Post on 03-Apr-2021
transcript
1 1
Laurea in Scienza dei Materiali A.A. 2013-2014 ELEMENTI DI FISICA TEORICA (EFT) (7 crediti ) aula 29 Laurea Magistrale in Fisica
Teoria dei Solidi (TS) (6 crediti) aula 29
Prof. Michele Cini Tel. 4596 michele.cini@roma2.infn.it Ricevimento Studenti (stanza 9 corridoio C1) Lunedi e Mercoledi 14-16
9-10
10-11
11-12
Lunedi Martedi Mercoledi Giovedi Venerdi
Ts
EFT EFT EFT
EFT
EFT
http://people.roma2.infn.it/~cini/
Ts Ts Ts
Ts
files delle lezioni:
invito a mandare un mail a: cini@roma2.infn.it per presa contatto
2
Elementi di Fisica Teorica
•La comprensione della teoria si vede anche dalla capacita’ di risolvere problemi
• 7 crediti, 56 ore=
• 44 di lezione+
•12 di esercitazioni
•Esame scritto e orale
E’ necessario saperlo molto bene per i corsi successivi.
C’e’ una regola di propedeuticita’ con fisica Atomica etc.
4
Fisica: teoria ed esperimento
• Il libro della Natura e’ scritto in caratteri matematici (Galileo)
• La Matematica serve a fare i conti, ma e’ una costruzione
astratta e libera della fantasia ricca di concetti qualitativi.
• La teoria e’ qualitativa e quantitativa.
• La Fisica e’ una Scienza sperimentale, ma non e’ puro
empirismo: l’esperimento e’ fonte del vero, ma va
interpretato: cosi’ la Fisica procede su due gambe – Teoria
ed Esperimento
• La teoria non e’ mai astratta, il significato e’ sempre
operativo: se faccio questo, succede quello…..
• Al livello delle leggi fondamentali,tutto e’ legato con tutto!
• L’esperimento ci rivela che ci sono costanti fondamentali
5
Alcune costanti fondamentali della natura
23
23 0
numero di Avogadro 6.022 10
Costante di Boltzmann 1.3810 /
A
B
N
K J K
Meccanica
Statistica
8
211
2
velocita' della luce 310 /
costante gravitazionale 6.6710
c m s
N mG
kg
Elettromagnetis
mo,Relativita’
19
31
27
34
2
0
carica del protone 1.602 10 C
m massa dell'elettrone 9.10910
massa del protone 1.6710
costante 6.62610
1costante
2 137,036
P
e
Kg
m Kg
h di Planck J s
edi struttura fine
c
Fisica quantistica
Programma
• Dimensioni fisiche- sistemi di unita’ MKS e cgs
• -Meccanica analitica -- Equazioni di Euler-Lagrange --Formalismo
hamiltoniano.-Trasformazioni canoniche- Particella carica in campo e.m.--
Parentesi di Poisson- -La delta di Dirac
6
Programma
• Meccanica Statistica: ensemble microcanonico, canonico e grand-canonico- Teorema
di equipartizione- Simulazioni Monte Carlo
7
Programma
• -Relativita’ ristretta:--Trasformazioni di Lorentz-Meccanica relativistica-Effetto
Doppler-Tensori-Trasformazioni del campo elettromagnetico.
8
Programma
• -Crisi della Fisica Classica-Legge di Planck-Quanti e fenomeni di interferenza.-
Funzione d’onda-operatori.-Equazione di continuita’-Interpretazione di Copenhagen.--
Problemi 1d--Effetto tunnel- Velocita’ di gruppo.-Oscillatore armonico-
• - Postulati della Meccanica Quantistica- Algebra del momento angolare - Problemi
3d. Separazione delle variabili. —Atomo idrogenoide—Spin-Operatori unitari -
Crittografia quantistica- Equazione di Pauli-Somme di momenti angolari—Particelle
identiche- Interazione di—Perturbazioni indipendenti dal tempo—Perturbazioni
dipendenti dal tempo—Metodo variazionale-
• scambio—Entanglement-paradosso EPR- disuguaglianza di Bell-teorema No-
Cloning—Teletrasporto-Quantum computation.
9
10
Librerie: Nuova Cultura o Universitalia via Passolombardo
il libro e’ disponibile anche in biblioteca
consiglio per i piu’ bravi: leggete qualche pagina in anticipo...
Libro su misura
Scienza dei materiali nel Secolo XXI
Nuovi materiali: Proprieta’ elettriche, magnetiche, meccaniche, termiche,
chimiche, ottiche,superconduttive, tossicita’, impatto ambientale,costo ...
Microscopie, spettroscopie, che vanno sapute leggere e interpretare,
per caratterizzare microscopicamente i materiali,
per capire da che dipendono le proprieta’,
cosa fare per ottimizzarle:
richiede una sinergia fra teoria ed esperimento.
Progetto di nuovi materiali e Nanostrutture: Se possibile, il calcolo
delle proprieta’ e’ preferibile alle prove empiriche: e richiede la
Fisica Teorica
Ma le leggi della natura sono interessantissime! E solo la
matematica consente di capire.
12
Microscopio a effetto tunnel
La moderna Scienza dei Materiali
Rappresentazione al computer di un
"ingranaggo" di dimensione nanometrica
Graphene sheets
Calcoli numerici
Modelli teorici
13
FREQUENTARE!
Partecipare attivamente e fare domande quando serve
Studiare con carta e penna, rifacendo i passaggi, risolvendo gli esercizi
Molte difficolta’ sono concettuali, ma bisogna
essere bravi e svelti col calcolo!
Da parte vostra bisogna:
Studiare molto, l’intero programma, verificando im primo luogo se avete
capito il senso operativo delle formule (che problema si risolve con una
data equazione?).
Dare importanza alle dimensioni fisiche e agli ordini di grandezza!
Aver studiato bene Calcolo 1 e Calcolo 2, Fisica 1 e Fisica 2
Consigliabile studiare giorno per giorno , (ricordate Mitridate re del
Ponto) fare gli esercizi e dare l’esame a giugno
Bisogna conoscere complementi di Calcolo, faro’ digressioni matematiche
14
Mai piu’ di 1 ora al giorno , incluso il question time
Da parte mia:
Molti esercizi li ho inventati ad hoc
Comincio ogni cosa partendo da fatti ben noti e
introduco la matematica necessaria
cercando in ogni modo di essere chiaro!
http://people.roma2.infn.it/~cini/
Appunti delle lezioni settimanalmente su:
Ma non e’ un corso per corrispondenza! Se non
frequentate abbastanza, tolgo gli appunti on-line.
15 15 15
MECCANICA CLASSICA
F ma
Galileo Galilei (Pisa 1564-
Arcetri 1642)
Nozione di punto materiale (corpi estesi modellizzati come sistemi: oggetti
microscopici in certi problemi, pianeti in altri)
Nozione di sistema inerziale in cui tutte le forze sono reali e non apparenti
Principio di Relativita’: le leggi sono le stesse in tutti i sistemi inerziali e non esiste quiete
assoluta
16 16 16
F ma
Galileo Galilei (Pisa 1564-
Arcetri 1642)
Metodo scientifico: provando e riprovando
La meccanica non ha altre leggi fondamentali.
Nel suo viaggio attraverso il Paradiso,
Dante e’ guidato da Beatrice (il sole
che per primo scaldo’ d’amore il suo
cuore), che provando e riprovando (cioe’
argomentando e dis-provando, cioe’
controargomentando) gli rivela il dolce
aspetto della verita’.
17 17 17
MECCANICA CLASSICA
F ma
2
2
dF m r
dt
( , ) equazione differenziale
tutti i moti possibili
F F r t
Woolsthorpe-by-
Colsterworth, 25
dicembre 1642
– Londra, 20
marzo1727
18 18 18
Esempi: moto in 1 dimensione 2
2( , )
d xm F x t
dt
0 ( ) (0) vF x t x t moto libero, v=costante
ovvero ( , )mx F x t
21( ) (0) (0)
2F mg x t x x t gt moto uniformemente
accelerato,m si elide
( ) cos( ),k
F kx x t A tm
moto armonico
Casi elementari: Per individuare una particolare legge oraria x(t)
si possono specificare ad esempio x(0) e velocita’ iniziale.
2[ ] [ ]F
k MTL
19
2
2
Meccanica del punto materiale
Il problema e' : risolvere l'Equazione del moto:
con ( , , )d dr
F m r F F r tdt dt
Come procedere?
Equazione non riducibile alle quadrature, e le soluzioni in generale non hanno nessuna quantita’ conservata, periodicita’, regolarita’….
Quali sono le F fisicamente interessanti?
Cercare e studiare un caso notevole
20 20
Forze conservative
2
2
d x dVm
dt dx
2
2
d x dx dV dxm
dt dt dx dt
in 1 dimensione
22
2
1
2
dx d x d dx
dt dt dt dt
( ( ))(lungo la traiettoria)
dV dx dV x t
dx dt dt
21[ ( ) ( ( ))] 02
d dxm V x t
dt dt (x(t) lungo la
traiettoria)
fattore integrante!
sono quelle che hanno un potenziale:
grad (alias ),
( ) energia potenziale
( )1
F V F V
V x
dV xIn d F
dx
(Chain rule )
Vero anche in 3 dimensioni
21
21[ ( ) ( )]2
dxm V x E
dt E e’ integrale del moto [in derivata prima]
2
2
d x dVm
dt dx
2
2
d x dx dV dxm
dt dt dx dt
grad (alias ),
( ) energia potenziale
( )In 1
F V F V
V x
dV xd F
dx
2( )
( )
dxdt x x t
mE V x
2
2 2( ) ( )
dx dxE V x E V x
dt m dt m
In 1d si riduce alle quadrature!
E=integrale del moto.
Sistemi integrabili: sono quelli con un integrale del moto per ogni grado di
liberta’. Ma sono rari.
22 22
Punto materiale in 3d-FORZE CONSERVATIVE:
2
2( )
x
y
z
VF
xd V
m r F V r Fydt
VF
z
3
2 2 2 2
1
1 1energia cinetica ( )
2 2
energia potenziale ( , , )
T m x y z m x
V x y z
In 3d non basta E per ridurre il problema alle quadrature, ma per forze conservative ci possiamo avvalere del formalismo lagrangiano, che
vedremo.
23 23
Sistema di punti materiali in 3d in un potenziale: con i che corre sui punti,
1 2 3( , , , )
ix
i
i i iy
i
iz
i
VF
x
VF V r r r F
y
VF
z
32 2 2 2
1
1 1( )
2 2
( )
N
i i i i ii
N
ii
T m x y z m x
V V r
Lavorare con un potenziale e’ molto piu’ agevole..
Le forze elettromagnetiche e quelle dissipative non sono conservative.
Ma cominciamo dal caso semplice, e poi vedremo.
Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
1 1 2 1 1
1 2 1 2
2 1 2 2 2
1 2 1 2
p ( ) ,
p ( )
B B
B B
p pdm m m p m
dt m m m m
p pdm m m p m
dt m m m m
2 2
1 1 1 12 2 2 2 122 2Le forze (r ) (r ) sono opposte!
d dm r V m r V
dt dt
1 22 1
2 1
Conoscere Baricentro: e moto relativo
a conoscere ed . Cambio variabili!
mr MrB r r
m Mequivale r r
2 21 2
1 1 2 22 2
1 2 1 2
( ) 0 0, dove Baricentro
( ) ( ) si conserva.B
mr Mrd dm r m r B B
m Mdt dtd d
p m M B mr Mr p pdt dt
Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
1 1 2 1 1
1 2 1 2
2 1 2 2 2
1 2 1 2
p ( ) ,
p ( )
B B
B B
p pdm m m p m
dt m m m m
p pdm m m p m
dt m m m m
2 2 221 2
1 2 1 2 1 2
12
1 2
p p p 1 1Energia cinetica: ( )
2 2 2( )
1 1 1 =massa efficace che si muove in un (r ).
B pm m m m m m
Vm m
2 22
1 2 1 2
p p1E ( ), = costante
2( ) 2( )
Rimane un corpo di massa in ( ).
B BB
p V Em m m m
V
soluzioni elementari per il moto in 3 dimensioni
atomo di H classico (analogo al moto di un pianeta)
Usando la massa ridotta quasi =m
2 2
2
0 0
2
1 1energia potenziale
4 4
1Energia cinetica v .
2
q qF V
R R
dVF
dR
T m
27
2 2 2
2
0
22
0
2 2
0
Caso speciale delle orbite circolari: imponendo
v v 1forza centripeta :
4
1si trova come dipende v dal raggio R: v .
4
v 12 e questo 2 0 (teorema del viriale)
2 4
c c
m m qF F F
R R R
qm
R
m qT T V T V
R
1
2E T V V
2 2
2
00
1 si ottiene dall'energia potenziale V
1
4=-
4
q qF
R R
Invece nel problema di Kepler
2 2 m si elide.
Il moto non dipende dalla massa del pianeta.
mM MF G ma G a
R R
28
Leggi di Kepler - prendiamo un’ orbita
circolare
2
2
22 2 2 3
2 La velocita' orbitale e' v= , dov
v
2 4v (
e period
) , peri
.
odo
o
mM mF G
R R
M R
R
G RR GM
Cosi’ Newton spiego’ la terza legge empirica di Kepler. (prima: orbite = coniche, seconda: aree uguali in tempi uguali)
2 2v vforza centripeta : .
Uguagliandola alla forza newtoniana
c c
m mF F
R R
2 1 2 1momento angolare: [ ] unita': . .L r p L ML T Kg m s
1 11Frequenza : ν [ ] unita' :
periodoT s
1 12pulsazione: [ ] unita':
periodoT s
1 1velocita': v [v] unita': .dx
LT m sdt
22 2
2accelerazione: [ ] unita': .
d xa a LT m s
dt
1 1impulso=quantita' di moto: v [ ] unita': . .p m p MLT kg m s
Unita’ fondamentali: Metro, Kg, secondo, Ampere
Unita’ e dimensioni nel sistema MKSA
Le equazioni della Fisica sono uguaglianze fra grandezze che hanno le stesse dimensioni. Controllare sempre le dimensioni!
Le funzioni trascendenti hanno argomenti adimensionali (numeri puri)
Per capire che dimensioni hanno le varie grandezze basta considerare
le equazioni che le vedono coinvolte.
2 2forza: [ ] unita': . . NewtonF ma f MLT m Kg s
2 2 2 2 21energia: v [ ] unita': . . Joule
2E m E ML T m Kg s
3 3potenza: [ ] unita': . . WattdE
W f MLT m Kg sdt
2 1 2 1azione: [ ] unita': . .S Et S ML T m Kg s
1 2 2pressione: / [ ] . unita': /P f S P m L T Newton m Pascal
2 1 2 1momento angolare: v [ ] unita': . .L m r L ML T m Kg s
Sistema di unita’ cgs (centimetro grammo secondo)
-2lunghezza: 1 cm= 10 m
-3massa: 1 grammo= 10 Kg
tempo: 1 secondo
-2 2 -2accelerazione: 1 galileo=1cm.s 10 sm
-2 5forza: 1 dyne=g.cm.s 10 Newton
2 -2 7energia: 1 erg=g.cm .s 10 Joule
2 -3 7potenza: 1 erg/s=g.cm .s 10 Watt
2 1pressione: 1 barye=1dyne/cm 10 Pascal
Meccanica analitica
35 35
Giuseppe Lodovico Lagrangia (Lagrange)
Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813) è stato un matematico e astronomo
italiano, sicuramente uno tra i maggiori e più influenti matematici del XVIII secolo. La sua più importante opera è il testo Mécanique analytique,
pubblicato nel 1788.
36 36
Leonhard Euler (pronounced Oiler) (April 15, 1707 – September 7, 1783) was a Swiss mathematician and physicist, who spent most of his life in Russia and Germany.
38 38
Problemi vincolati
esempio: punto materiale vincolato a una circonferenza
x
y
2 2 2
22
2 22dim : ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )problema
x y R
dy d ydx d xa r x y r x y r x y
dt dt
vinc l
d
o
dt
o
t
la reazione vincolare non e’ nota a priori
arctan( )y
x
meglio pensarlo come un problema 1d: moto libero
cos( )
sin( )
x R
y R
39 39
v sin( )
v cos( )
x
y
dxR t
dt
dyR t
dt
22 2
2
22 2
2
cos( ) ( )
sin( ) ( )
x
y
d xa R t x t
dt
d ya R t y t
dt
22 v
accelerazione centripeta.a r aR
2
2
cos( )0 . Calcoliamo la reazione vincolare:
sin( )
x R td dt
y R tdt dt
v R
costante (moto circolare uniforme): d
Ci aspettiamodt
cos( )Cambiamo variabili:
sin( )
x R
y R
40 40
Problemi vincolati elementari : il pendolo
L
m
2
F
sin( ) sin( )posizione : '
cos( ) cos( )
x L xcioe r L
z L z
cos( )cos( )
velocita' : cioe' vsin( )
sin( )
dx dL
ddt dtL
dz d dtL
dt dt
2
Prendiamo 0 (pendolo che va verso destra) se no e' l'opp
v.v=( ) v |
cos( )vversore tangente :
| .
o
.sin( )v
st
o.
d d
dt dt
d
dt
L L
vServe il versore tangente : .Lo otteniamo da v.
v
La componente della forza lungo L e' bilanciata
dalla reazione vincolare,
Dobbiamo risolvere
resta la component
l'equazione (F-
e tange
ma).
nt
=0.
e
x
z
41 41
2 22
2 2
2 22
2 2
22
2
vsi ottiene l'accelerazione :
cos( ) ( ) sin( )
sin( ) ( ) cos( )
cos( ) sin( )cioe' ( ) .
sin( ) cos( )
da
dt
d x d dL L
dt dt dt
d z d dL L
dt dt dt
d da L L
dt dt
cos( )cos( )
dalla velocita' : cioe' vsin( )
sin( )
dx dL
ddt dtL
dz d dtL
dt dt
Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0.
42 42
L
m
2
F
22
2
cos( ) sin( )( )
sin( ) cos( )
d da L L
dt dt
Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0,
(componente tangente di F=ma), usando
0mentre F . Poiche' F e'
cos( )v
proporzionale a m, m si elide1
e possiamo porr
Ricordiamo ch
e m=1
esin(v
.
)
mg
cos( )
Componente tangente F. 0 1 . sin( ).sin( )
Ora ci vuole l'accelerazione tangenziale.
g mg
43
2
2Equazione del moto : sin , indipendente da m
dL g
dt
Una sola equazione per α invece di due per (x,z). Ma ci
si arriva prima se si considera l'integrale del moto E=T+V.molto
22
2
cos( ) sin( )Da ( ) ,
sin( ) cos(
cos( )v
sin( )
)
ve
d da L L
dt dt
22
2
2
2
'accelerazione tangenziale viene:
cos( ). [( (cos( ),sin( )) ( ) ( sin( ),cos( ))]
sin( )
l
d da L
dt dt
dL
dt
44 44
2
2
Piccole oscillazioni
1 sin (moto armonico)
( ) sin( ) (frequenza indipendente da m,A)
d g
dt L
gt A t
L
L
m
2
F2 2
2
1Integrale del moto, E= mL -mgLcos( ) quadrature.
2
Si ricava facilmente anche l'equazione del moto a partire da
dE =mL -mgLsin( ) 0
dt
sin( )Dalla posizione: l'energia potenziale e' ( ) cos( )
cos( )
x LV mgz mgL
z L
2
2sin (equazione del pendolo)
dL g
dt
22 2cos( ) 1
dalla velocita': v si trova vsi
1mL
n( ) 2 2
dL T m
dt
Metodo veloce
45 45
m1
1L
b
2L
m2
Una sole equazione non basta. Questo e’ gia’ difficile, senza
i metodi che studieremo
Ma come fare col pendolo composto?
46 46
Altro esempio:
Pendolo con punto di sospensione mobile
Basta dare x e l’angolo , ma le forze che
agiscono su m1 e su m2 non sono assegnate
a priori
x, coordinate generalizzate o lagrangiane
47 47
Rotatore rigido in 3d
q
2 masse m1,m2 agli estremi di un’asta leggera lunga r0
N=2 punti Richiedono 6 equazioni ?
Possiamo descrivere la configurazione del sistema con due angoli q,
che danno la posizione della massa 1, ad esempio,
2 equazioni invece di 6: q, coordinate lagrangiane
Senza forze esterne possiamo supporre il
baricentro fisso
1 1 2 2
1 2
1 1 2 21 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
0
baricentro: 0 0
0
m x m xX
m m
m y m ym r m rR Y
m m m m
m z m zZ
m m
48 48
i
0
2 0 2 01 1
1 2 1 21 1 2 2
2 1 0 1 0 1 02 2
1 2 1 2
congiungente le due masse:
0
r
m r m rr r
m m m mm r m r
r r r m r m rr r
m m m m
1 1 2 2
1 2
baricentro:m r m r
Rm m
q
Sapendo dov’e’ m1 sappiamo anche dov’e’ m2
1 1 2 2
1 2
1 1 2 21 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
baricentro fissato all'origine:
0
0 0
0
m x m xX
m m
m y m ym r m rR Y
m m m m
m z m zZ
m m
O
1r 2r
0r
49
Possiamo descrivere la configurazione del sistema con due angoli q, che
danno la posizione della massa 1, ad esempio.
2 equazioni invece di 6: q, coordinate lagrangiane
50
Sistemi di riferimento accelerati
F ma
Vale in un sistema inerziale (quello delle stelle fisse ed in quelli che si muovono di moto
uniforme rispetto alle stelle fisse) ; allora tutte le forze sono applicate da agenti esterni
(relativita’ galileiana)
F maVale anche in un sistema non inerziale
(accelerato) con forze applicate da agenti esterni e + forze inerziali (centrifuga, di Coriolis, etc.) che pero’ non sono assegnate
Problema: come cambiare riferimento? Come trovare le ‘forze apparenti’?