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5. Esercizi di Statica
Fisica Generale A
http://campus.cib.unibo.it/2459/
December 20, 2011
Esercizio 1
•! Un’asta di peso (vedi figura) è appoggiata su due supporti A e B, distanti, dal baricentro G dell’asta, rispettivamente a = 1.1 m e .
•! Calcolare la forza d’appoggio dell’asta sul supporto A. •! ! = 573.
p =
! +110
N
b =
! +101000
m
2!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
G
A Ba b
Esercizio 1 (II)
•! Poiché l’asta si trova in equilibrio, per le equazioni cardinali della statica debbono essere nulli sia la risultante delle forze applicate, sia il momento risultante delle forze esterne applicate:
•! Nel nostro caso le forze esterne sono la forza peso, applicata nel baricentro G e diretta verso il basso e le reazioni vincolari (forze di appoggio) applicate in A e B e dirette verso l’alto.
•! Prendendo soltanto le componenti verticali (le uniche non nulle), la prima equazione cardinale della statica si scrive:
p = RnA + RnB
!R e( ) =
!0,
!M e( )
O( ) =!0
!RnA
!RnBG
A Ba b!p
3!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 1 (III)
•! Considerando il baricentro G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica si scrive:
•! Il sistema di equazioni: ha 2 equazioni e 2 incognite e consente quindi di calcolare RnA e RnB.
•! Nel nostro caso:
nA nBaR bR=
nA nB
nA nB
p R RaR bR= +!
" =#
1 573 1N N 57.4N10 101.1m10 573 10m m 0.583m
1000 1000
p
a
b
!
!
+ += = =
=+ += = =
4!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RnA
!RnBG
A Ba b!p
Esercizio 1 (IV)
•! Per cui si ha: 57.4N
1.1 0.5831.1 1.8870.5831.887 57.4N
2.887 57.4N57.4 N 19.9N2.887
nA nB
nA nB
nB nA nA
nA nA
nA
nA
R RR R
R R R
R RR
R
+ =!" =#
= =
+ ==
= =
5!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RnA
!RnBG
A Ba b!p
Esercizio 2
•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 10 N, applicata ai suoi piedi.
•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.
•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?
6!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 2 (II)
•! La forza di attrito radente è data da:
•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.
•! Nel nostro caso: per cui il tavolo rimane fermo (l’attrito è statico).
!Rt2
!Rt1
!F
7!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!Rt =
!Rts( ) =
!F se
!F < Fsoglia = f
!Rn
!Rtd( ) = µ
!Rn se
!F ! Fsoglia = f
!Rn
"#$
%$
Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N
!F = 10N < 20N = Fsoglia
Esercizio 2 (III)
•! Siamo perciò in condizioni di equilibrio statico. •! Per la prima equazione cardinale della statica si deve avere:
•! L’intensità della forza di attrito vale perciò:
!Rt2
!Rt1
!F
!R e( ) =
!0 !
!Rts( ) +!F =!0
8!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!Rt =
!Rts( ) =
!F = 10 N
Esercizio 3
•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 30 N, applicata ai suoi piedi.
•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.
•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?
9!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 3 (II)
•! La forza di attrito radente è data da:
•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.
•! Nel nostro caso: per cui il tavolo si muove (l’attrito è dinamico).
!Rt2
!Rt1
!F
10!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!Rt =
!Rts( ) =
!F se
!F < Fsoglia = f
!Rn
!Rtd( ) = µ
!Rn se
!F ! Fsoglia = f
!Rn
"#$
%$
Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N
!F = 30N > 20N = Fsoglia
Esercizio 3 (III)
•! Non siamo dunque in condizioni di equilibrio statico. •! Trattandosi di attrito radente dinamico, l’intensità della forza di
attrito vale:
!Rt2
!Rt1
!F
11!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!Rt =
!Rtd( ) = µ
!Rn = 0.15!100N = 15 N
Esercizio 4
•! Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura.
•! Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = 1000 N.
•! Determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.
F
M
12!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 4 (II)
•! Applicando le equazioni cardinali della statica alla carrucola 1 si ha:
•! Per la carrucola 2 si ha:
•! Infine per la carrucola 3 si ha:
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T1 +!T2 +!p =!0
T1r &T2r = 0
!"#
$#%
T1 +T2 & p = 0T1 = T2
!"#
$#% T1 = T2 =
p2
!T1
!T2
!p
1!T3
!T4
!T1
2 !F
!T3
!T5
3
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T3 +!T4 +!T1 =!0
T3r &T4r = 0
!"#
$#%
T3 +T4 &T1 = 0T3 = T4
!"#
$#% T3 = T4 =
T12
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!F +!T3 +!T5 =!0
Fr &T3r = 0 % F = T3
!"#
$#F
M
1
23 !
T2!T1
!T3
!T4
13!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 4 (III)
•! Avremo perciò:
•! Per quanto riguarda la reazione vincolare totale del soffitto, considerato che la carrucola 3 non è appesa al soffitto, si ha:
F = T3 =T12= p4= 1000N
4= 250N
R = T2 +T4 =p2+ p4= 34p = 3
41000N = 750N
14!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
F
M
1
23 !
T2!T1
!T3
!T4
Esercizio 5
•! Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura.
•! Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = 1000 N.
•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.
F
M
15!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 5 (II)
•! Applicando le equazioni cardinali della statica alla carrucola 1 si ha:
•! Per la carrucola 2 si ha:
•! Per la carrucola 3 si ha:
!T1
!T3
!p
1
!T2
!T1
!T4
2!T2
F
M
!T1
!T2
!T3
1
2
3!T4
!T5
!T4
!T5
3!T3
!F
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0
T1r &T3r = 0
!"#
$#%
T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3
!"#
$#
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T1 +!T2 +!T4 =!0
T1r &T2r = 0
!"#
$#%
T1 +T2 &T4 = 0T1 = T2
!"#
$#
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!F +!T4 +!T3 +!T5 =!0
Fr &T3r = 0
!"#
$#%
F +T4 +T3 &T5 = 0F = T3
!"#
$#
16!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 5 (III)
•! Riassumendo:
1 2 31 2 3
1 3
1 2 4
1 2 4 4
4 3 5
5 53
0
3 030
22 0 23
0 42 0 43
T T T FT T T ppT T F p F
T T TT T F T T F pF T T T
F F F T T F pF T
= = =! + + " = !!#$ $=%$ $ " = & =
$ $+ " =!$ $&## #= " = & = =%$ $$ $+ + " =!$ $# + + " = & = ==$ $% %%
F = p3= 1000N
3= 333N
T5 =43p = 4 !1000N
3= 1333N
"
#$$
%$$
17!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
F
M
!T1
!T2
!T3
1
2
3!T4
!T5
Esercizio 6
•! Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura.
•! Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = 1000 N.
•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.
F
M
18!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 6 (II)
•! Applicando le equazioni cardinali della statica alla carrucola 1 si ha:
•! Per la carrucola 2 si ha:
•! Per la carrucola 3 si ha:
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0
T1r &T3r = 0
!"#
$#%
T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3
!"#
$#
!T1
!T3
!p
1
!T2
!F
!T4
2!T1!T4
!T5
3!T2
F
M
12
3
!T1
!T2
!T3
!T4
!T5
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!F +!T1 +!T4 =!0
Fr &T1r = 0
!"#
$#%
F +T1 &T4 = 0F = T1
!"#
$#
!R =
!0
M u( ) = 0
!"#
$#%
!T4 +!T2 +!T5 =!0
T4r &T2r = 0
!"#
$#%
T4 +T2 &T5 = 0T4 = T2
!"#
$#
19!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 6 (III)
•! Riassumendo:
1 2 31 3
1 32 4
1 44 2 4
1
4 2 5
4 2 5 5
0
00 2
2 00 42 2 0 4
T T T pT T FT TT T
F T TF F T T T F
F TpF F F p FT T T
T T F F T T F p
!! + + " =!# = =$# = #%# =## + " =!# #& + " = & = =$$ $=%# #
# # + + " = & =+ " =!# #$ =# # + " = & = =%% %
F = p4= 1000N
4= 250N
R = T5 +T3 = p +p4= 54p = 5
41000N = 1250N
!
"##
$##
20!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
F
M
12
3
!T1
!T2
!T3
!T4
!T5
Esercizio 7
•! Un punto materiale di peso p = 11.8 N è fissato al soffitto tramite un cavo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza r = 1.2 m e tramite una molla di lunghezza a riposo trascurabile (l0 = 0 m) e costante elastica k = 40 N/m.
•! Cavo e molla sono entrambi fissati in un’estremità al soffitto (a distanza r l’uno dall’altro) e nell’altra al punto materiale.
•! Calcolare, all’equilibrio, la distanza d del punto dal soffitto.
rr
p
k
21!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 7 (II)
•! La condizione di equilibrio si scrive:
•! Facendo riferimento alla figura e considerando le componenti lungo j, in modo da eliminare la tensione T del cavo, si ha:
•! !l si può esprimere mediante il teorema dei seni: per cui: r
r
!p
l!
ı !
2 2! "#
!
2!
!
!
R =!T +!Fe +!p =!0
cos cos cos2 2ep F k l! !! = = "
sin cossin sin2 2 2
cos2
l rl r r
! " "" "
"
# $%& '( )= = * + =+
sincos cos cos sin
2 2cos2
p k l k r kr! ! !! !!
" #$ %
= & = =$ %$ %' (
22!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 7 (III)
•! Abbiamo dunque:
pcos! = kr sin! " tan! = pkr
= 11.840 #1.2
= 0.245833
! = arctan0.245833= 0.241053d = r sin! = 1.2m # 0.238725 = 0.286m
23!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
rr
!p
l!
ı !
2 2! "#
!
2!
!
Esercizio 8
•! Una scala, il cui peso è distribuito uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con una estremità su di un piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito statico f = 0.2) e con l’altra contro una parete verticale, anch’essa scabra (f = 0.2).
•! Si determini l’angolo di minima inclinazione !min che la scala può formare con il piano orizzontale senza scivolare.
A
B
!
24!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 8 (II)
•! Le forze che agiscono sulla scala sono 5: la forza peso, le reazioni vincolari del piano orizzontale e della parete verticale, infine le forze di attrito statico esercitate dal piano orizzontale e dalla parete verticale.
•! Chiamiamo p il peso della scala e 2l la sua lunghezza. Le forze peso esercitate su ogni sua parte sono equivalenti a una forza con direzione verticale applicata al suo baricentro.
•! Prendendo G come centro di riduzione, le equazioni cardinali della statica si scrivono:
•! Scomponiamo la prima nelle componenti orizzontale e verticale.
!R e( ) =
!p +!RnA +
!RtA +
!RnB +
!RtB =
!0
!M e( )
G( ) =!RnA +
!RtA( )! A"G
" !""""( ) + !RnB + !RtB( )! B "G" !""""( ) = !0
#$%
&%
25!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RtA A
B
G!p
!RtB !
RnB
!RnA
!
!
Esercizio 8 (III)
•! Se indichiamo con i simboli dei vettori senza freccia i moduli (non le componenti) abbiamo:
•! Prendendone il modulo e scegliendo G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica può essere scritta come:
!p +!RnA +
!RtA +
!RnB +
!RtB =
!0 !
RtA " RnB = 0p " RnA " RtB = 0
#$%
&%!
RnB = RtARnA + RtB = p
#$%
&%
!RnA +
!RtA( )! A" G( ) + !RnB +
!RtB( )! B " G( ) = !0
RnAl sin#2"$
%&'
()*
cos$" #$ %$
" RtAl sin$ " RtBl sin#2"$
%&'
()*
cos$" #$ %$
" RnBl sin$ = 0
RnA " RtB( )cos$ " RnB + RtA( )sin$ = 0
tan$ =RnA " RtB
RtA + RnB
26!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RtA A
B
G!p
!RtB !
RnB
!RnA
!
!
Esercizio 8 (IV)
•! Se aggiungiamo le due espressioni della massima forza di attrito radente statico (sul pavimento e sulla parete), otteniamo un sistema di 3 equazioni e 2 disequazioni:
•! Utilizzando una parte di queste relazioni siamo in grado di risolvere il problema.
RnB = RtA
RnA + RtB = p
tan! =RnA " RtB
RtA + RnB
RtA # f RnA
RtB # f RnB
$
%
&&&&
'
&&&&
27!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RtA A
B
G!p
!RtB !
RnB
!RnA
!
!
Esercizio 8 (V)
RnB = RtA
RnA + RtB = p
tan! =RnA " RtB
RtA + RnB
RtA # f RnA
RtB # f RnB
$
%
&&&&
'
&&&&
tan! =RnA " RtB
RtA + RnB
=RnA " RtB
2RtA
#RnA " f RnB
2RtA
=
=RnA " f RtA
2RtA
#RnA " f f RnA( )
2 f RnA( ) =RnA " f 2 RnA
2 f RnA
=
=1" f 2
2 f28!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RtA A
B
G!p
!RtB !
RnB
!RnA
!
!
Esercizio 8 (VI)
•! Otteniamo infine:
tan! " 1# f2
2 f= 1# 0.2
2
2 $ 0.2= 2.40
!min = arctan 2.40( ) = 1.176 rad = 67.38°
29!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
!RtA A
B
G!p
!RtB !
RnB
!RnA
!
!
Esercizio 9
•! Un punto materiale di peso p = 0.98 N è situato all’estremità di una sbarretta indeformabile, di peso trascurabile e lunghezza r = 0.1 m.
•! L’estremità opposta della sbarra è incernierata in O a una parete verticale in modo tale che la sbarra stessa si possa muovere soltanto in senso verticale.
•! A una distanza h = 0.2 m da O, verticalmente sopra al punto, è fissato l’estremo di una molla (k = 50 N/m) di lunghezza a riposo pari a l = 0.12 m.
•! La molla è fissata al punto materiale nel suo estremo opposto.
•! Determinare, all’equilibrio statico, l’allungamento della molla.
Or
p
k
h
30!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 9 (II)
•! Trattandosi di un punto materiale, soggetto alla forza peso p, alla reazione vincolare della sbarra R e alla forza elastica della molla Fe, la condizione di equilibrio si scrive:
•! Scegliendo i due versori cartesiani i e j in modo tale che i sia nella direzione della sbarra (vedi figura), e scomponendo l’uguaglianza in tali due componenti, si ha: dove abbiamo indicato con !l l’allungamento della molla (la lunghezza della molla è quindi l + !l). Per il teorema dei seni:
Or
!p
k
h!
!
ı!
!
R = !p +!R +!Fe =!0
ı!
! pcos" + R ! k #l cos$ = 0! psin" + k #l sin$ = 0
%&'
sin!h
= sin"l + #l
$ sin" = l + #lhsin!
31!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 9 (III)
•! Abbiamo quindi:
! psin" + k #l sin$ = 0
sin" =l + #l
hsin$
%&'
(') ! p l + #l
hsin$ + k #l sin$ = 0
! p lh! p #l
h+ k #l = 0 ) #l k !
ph
*+,
-./=
plh
#l = pl
h k ! ph
*+,
-./
=pl
hk ! p=
0.98 0 0.120.2 0 50 ! 0.98
= 0.013m
32!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Or
!p
k
h!
!
ı!
Esercizio 10
•! Una sbarra rigida di peso trascurabile e lunghezza l = 30 cm è sospesa al soffitto tramite 2 cavi inestensibili di ugual lunghezza, applicati alla sbarra a distanza a1 = 0 e a2 = (2/3)l dall’estremo sinistro.
•! Alla sbarra sono applicate 3 massette, di peso p1 = (!/500) N, p2!= 5 N e p3 = 10–6 ! 2 N, a distanze b1 = (1/3)l, b2 = (2/3)l e b3!=!l dall’estremo sinistro.
•! Determinare, in condizione di equilibrio statico, le tensioni dei due cavi.
•! ! = 500.! T1
p1
p2
p3
T2
!
!
! !
!
33!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 10 (II)
•! Prendendo come centro di riduzione O il punto sulla sbarra a distanza b2 = (2/3)l dall’estremo sinistro, le equazioni cardinali della statica si scrivono:
•! Da qui si ottiene:
•! Con i dati del problema:
RM
p1 + p2 + p3 = T1 + T2
T123 ! p1
13 + p3
13 = 0
"#$
%$
T1 =12 p1 !
12 p3
T2 = p1 + p2 + p3 ! T1 = p1 + p2 + p3 !12 p1 +
12 p3 =
12 p1 + p2 +
32 p3
"#$
%$
T1
p1
p2
p3
T2
!
!
! !
!
Op1 = 1 Np2 = 5 Np3 = 0.25 N
!
"#
$#
%T1 =
12 p1 &
12 p3 = 0.375 N
T2 =12 p1 + p2 +
32 p3 = 5.875 N
!"#
$#
34!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 11
•! Nel dispositivo in figura, M = (! /500) kg, m = 3!10–6 ! 2 kg, " = (!/6) rad, mentre la molla ha costante elastica k!=!(1/1000) ! 2!N/m.
•! Determinare, in condizione di equilibrio statico:
–! Il modulo della reazione vincolare T del soffitto;
–! L’allungamento ##l della molla;
–! Il modulo della reazione vincolare R esercitata dal piano inclinato sulla carrucola fissa.
•! ! = 500.
k
m
!M
T
35!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 11 (II)
•! Per quanto riguarda la carrucola mobile, si ha:
•! Per quanto riguarda la carrucola fissa, si ha:
•! Per quanto riguarda la massa m si ha:
k
m
!M
T
!!T
!T
!p = M!g
1
!!!T
!!T
!R
3
p = Mg = T + !TTr = !T r"#$
% T =M2
g
!R = !
!"T +!""T( )
"T r = ""T r
#$%
&%'
""T = "T = T
R = T 2 + T 2 ! 2T 2 cos 90°+(( ) = T 2 1+ sin(( )#$%
&%
mg sin! + k" l # T = 0 $ " l = T # mg sin!
k
36!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!
Esercizio 11 (III)
•! Introducendo i dati del problema:
•! Si ha:
k
m
!M
T
! = 500 "
M = !500 = 1 kg
m = 3#10$6!2 = 0.75 kg% = &
6 rad
k = !2
1000 = 250 N m
'
(
))
*
))
T = M2g = 0.5! 9.81= 4.90 N
R = T 2 1+ sin"( ) = 4.90 2 1+ 12( ) = 4.90 3 = 8.49 N
# l = T $ mg sin"k
=4.90 $ 0.75! 9.81! 1
2
250= 4.89 !10$3 m
%
&
'''
(
'''
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Domenico Galli Dipartimento di Fisica
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