Post on 07-Feb-2018
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Fisica Nucleare
Testo di riferimento:
• Introductory nuclear physics – Krane
Altri testi che ho utilizzato in alcune parti del corso:
•Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin
•Nuclei e particelle – Segrè
•Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico
Testi di meccanica quantistica utili:
•Quantum mechanics – J.J. Sakurai
•Quantum physics – Gasiorowicz
Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:
http://gruppo3.ca.infn.it/usai/fisica-nucleare.html
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Riveste un ruolo importante nella nostra vita
Fissione nucleare : generazione di energia ⇒ centrali/armi
Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita
Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi
Possibile sorgente futura di energia non inquinante
Decadimento radioattivo: usato per la datazione, . allarmi antifumo !
Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging
trattamenti terapeutici del cancro
Perchè studiare la fisica nucleare ?
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Fisica Nucleare - Storia
Probabilmente nessun argomento crea così tanta paura e confusione
1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen
1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel
1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie
1905 Einstein – teoria speciale della relatività
1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford
1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo
1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger
1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence
1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta
1932 Osservazione del neutrone – Chadwick
1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn
1941 Avvio del Progetto Manhattan
1942 Primo reattore – Fermi
1945 La bomba atomica - Oppenheimer
1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow
1952 Bomba all’idrogeno
1956 Violazione della parità nel decadimento beta
Sviluppo di applicazioni tecnologiche
ad es. imaging medico
2004
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Dinamica relativistica
Unità naturaliPoniamo ħ=c=1 e scegliamo l’energia come unità di misura fondamentale
Energia GeV Tempo (GeV/ħ)-1
Momento GeV/c Lunghezza (GeV/ħc)-1
Massa GeV/c2 Sezione d’urto (GeV/ħc)-2
Riconvertiamo nelle unità SI usando
ħc=0.197 GeV fm
ħ=6.6x10-25 GeV s
Carica: poniamo ε0=1 (unità di Lorentz-Heavyside)
1371
44
2
0
2
≈==ππε
α ec
eh
22242222 mpEcmcpE +=→+=
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Costituenti fondamentali
Elettroneme=0.511 MeV/c2
carica = - e (1.6x10-19 C) dimensione ≤ 10-18 m
NucleoZ protoni, N neutroniprotoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleoneUn nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + Nmp ∼ mn = 939.57 MeV/c2; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n ∼ 1 fm; raggio del nucleo (A medio) ∼ 5 fm
AtomoLo stato normale è neutro, Z elettronidimensioni ∼ 10-10 m La massa mp, mn ∼ 1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleoLe proprietà chimiche dipendono da Z
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La forza forte
Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali:
elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale
I nucleoni sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (qualche fm)
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I nucleoni nel nucleo sono in moto con energie cinetiche dell’ordine di 10 MeV. Le energie nei decadimenti nucleari sono dell’ordine di 1-10 MeV, meno dello0.1% della massa a riposo di un nucleone (~ 1 GeV). E’ quindi possibile usare la MQ non relativistica ⇒ possiamo applicare l’equazione di Schrödinger.
Questo non è vero nel caso dello studio della struttura del nucleone, dove l’energia del fascio incidente in un esperimento di scattering può essere 100 voltela massa di un protone.
Sia i nuclei che i nucleoni sono sistemi complessi formati da molti costituenti. Le teorie e i modelli che li descrivono sono perciò spesso di natura fenomenologica e la fisica nucleare avanza attraverso l’esperimento piuttosto che con la teoria.
Teoria nucleare ed esperimento I
La fisica atomica è basata su una singola teoria consistente – la QED. Questo sfortunatamente non accade in fisica nucleare: esiste una teoria fondamentale delle interazioni forti – la QCD – ma essa descrive l’interazione fra i quark, non fra i nucleoni
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Teoria nucleare ed esperimento II
Gli esperimenti di fisica nucleare possono essere classificati come esperimenti discattering o di spettroscopia (allo stesso modo che in fisica adronica)
In un esperimento di scattering, un fascio di particelle di energia e momento noti èdiretto verso il bersaglio in esame. La risoluzione ottenibile è determinata dalla lunghezza d’onda di de Broglie λ=h/p delle particelle. I raggi nucleari possono essere misurati tramite fasci elettronici di circa 108 eV, il raggio del protone con 109
eV.
Il termine “spettroscopia” viene usato per descrivere gli esperimenti in cui si osservano i prodotti di decadimento di stati eccitati. In questo modo, possiamo studiare le proprietà degli stati eccitati oltre che le interazioni fra i costituenti. Gli“stati” possono essere nuclidi diversi o, in fisica adronica, mesoni e barioni diversi. Le energie richieste per produrre stati eccitati sono simili a quelle degli esperimenti di scattering.
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La tavola periodica degli elementiSolo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle
Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)
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Fisica nucleare - scale
Livello fondamentale
Stati eccitati (∼ eV)
Stati eccitati (∼ MeV)
Livello fondamentale
Livello fondamentale
Stati eccitati (∼ GeV)
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Nuclidi
Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione:
Z = Numero Atomico (Numero di Protoni)
A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni)
A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni)
N = Numero di Neutroni (talvolta omesso)
Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI
Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI
Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI
Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI
Esistono migliaia nuclidi!
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Carta dei nuclidi
I nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare
Tipicamente la carta grafica Z vs N
I diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta –ad es. il decadimento α corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso
Questo permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace
Permette di visualizzare anche altre proprietàcome la vita media o la data di scoperta
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Masse nucleariLa misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa
Fascio di ioni
Lastra fotografica
Selettore di velocità
E
BB
misura della massa
q, B, v sono noti. Misurando r si ha
EqrBm
2
=
Selettore di velocità
BEv
qvBqE
=
=
Selettore di momento
qBmvr
qBrmv
=
=
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Masse nucleariLa massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione
Una unità di massa atomica u è perciò definita come 1/12 della massa del nuclide 12C
kg 1066043.1/MeV 481.931121 1 272
12−⋅=== cMu
C
Esempio: Misura della massa dell’idrogeno
( ) ( ) u 00000012.009390032.0810209 ±=−=∆ HCmHCm
D’altra parte
( ) ( ) ( ) ( )CmHmHCmHCm 12810209 12 −=−
Quindi la massa dell’idrogeno è data da
( ) ( )[ ] u 0000001.000782503.1121 12 ±=∆+= CmHm
⇒ massa di un protone = 938.272 MeV/c2
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Abbondanze nucleari
Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2.7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola
Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera
Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea dell’uranio(K.Schafer, MPI Heidelberg)
Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi
Numero di massa
Con
tegg
i
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Abbondanze nucleari nel sistema solare
Abbondanze relative nel sistema solare(normalizzate a Si).
Generalmente le stesse in tutto il sistema solare
Deuterio e elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang
Nuclei fino 56Fe: stelle
Nuclei più pesanti: supernovae
Abbondanze nel Sole
104 H 103 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne
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Energia di legame nucleare
L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo AZXN
( ) ( )[ ] 222 cZmmNmZmcmcNmZmB eAnpNnp −−+≈−+=
L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari.
Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo riscrivere
[ ] 21 )()( cXmNmHZmB An −+=
L’energia di massa di un nucleo è
22
1
222 cZmcmBcZmcmcm eA
Z
iieAN −≈+−= ∑
=
Massa atomica Massa degli Z elettroni
Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile)
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Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica.
L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di legame di AZXN e A-1
ZXN-1
Energie di separazione
( ) ( )( ) ( )[ ] 2
11
11
cXmmXm
XBXBS
NAZnN
AZ
NA
ZNAZn
−+=
−=
−−
−−
L’energia di separazione di un protone è definita in modo simile come l’energia necessaria per rimuovere un protone
( ) ( )( ) ( )[ ] 21
1
11
cXmmXm
XBXBS
NAZpN
AZ
NAZN
AZp
−+=
−=−−
−−
21Linea rossa misure sperimentalilinea nera formula semi-empirica
ener
gia
di le
gam
e pe
r par
ticel
la
nucl
eare
(nuc
leon
e) in
MeV
Numero di Massa A
La massa media dei frammenti di fissione è circa 118
Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione
Fe
Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati
Ni6228
Fe5826
Fe5626hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone
energia dalla fissione nucleare
energia dalla fusione nucleare
235U
Energia di legame per nucleone
B/A ∼ costante ∼ 8 MeV per nucleone, A≥20
Largo massimo per A ∼ 60 (Fe, Co, Ni)
A≤60 fusione A ≥60 fissione
I nuclei leggeri con A=4n, n=intero presentano picchi (stabilità α)
B/A ∼ costante → in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare èa corto range e saturata
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I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi
Stabilità nucleare
Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione di un protone in un neutrone (e un positrone).
Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini
Si possono avere inoltre decadimenti αe fissione spontanea
Fissione spontanea
Linea della stabilità
Nuclei noti
Numero di neutroni N
Num
ero
di p
roto
niZ
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Carta dei nuclidi – vita media
Experimental Chart of Nuclides 2000 2975 isotopi
Vita media
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Carta dei nuclidi – cronologia
Evoluzione della Tavola degli Isotopi
Anno di pubblicazione
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• Uno dei primi modelli del nucleo proposti
• Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro
• Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili
Il modello della goccia di liquido
Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie
Goccia di liquido Nucleoforze intermolecolari a forza nucleare corto range
Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare
Calore richiesto per B/A ∼ costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia
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Il termine di volume +avA
Termine dominante, proporzionale al numero di nucleoni, perciò proporzionale a R3, il volume. Poichè R∝A1/3, → B ∝A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV.
Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione.
Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2.
A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3.
La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm.
Il termine di superficie -asA2/3
I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame èminore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della superficie del nucleo (R2 o A2/3)
Singoli termini dell’energia di legame
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Il termine coulombiano –acZ2/A1/3
La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia di legame. Questo termine vale
Poichè R∝ A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3
Mettendo tutto assieme troviamo
ReZZECoulomb
2)1(53 −
=
3/123/2 /),( AZaAaAaAZB csv −−=
La formula è ancora inadeguata:
per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!)
Inoltre l’energia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura
volume
superficie
Coulombsimmetria
Numero di massa A
B/A
(MeV
per
nuc
leon
e)
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Termine di asimmetriaPer passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2∆E/8
Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con N≠Z.
La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A
Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie
ANZaa /)( 2−−
buca di protoni buca di neutroni
cambiamo 2 protoni in 2 neutroni
cambiamo 2 protoni in 2 neutroni
separazione fra i livelli ∆E
Aumento di energia=2 ∆E
Aumento di energia=3x2 ∆E
neutrone protone
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Contributi a B/A
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Il termine di accoppiamento
Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone.
Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin ↑↓ e funzione spaziale d’onda simmetrica
Il termine viene aggiunto nel modo seguente:
Per nuclei A dispari (termine=0)
• Z pari, N dispari
• Z dispari, N pari
Per A pari
•Z dispari, N dispari -δ(Z,A)
•Z pari, N pari +δ(Z,A)
2/1),(Aa
AZ p=δ
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La formula di massa semi-empirica (Weizsacher)La formula finale è per l’energia di legame è
),()(),(2
3/1
23/2 AZ
ANZa
AZaAaAaAZB acsv δ+
−−−−=
I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è
av=15.67 MeV
as=17.23 MeV
ac=0.714 MeV
aa=23.285 MeV
δ= -11.2 MeV Z ed N pari
0 MeV A dispari
+11.2 MeV Z ed N dispari
Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica
( ) 21 /),(),( cAZBNmHZmAZM n −+=
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Confronto con l’esperimento
Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari
La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica
Deviazioni relativamente grandi per A piccolo
Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti “numeri magici” vengono spiegati dal modello a shell
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Limiti della formula semi-empiricaUlteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range, si è
trovato che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente.
Si è trovato che il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni è richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. La formula di massa semi-empirica non ha posto per gli effetti di spin.
L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi tale momento.
Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato.
Discuteremo più avanti modelli maggiormente basati sulla meccanica quantistica.
Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento β e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento α.
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Applicazione 1: parabola di massaConsideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in
2/12
),(),(
Aa
ZZA
ZABZmZmNmZAM
p
epn
++−=
−++=
γβαdove i coefficienti sono
prima come
)(
3/1
3/1
p
ca
epna
asvn
aAa
Aa
mmmaaAaam
+=
−−+=++−= −
γ
βα
Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2)
Il minimo delle parabole si trova a Z=β/2γ. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento β.
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Parabole di massa per A=101, A=106
Più dettagli sul decadimento β nelle prossime trasparenze
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Decadimento β - nuclei di massa dispariI nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente.
ee
e
ee
eRuRheTcMomZAMZAMZAMZAM
enpepn
νν
νν
++→++→+−>+>
++→++→
+−
+−
10144
10145
10143
10142esempio
2)1,(),()1,(),(condizionereazione
M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dell’elettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<7 eV/c2) che può essere trascurata.
La reazione del decadimento β+ è possibile solo all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone.
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Decadimento β - nuclei di massa pariGli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di accoppiamento.
Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari β stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono 106
46Pd e 10648Cd.
Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola. L’isotopo Cd potrebbe decadere via doppio decadimento β:
eePdCd ν2210646
10648 ++→ +
Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che 10648Cd può essere
considerato stabile.
I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 21H, 63Li, 10
5B, 147N sono stabili,
poichè l’aumento dell’energia di asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di accoppiamento.
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Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K.
Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici.
La condizione per la cattura elettronica è
Intermezzo: cattura elettronicaUn diverso processo fisico in competizione col decadimento β+ basato è la cattura elettronica:
ε+−> )1,(),( ZAMZAM
Dove ε è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio.
La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento β+ (2mec2-ε)
enep ν+→+ −
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Esempio: decadimenti del 40K
40
Applicazione 2: fissione spontaneaPer nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 40 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili.
I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi dell’uranio.
L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea
41
Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione:
εε ),(),(
),(),(
ZABZmZmNmZAM
ZABZmZmNmZAM
epn
epn
−++=
−++=
La massa in assenza e in presenza di deformazione è
Per cui
),(),(),(),( ZABZABZAMZAM −=− εε
Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.
0),(),( >−=∆ ZABZABB ε
42
Il termine di volume della SEMF è invariato poichè
costante34
34volume 32 === Rab ππ
Variazione del termine di superficie
Se Z2/A > 2as/ac →∆B>0 il nucleo è instabile per deformazioni
52),(),(
223/2 ε
ε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=∆
c
sc a
aA
ZAaZABZABB
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +→ 23/23/2
521 εAaAa ss
Variazione del termine coulombiano
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−→
51
2
3/1
2
3/1
2 εAZa
AZa cc
⇒variazione dell’energia di legame
270 ,114 cioè 50/2 >>> AZAZ
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Il modello del gas di FermiIl potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R.
I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno della sfera di raggio R.
I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF.
Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse.Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento β in uno stato energeticamente più favorevole
In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni
Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni
I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana)
Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere ↑↓
44
L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni
∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∇−==
A
ii
A
ii m
TH1
22
1 2h
e abbiamo l’equazione di Schrodinger
),,,(),,,( 2121 AA rrrErrrH rK
rrrK
rr ψψ =
Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili)
)( )( )(),,,( 221121 AAA rrrrrr rL
rrrK
rr ϕϕϕψ =
Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi
∑=
==∇−A
iiiiii EErEr
m 1
22
),( )(2
rrh ϕϕ
Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo
)()()( ),,( zyxzyx iiii γβαϕ =
( )2222
22
2
2 ),( )( iziyixiiixi kkk
mExkx
dxd
++==hαα
45
Abbiamo la soluzionexikxik
iixix CeBex −+= )(α
con le condizioni di frontiera
⎩⎨⎧
=+=+
⇒
====
− 00
0)( )0(
LikLik
ii
ixix CeBeCB
Lxx αα
quindi
⎩⎨⎧
==
0sin LkBCB
ix
Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori
L,3,2,1 , 11 == ii
ix nL
nk π
46
La costante di normalizzazione si trova imponendo
LB
LBxdxkBdxxL L
ixi
2
2sin)(1 2
0 0
222
=⇒
=== ∫ ∫α
in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone
con
zkykxkL
zyxr
iziyix
iiii
sinsinsin2
)()()()(2/3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
= γβαϕ r
L,3,2,1,, , , 321321 ==== iii
iiz
iiy
iix nnn
Lnk
Lnk
Lnk πππ
A ciascuna terna di interi (n1i,n2i,n3i) corrisponde un autovalore dell’energia di particella singola
)(2
)(2
),,( 23
22
21
22222
2
321 iiiiziyixiiii nnnmL
kkkm
nnnE ++=++=πhh
47
Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni.
Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è
Un singolo stato occupa un volume (π/L)3. Il numero di stati fra k e k + dk è
Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a kF
Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è
Lnn
Lk zyx
ππ=−+=∆ )1( 3,2,13,2,1,,
kdL
kdNr
33)/(
181)(
π=
( )333
0
,3
4)2(
)()( LkkdNkN F
k
F
F
≡ΩΩ
== ∫π
π
2
33
30 3
23
44)2(
)(4π
ππ
FF
k kkkdNAF
Ω=Ω
== ∫
48
Poichè ρ0 = A / Ω, il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare
Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo ρ0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui
Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica
L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale è
MeV 35.382
22
==mkF
F
hε
FFF
kk
k
Amkk
dkkmkkdNTT
FF
επ
π
53
253
32
22)(4
22
2
30
222
20
=Ω=
Ω== ∫∫
h
h
2
3
0 32π
ρ Fk=
Energia cinetica e raggio nucleare
-1fm 36.1=Fk
49
I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media
Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme ρ0, allora
Possiamo quindi ricavare il raggio R
Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo
3/10
3/13/1
3
3/1
0 89
43 ArA
kAR
F
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ππρ
MeV 2353
== FAT ε
fm 12.18
9 13/1
0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
Fkr π
300 3
4 RA πρρ =Ω=
Valore sperimentale dallo scattering elettronico: r0 = 1.21 fm
50
Poichè T/A ∼ 23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone
Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume
Per calcolare <U> assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|r1-r2|) identica in tutti gli stati.
La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è
L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ψij
[ ])()()()()()()()(2
1),,,( jirrjirrssrr ijjiijjijjiijijiij χχϕϕχχϕϕψ rrrrrr−=
MeV 40vol −≈−−= TbU
MeV 16 ,BE volvolvol ≈= bAb
Parametri della formula semi-empirica
( ) Eij
Dijjiijjiijij UUrdrdrrVU −=−= ∫
rrrr 33* ψψ
termine diretto
termine di scambio
51
Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2 ∼ A2 / 2Possiamo inoltre porre |φ(r)|2 = ρ(r) / A
( ) jijiji
jiij rdrdrrV
Arr
AUU rrrrrr
332
2 )()(
21
∫∑ −≈=>
ρρ
Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto
( ) jijijjiiDij rdrdrrVrrU rrrrrr 3322 )()(∫ −= ϕϕ
Nel gas di Fermi la densità è costante ρ = ρ0 = A / Ω. Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2
VArdrVA
rdrVRdUUji
ij
ˆ)(21
)(21
03
0
3320
ρρ
ρ
−≡=
≈=
∫
∫∫∑>
r
rr
L’energia totale del sistema è approssimativamente
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+= VAUTE F
ˆ53
0ρε
52
Abbiamo quindi un’energia di volume dominante, come nella formula semi-empirica.
Possiamo quindi scrivere
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Vb
AbVAE
Fvol
volF
ˆ53
,ˆ53
0
0
ρε
ρε
53
Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che λ degli Z protoni diventino neutroni
Nel caso del nucleo simmetrico
Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico
∫ Ω==kF
FkdNA0
2
30
324
π
( ) ( )λλ +=−= 12
' ,12
' ANAZ
Energia di simmetria
∫
∫
Ω==−=
Ω==+=
pF
nF
k pF
k nF
kdNAZ
kdNAN
02
3
02
3
32)1(
2'
32)1(
2'
πλ
πλ
Abbiamo quindi
3/103/12
3/103/12
)1()1(2
3
)1()1(2
3
λλπ
λλπ
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Ω=
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Ω=
FpF
FnF
kAk
kAk
54
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
dove
pFF
nF
k
k
k
k
ZAN
dNmkdN
mkT
F
pF
nF
F
εεε53'
53
22
53'
22
22
0
22220
0
+−=
−=∆ ∫∫hh
3/2022
3/2022
)1(2
)1(2
λεε
λεε
−==
+==
F
pFp
F
F
nFn
F
mkmk
h
h
E’ necessaria una certa energia perchè l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è
∫∫−
+
−=∆4/
4/)1(
4/)1(
4/
22A
A
A
A
dNdNTλ
λ
εε
55
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
Poichè λA = N’ – Z’
AA
ZANT
F
F
20
3/23/20
)(31
)1('2
2)1('53
λε
λλε
≈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+=∆
MeV )''(13)''(31 22
0
AZN
AZNT F
−≈
−=∆ ε
bsim = 23.3 MeV → circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli
Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0
F saranno meno legati
Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z
56
Presenza di una superficie (S/Ω≠0): nel conto degli stati fra k e k+dk dobbiamo sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0
Abbiamo quindi
23
2
2 6 ,2)2(
4)/(
2413 LS
kdkkS
Lkdk
==⋅π
ππ
ππ
Il termine di superficie
dkkk
SdN 23 4
21
)2(ππ
π ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Ω−
Ω=
Il numero di nucleoni è ora
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Ω−
Ω= ∫
F
F
k
kSk
dkkk
SAF
431
32
42
1)2(
4
2
3
0
23
ππ
πππ
57
La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/Ω
Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale
L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/Ω<<1)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−==Ω Fk
SA4310πρρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Ω−
Ω= ∫
FF
F
k
kSk
dkkmk
kST
F
851
53
32
422
1)2(
4
2
3
0
22
3
πεπ
πππ
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+≈
Ω−
Ω−
=F
F
F
FF k
S
kS
kS
AT
81
53
431
851
53 πεπ
π
ε
Il termine di superficie aumenta <T>
58
Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi
Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9π/8)1/3/r0, possiamo scrivere
3/23/2
sup 2459
853 AA
kST F
FF ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Ω=
πεπε
3/13/13/1
03
0
3/220
243
98
83/44
8−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ΩAr
ArAr
kS
F
ππ
ππππ
∼18 MeV (vicino a bsup)
59
Misura delle densità e dei raggi nucleari
La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione:
L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio
4 Scattering elettronico
4 Atomi muonici
4Nuclei speculari
L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo → studio piùcomplesso. Ad esempio
4 Scattering α (Rutherford)
4 Scattering di protoni
4 Scattering e assorbimento di neutroni
4 Vita media di emettitori α
4 Raggi X di atomi pionici
60
In un processo elastico a+b→a’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica.
L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono correlati in modo non ambiguo
Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering
La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare ∆xè data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta λ’≤ ∆x
Scattering elastico
xxcpc
xp
∆≈
∆≥→
∆≥
MeVfm200 hh
Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dell’ordine di 10-100 MeV/c
I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di MeV
Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg
61
Nelle reazioni inelastiche parte dell’energia cinetica trasferita dal fascio a al bersaglio b lo eccita in uno stato di energia maggiore b*. Lo stato eccitato successivamente ritorna allo stato fondamentale emettendo una particella leggera –ad es. un fotone o un pione – o può decadere in una o più particelle
Scattering inelastico
dcbbaba
+→+→+
' ''
Se permesso dalle leggi di conservazione l’intera energia del fascio può andare in eccitazione del bersagio o nella produzione di nuove particelle; la particella del fascio scompare completamente
Tali reazioni inelastiche rappresentano la base della spettroscopia nucleare e delle particelle
62
FlussoSezioni d’urto
aaa
a vndt
dNA
==Φ1
La sezione d’urto geometrica di reazione è l’area presentata da un singolo centro di scattering alla particella del fascio a incidente
dove va è la velocità della particella del fascio e na è la densità di particelle
Numero di particelle del bersaglio nell’area del fascio
dAnN bb ⋅⋅=
Rate di reazione totale
bba NdtdN σ⋅⋅Φ=
scattering di centri flusso/secscatterate particelle di n./
×=
⋅Φ=
bab N
dtdNσ
63
Unità comunemente usate: 1 barn = 1 b = 10-28 m2 (10-24 cm2) . 1millibarn=1 mb= 10-31 m2
Tipica sezione d’urto ad es. σpp(10 GeV) ≈ 40 mb
La probabilità di reazione per due particelle è generalmente molto diversa dalle considerazioni geometriche e dipende dalla forma, range e intensità del potenziale di interazione
Inoltre, la densità del fascio è tipicamente inomogenea, mentre la densità del bersaglio è omogenea
La sezione d’urto totale è ora definita in modo analogo alla sezione d’urto geometrica
ineleltot σσσ +=
/areascattering di centri fascio/sec del particelle ecreazioni/s di numero
×=totσ
La sezione d’urto totale è la somma delle sezioni d’urto elastica e inelastica
64
Nel caso di un bersaglio spesso (σnL>>1) abbiamo
Poniamo
ndxN
dN σ−=
dxnN ecreazioni/s di numero
⋅⋅=totσ
Il rate a cui le particelle sono rimosse dal fascio è quindi
bersaglio del spessoredxfascio/sec del particelleN
umenuclei/vol
==
=n
Lnif
LN
N
eNN
ndxN
dNf
i
σ
σ
−=
=− ∫∫0
Nel caso di un bersaglio sottile (σnL<<1, exp(- σnL)≈1- σnL) abbiamo
)1( LnNN if σ−=
65
Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione d’urto differenziale
Sezione d’urto differenzialeLa distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea
ba Ndd
dtddN
⋅Φ⋅Ω
=Ω
σNumero di particelle scatterate in dΩ è dN/dΩ
fascio
bersaglioangolo solido dΩ=AD/r2
area ADr
Ω⋅⋅Φ=
Ω dNdtdN
dd
ba
/σUnità area/steraradiante
'/),',(2 dEdEEd Ωϑσ
66
Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme
interazione elettromagnetica
Per misurare una distanza di ∼ 1 fm abbiamo bisogno di un’energia
Scattering elettronico
nucleo A
fotone
e-
MeV 200fm 11 1- ≈==D
E
Misuriamo E, θ degli elettroni scatterati → dσ/dΩ
sottile foglio di materiale scatteratore
monitor di fascio
Fascio elettronico di energia nota
Rivelatore
Regione di campo magneticoApparato
sperimentale
67
Lo scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze è descritto dalla sezione d’urto Rutherford. Questa sezione d’urto può essere ricavata sia classicamente che con la meccanica quantistica con l’ipotesi che il rinculo del nucleo e gli effetti di spin possano essere trascurati e che il centro di scattering possa essere considerato puntiforme.
Sezione d’urto Rutherford
( )( ) )2/(sin44 422
0
22
ϑπε
σ
EZe
dd
Rutherford
⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω
angolo di scattering
dN/d
θ
68
Calcoliamo dσ/dΩ usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare.
Derivazione QM
incidente Flusso din /secscatterate particelle di n. Ω
=Ωd
dσ
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
( ) 1 - 2 2 ==Γ → hEMfi ρπ
dove
( ) finali stati di densità
int
=
=
E
HM if
ρ
ψψ
La funzione d’onda è normalizzata a 1 particella in una scatola di lato LrpiNe ⋅=ψ
322 1
LN ==ψ
69
Densità di stati: è il numero di stati che un elettrone può occupare nel range di momento (p,p+dp). Nel caso di una particella confinata in una scatola di lato L, abbiamo le condizioni di frontiera periodiche
1 - 2,2
,2p
interi ,, ,2 ,2
,2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
===
hLn
Ln
Ln
nnnLnk
Ln
kLnk
zyx
zyxz
zy
yx
x
πππ
πππ
Ciascuno stato occupa un volume (2π/L)3 nello spazio p. Il numero di stati p in p,p+dp nell’angolo solido dΩ è
( ) ( )
( )( )3
2
3
2
3
3
/2
,/2/2
Ldp
dpdNp
Ldpdp
LpddN
πρ
ππΩ
==
Ω==
Nel caso di scattering relativistico E∼p,
( )( )
33
2
2LdE
dEdp
dpdNE Ω==
πρ
70
Elemento di matrice:
fi pp =
dove è il momento trasferitofi ppq −=
Nel caso di scattering elastico
2/sin4 )cos1(2
cos2
22
2
22
22
ϑ
ϑ
ϑ
Ep
pppp
ppq
fifi
fi
=
−=
−+=
−=
xdrVeL
xdNerVNe
xdHHM
rqi
rpirpi
ifif
if
33
3
3int
*int
)(1
)(
∫
∫
∫
⋅
⋅⋅−
=
=
== ψψψψ
71
Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo
Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è
dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L3
Mettendo tutto assieme
Ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Φ=
∫ ⋅ dLErdrVeL
L
EMd
rqi
f
32
23
33
2
2)(12
)(21
ππ
ρπσ
) (cLL
c 1 133 ===Φ
23
2
2
)()2( ∫ ⋅=
ΩrdrVeE
dd rqi
πσ
cndt
dNAdxdx
dtdN
A iii
a ===Φ1
72
Scattering da un nucleo puntiforme:
Omettendo il fattore di normalizzazione L3
L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo
rZrV α
−=)(
∫
∫∞
⋅
=
=
0
2
3
sin2)(2
)(
drqr
qrrVr
rdrVeM rqi
π
)per 0( )( / ∞→→−= − rVer
ZrV arα
Abbiamo
222
0
/2
4/1
4
2
qZ
aqZ
driqr
eeer
ZrM
a
iqriqrar
απαπ
απ
−⎯⎯ →⎯+
−=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∞→
∞ −−∫
73
Scattering Rutherford: La sezione d’urto è quindi data da
Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo l’energia e il modulo del momento dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui
Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford
4
2
2
2 )4()2( q
ZEdd
Rutherford
αππ
σ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω
2/sin2 ϑpq =
2/sin4 42
22
ϑασ
EZ
dd
Rutherford
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω
74
Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott può essere scritta come
Sezione d’urto Mott
cv -
2sin1 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ωβϑβσσ
RutherfordMott dd
dd
Nel caso limite di β→1 la sezione d’urto Mott si semplifica in
2
cos2 ϑσσ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω RutherfordMott dd
dd
L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford
75
dN/d
cosθ
(uni
tàar
bitra
rie)
cosθ
0.50.0 1.0-0.5-1.010-1
1
101
102
103
104
105
Sezione d’urto Mott
Sezione d’urto Rutherford
I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo
76
Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo
Scattering da un nucleo esteso
')'( 3 rdrZedQ ρ=
Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica dQ
'4
-Vrr
edQd−
=π
Abbiamo da cui
∫∫−
=−
= '')'(Z- '
'4)'(-V 33
2
rdrr
rrdrr
rZe ραπ
ρ
L’ampiezza di transizione si modifica in
rdrdrr
ereZ
rdrdrr
reZM
rrqirqi
rqi
33)'(
'
33
''
)'(
'')'(
∫∫
∫∫
−−=
−−=
−⋅⋅
⋅
ρα
ρα
77
Possiamo quindi scrivere
Poniamo e consideriamo costante (vale a dire integriamo su )
dove è il fattore di forma ed è la trasformata diFourier della distribuzione di carica
Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott calcolata
'- rrR =
∫ ∫ ⋅⋅
−= ')'( 3'3 rderRdR
eZM rqiRqi
ρα
'r r
scattering Rutherford (o Mott)
F(q2)
22 )(qFdd
dd
Mott
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ωσσ
∫ ⋅= ')'()( 3'2 rderqF rqiρ
78
Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale
Apparato sperimentale A1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmenteper lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.
79
in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q2 del fattore di forma sperimentale
∫ ⋅−= qdeqFr rqi 323 )(
)2(1)(π
ρ
Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, ρ dipende soltanto da L’integrazione sull’angolo solido dà
|| rr =
dqqqr
qrqFr
drrqr
qrrqF
222
22
sin)(2
1)(
sin)(4)(
∫
∫
=
=
πρ
ρπ
L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano ilrange di |q|. Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di ρ, si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali
80
Fattori di forma nucleari – esempi
puntiforme
πδ4
)(r costante
esponenzialearea −3
gauss
2/23
222
2raea −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π
sfera omogenea
Rr
RrR
>
≤
0
43 3
π
dipolo2
2
2
1−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
aq
gauss22 2/ aqe−
oscillante
( )qRqrqRqR
cossin)(
33 −
sfera con superficie diffusa
oscillante
elettrone
protone
6Li
40Ca
r→ |q|→
ρ(r) F(q2) esempio
81
Fattori di forma nucleari – prime misure
Misura del fattore di forma di 12C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare
Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del fascio di 450 MeV
Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa
Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati
82
Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione
Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a
5.4≈h
qR
La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore.
Esempio: il minimo nella misura di12C di Hofstadter è a q/ħ∼1.8 fm-1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4.5/1.8 ∼2.5 fm
83
Scattering elettronico su 40Ca e 48Ca
La sezione d’urto cambia di sette ordini di grandezza
Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma
Minimi di 48Ca a minore |q| implicano che 48Ca è più grande
dσ/d
Ω[c
m2 /s
r]
θ
84
Raggio quadratico medioIl fattore di forma può essere espanso in potenze di q
L
L
+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
=
∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∑
∞∞
∞
−
drrrqdrrr
drrddrqr
rdiqrn
rqF n
4
0
22
0
0
1
1
2
0
2222
32
)(461 )(4
)(cos cos211)(
)cos(!
1)()(
ρπρπ
ϑϕϑρ
ϑρ
π
Definendo il raggio quadratico medio come ∫∞
⋅=0
222 )(4 drrrrr ρπ
L+−= 222
611)( rqqF
La misura sperimentale di <r2> richiede la misura di F(q2) a valori molto piccoli di q2
02
22
2
)(6=
−=qdq
qdFr
85
Distribuzione di carica dei nuclei
I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo
Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie
costante3
4 3≈
RAπ
La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri
fmRARR 2.1 03/1
0 ≈=
sRrer /)(1
)0()( −+=
ρρ
R è il raggio a cui ρ(r) è diminuita di 1/2
s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove ρ(r) scende dal 90% al 10%. Per tutti i nuclei si ha s ∼ 2.5 fm
86Distanza radiale (fm)
Den
sità
di c
aric
a[x
109
coul
omb/
cm3 ]
Dati di scattering elettronico
87
Raggi X atomiciAssumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni:
dentro la sfera
( ) RrRr
RZerV
o
≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=′
21
23
4
22
πε
V r( )= −Ze2
4πεor r ≥ R
All’esterno della sfera
L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da
∫>=< rdVV nn3* ψψ
Con un nucleo non puntiforme, assumendo che ψ non cambi apprezzabilmente quando Vpuntiforme → Vsfera
∫∫><
+′>=<Rr
nnRr
nn rdVrdVV ψψψψ *3*'Energia potenziale 1/r
88
Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di ∆Ε = <V’> - <V>
La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda elettronica ψ del livello 1s è
3
224
1 452
oos a
ReZEπε
=∆
ψ1,1(1s) ∆E1s
E1s(pt)
E1s(sphere)
In linea di principio misurando ∆Ε possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme!
Consideriamo una transizione 2p → 1s per due atomi (A,Z) e (A±1,Z). Avremo
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]AEAEAEAE
AEAEAEAEAEAE
sspp
spspKK
′−−−=
′−′−−=′−
1122
1212
' αα
Possiamo assumere che E2p(A)=E2p(A’) e riscrivere
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )3/23/223
2411
145
2
AARa
eZ
AEAEAEAE
ooo
ssKK
′−=
∆−′∆=′−
επ
αα
Shift isotopico
89
Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R0.
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )3/23/223
2411
145
2
AARa
eZ
AEAEAEAE
ooo
ssKK
′−=
∆−′∆=′−
επ
αα
90
Atomi muoniciMuoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo.
Raggio di Bohr ∼ 1/Zm Energia ∼ Z2m . massa µ ∼ 207 me vita media µ ∼ 2 µs
i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere
µννµ ++→ −−ee
fm 320782
105 4
=⋅⋅
=r
Energia transizione 2P3/2→1S1/2: 16.41 MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata)Misura dei raggi X → raggio
Raggi X di π- anche i π- possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il π- scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal raggio
Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a0 = 5x104 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni
91
Spin nucleareIl nucleo è un sistema isolato per cui ha un ben definito spin nucleare.
Numero quantico di spin nucleare = J (qualche volta detto “I”)
JJJJmJJJ
J ,1),...,1(,)1(
−−−−=
+= h
∑=i i jjjJ ) ento(accoppiam
Spin intrinseco di p o n, s=1/2 (in unità di h) momento angolare di un nucleone è pari
A pari → J=intero A dispari → J=semi-intero Tutti i nuclei con N e Z pari hanno J=0
Lo spin nucleare è la somma del momento angolare totale j dei singoli nucleoni
dove il momento angolare totale di un nucleone è la somma del suo spin intrinseco e del momento angolare orbitale
slj +=
92
ParitàUna trasformazione di parità è una riflessione rispetto all’origine in cui tutte le coordinate cambiano segno
Le funzioni d’onda dei risultanti stati stazionari devono quindi avere parità pari o dispari
Se abbiamo un sistema con un potenziale simmetrico V(r)=V(-r), allora
)()()()( 22 rrrr rrrr ψψψψ ±=−⇒−=
)()( rr ψψ +=− )()( rr ψψ −=−
parità pari parità dispari
),,(),,( zyxzyxrr
−−−→−→rr
93
In coordinate polari abbiamo
Se conoscessimo la funzione d’onda di ogni nucleone, potremmo determinare la parità nucleare moltiplicando le parità di ciascuno degli A nucleoni
Tutte le funzioni d’onda nucleari soddisfano e quindi hanno una definita parità
),,()1(),,( ϕϑψϕπϑπψ rr nlml
nlm −=+−
Aπππππ ⋅⋅⋅⋅⋅= 321
22)()( rr −= ψψ
Questo purtroppo non è possibile.
La parità è conservata nei processi nucleari e può quindi essere misurata tramite reazioni o decadimenti nucleari. Come lo spin J deve essere considerata come una proprietà globale del nucleo.
Gli stati nucleari sono etichettati con i numeri quantici di spin e parità
−
+
2 0 J=0, parità pari
J=2, parità dispari
94
Momenti nucleariLe proprietà elettromagnetiche statiche dei nuclei sono specificate in termini dei momenti elettromagnetici che danno informazioni sul modo in cui il magnetismo e la carica sono distribuiti all’interno del nucleo.
I due momenti più importanti sono
Momento di quadrupolo elettrico Q Momento di dipolo magnetico µ
Zerdrrdrr
rrV =−
= ∫ ∫ 33
0
)( ,'')'(
41)( ρρπε
Momenti elettriciDipendono dalla distribuzione di carica all’interno del nucleo e sono una misura della forma nucleare (contorni di densità di carica costante).
La forma nucleare è parametrizzata tramite un’espansione di multipolo del campo elettrico esterno
r-r’
95
[ ]
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+−++≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=−+=−
−
1cos3'21cos'11
cos'2'83cos'2'
2111'
cos'2'1cos'2''
22
2
2
2
2
2
21
2/1
2
22/122
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
rr
rr
r
rr
rr
rr
rr
rrr
rr
rrrrrrrrr
⎥⎦⎤⋅⋅⋅+−+
⎢⎣⎡ +=
∫
∫
')'()1cos3('21
')'(cos'14
1)(
3222
3
0
rdrrr
rdrrr
Zer
rV
ρϑ
ϑρπε
Eseguiamo un’espansione in serie di potenze
Possiamo quindi riscrivere il potenziale elettrico come
96
Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno una definita paritàsegue che il momento di dipolo è nullo
∫
∫∫
−=
=
==
quadrupolo di momento ' )'3(1 momento
dipolo di momento ' momento
carica momento
322*2
3*1
3*0
rdrze
E
rdzE
ZerdE
ψψ
ψψ
ψψ
Definiamo quindi
22)()( rr −= ψψ
Nel limite quantistico
Supponiamo che r definisca l’asse z
2)()( rr ψρ =zr =ϑcos'
97
Le unità sono m2 o barn (un’area)
Nel caso di simmetria sferica si ha z2=r2/3 per cui Q=0 In particolare, tutti i nuclei con J=0 hanno Q=0
∫ −= ')'3(1 322* rdrze
Q ψψ
Momento di quadrupolo elettrico
sferoide prolato Q=+ve a>b=c sigaro
sferoide oblato Q=-ve a=b>c lenticchia
Ellitticità
Sperimentalmente η è tipicamente ≤10%
2/)( abab
+−
=η
12
2
2
2
2
2
=++cz
by
ax
98
I momenti di dipolo magnetici derivano da
-il moto orbitale di particelle cariche - lo spin intrinseco
Il momento di dipolo magnetico è la componente misurabile massima dell’operatore momento di dipolo magnetico µ
Momenti magnetici
La meccanica quantistica porta allo stesso risultato
zLmer
revIA
222 === π
πµ
Momento orbitale
Classicamente abbiamo un loop di corrente
zl Lmeg
2=µ
Fattore g: gl = 1 particelle cariche . gl = 0 particelle neutre
99
La teoria di Dirac (m.q. relativistica) delle particelle di spin 1/2 predice gs=2
Momento intrinseco
L’operatore momento magnetico intrinseco dovuto allo spin intrinseco di una particella è
zs Smeg
2=µ
dove µB=eħ/2me è il magnetone di Bohr
Si osservano piccole differenze rispetto a gs=2 a causa di correzioni di ordine superiore di QED
Elettrone
BB
ess
ell m
egmeg
µµ
µµ
−=−=
−=−=
22
2l
hhl
1371
4 )(
21
22 ≈=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+++=
παα
παµµ eOBs
Esperimento e teoria sono in accordo entro 1 parte su 108!
100
dove è il magnetone nucleare
Protone e neutrone
Nsp
ssp
ll gmeg
meg µµµ
21
22
2===
hhl
pN me 2/h=µ
Ci aspettiamo che
p spin 1/2, carica +e, µs = µN
. n spin 1/2, carica 0, µs = 0
Si osserva invece
p µs = +2.793 µN → gs= +5.586n µs = −1.913 µN → gs = -3.826
Protoni e neutroni non sono particelle puntiformi e sono formati da quark carichi e gluoni
101
dove la somma è estesa a tutti i protoni e i neutroni
Il momento di dipolo magnetico nucleare totale può essere scritto come
Il nucleo
[ ]∑ +=i
zszlN sgg lh
µµ
Ig NI µµ =
I momenti di dipolo nucleari derivano dai momenti di dipolo magnetici di spin intrinseci dei protoni e dei neutroni del nucleo e dalla correnti che circolano nel nucleo a causa del moto dei protoni
dove I spin nucleare totale . gJ fattore giromagnetico nucleare
gJ sarà determinato usando il modello a shell nucleare
Tutti i nuclei pari-pari hanno µ = 0 poichè I = 0
102
Il campo magnetico è parallelo al momento angolare totale dell’atomo per cui
)0(BEr
⋅−= µµ
2)1()1()1(
2
222 +−+−+=
−−=⋅
JJIIFFJIFJIrrr
rr
II momento di dipolo nucleare interagisce col campo magnetico atomico
Posto F = I + J, possiamo scrivere
Struttura iperfina degli spettri atomici
JfB J
rr=)0(
JIfgE JNI
rr⋅−= µµ
e l’energia di interazione è dunque
2)1()1()1( +−+−+
−=JJIIFFfgE NJIIJ µ
⇒ Determinazione di I dalla struttura iperfina
103
Il fascio viene separato in 2I + 1 componenti.
Conviene considerare atomi con momento angolare totale J = 0 per minimizzare gli effetti legati al momento magnetico degli elettroni
Se B = B0 || z allora
zBIg
zEFBIgE ZNIzZNI ∂
∂=
∂∂
−=−= µµµ ,
Facciamo passare un fascio atomico o molecolare attraverso un campo magnetico non omogeneo. Gli atomi sono soggetti ad una forza
Risonanza magnetica
Se nella regione è presente anche un campo magnetico oscillante Bxy(ω) normale a z, vengono indotte transizioni quando
La traiettoria del fascio in assorbimento risonante cambia.
Il momento magnetico è determinato dal rapporto
0BIgE ZNI µµ −=
zNII IBgE ∆=∆= 0* µωh
0* / Bg NI ωµ h=