F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato...

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F. Gay,

Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dell’Architettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa. 2010-2011

Linee e superfi

ci : le forme e le forze

F. Gay,

sommario

Classificazione proiettiva delle quadriche

Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie

Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve

Categorizzazione delle curve Esercizio sulle superfici di Lamé

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QUADRICHE

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3. Trasformazioni omografiche della 3. Trasformazioni omografiche della sferasfera

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PUNTO ELLITTICO

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ellissonide

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paraboloidi

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4. Trasformazione omografica della 4. Trasformazione omografica della superficie conica rotondasuperficie conica rotonda

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PUNTO PARABOLICO

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P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)

F. Gay,

F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929

F. Gay,

Mole antonelliana

a Torino (1863-80)

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5. iperboloidi5. iperboloidi

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PUNTO IPERBOLICO

DIREZIONE ASINTOTICA

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Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche

F. Gay,

Paraboloide iperbolico:sezioni iperboliche

F. Gay,

Paraboloide iperbolico come superficie rigata

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Iperboloide a una falda

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V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),...........

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CURVE e SUPERFICIE 3

Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;

superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

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Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura

Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità

breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche

Curve di Bezier, B-Spline e NURBSUna generalizzazione delle coniche: curve e superficie di

Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula

F. Gay,

Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

F. Gay,

Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica

Cubiche ellittiche

(Parabole divergenti)

e cubiche razionali

(duplicatrice)

Coniche(Quadratiche)

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LE FORME E LE FORZE:Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:

F. Gay,

Serie morfologiche

parabola

catenaria

Catenaria d’ugual

resistenza

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Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)

F. Gay,

sinusoide

lintearia

Cicloide di Sturm

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Curva di Schoute

a forma di punta di matita

qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole

F. Gay,

Grafico della funzione Inversa del coseno

iperbolico

Curva di Gauss

Cubica di Lamé

Curva di Agnesi

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strofoide

Trisettrice di MacLaurin

Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano

costantemente una alla velocità tripla dell’altra

Folium di Cartesio

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Cubica circolare razionale

cissoide

Cissoide come curva mediana della retta del

circolo

F. Gay,

Cubiche di Chasles

Iperboli cubiche

(P è un polinmio di terzo grado)

F. Gay,

Parabole (cubiche)

divergenti

F. Gay,

Quartica razionale piriforme

Curva a “lacrima”

F. Gay,

Lemniscata di Bermouilli

Lemniscata di Gerono

F. Gay,

Quartiche bicircolari razionali

Lumaca di Pascal

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Cardioide Qui costruita come pericicloide

F. Gay,

Quartiche di Bermuoilli

Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici

Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

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Spiriche di Perseo

Fissati A e B

variando C.

1) Se 0 < B < A

2) Se B < 0 < A

Spiriche e toriche

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Ovali di Cassini

Ovali e Lemniscate di Booth

e Ippopede di Proclo

F. Gay,

Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

F. Gay,

Quartiche di Plücker

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Trascendenti tipiche: le spiraliSpirale

logaritmica

Caso di fibonacci

Cfr. Modulor

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Spirale d’Archimede

E la sua inversa:

Spirale iperbolica

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Involuta del circolo

Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).

Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).

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Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)

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Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla

distanza da una curva detta direttrice

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curve (di approssimazione) di Bézier

curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).

L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

F. Gay,

Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.

Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1

al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.

tragitto di B(t) da P0 a P1.

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La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo

È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata

F. Gay,

Curve di approssimazione (B-spline)

Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).

la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.

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Non Uniform Rational B-splinesono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali).

Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero:

se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la

medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la

medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.

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I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la

curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura

(knots); - il grado (ordine) della curva.

Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.

F. Gay,

La categorizzazione comune delle curve

F. Gay,

Curve di Lamè

F. Gay,

Curve e Superfici di Lamè

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