DATA PROCESSING

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I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 1

De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1

DATA PROCESSING

Prof. ALESSANDRO DE CARLIDott. Ing. Vincenzo SuraciANNO ACCADEMICO 2011-20012

Corso di AUTOMAZIONE 1

STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:1. INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING2. STIMA DEL VALORE MEDIO

INTRODUZIONEAL DATA PROCESSING

DATA PROCESSING 4

SEGNALEANALOGICO

SEGNALEDIGITALE

SCHEDAINPUT

DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE

DATAPROCESSING

OSCILLATOREA FREQUENZA

COSTANTE

FILTROPASSA BASSO

CONVERTITOREANALOGICO

DIGITALE

PASSO DI CAMPIONAMENTO

PASSO DI QUANTIZZAZIONE

SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA FUNZIONALE

ACQUISIZIONE DATI

BANDA PASSANTE ACCORDATAAL PASSO DI

CAMPIONAMENTO

AUTOMAZIONE 1

DATA PROCESSING 5

SEGNALE UTILE

DISTURBO

RUMORE

VARIABILEMISURATA

CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO

POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA

IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI

UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO

ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO

AUTOMAZIONE 1

DATA PROCESSING 6

SEGNALE UTILE

DISTURBO

RUMORE

VARIABILEMISURATA

CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO

POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA

IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI

UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO

ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO

AD ESEMPIO

APPROSSIMAZIONE DOVUTA ALLA DIGITALIZZAZIONE DI UN SEGNALE ANALOGICO

VARIAZIONE DELLA PRES-SIONE O DELLA PORTATA DOVUTA ALLE OSCILLA-ZIONI DELL’OTTURATORE DI UNA SERVOVALVOLA

ANDAMENTO DELLA VARIA-BILE DI COMANDO ELABO-RATA DA UN REGOLATORE NEL CONTROLLO A LIVELLO DI CAMPO

AUTOMAZIONE 1

DATA PROCESSING 7

CAMPIONAMENTOE QUANTIZZAZIONE

STIMA DELVALORE MEDIO

SEGNALE UTILE

RUMORE E/ODISTURBO

STIMA DELLADERIVATA PRIMA

SCELTA DEL PASSO DI ACQUISIZIONESE TROPPO FITTO VIENE ESALTATOIL RUMORE DI DIGITALIZZAZIONE

PASSO DI ACQUISIZIONE

SE TROPPO RADO VENGONO DISTORTE LE INFOMAZIONI CONTENUTE NEL SEGNALE UTILE

ELABORAZIONION-LINE

SEGNALE ANALOGICO

DATIACQUISITI

AUTOMAZIONE 1

STIMA DELLADERIVATA SECONDA

CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO OFF-LINE

MEDIA ARITMETICA• Il calcolo della MEDIA ARTIMETICA di un insieme di dati è una operazione

a posteriori, ossia che può venire effettuata solo dopo che sono disponibili tutti i dati di cui si vuole calcolare il valore medio;

• L’espressione analitica risulta:

𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛

𝑥 𝑖 MEDIAARITMETICA

MEDIA ARITMETICA• Se per il calcolo della media aritmetica si usa un dispositivo di calcolo

numerico bisogna tenere conto della lunghezza di parola finita (8-64 bit);• Il valore della sommatoria può assumere valori troppo elevati (overflow)

per essere rappresentato con la lunghezza di parola del dispositivo di calcolo.

• Il valore del termine 1/n può assumere valori troppo piccoli (underflow) per essere compatibile con la lunghezza di parola.

𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛

𝑥 𝑖OVER-FLOW

UNDER-FLOW

ESEMPIO HALF 16-bit

Underflow = 5.96 × 10−8

Overflow = 65504

CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE

DATA PROCESSING 12

COME CALCOLARE L’ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO ?

la media aritmetica può essere calcolata solo per un numero limitato (n) di valori campionati.

Interessa allora effettuare una stima ricorsiva calcolando la media:

• minimizzando ad ogni passo la varianza dell’errore di stima, media adattativa

media aritmetica

• su un numero prefissato di valori digitalizzati, media mobile • aggiornandone il valore ad ogni passo, media pesata

AUTOMAZIONE 1

MEDIA MOBILE• Il metodo più semplice e intuitivo per risolvere il problema dell’overflow

e dell’unferflow consiste nel limitare a k il numero degli elementi utilizzati per il calcolo del valore medio. In questo modo n può essere grande a piacere.

• L’espressione analitica della media mobile al passo j risulta:

MEDIA MOBILE𝑋 ( 𝑗 )= 1𝑘 ∑

𝑖= 𝑗

𝑗+𝑘−1

𝑥 𝑖1≤ j ≤𝑛−𝑘

MEDIA MOBILE• Il valore di k dati e la durata del transitorio di algoritmo dipendono dalle

caratteristiche statistiche dei dati. In particolare dipendono dalla varianza.• A regime la media mobile presenta una dispersione di ampiezza limitata

e con andamento di tipo periodico.• Tale approccio richiede una occupazione di memoria di k dati su cui

viene calcolata in forma ricorsiva la media mobile.

𝒙𝒌𝒙𝒌−𝟏 …𝒙𝟏

𝒙𝒌+𝟏𝒙𝒌…𝒙𝟐

𝒙𝒏𝒙𝒏−𝟏 … 𝒙𝒏−𝒌+𝟏

PASSO 1

PASSO 2

PASSO n-k+1

REGISTRO DI MEMORIA DI k VALORI

…………………………….

STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE

RICORSIVO

MEDIA PESATA• Per risolvere il problema dell’occupazione di memoria si può stimare la

media al passo attuale j conoscendo il valore della media stimato al passo precedente (j-1).

• L’espressione analitica della media pesata al passo j risulta:

MEDIA PESATA

�̂� ( 𝑗 )=𝑋 ( 𝑗−1)+𝛼(𝑥 ( 𝑗)− �̂� ( 𝑗−1))

1≤ j ≤𝑛 �̂� (0 )=𝑋 0

MEDIA PESATA• Il valore di a va fissato sulla base della varianza dei dati di cui calcolare la

media.

• Da a dipendono sia la durata del transitorio di algoritmo sia l’inevitabile dispersione della stima del valore medio.

• Dopo che è esaurito il transitorio di algoritmo, la media pesata presenta una dispersione di ampiezza limitata con andamento di tipo periodico.

• La media pesata può essere vista come un sistema controllato con modalità di controllo a controreazione.

�̂� ( 𝑗−1 )

�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼

jj+1 j-1

�̂� ( 𝑗−1 )

�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼

MEDIA PESATA• Il sistema da controllare è caratterizzato da un comportamento dinamico

assimilabile a quello di un integratore, in cui il valore al passo attuale X(j) è ottenuto come somma del valore relativo al passo precedente X(j-1) e dell’incremento al passo attuale, ossia (x(j)-X(j-1)), moltiplicato per il guadagno a.

MEDIA PESATA• Per assicurare la stabilità della procedura e per ridurre sia la durata del

transitorio di algoritmo sia l’oscillazione residua, l’unica possibilità è quella di agire sul valore da assegnare al guadagno a.

EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARITMETICA• Se si fa variare il guadagno a ad ogni passo j, ed i particolare si pone:

𝛼=1/ 𝑗

EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Pertanto al passo j=n avremo:

EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Notiamo che al passo n-1, si ha:

EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA

• Sostituendo la seconda nella prima si ha:

�̂� (𝑛 )=[𝑛−2𝑛 ] 𝑋 (𝑛−2 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛−1 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛 )

EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Effettuando h sostituzioni si ottiene:

• Effettuando h = n-1 sostituzioni, si ottiene la media aritmetica:

�̂� (𝑛 )=[𝑛−h−1𝑛 ] 𝑋 (𝑛−h−1 )+ 1𝑛∑𝑖=1h+1

𝑥 (𝑛−𝑖+1 )

�̂� (𝑛 )= 0𝑛 𝑋 (0 )+ 1𝑛∑𝑖=1𝑛

𝑥 (𝑛−𝑖+1 )=1𝑛∑𝑖=1𝑛

𝑥 (𝑖 )=𝑋 (𝑛)

MEDIA PESATA• Se

all’aumentare di j il valore di 1/j raggiungere valori che non possono essere rappresentati nel dispositivo di calcolo a causa della limitata lunghezza di parola (underflow).

• Occorre allora imporre un minimo al valore che può essere raggiunto dal guadagno a.

• Se tale valore viene fissato fin dal primo passo della procedura ricorsiva, l’andamento della media pesata presenta, oltre al transitorio di algoritmo, anche una oscillazione di tipo periodico.

𝛼=1/ 𝑗

STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE

RICORSIVOMINIMIZZAZIONE ERRORE STIMA

MEDIA ADATTATIVA• Per ridurre gli effetti del transitorio di algoritmo si applica una

procedura di stima ricorsiva del valore medio basata sulla minimizzazione ad ogni passo dell’errore di stima, chiamata media adattativa..

• L’espressione analitica della media adattativa al passo n risulta:

𝑄𝑛=𝑄𝑛− 1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛− 1 )

𝐾 (𝑛)=𝑃𝑛−1

𝑄𝑛+𝑃𝑛−1

𝑋𝑛=𝑋𝑛−1+𝐾 (𝑛) (𝑥𝑛−𝑋𝑛−1 )𝑃𝑛=𝐾 (𝑛 )𝑄𝑛

MEDIA ADATTATIVA• Il valore della media calcolato ad ogni passo n è influenzato da un errore di

misura e da un errore di stima:

• Conviene allora ricavare ad ogni passo quel valore che rende minima la varianza dell’errore di stima.

• Ciò è ottenuto applicando al calcolo ricorsivo della stima del valore medio la metodologia su cui si basa il filtro di Kalman.

𝑥𝑛=𝑋∗+𝜀𝑛�̂� (𝑛 )=𝑋∗+𝜃𝑛

VALORE MISURATO AL PASSO n

STIMA DELLA MEDIA AL PASSO n

MEDIA ESATTA (INCOGNITA)

ERRORE DI MISURA AL PASSO n

ERRORE DI STIMA AL PASSO n

MEDIA ADATTATIVA - ASSUNZIONI• L’errore di misura e l’errore di stima sono variabili aleatorie assimilabili a

rumore bianco a media nulla, ovvero:• non presentano periodicità; • non introducono un errore costante (bias).

• L’errore di misura e l’errore di stima non sono correlati, pertanto il valore atteso del loro prodotto ha valore nullo.

𝜀𝑛𝜃𝑛

ERRORE DI MISURA AL PASSO n

ERRORE DI STIMA AL PASSO n

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Riprendendo la relazione della media pesata, con peso adattativo,

otteniamo:

• Sostituendo nella formula l’errore di stima e di misura, si ottiene:

• Semplificando, si ottiene:

�̂� (𝑛)=𝑋 (𝑛−1)+𝐾 (𝑛)(𝑥 (𝑛)− �̂� (𝑛−1))

𝑋∗+𝜃𝑛=𝑋∗+𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) ( (𝑋∗+𝜀𝑛 )− ( 𝑋∗+𝜃𝑛− 1) )

𝜃𝑛=𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) (𝜀𝑛−𝜃𝑛− 1 )

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatorie a valor

medio nullo, la loro varianza è il valore atteso del loro quadrato.

• Il quadrato dell’errore di stima è

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatore

indipendenti, il valore atteso del prodotto è nullo.

• La varianza dell’errore di stima è:

• Posti: si ottiene:

𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝐸 [𝜃𝑛−12 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛2 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]−2𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]+2𝐾 (𝑛 )𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]−2𝐾 (𝑛)𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝑃𝑛𝐸 [𝜀𝑛2 ]=𝑄𝑛

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per minimizzare la varianza dell’errore di stima rispetto a K(n) si dovrà

porre:

• Ovvero:

𝜕𝑃𝑛

𝜕𝐾 (𝑛)=0

𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Sostituendo

• Nella equazione:

• Si ottiene:

𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1

𝑄𝑛+𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1 )−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Continuando:

• Sostituendo nuovamente si ottiene:

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1−𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1=𝑃𝑛−1 (1−𝐾 (𝑛 ) )

𝑃𝑛=𝑃𝑛−1(1− 𝑃𝑛− 1

𝑄𝑛+𝑃𝑛−1)=𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛−1−𝑃𝑛− 1

𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)

𝑃𝑛=𝑄𝑛 ( 𝑃𝑛−1

𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛 𝑃𝑛=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛

MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per determinare la varianza dell’errore di misura viene applicata la

relazione ricorsiva che fornisce la stima del suo valore medio.

𝑄𝑛=𝑄𝑛−1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛−1 ) 0.1<𝛼<0.001

STIMA DEL VALORE MEDIOESEMPIO COMPARATIVO

ESEMPIO COMPARATIVO• Consideriamo un segnale utile COSTANTE (0.5), a cui si aggiunge un

rumore bianco con escursione ±0.5. Il segnale complessivo è rappresentato in figura in blu. In rosso compare la media aritmetica.

FINESTRA CON 200 DATI

MEDIA MOBILE

TRANSITORIO DI ALGORITMO

OSCILLAZIONI PERIODICHE

A REGIME

NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO

MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

K= .05

K= .025

K= .01

MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA

a=.050

a=.025

a=.010

MEDIA PESATA

TRANSITORIO DI ALGORITMO

OSCILLAZIONI PERIODICHE

A REGIME

NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

VARIANZA DELL’ERRORE DI STIMA

GUADAGNO

MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA MEDIA ADATTATIVA

PERICOLO DIUNDEFLOW

MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA

MEDIA ADATTATIVACON GUADAGNO LIMITATO INFERIORMENTE

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

K > .001

ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEAUTOCORRELAZIONE

SEGNALE UTILE, DISTURBO E RUMORE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0.5ANDAMENTO DEL RUMORE

t (sec)

SEGNALE MISURATO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0.5ANDAMENTO DEL RUMORE

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1.5ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA E DEL LORO VALORE MEDIO

t (sec)

0 5 10 15 20 25 300

ARMONICHE DEI DATDI PROVA

ordine della armonica

CONTENUTO ARMONICO DELSEGNALE MISURATO

NON SI CAPISCE QUALE SIALA BANDA DEL SEGNALE !!!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.1

0.2ANDAMENTO DELLA AUTOCORRELAZIONE

t (sec)

0 5 10 15 20 25 30

0.06ARMONICHE DELLA AUTOCORRELAZIONE

ordine della armonica

CONTENUTO ARMONICODEL SEGNALE UTILE !!!

𝜔=2𝜋 𝑛/𝑇ARMONICA DI ORDINE n

𝑇 TEMPO DIOSSERVAZIONEDEI DATI

SPETTRO DI DENSITÀ DI ENERGIA

CONTENUTO ARMONICO DELLA

AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE

MISURATO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RICOSTRUZIONE CON 3 ARMONICHE

t (sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RICOSTRUZIONE CON 10 ARMONICHE

t (sec)

VERIFICADEL

CONTENUTO ARMONICO DEL

AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE

MISURATO

3 ARMONICHE

10 ARMONICHE

ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEFILTRI PASSA-BASSO

FILTRO PASSA BASSO IDEALE• Un filtro passa-basso ideale dovrebbe:

1. LASCIARE INALTERATE LE FREQUENZE (IN MODULO E FASE) ENTRO LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)

2. ATTENUARE MASSIMAMENTE LE FREQUENZE OLTRE LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)

FILTRO PASSA-BASSO IDEALE

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

BANDA SEGNALE UTILE

FILTRO PASSA BASSO IDEALE

INTRODUCERITARDO DI FASE

IN BANDA

FILTRI DI BUTTERWORTH• Esistono vari filtri in grado di fornire ottime prestazioni come filtri passa-

basso. Ad es. il FILTRO DI BUTTERWORTH

FILTRI DI BESSEL• Per capire come funzionano i filtri di Bessel, chiediamoci che forma

dovrebbe avere la funzione di trasferimento del filtro passa basso ideale.

• Il filtro deve avere un guadagno k e una distorsione di fase il più possibile «piatta» al variare delle frequenze nella banda passante.

• Passando nel dominio di Laplace

𝑢 (𝑡 ) FILTRO DIBESSEL

𝑣 (𝑡 ) 𝑣 (𝑡 )=𝑘𝑢 (𝑡− 𝛿)

𝐻 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠 )

=𝑘𝑒− 𝑠 𝛿

FILTRI DI BESSEL• Ricordando le espressioni del seno iperbolico e del coseno iperbolico:

• Esplicitiamo l’esponenziale presente nella funzione di trasferimento:

𝐻 (𝑠 )=𝑘𝑒− 𝑠𝛿= 𝑘h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 𝛿 )+ h𝑐𝑜𝑠 (𝑠 𝛿 )

h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑒𝑠−𝑒− 𝑠2

𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=𝑒𝑠+𝑒− 𝑠2

FILTRI DI BESSEL• Lo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno iperbolico sono:

• Blocchiamo ad n lo sviluppo in serie.

h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑠+ 𝑠3

3 !+𝑠55 !

+…+𝑠2h+1

(2h+1 ) !+…

𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=1+ 𝑠2

2 !+𝑠44 !

+…+𝑠2h

(2h )!+…

h𝑠𝑖𝑛 (𝑠)≅∑h=0

𝑛 𝑠2h+ 1(2h+1 )!

𝑐𝑜𝑠h (𝑠)≅∑h=0

𝑛 𝑠2h(2h )!

FILTRI DI BESSEL• Sostituendo nella funzione di trasferimento:

• Si può dimostrare che:

𝐻 (𝑠 )≅𝐻𝑛 (𝑠 )= 𝑘

∑h=0

𝑛 (𝑠𝛿 )2h+1

(2h+1 ) !+∑h=0

𝑛 (𝑠𝛿 )2h

(2h )!

𝐻𝑛 (𝑠 )=𝐵0 (𝑠 )𝐵𝑛 (𝑠 ) dove

FILTRI DI BESSEL• Passando nel dominio della frequenza:

• Questa funzione di trasferimento ha un guadagno costante e una fase che varia linearmente con la pulsazione:

• La velocità di fase è costante e può essere scelta piccola a piacere, per avere una variazione di fase minima all’interno della banda passante:

𝜑 ( 𝑗𝜔 )=𝜔𝛿

𝑑𝜑 ( 𝑗 𝜔 )𝑑𝜔 =𝛿

𝐻 ( 𝑗𝜔 )=𝑘𝑒− 𝑗 𝜔𝛿

FILTRI DI BESSELI filtri di Bessel hanno un buon comportamento passa-basso.

I filtri di Bessel hanno la massima linearità nella risposta in fase (nella banda passante).

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