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[101]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Soluzioni classiche Esercizi
1) Trovare tutte le soluzioni classiche dell’equazione dif-ferenziale y′(x) = 0 aventi per dominio l’insieme R deinumeri reali.
2) Trovare almeno una soluzione classica delle seguentiequazioni differenziali: (a) y
′(x) = y(x); (b) y′′(x) =
−y(x); (c) y′′(x) = y′(x) (in quest’ultimo caso, si sug-
gerisce di considerare la funzione z(x) = y′(x)).
(continua a fianco)
3) (a) Indicata con g una costante positiva, trovare l’inte-grale generale dell’equazione differenziale y′′(x) = −g.(b) Trovare la soluzione del seguente problema di Cau-chy:
y′′(x) = −g,
y′(0) = 0,
y(0) = 1.
(c) Dare un’interpretazione fisica della soluzione y(x),spiegando cosa possono rappresentare le variabili x
e y.
[102]
Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoProblema di Cauchy Esercizi
1) Trovare, se esiste, una soluzione dei seguenti problemi:
(a)
{
xy′ = y
y(1) = 1(b)
{
xy′ = y
y(0) = 0(c)
{
xy′ = y
y(0) = 1
2) Stabilire se esistono anche altre soluzioni oltre a quellaeventualmente trovata.
(continua a fianco)
3) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione y′ =2xy/(x2
− 1) ([BPS], pag. 16, n. 5).
[BPS] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,
Analisi Matematica 2, Zanichelli.
[103]
Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoEq. lineari del I ordine Esercizi
1) Determinare l’integrale generale della seguente equa-zione differenziale lineare, omogenea, del primo ordi-ne, in forma normale: y′ = 3y ([MS], pag. 204/139,n. 4.7).
2) Determinare l’integrale generale della seguente equa-zione differenziale lineare, non omogenea, del primoordine, in forma normale: y′ = −y + e−x ([MS], pag.205/140, n. 4.9).
(continua a fianco)
3) Risolvere il seguente problema di Cauchy ([MS], pag.207/141, n. 4.11):
{
y′ + y
x= x3
y(1) = 1/5
[MS] P. Marcellini, C. Sbordone,
Esercitazioni di matematica, vol. 2, parte I, Liguori/
Esercitazioni di analisi matematica due, prima parte,
Zanichelli.
[104]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Cambiam. di variabile Esercizi
1) Fissato α ∈ R, si consideri l’applicazione Fα : C2(R)
→ C2(R) che alla generica funzione y ∈ C2(R) associala funzione z ∈ C2(R) data da
z(x) = eαx y(x), x ∈ R.
Stabilire come deve essere preso α affinche Fα risultilineare e biunivoca, ed in tal caso verificare che l’appli-cazione inversa F−1
α soddisfa l’uguaglianza F−1
α (z) =F−α(z) per ogni z ∈ C2(R).
(continua a fianco)
2) Siano a, b, c tre numeri reali, con a 6= 0. Verificareche una funzione y ∈ C2(R) e una soluzione classicadell’equazione differenziale
ay′′ + by′ + cy = 0
se e solo se la funzione z(x) = ebx/2a y(x) soddisfa l’e-quazione
z′′ =b2 − 4ac
4a2z.
[105]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Indipendenza lineare Esercizi
1) (a) Stabilire se le funzioni y1(x) = 1 e y2(x) = x2 sonoelementi linearmente indipendenti dello spazio vetto-riale C2(R). (b) Risolvere l’equazione W (x) = 0 nelcampo dei numeri reali, essendo W (x) il determinantedato da
W (x) =
∣
∣
∣
∣
y1(x) y2(x)y′1(x) y′
2(x)
∣
∣
∣
∣
. (1)
(continua a fianco)
2) (a) Fissati tre numeri reali a, b, c, con a 6= 0, e indicatecon y1(x) e y2(x) due soluzioni linearmente indipen-denti dell’equazione
ay′′ + by′ + cy = 0 in R,
verificare che il determinante W (x) dato dalla (1) sod-disfa l’equazione aW ′(x) + bW (x) = 0 in R. (b) Ri-solvere l’equazione W (x) = 0 nel campo dei numerireali.
3) Trovare, se possibile, dei numeri interi e positivi n1 <
. . . < nk tali che le k funzioni yi(x) = xni , per i =1, . . . , k, siano elementi linearmente dipendenti dellospazio vettoriale C2(R). Il valore di k puo essere scel-to a piacere.
[106]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Metodo di somiglianza Esercizi
Si consideri la funzione
y(x) = A cosωx+ B senωx, (1)
con A, B e ω costanti.
1) Applicando le consuete regole di derivazione, trovarele derivate y′(x) e y′′(x).
(continua a fianco)
2) Fissata ω 6= 1, determinare A e B in modo tale che lafunzione y(x) data dalla (1) soddisfi l’equazione diffe-renziale
y′′ = −y + cosωx. (2)
Suggerimento: sostituire y(x) e y′′(x) nella (2).
3) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenzia-le (2) nell’ipotesi che ω 6= 1.
[107]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Unicita della soluzione Esercizi
1) Trovare una soluzione del problema di Cauchy
{
y′(x) = f(x, y(x)) per x ∈ R,
y(0) = 0,(1)
sapendo che la funzione f ∈ C0(R2) soddisfa l’ugua-glianza f(x, 0) = 0 per ogni x ∈ R.
(continua a fianco)
2) Supponiamo, inoltre, che per ogni (x, y) ∈ R2 esista la
derivata parziale fy(x, y), e che esista L ∈ R tale che
sup(x,y)∈R2
|fy(x, y)| ≤ L.
Indicata con y(x) una qualunque soluzione limitatadel problema (1) in un intervallo (−δ, δ), con δ > 0, eposto
M = supx∈(−δ,δ)
|y(x)|,
verificare che |y(x)| ≤ M Lk |x|k/k! per ogni x ∈ (−δ,δ) ed ogni k ∈ N. Suggerimento: applicare il teoremadi Lagrange ad f e procedere per induzione.
3) Passare al limite per k → +∞ e dedurre l’unicita dellasoluzione.
[201]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Convergenza uniforme Esercizi
Si consideri la successione di funzioni yk(x) = xk perx ∈ (0, 1).
(a) Per ogni x ∈ (0, 1), calcolare il limite limk→+∞
yk(x).
(b) Indicata con y(x) la funzione limite, stabilire se yk →
y uniformemente in (0, 1).
(continua a fianco)
(c) Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste l’ugua-glianza
limk→+∞
∫1
0
yk(x) dx =
∫1
0
y(x) dx.
(d) Stabilire come deve essere preso il secondo estremo b <1 affinche yk → y uniformemente nell’intervallo (0, b).
[202]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Densita di Cauchy Esercizi
Si consideri la successione delle funzioni fk : R → R
date da
fk(x) =1
π
k
x2 + k2.
(a) Stabilire per quali valori di k = 1, 2, . . . la funzione fke integrabile nel senso improprio (detto anche genera-lizzato) di Riemann sull’intervallo (−∞,+∞).
(continua a fianco)
(b) Indicato con f(x) il limite puntuale di fk(x) per k →
+∞, stabilire se fk tende uniformemente ad f sull’in-sieme R.
(c) Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste l’ugua-glianza
limk→+∞
∫+∞
−∞
fk(x) dx =
∫+∞
−∞
f(x) dx.
[203]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Derivazione Esercizi
1) Stabilire per quali valori di k = 1, 2, . . . appartienealla classe C1(R) la funzione fk : R → R data da
fk(x) =
√
x2 +1
k.
2) Determinare il limite puntuale di fk per k → +∞.
(continua a fianco)
3) Indicata con f la funzione limite, stabilire se fk tendead f uniformemente(∗) sull’insieme R.
4) Determinare la successione numerica delle derivatef ′
k(x0) nel punto x0 = 0.
5) Stabilire se la funzione limite f e derivabile nel pun-to x0 = 0, ed in caso affermativo stabilire se sussistel’uguaglianza
f ′(0) = limk→+∞
f ′
k(0).
(∗)Esempio 3, pag. 22, in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,
Analisi Matematica due, Liguori.
[204]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Serie di potenze Esercizi
Scrivere le serie di Maclaurin delle seguenti funzioni:
ex
, log(1− x),1
1− x, sen x, cos x
e determinarne il raggio di convergenza.
[205]Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Teorema di Abel(∗) Esercizi
1) Indicati con x ed y due numeri reali soddisfacenti ladisuguaglianza |x|, |y| < ε con un certo ε > 0, stabilireper quali valori di λ ∈ [0, 1] risulta (1−λ) x+λy ≥ ε.
2) Fissato un polinomio P (λ) =∑n
k=0 ak λk, definiamo
bh = ah+1 per h = 1, . . . , n− 1, e b0 = a0 + a1. PostoQ(λ) =
∑n−1h=0 bh λ
h, stabilire per quali λ ∈ R risulta
P (λ) = (1− λ) a0 + λQ(λ). (1)
(continua a fianco)
3) Trovare, se possibile, un numero reale ε > 0 ed unpolinomio P (λ) =
∑n
k=0 ak λk tali che
maxλ∈[0,1]
|P (λ)| ≥ ε
e∣
∣
∣
∣
∣
k∑
i=0
ai
∣
∣
∣
∣
∣
< ε per ogni k = 0, . . . , n.
Suggerimento: esaminare innanzitutto i casi n = 0 en = 1, poi procedere per induzione usando la (1).
(∗)Cfr. pagg. 71-72 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,
Analisi Matematica due, Liguori.
[206]Analisi Matematica 3prof. Antonio Greco
Serie di Fourier Esercizi
1) (a) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x)= x sull’intervallo (−π, π). (b) Sapendo che la sud-detta serie converge puntualmente alla funzione gene-ratrice nell’intervallo (−π, π), posto x = π/2 verificarel’uguaglianza
+∞∑
k=0
(−1)k
2k + 1=
π
4,
la cui scoperta e attribuita a Leibniz: cfr. [K], pagg.511-512.
(continua a fianco)
2) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x) =sen x sull’intervallo (−π, π).
3) (a) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x)= |x| sull’intervallo (−π, π). (b) Sapendo che lasuddetta serie converge alla funzione generatrice uni-formemente nell’intervallo [−π, π], dunque anche nelpunto x = 0, verificare l’uguaglianza
+∞∑
k=0
1
(2k + 1)2=
π2
8,
trovata da Eulero (cfr. [K], pag. 523).
[K] M. Kline, Storia del pensiero matematico (vol. I), Einaudi.
[207]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Serie armonica gener. Esercizi
1) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x) =x2 sull’intervallo (−π, π).
2) Sapendo che la suddetta serie converge alla funzio-ne generatrice uniformemente nell’intervallo [−π, π],dunque anche nei punti x = 0 e x = π, verificare leuguaglianze
+∞∑
k=1
(−1)k
k2= −
π2
12,
+∞∑
k=1
1
k2=
π2
6.
La seconda e attribuita a Eulero da M. Kline in Storia
del pensiero matematico, Einaudi (vol. I, pag. 524).
[301]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Punti fissi Esercizi
1) Digitando un numero a piacere in una comune calco-latrice elettronica, e premendo ripetutamente il tastodi radice quadrata (
√) si genera una successione di
valori numerici: stabilire se essa ammette limite, ed incaso affermativo calcolarlo. Suggerimento: fare mate-rialmente delle prove.
2) Posto f(x) = x+ ex, stabilire se l’equazione f(x) = 0ammette almeno una soluzione reale, ed in caso affer-
(continua a fianco)
mativo stabilire quante sono. Suggerimento: calcolareil limite di f(x) per x → ±∞ e sfruttare la continuitae la monotonia di f(x).
3) Determinare le prime tre cifre decimali della soluzionereale dell’equazione x = −ex. Suggerimento:(∗) digi-tare un numero a piacere x0 in una calcolatrice scien-tifica e calcolare xk+1 = −exk per k = 0, 1, 2, . . .
(∗)Lo studente e autorizzato ad utilizzare tutte le proprie co-
noscenze, ivi comprese, se lo preferisce, quelle acquisite in oc-
casione di altri corsi universitari.
[302]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
La norma-p in R2 Esercizi
Siano a e b due numeri reali soddisfacenti le disuguaglianze
0 ≤ a ≤ b. Stabilire se esiste il limite
limp→+∞
p√ap + bp
ed in caso affermativo calcolarlo.(∗)
(∗)Cfr. pag. 97 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,
Analisi Matematica due, Liguori.
[303]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Teorema di Cauchy Esercizi
Fissata una funzione continua f : [0, 1]×R → R ed unnumero y0 ∈ R, si consideri l’applicazione F : C0([0, 1]) →C0([0, 1]) che alla funzione y ∈ C0([0, 1]) associa la funzio-ne z ∈ C0([0, 1]) data da
z(x) = y0 +
∫x
0
f(t, y(t)) dt. (1)
(continua a fianco)
Supponiamo che esista una costante L tale che
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2|
per ogni x ∈ [0, 1] ed ogni y1, y2 ∈ R (condizione di Lip-schitz).
1) Stabilire se l’applicazione F e una contrazione.(∗)
2) Stabilire se esiste b ∈ (0, 1) tale che l’applicazione F :C0([0, b]) → C0([0, b]) data dalla (1) sia una contra-zione.
(∗)Cfr. pag. 106 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,
Analisi Matematica due, Liguori.
[401]Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoIntegrale di Riemann Esercizi
1) Stabilire se la funzione f data da
f(x) =
{
1, se x ≥ 0,
0, se x < 0
e integrabile secondo Riemann sull’intervallo [−2, 1],ed in caso affermativo calcolarne l’integrale.
2) Indichiamo con T = { (x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], y ∈
[0, 1− x] } il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
(continua a fianco)
Fissato un numero naturale k, indichiamo con
Pk =⋃
Qk(i,j)⊂T
Qk(i, j)
l’unione di tutti i quadrati di lato 2−k aventi la forma(∗)
Qk(i, j) =[ i
2k,i+ 1
2k
]
×[ j
2k,j + 1
2k
]
con i, j ∈ Z
e inclusi nel triangolo T . (a) Trovare l’area |Pk| delplurirettangolo Pk. Suggerimento: e piu facile trovarel’area dell’insieme T \Pk. (b) Calcolare il lim
k→+∞
|Pk| e
stabilire se tale limite coincide con l’area di T .
(∗)Cfr. formula (91.3), pag. 494 in: N. Fusco, P. Marcellini,
C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori.
[402]Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Distanza da un chiuso Esercizi
La distanza dist(P, F ) di un punto P ∈ Rn da un sottoin-
sieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn e, per definizione, la
distanza di P dal (o dai) punto/i di F piu vicino/i a P .
1) Trovare la distanza di P = (0, 0) ∈ R2 dall’asse x.
2) Trovare la distanza del punto P = (0, 0) ∈ R2 dal
grafico della funzione y = cosx.
3) Fissato un sottoinsieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn,
stabilire come devono essere presi i punti P, Q ∈ Rn
(continua a fianco)
affinche risulti
dist(P, F ) ≤ ‖P −Q‖+ dist(Q,F ). (1)
Suggerimento: prendere un punto H ∈ F che sia il piuvicino possibile a Q, e usare la disuguaglianza trian-golare.
4) Fissato un sottoinsieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn,
stabilire se esiste una costante L tale che per ogniP,Q ∈ R
n risulti
| dist(P, F )− dist(Q,F )| ≤ L ‖P −Q‖.
Suggerimento: scambiare P con Q nella (1). Cfr. Pro-posizione 4, pag. 85, in: N. Fusco, P. Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori.
[403]Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Unione e intersezione Esercizi
1) Siano B2(−1, 0) e B2(1, 0) i dischi aperti di raggio 2centrati nei punti di coordinate (−1, 0) e (1, 0). (a) In-dicato con Q il quadrato Q = [−1, 1]×[−1, 1], stabilirese Q ⊂ B2(−1, 0) ∪B2(1, 0). (b) Stabilire se esiste unvalore x0 ∈ (−1, 1) tale che valgano entrambe le se-guenti inclusioni:
{ (x, y) ∈ Q | x ≤ x0 } ⊂ B2(−1, 0),
{ (x, y) ∈ Q | x ≥ x0 } ⊂ B2(1, 0).
(continua a fianco)
2) Stabilire per quali valori di k = 0, 1, 2, . . . l’intervalloIk = [k,+∞) e un sottoinsieme chiuso dell’insieme deinumeri reali.
3) Determinare la misura di Lebesgue dell’intervallo Ikper ciascun valore di k.
4) Determinare la misura di Lebesgue dell’insieme X da-to da
X =+∞⋂
k=0
Ik.
Suggerimento: cercare innanzitutto di individuare (seesiste) almeno un punto dell’insieme X. Cfr. esempio3, pag. 465, in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,Analisi Matematica due, Liguori.
[404]Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Funzioni misurabili Esercizi
Diciamo che una funzione f : R → R e misurabile sela controimmagine f−1((t,+∞)) dell’intervallo aperto (t,+∞) e un insieme misurabile, qualunque sia t ∈ R.
1) Trovare, se possibile, una funzione misurabile f0 : R →
R ed un intervallo chiuso [t0,+∞) tali che la contro-immagine f−1
0 ([t0,+∞)) non risulti misurabile. Sug-gerimento: l’intervallo chiuso [t0,+∞) e l’intersezionedegli intervalli aperti (t0 −
1
k, +∞) per k = 1, 2, . . .
(continua a fianco)
2) Si consideri una successione di funzioni misurabili fk :R → R, monotona nel senso che fk+1(x) ≥ fk(x) perogni x ∈ R ed ogni k ∈ N. (a) Trovare tutti i puntix ∈ R in corrispondenza dei quali esiste il limite
limk→+∞
fk(x).
(b) Indicato con f(x) il suddetto limite, e supponendoche risulti f(x) < +∞ per ogni x ∈ R, determinaretutti i valori di t ∈ R tali che la controimmagine E =f−1((t,+∞)) sia un insieme misurabile. Suggerimen-to: l’insieme E e l’unione degli Ek = f−1
k((t,+∞)).
(c) Trovare una particolare successione monotona difunzioni misurabili fk tali che l’insieme X = f−1([0,+∞)) non sia l’unione degli Xk = f−1
k([0,+∞)).
[405]Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Somma e rapporto Esercizi
1) Fissato c ∈ R, definiamo la funzione costante fc(x) =c per ogni x ∈ (−∞,+∞). Stabilire come deve esserepreso c affinche fc risulti misurabile.
2) Stabilire se e misurabile la funzione caratteristica χQ :R → R dell’insieme dei numeri razionali:
χQ(x) =
{
1, se x ∈ Q,
0, se x ∈ R \Q.
(continua a fianco)
3) Fissate due funzioni misurabili f, g : R → R, stabilireper quali valori di t ∈ R e di q ∈ Q sono misurabilientrambi gli insiemi Aq e Bt,q dati da
Aq = {x ∈ R | f(x) > q },
Bq,t = {x ∈ R | q > t− g(x) }.
4) Fissati due numeri reali a, b ∈ R, con a + b > 0, sta-bilire se esiste un numero razionale q ∈ Q che soddisfientrambe le disuguaglianze a > q e b > −q.
5) Data una funzione g : R → (0,+∞), misurabile e po-sitiva, stabilire per quali valori di q ∈ Q risulta misu-rabile l’insieme
{x ∈ R | 1/g(x) > q }.
[406]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Passaggio al limite Esercizi
1) Data una funzione misurabile e non negativa f : R →
[0,+∞), stabilire se
limb→+∞
∫ b
−∞
f(x) dx =
∫ +∞
−∞
f(x) dx.
Suggerimento: applicare il teorema della convergen-za monotona alla successione fk(x) = f(x)χ(−∞,k)(x),dove χ(−∞,k) denota la funzione caratteristica dell’in-tervallo (−∞, k).
(continua a fianco)
2) Si considerino le funzioni non negative fk : R → [0,+∞) date da
fk(x) =
1 + (−1)k, se x ∈ (−∞, 0);
1− (−1)k, se x ∈ [0,+∞).
Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste la disu-guaglianza
∫ +∞
−∞
(
lim infk→+∞
fk(x))
dx ≤ lim infk→+∞
∫ +∞
−∞
fk(x) dx.
[407]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
Derivazione Esercizi
Consideriamo la funzione f(x) =sen x
xper x > 0.
1) Stabilire per quali s ∈ (0,+∞) il prodotto e−sx f(x)e sommabile in dx secondo Lebesgue (ha integrale fi-nito) sull’intervallo (0,+∞). Suggerimento: sfruttarela disuguaglianza f(x) < 1 per x > 0.
(continua a fianco)
2) Determinare tutti i valori di s ∈ (0,+∞) in corrispon-denza dei quali sussiste l’uguaglianza
d
ds
∫
+∞
0
e−sx f(x) dx =
∫
+∞
0
( d
dse−sx
)
f(x) dx.
3) Calcolare il limite
lims→+∞
∫
+∞
0
e−sx f(x) dx.
[408]
Analisi Matematica 3
prof. Antonio Greco
G. Fubini, L. Tonelli Esercizi
Indicati con A e B gli intervalli A = (−1, 0) e B = (0, 1), eposto E = (A∪B)×B, si consideri la funzione f : E → R
data da
f(x, y) =|x|
xy.
1) Stabilire se f e misurabile, e calcolare gli integrali
∫
A×B
f(x, y) dx dy,
∫
B×B
f(x, y) dx dy,
∫
E
|f(x, y)| dx dy.
(continua a fianco)
2) Stabilire se e ben definito l’integrale di Lebesgue
∫
E
f(x, y) dx dy.
3) Stabilire, calcolando i seguenti integrali, se sussistel’uguaglianza
∫
A∪B
(∫
B
f(x, y) dy
)
dx =
∫
B
(∫
A∪B
f(x, y) dx
)
dy.