EQUAZIONI DIFFERENZIALI

ORDINARIE ALTRI TIPI

INTEGRABILI “PER QUADRATURA” .

Ulteriori tipi d’equazioni del Ulteriori tipi d’equazioni del prim’ordine. prim’ordine.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Alcuni tipi d’equazioni del Alcuni tipi d’equazioni del second’ordine.second’ordine.

ULTERIORI TIPI ULTERIORI TIPI D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI

DEL DEL PRIM’ORDINEPRIM’ORDINE

Equazioni Equazioni differenziali lineari differenziali lineari del prim’ordinedel prim’ordine..

y’ = a(x) y(x) + b(x)(4)

con con a(x) e e b(x) funzioni continue funzioni continue definite su un intervallo definite su un intervallo II a valori a valoriin in RR..

L’equazione L’equazione (4) si dice anche si dice anche equazione completaequazione completa, mentre, mentre

y’ = a(x) y(x)(5)

si dice si dice equazione omogeneaequazione omogenea associata alla associata alla (4)..

Se Se A(x) è è unauna primitiva di primitiva di a(x), , allora la totalità delle soluzioni diallora la totalità delle soluzioni di(5) è data da è data da

y(x) = c exp(A(x))

dove dove c è una costante reale è una costante reale arbitraria.arbitraria.

Infatti.. (calcoli a parte)Infatti.. (calcoli a parte)

Vale ora il seguente fatto generaleVale ora il seguente fatto generale(per le equazioni lineari):(per le equazioni lineari):

Se Se z(x) è una generica soluzione è una generica soluzione dell’omogenea e dell’omogenea e y(x) è una soluzioneè una soluzioneparticolare dell’equazione completa,particolare dell’equazione completa,allora le funzioni del tipoallora le funzioni del tipo

––––

y(x) = z(x) + y(x)

––––

forniscono tutte le soluzioni dell’forniscono tutte le soluzioni dell’equazione completaequazione completa

DimostriamoDimostriamo che una soluzione che una soluzioneparticolare dell’eq. completa è dataparticolare dell’eq. completa è datadada

y(x) = e(A(x) -

A(t))b(t) dt

x

x0

Dimostremo ciò utilizzando il Dimostremo ciò utilizzando il metodo detto di “variazione dellemetodo detto di “variazione dellecostanti arbitrarie”costanti arbitrarie”

Si cerca la soluzione Si cerca la soluzione y(x) nella nella forma forma y(x) = c(x) exp(A(x)) ......

Allora si può concludere che laAllora si può concludere che lasoluzione generale del problema soluzione generale del problema di Cauchy per la di Cauchy per la (4)

è data daè data da

y’(x) = a(x)y(x) + b(x)y(x0) = y0

y(x) = c e A(x) + e(A(x) - A(t))b(t) dt

x0

x

Esempio 1:Esempio 1: y’ = y + x

Esempio 2:Esempio 2: y’ = (1/x) y + (1/x2)

a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x.

Soluzione: Soluzione: y(x) = c ex - x -1 + ex

a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x2).

Soluzione: Soluzione: y(x) = c x + x/2 -(1/2x)

Esempio 3:Esempio 3: y’ = - 2 ex y + ex

a(x) = - 2 ex, A(x) = - 2 ex, b(x) = ex.

Soluzione: Soluzione: y(x) = c exp(-2ex)+ (1/2) [1 - exp(2-2ex)]

Equazioni Equazioni di Bernoullidi Bernoulli..

y’ = a(x) y(x) + b(x) y(x)k

(6)

Sono le equazioni del tipoSono le equazioni del tipo

con con k≠ 0, 1k≠ 0, 1 e e a(x), , b(x) funzioni funzioni continue definite su un intervallo continue definite su un intervallo II a valori in a valori in RR..

Osserviamo che se è Osserviamo che se è 0 < k < 1, non, nonè garantita l’unicità della è garantita l’unicità della soluzione.soluzione.Infatti Infatti fy può non essere definita.può non essere definita.

Se Se k > 0, y 0 è una soluzione.è una soluzione.

Supposto Supposto y(x) ≠ 0, dividendo per , dividendo per y(x)k

e prendendo come nuova incognitae prendendo come nuova incognitau(x) = y(x)1-k , si trova l’equazione , si trova l’equazione linearelineare

u’(x) = (1-k) a(x) u(x) + (1-k) b(x)

che è un’equazione lineare che che è un’equazione lineare che sappiamo risolveresappiamo risolvere

Esempio 4: Si voglia risolvereEsempio 4: Si voglia risolvereil seguente p.d.C.il seguente p.d.C.

y’ = 2 y(x) tg(x) + y(x)1/2

y(0) = 1, con |x|< /2

Dopo qualche calcolo si trovaDopo qualche calcolo si trova

y(x) = [1/(cos x) + (1/2) tg x]2

ALCUNI TIPI ALCUNI TIPI D’EQUAZIONI D’EQUAZIONI

DEL DEL SECOND’ORDINESECOND’ORDINE

Sono equazioni del tipoSono equazioni del tipo

y’’(x) = f(x,y(x),y’(x))

con con f : A R3 R, A aperto.una funzione y(x) è soluzione dell’equazione data se è di classe C2(I)su un intervallo I, se (x,y(x),y’(x))T

sta in A, per ogni x I, e se soddisfa identicamente la (7).

(7)

Se f , fy e fz sono continue in A,allora si può dimostrare che esiste una soluzione locale unicadel pdC:

y’’(x) = f(x,y(x),y’(x))

y(x0) = y0

y’(x0) = z0

Un tipo d’equazioni che possiamoaffrontare è il seguente:

y’’(x) = f(y(x))

nel quale f dipende solo da y ed èdi classe C1(J) con J intervallo aperto in R.

(8)

Moltiplicando i due membri di (8) per y’(x), si trova,

se indichiamo con F(u) una primitiva di f(u),

(y’(x))2 = 2 [F(y(x)) - F(y0)] + (z0)2

Quest’equazione, trattata conprudenza, si può ridurre aun’equazione del prim’ordine, a variabili separabili.

Esempio 5: Si voglia risolvereEsempio 5: Si voglia risolvereil seguente p.d.C.il seguente p.d.C.

y’’(x) = 3 y2; y(0) =2-(1/3); y’(0) = 1.

Si trova, procedendo come sopra,

(y’(x))2 - 1 = 2 y3(x) - 1

Poiché y’(0) > 0

Ci si riduce al pdC

y’(x) = [2 y3(x)](1/2) ; y(0) =2-(1/3).

y(x) = (2(1/6) - x 2-

(1/2) )-2

Si trova la soluzione