telaio in acciaio,
0,075 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo e
0,050 per edifici con qualsiasi altro tipo di struttura.
L’analisi statica consiste nell’applicazione di un sistema di forze distribuite lungo l’altezza
dell’edificio assumendo una distribuzione lineare degli spostamenti.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi statica lineare
La forza da applicare a ciascun piano è data dalla formula seguente:
( )( )
i ii h
j j j
z WF F
z W⋅
=⋅∑
dove: Fh = Sd(T1) W λ / g
Fi è la forza da applicare al piano i
Wi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamente
zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni
Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di risposta di progetto
W è il peso complessivo della costruzione, calcolato secondo quanto indicato per ogni tipo strutturale
λ = 0,85 se l’edificio ha almeno tre piani e se T1 < 2 TC , λ = 1,0 in tutti gli altri casi
g è l’accelerazione di gravità.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi statica lineare
Gli effetti torsionali accidentali, per edifici aventi massa e rigidezza simmetricamente distribuite in
pianta, possono essere considerati amplificando le forze da applicare a ciascun elemento verticale
con il fattore (δ) risultante dalla seguente espressione:
e
x1 0.6L
δ = + ⋅
dove:
x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata
perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata
Le è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.
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Analisi strutturale
La risposta del sistema a molti g.d.l. è
espressa come la sovrapposizione di
singole risposte modali, determinate dallo
spettro di risposta per il sistema ad 1 g.d.l.
Lo spettro di progetto è scalato per un
fattore di struttura q costante per tutti i
modi di vibrare considerati.
Gli effetti di ogni modo sono combinati in
modo da ottenere una stima della risposta
strutturale complessiva.
Metodi di analisi strutturale (elastici):Metodo di sovrapposizione modale
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Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.
Questo tipo di analisi è considerato il metodo normale per la definizione delle sollecitazioni di progetto.
Deve essere applicato usando un modello tridimensionale della struttura a meno che non siano
rispettati i criteri di regolarità in pianta: in questo caso è sufficiente studiare due modelli piani separati.
La maggior differenza con l’analisi statica equivalente consiste nel fatto che nel calcolo dei parametri di
risposta del sistema si tiene conto delle caratteristiche dinamiche della struttura tramite l’utilizzo dei
modi propri di vibrare.
L’analisi modale, così come è solitamente applicata, prevede di calcolare, tramite l’utilizzo dello spettro
di risposta di pseudo-accelerazione, i valori massimi di sollecitazioni e spostamenti associati a ciascun
modo proprio di vibrare della struttura supposta elastica lineare, e quindi di combinarli in modo
opportuno.
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Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.
Metodologia
L’analisi modale permette di calcolare utilizzando lo spettro di progetto Sad i massimi vettori
delle forze statiche equivalenti dei vari modi:
( )j,max j j a j jF M g S T ,= ⋅ Φ ⋅ γ ⋅ ⋅ ξ
e, da questi, i massimi valori dei parametri di risposta (momenti, tagli, spostamenti…).
Le norme suggeriscono di considerare nell’analisi tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%:
( )2Tk nj
i*j 1 i 1j
M R0.05 M
M= =
Φ ⋅ ⋅≥∑ ∑
dove j è l’indice dei modi considerati e Mi sono le masse degli n piani.
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Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.
Oppure un numero di modi tale per cui la massa partecipante risulti superiore all’85%:
( )2Tk nj
i*j 1 i 1j
M R0.85 M
M= =
Φ ⋅ ⋅≥∑ ∑
dove k è il numero dei modi da considerare.
In questo secondo caso sarebbe comunque opportuno verificare anche che non vi siano modi
esclusi aventi massa modale partecipante superiore al 5%. Con tale controllo si vuole evitare che
si verifichi il caso in cui la massa non considerata appartenga ad un unico modo, il quale diventa,
quindi, non più trascurabile. Nel caso di modelli spaziali queste condizioni devono essere
verificate per ciascuna direzione principale.
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Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.
Poiché la garanzia che non ci siano masse modali superiori al 5% può essere
effettivamente raggiunta soltanto tenendo in conto il 95% della massa modale, questa
regola non è sempre di facile applicazione, in particolare nel caso di modelli con un
elevato numero di gradi di libertà.
Poiché tutti i modi non raggiungono il massimo simultaneamente e poiché, se risulta
Tj§0.9 Ti per Tj < Ti le risposte nei modi di vibrare si possono considerare indipendenti
le une dalle altre,
le norme consentono di calcolare il loro più probabile valore massimo utilizzando una
combinazione SRSS (radice quadrata della somma dei quadrati delle quantità
considerate).
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Analisi strutturaleMetodo di sovrapposizione modale.
Il generico parametro della risposta risulta allora definito tramite la relazione:
2 2 2 21 2 3 nE E E E ... E= + + +
dove E1, E2 ecc. sono i valori del parametro dovuti rispettivamente al massimo vettore delle forze
statiche equivalenti del primo modo FS1max, del secondo modo FS2
max ecc.
Se i modi di vibrare non possono essere considerati indipendenti l’uno dall’altro, le norme suggeriscono
di utilizzare una combinazione quadratica completa (CQC) data dalla relazione:
1/ 2
ij i ji j
E E E = ρ ⋅ ⋅∑ ∑
dove
( )( )( ) ( )( )
2 3/ 2ij ij
ij 2 22 2ij ij ij
8 1
1 4 1
ξ + β βρ =
− β + ξ β + β
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi dinamica modale
L’analisi modale, associata allo spettro di risposta di progetto, è da considerarsi il metodo normale
per la definizione delle sollecitazioni di progetto e va applicata ad un modello tridimensionale
dell’edificio.
Due modelli piani separati possono essere utilizzati a condizione che siano rispettati i criteri di
regolarità in pianta.
Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%, oppure un
numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.
La combinazione dei modi al fine di calcolare sollecitazioni e spostamenti complessivi potrà
essere effettuata calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati dei risultati ottenuti per
ciascun modo a condizione che il periodo di vibrazione di ciascun modo differisca di almeno il
10% da tutti gli altri.
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La normativa italiana: l’Ordinanza n. 3274 del 20/03/2003. Metodi di analisi strutturale Analisi dinamica modale
In caso contrario dovrà essere utilizzata una combinazione quadratica completa.1/ 21/ 2
2i ij i j
i i jE E (4.4) E E E (4.5) = = ρ ⋅ ⋅∑ ∑ ∑
E è il valore totale della componente di risposta sismica che si sta considerando
Ei è il valore della medesima componente dovuta al modo i
Ej è il valore della medesima componente dovuta al modo j
( )( )( ) ( )( )
2 3/ 2ij ij
ij 2 22 2ij ij ij
8 1
1 4 1
ξ + β βρ =
− β + ξ β + β
ρij è il coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j
ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente
βij è il rapporto tra le frequenze di ciascuna coppia i-j di modi (βij = ωi/ωj).
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Analisi strutturaleMetodi di analisi strutturale (elastici): Analisi dinamica lineare
Il metodo analizza la risposta
dinamica del modello strutturale per
un moto alla base tramite
l’integrazione delle equazioni del
moto.
Tale metodo consente di ricavare
direttamente le forze presenti
durante l’evento sismico nei singoli
elementi strutturali considerati nel
modello.