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Elettroni nei semiconduttori
LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1
Risolvendo l'eq di Schrodinger per un cristallo semiconduttore si ottiene una relazione di dispersione E-k.
Struttura a bandeInteressa soprattutto top della banda di valenza e fondo della banda di
conduzione.
Il top della banda di valenza occorre a k=0 Il fondo della banda di conduzione occorre a k=0 per alcuni semiconduttori (GaAs, InP, etc.)Per altri occorre a k≠0 (Si, Ge, AlAs, etc.)
Struttura a bande
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Gap diretta → forte accoppiamento con la luceGap indiretta → debole accoppiamento con la luce
Conservazione del momento favorisce transizioni verticali
Gap Diretta intorno al minimo
*2m
22k+E=kE c
Massa efficace
Gap Indiretta intorno al minimo
t
2zy
l
xc m
k+k+
m
kk+E=kE
220x
2
2
Nel Si si hanno sei minimi equivalenti lungo l'asse
x, y, z in corrispondenza del valore 0.85,0,02π
a
m*l massa longitudinale 0.98 m
0
m*t massa trasversale 0.19 m
0
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Masse effettive più «pesanti» corrispondono a bande più «larghe».E viceversa
Vicino al top della banda di valenza ci sono due curve.
Buche pesanti
Buche leggere
hhv
kE=E
2m
22
lhv
kE=E
2m
22
In tutte le espressioni ricavate fin qui occorrerà usare la massa efficace al posto della massa reale dell'elettrone m
0
Gap diretta → m* unicaGap indiretta → m*
DOS combinazione
delle diverse masse effettive
)(m
11*2
2
2 k=E
k
\
Struttura a bande
Minore il gap tra bande minori le masse efficaci
Massa efficace in banda di conduzione
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t
2zy
l
xc m
k+k+
m
kk+E=kE
220x
2
2
Eq di un ellissoide di rotazione intorno a k
0
Assi a, b, b
ct
cl
EE=b
EE=a
2m
2m
dEEN=dEEEmm
=dV
mmEE=πab=V
ctl0k
tlc2
k
2/1
32
22/3
3
22/32/330
2π
2
8π
21
3
8π
3
42
22/36 tlDOS mm=m
I 6 minimi equivalenti (±x, ±y, ±z)
Massa efficace in banda di valenza
2m
22kE=kE v
dEEE
π
m=dEEN v
DOS 2/1
32
232
m dos3 / 2= (m lh
3 / 2 +m hh3 / 2 )
La banda di valenza è doppiaBuche pesantiBuche leggere
Numero di stati tra k0 e k0+dk
Buche nei semiconduttoriLa banda di valenza è completamente piena.
La banda di conduzione è vuota
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T = 0 K
T > 0 K
La banda di valenza cede qualche elettrone.
Restano dei vuoti.
La banda di conduzione acquista qualche elettrone
La massa della buca è positiva (quella dell'elettrone mancante in banda di valenza sarebbe negativa)
eik
ieh
kk=k=k
Lo stato vuoto è chiamato buca, ed è considerato una particella con carica e momento -k
e
xBv+Fe=dt
dkh
h
2
221
k
E=m
0=k+kk=k e
eik
ii
EX 2.3
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Calcoliamo l’energia di un elettrone e di una buca nella banda delle lacune pesanti
di un semiconduttore a k=0,1 Å-1
La massa della lacuna pesante è pari a m0/2
L’energia di un elettrone in banda di valenza è
Per cui
hhv
kE=E
2m
22
eVE=JE=E vve 0755,01021,1 20
eVE=E vh 0755,0
m0=0,91x10-30 kgħ=1,05x10-34Js
SilicioRelativamente facile da produrre
Si lavora agevolmente
Possiede un ossido naturale di alta qualità che può fungere da isolante
Bandgap indiretta di 1.11 eV (300K)
Minimo della banda di conduzione è nella direzione k= 2/a (0.85,0,0) ]
Parametro reticolare a=5.43 Å
Scarse proprietà ottiche (no laser)
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Arseniuro di GallioStruttura a bande molto buona.
Non possiede un ossido che può fungere da isolante
Bandgap diretta di 1.43 eV (300K)
Il fondo della banda di conduzione è isotropo → Superfici isoenergetiche sferiche
Parametro reticolare a=5.65 Å
Ottime proprietà ottiche e di trasporto in banda di conduzione
m*=0.067 m0
m*
hh=0.45m
0 m*
lh=0.1m
0
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Leghe di semiconduttoriSi possono unire alcuni semiconduttori a formare delle
leghe. (Parametri reticolari vicini)
AlxGa
1-xAs Bandgap da 1.43eV a 2.16 eV (x=0 → 0.45)
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A x B 1− x
a lb =xaA+ (1−x )aB
Lega binariaA x B1−x
E lb ( k )=xE A (k )+ (1− x )E B (k )
Legge di Vegard
Ex 2.4 e Ex 2.5
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Portatori intrinseciMetalli → elettroni in banda di conduzione parzialmente piena.
Densità molto alta ~1023 cm-3 Conduzione
Semiconduttori → Banda di valenza piena
Banda di conduzione vuotaNo corrente
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Ma se si creano degli elettroni in banda di conduzione e delle buche in banda di valenza. (Energia termica) Corrente di carica
n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza
Dipende dall'ampiezza della gap e dalla temperatura
Portatori intrinseci
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n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza
n=∫ N e (E ) f e (E ) dE dEEfEN
dEEfEN=p
hh
eh
∫∫ 1
TkE BF ≫
Approssimazione di Boltzmann
2/3
22π2
Tkm
=N
Tk
EE
eN=n
Bec
B
cF
c
Densità efficace degli stati al fondo della banda di conduzione
Massa efficace della densità degli stati
2/3
22π2
Tkm
=N
Tk
EE
eN=p
Bhv
B
Fv
v
Densità efficace degli stati in cima alla banda di valenza
n=pOgni elettrone in conduzioneha lasciato una buca invalenza
E=0,1 eV → fatt exp 0,01
∫
dE
TkEE
e
EE=n
B
F
ce
1
2m
2π
1 2/1
22
TkEE
e
TkEE
e
=f
B
F
B
Fh
1
1
1
11
Portatori intrinseci
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T
E
emmTk
=p=n B
g
heB
ii
2k2π
2 4/32/3
2
Non dipendente dalla posizione di EF
Ma solo da T e proprietà intrinseche Tk
E
emmTk
=np B
g
heB
2/3
3
22π4
Legge dell'azione di massa
Nc(cm-3) N
v(cm-3) n
i=p
i (cm-3)
Si (300K) 2.78x1019 9.84x1018 1.5x1010
Ge (300K) 1.04x1019 6.0x1018 2.33x1013
GaAs (300K) 4.45x1017 7.72x1018 1.84x106
TkE+E
emm=Tk
E
e
p=n
B
vc
ehB
Fi
ii
2/3
2
/ ehB
vcFi mmTk+
E+E=E /ln
4
3
2
Densità dei portatori
La concentrazione dei portatori intrinseci diminuisce esponenzialmente con la gap di banda.
Dipende fortemente dalla temperatura. La concentrazione degli intrinseci è determinata da T: non può essere controllata esternamente
Se la concentrazione di portatori intrinseci supera un valore di 1015 cm-3 il materiale non è più adatto per dispositivi (troppo intrinsecamente conduttivo)
Interesse per semiconduttori ad alta gap (dispositivi ad alta temperatura) Diamante, SiC, ...
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Ma in presenza di impurezze la situazione è molto diversa ...
Drogaggio:Donori e AccettoriPer alterare la densità degli elettroni e delle buche nei
semiconduttori e quindi ottenere valori di conducibilità maggiori, si inseriscono delle impurezze.
DONORI: Aggiungono elettroni in banda di conduzione
Atomi pentavalenti come P,As, Sb → Si o Ge.
Atomi tetravalenti come Si, Ge come sostituenti del Ga o esavalenti come S come sostituti di As → GaAs
ACCETTORI: Aggiungono buche in banda di valenza
Atomi trivalenti come B, Al, Ga → Si o Ge.
Atomi tetravalenti come Si, C come sostituenti del As o bivalenti come Be,Mg come sostituti di Ga → GaAs
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Livelli di Donori e di Accettori
Per i donori abbiamo un elettrone in più che vede una carica positiva schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo
idrogenoide con massa efficace e potenziale schermato ()
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rπ
e=rU
4
2
eVm
mRE=
π
meE=E
yc
ecd
2
0
0
*
22
*4
42
meVm
mR+E=E yva
2
0
0
*
Ec-E
d~10 meV
Ev-E
a ~10÷100 meV
~1÷0.1 ~ 0,1Per gli accettori abbiamo un elettrone+carica nucleare in meno. E' come se ci fosse un anti-atomo con nucleo negativo+carica positiva (buca) in più. La buca vede una carica negativa schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo idrogenoide invertito con massa efficace (m
h*) e potenziale schermato (→) . Il livello di
ionizzazione è EV e l'energia di legame è positiva
La massa per i donori è la massa efficace di conduzione
Per gli accettori è generalmente usata mhh
*
***
12
3
11
ltσ m+
m=
m
Ex 2.12
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Calcoliamo le energie di livelli accettori e donori in GaAs e Si
meVE=
eVm
mRE=GaAsE
c
ycd
2,5
2
0
0
*
Per il GaAs la massa effettiva è 0,067 m0 e =13,2 0
Per il Si dobbiamo capire quale massa efficace dobbiamo usare nella espressione del livello donore La scelta giusta è di prendere la media degli inversi delle masse efficaci ovvero la massa efficace per la conduzione m
La massa effettiva è 0,26 m0 e =11,09 0
meVE=
eVm
mRE=SiE
c
ycd
25
2
0
0
*
***
213
11
tl mmm
Per i livelli accettori la questione è complicata dalla presenza delle due distinte bande di valenza. Una scelta ragionevole è di effettuare il calcolo considerando la massa effetiva di buca pesante. (0,45 per GaAs e 0,5 per Si)
meVE=GaAsE
meVE=SiE
va
va
36
48
Portatori in semiconduttori drogati
n-p≠0 Ma la legge di azione di massa è ancora valida
np=ni2
Infatti l'espressione per la densità di elettroni in banda di conduzione rimane sostanzialmente valida ma E
F cambierà con il drogaggio.
Possiamo scrivere
EF ≠ E
Fi
Il livello di Fermi si sposta verso la banda di conduzione (tipo n). L'approssimazione di Boltzmann-Maxwell per la probabilità di occupazione comincia a perdere validità.
In seguito assumeremo che tutti i donori o accettori sono ionizzati
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TkEEe=
n
n BFiF
i
/ TkEEe=
n
p BFiF
i
/
2/3
22π2
Tkm
=N
dove
Tk
EE
eTk
EE
eNTk
EE
eN=n
Bec
B
FiF
B
cFi
cB
cF
c
Boltzmann
T = 0Ovvero metalli
Joyce-Dixon
W. B. Joyce and R. W. Dixon,Appl. Phys.Lett., 31, pp. 354, (1977)
http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_6.htm
Soluzione numerica
Nello stato di energia più bassa dell'atomo donore, l'elettrone extra è legato. Non può condurre. L'energia di ionizzazione è però bassa e confrontabile con l'energia termica.
Popolazione dei livelli di impurezzaA bassa temperatura tutti gli
elettroni sono confinati. Freezeout
Al crescere della temperatura la frazione di donori eccitati cresce fino alla completa ionizzazione e la densità di portatori diviene uguale alla densità di donori. Regione di saturazione
A un certo punto inizieranno a crescere i portatori provenienti dalla banda di valenza
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nd
n+ nd
= 1
N c
2 N d
e−(E c−E d )
k B T + 1Frazione di donori non ionizzati
Semiconduttori drogati pesantemente
Al crescere della concentrazione di dopanti la situazione può complicarsi.
Bande di impurezze
Perturbazione della forma delle bande
Restringimento della separazione di banda
Un'espressione ragionevole per tale restringimento è:
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E g=−22.5( N d
1018
300T (K ) )
1 /2
meV