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Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 11
Il momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 22
Il momento angolare
… e adesso vediamo un altro
momento
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 33
Il momento angolare
ATTENZIONEMOMENTO non vuol dire
ISTANTE, ma ha la sua radice nel latino
(il nostro MOVIMENTO)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 44
Il momento angolare
Si tratta del
Momento della quantità di moto
Momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 55
Il momento angolare
… lo schema
… e la definizione
sinr p
O
O
L r p r ×p
L
OO
pp
rr
θθPP
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 66
Il momento angolare
È un vettorePerpendicolare
alla velocità
al piano individuato dalla velocità e da un punto fisso
Ha senso solo se è specificato un punto di riferimento
Momento angolare di P rispetto ad O
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 77
Il momento angolare
Unità di misura:
unità che non ha nome nel SI
2 1 1L m kg s
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 88
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 99
Il momento angolare
Regola a spanne: Senso antiorario: positivo
Senso orario: negativo
Mano destra? cavatappi? Corrente in una spira? Ma va?
--
++
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1010
Partiamo da un punto materialePrendiamo un punto fisso OIndividuiamo il punto con un raggio vettore Teniamo presente il momento lineare del puntoInfine costruiamo il vettore momento angolare (o
momento della quantità di moto)
Il momento angolare è sempre definito rispetto ad un punto (polo)
o L r p
Il momento angolare
r
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1111
Il momento angolare
Situazione descritta in figura
Attenzione: è difficile da visualizzare in 3D…
Si continua a consigliare l’uso di stecchini
per tenerli insieme il formaggio va benissimo
DAS per chi è a dieta...
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1212
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
o
x y z
z y x z y x
x y z
p p p
yp zp zp xp xp yp
x y z
L r p
x y z
Il momento angolare
Calcoliamo le sue componenti cartesiane
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1313
x z y
y x z
z y x
L yp zp
L zp xp
L xp yp
Il momento angolare
Esplicitamente
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1414
Il momento angolare viene definito come la somma dei momenti angolari dei singoli punti
...oppure come un integrale, per un sistema continuo
o k kk
L r p
o
C C
d dV L r p r v
E per un sistema di punti?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1515
Vediamo degli esempi
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1616
…con moto circolare nel piano xy
È il caso più semplice
UN PUNTO...
x
yz
prP
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1717
Qualche ricordo...
…delle espressioni di coordinate e velocità nel moto circolare
…e poi torniamo all’espressione standard del prodotto esterno
cos sin
sin cos
x r t x r t y
y r t y r t x
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1818
UN PUNTO...
2 2 2
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ0
0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ IˆIz
o
z
x y m xy yx
mx my
m x x y y
m x y m r
mr
x
z ω
y z
L r p z
z
z z
z
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 1919
ATTENZIONEATTENZIONE
D’ora in avanti la velocità angolare sarà un
VETTOREVETTOREModulo: quello della solita velocità
angolareDirezione: perpendicolare al piano di
rotazioneVerso: quello per cui si vede la rotazione
avvenire in senso antiorario
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2020
Viene definito il
momento d’inerzia
di un punto
... rispetto ad un asse!
2z mrI
Caso particolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2121
o z zI m I
m
L ω
P v v ω
Alcune prime analogie...
...per evitare di ricordarsi troppe formule
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2222
La conservazione del momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2323
o L r p
0
0
0
o
o
d d d
dt dt
dt
mdt
d
v
L r p
v
L
F
p r
r
Conservazione del momento angolare
Riprendiamo la definizione...
...e deriviamola
0 r F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2424
Conservazione del momento angolare
Definiamo così una nuova quantità
il momento meccanico di una forza
rispetto ad un punto fisso O
(o momento della forza rispetto ad O)
0r F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2525
Anzitutto otteniamo la legge per il moto rotatorio
Notate di nuovo le analogie con la II legge della dinamica
0od
dt
L
0
d
dt
FPF
P L
Conservazione del momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2626
Quindi abbiamo che
Questo succede in tre casi
00 0cost oo
d
dt
LL
0
forza
moto
fo
0
0 0 0
rz / a/
su O
uniforme
centrale
r
r F F
r F
Conservazione del momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2727
Primo caso
F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2828
Secondo caso
costv
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 2929
Terzo caso (1)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3030
Terzo caso (2)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3131
0
zm I
v ω
P L
F
Analogie
Le formule della meccanica rotazionale per corpi con asse fisso sono analoghe a quelle del punto materiale a patto di fare le sostituzioni
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3232
Le quantità meccaniche
Se si fa del lavoro su un punto …
… vale il teorema dell’energia cineticadL F ds
21
2dL d Mv
F ds
21
2 fin inL Mv K K
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3333
Il lavoro fatto da tutte le forze su un punto è pari alla
variazione di energia cinetica
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3434
Le quantità meccaniche
L’energia cinetica
è definita a meno di una costante additiva (!)Nel SI l’unità di misura è il joule
21
2K Mv
2 1 2K m kg s J
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3535
Le quantità meccaniche
Un esempio: un’automobile da 850 kg che viaggi a 130 km/h
Un altro esempio: un meteorite da 1 kg arriva sulla Terra a 45 km/s
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3636
Le quantità meccaniche
2 2
1 1
4 1
8.5 10 1.3 10
1000 11 1
1 3600
10.278
3
0
3.07 10
.
2
6
. 78automobile
km km m h
h h km s
m s m s
m kg
mv
s
p
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3737
Le quantità meccaniche
3
4 1
1.0 45
4.5 1
1
0
0meteorite
m kg s
p mv
2
9
23
1
2
0.5 1 45
2.01 10
10
meteoriteK M
J
v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3838
Le quantità meccaniche
2
5
22 2
1
2
0.5 8.5 10 1.3 10 0.2
5.
7
55
8
10
automobileK m
J
v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 3939
Le quantità meccaniche
Un esempio: momento angolare rispetto all’asse di rotazione di una massa di un grammo posta alla periferia del tamburo della mia lavatrice (raggio: 23 cm) che gira a 550 giri al minuto
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4040
Le quantità meccaniche
3 1
1
3 2
3
1
10
23 0.23
2 1550 0.23
1 60
13.2
10 13.2 0 3.0.23 4 10
M kg
R cm m
giri rad minv R
min giri s
m k
s
L MvR g
m
s
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4141
Le quantità meccaniche
Altro esempio: momento angolare della Terra nel suo moto attorno a Sole, rispetto al suo centro di rotazione (il Sole, con buona approssimazione)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4242
Le quantità meccaniche
2
11
24
7 7 1
1.49 10
5.97 10
2 2
secondi in un anno 366.242 86400
1.99 10 2 10
L R Mv R M R MR
R m
M kg
rad s
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4343
Le quantità meccaniche
2
224 1
4
1 7
0 2 1 1
5.97 10 1.
2.65 1
49 10 2
0
10
L
m k s
MR
g
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4444
ALTRE CONSEGUENZE
d d d
dt dt dt
d
dt
O
0
r ×p r p× r ×
r ×F
pL
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4545
ALTRE CONSEGUENZE
La quantità si chiama momento meccanico
Le dimensioni sono
d
dt O
0
Lr ×F
0
2 1 20 ... ?m kg s N m J
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4646
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4747
ALTRE CONSEGUENZE
Attenzione: e non viceversa (confusione con
milli-newton )Non joule …
N m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4848
ALTRE CONSEGUENZE
E se
… allora … e questo succede solo in uno dei tre casi
1. Siamo sull’asse
2. A forza totale è nulla
3. La forza è diretta sempre verso lo stesso punto (forza centrale)
costOL
0d
dt O
0
Lr ×F
0r
r F//
0F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 4949
Definiamo i termini
Cos’è un corpo rigido?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5050
Definiamo i termini
In un corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano sempre
costanti
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5151
Definiamo i termini
… ed anzitutto ricordiamoci che non esistono corpi rigidi
Solo più o meno deformabili… e poi non piace alla relatività
Un buon parametro è il modulo di YoungRapporto tra forza e deformazione
Grosso modo …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5252
Corpi rigidi e semplificazioni
… anzitutto: masse specifiche …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5353
Corpi rigidi
Un corpo continuo viene diviso in elementi infinitesimi, e si guarda alla massa degli elementi infinitesimiMa esistono corpi continui?
OVVIAMENTE …
NO!
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5454
Corpi rigidi
E allora?… ci si accontenta …Un batterio: diametro circa; 10.000
atomi messi in filaPossiamo considerarlo “continuo”?
Mah …
1 m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5555
Corpi rigidi
Massa lineica (o densità lineare)
Tipico uso: fili, sbarre, travi (e non necessariamente rettilinee …)
Se il corpo (filo, sbarra, trave, …) si dice omogeneo
1 1 0 1d mm kg s kg m
dl
cost
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5656
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5757
Corpi rigidi
Massa areica (o densità superficiale)
Tipico uso: membrane, lastre (e non necessariamente piane …)
Se il corpo (membrana, lastra, …) si dice omogeneo
2 1 0 2d mm kg s kg m
dS
cost
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5858
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 5959
Corpi rigidi
Massa volumica (o densità)
Uso comunissimo. Attenzione: la densità dell’acqua nel SI vale
3 1 0 3d mm kg s kg m
dV
2
31000H O kg m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6060
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6161
Corpi rigidi
In generaleSe la densità è costante il corpo si dice
omogeneo Il corpo può essere complicatissimo
(un’auto? Un TIR? Un aereo?)
, ,x y z r
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6262
Corpi rigidi
Le densità dei solidi sono dell’ordine di Le densità nei nuclei vanno su di un
fattore (stelle di neutroni …) di materia nucleare avrebbe una massa
dell’ordine di
310
151031mm
3 3 15
9 3
9 6
3 15
1 1000 10
10 1000
110 0
10
mm kg m
m
g t
kg m
k
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6363
2.70 7.31 7.87
8.96 11.35 19.32
18.95 19.30 21.45
Al Sn Fe
Cu Pb Au
U W Pt
3 310 kg m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6464
Il centro di massa
… o baricentro …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6565
Il centro di massa
Cominciamo col semplice: Due masse ed poste su una retta
(asse x) a coordinate e 2M1M
1X 2X
1M
1X 2X
2MOO
1 1 2 2
1 2CM
X M X MX
M M
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6666
Il centro di massa
Si chiama media pesata Importante: se si ha
Proprietà fondamentale di simmetria
1 2M M
1 2
2CM
X XX
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6767
Il centro di massa
E se i punti sono tanti? Siamo di fronte ad un sistema particellare (o
sistema discreto) La definizione si estende subito, usando i vettori
k k k kk k
CMk
k
M M
M M
r rr
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6868
Il centro di massa
… e proiettando sugli assi ….
k k k kk k
CMk
k
M X M XX
M M
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 6969
Il centro di massa
Ed ora passiamo al continuo
1 21 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
CM
X dm X dm
dm dm
X X dX X X dX
X dX X dX
X X X X
X X
X
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7070
Il centro di massa
In generale
L L
CM
L
x x dx x x dx
XMx dx
S S
CM
S
ds ds
Mds
r r r r
rr
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7171
Il centro di massa
V V
CM
V
dV dV
MdV
r r r r
rr
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7272
Come si muove il CM?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7373
Come si muove il CM?
In un sistema complesso (una Galassia?) il moto si può spezzare in due tronconi
UN MOTO DI INSIEME (CM) ... come se si trattasse di un punto materiale …
UN MOTO ATTORNO AL CM … e spesso ci possiamo accontentare del primo schema
VEDIAMO I DETTAGLI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7474
Il momento lineare
o quantità di moto
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7575
Il momento lineare
Vediamo il caso discreto Solo per semplicità di formule
1CM k k CM k k
k k
M M MM
r r r r
CM CM k k k kk k
d d d d
dt dt dM
t tM
dM M
r r r r
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7676
Il momento lineare
C
CM k kk
k k kk k
M tot
Md d
dt dt
M
M
M
pv P
r r
v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7777
Il momento lineare
Il momento lineare di un sistema si può calcolareO come somma vettoriale dei momenti
lineari di tutti i punti
O come se il CM fosse un vero punto materiale
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7878
Il moto del CM
… il celebre “teorema del moto del baricentro” …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 7979
Il moto del CM
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8080
Il moto del CM
CM k CM kk k
CM k
k
CM kk
M M
d dM
dt d
d d
dt dt
t
M
v p v p
v p
a F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8181
Il moto del CM
Analizziamo:
Massa totale del sistema: Accelerazione del CM: Risultante di tutte le forze che agiscono sul
punto k : Risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i
punti
CM kk
M a F
M
CMa
kF
kkF
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8282
Il moto del CM
Per il III principio tutte le forze che agiscono fra i punti, a due a due, hanno risultante 0
Restano vive solo le “forze esterne”
QUINDI
estCMM a R
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8383
Il moto del CM
Nel moto di un sistema il CM si muove come un punto
materiale con massa pari a quello dell’intero sistema sul
quale agisca la risultante delle forze esterne
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8484
Il moto del CM
E se la risultante delle forze “esterne” è nulla?
IL CM SI MUOVE DI MOTO
RETTILINEO ED UNIFORME
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8585
Moto di un corpo rigido: esempio
Ecco un martello tirato
per ariaMettiamo in evidenza
il moto del CM (rosso)il moto di un punto del
manico (verdino)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8686
Il salto dei cinesi
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8787
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8888
Il salto dei cinesi
Quando saltiamo (80 kg) spingiamo la TerraIl momento totale non variaIl CM resta dov’era
Se il nostro CM si sposta di 1 m quello della Terra si sposta di
2324
801 1.34 10
5.97 10m m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 8989
Il salto dei cinesi
Circa 10.000 volte sotto l’attuale limite sperimentale!
… e se un miliardo di cinesi, tutti insieme …
Basta moltiplicare …
Il diametro di una decina di nuclei
23 9 141.34 10 10 1.34 10 m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9090
Il meteorite
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9191
Il meteorite
Il meteorite dei dinosauri, la Terra che schizza dall’orbita. Ci perdiamo nello spazio cosmico …
Ma non diciamo scemate …
Diametro: circa 10 kmDensità: quella di una rocciaVelocità: 40 km/sMomento lineare?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9292
Il meteorite
Momento lineare del meteorite
Momento lineare della Terra
34 3 4 19 110 3 10 4 10 6.3 106
m kg s
24 4 29 15.97 10 3 10 1.2 10 m kg s
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9393
Il meteorite
C’è un rapporto quasi
Raggio dell’orbita
Alla peggio il raggio dell’orbita può essere variato di
Come a dire: nulla
92 10
111.49 10 m
79m
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9494
Il meteorite
… e l’energia? Energia cinetica del meteorite
Circa 15000 arsenali nucleari …
… e quella della Terra
3 24 3 4 24110 3 10 4 10 1.26 10
2 6J
224 4 3315.97 10 3 10 2.68 10
2J
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9595
Il meteorite
Ancora un rapporto di circa
Le velocità sono quasi uguali … Una pietruzza da 1 mg che urta un’auto da 1t, entrambi a
100 all’ora
92 10
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9696
Il razzo
… ed il trenino …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9797
Il razzo
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9898
Il razzo
Diamo solo la formula finale
ln
finale
efflusso
iniziale
finalefinale efflusso
iniziale fina
v
wle
v wM
eM
M
M
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 9999
L’energia cinetica
… ed il teorema di König …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 100100
L’energia cinetica
Energia cinetica del punto k
Energia cinetica totale
21
2k k kK M v
21
2
1
2
k k kk k
k k kk
K K M v
M
v v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 101101
L’energia cinetica
Adesso introduciamo un nuovo sistema di riferimentoCon l’origine nel CMCon gli assi sempre paralleli al sistema di
partenza
È il sistema del centro di massa
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 102102
L’energia cinetica
Velocità
Ora sviluppiamo:
*k CM k v V V
* *
* * * *
22 * *
1 1
2 2
1
2
12
2
k k k k CM k CM kk k
k CM CM k CM CM k k kk
k CM CM k kk
K M M
M
M V V
v v V V V V
V V V V V V V V
V V
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 103103
L’energia cinetica
Continuiamo
22 * *
22 * *
2*2 *
12
2
1 1 12
2 2 2
1 1
2 2k CM k kk
k
k k
CM CM k k
k
k
k CM k CM k k kk k k
kCM
K
M
M V V
M V M M V
M VMV
V V
V V
V V
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 104104
L’energia cinetica
Continuiamo …
Il termine in rosso è nullo per definizione!
2
2 **
2 *
2
1 1
2 2
1 1
2 2k CM CM k k
CM k
k
k
kk
k
k k
K
MV
V
M
M
V
MM V
VV
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 105105
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 106106
Il momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 107107
Il momento angolare
La definizione ci dà subito
2
OL pR MV R
MR R MR
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 108108
L’energia cinetica
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 109109
L’energia cinetica
La definizione ci dà subito
2
22
21 1
2 21
2
K V M R
MR
M
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 110110
Il momento d’inerzia per un punto materiale
Un modo difficile per dire cose semplici?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 111111
Il momento d’inerzia
Definiamo il
momento d’inerzia
del punto materiale
rispetto all’asse di rotazione2
z MRI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 112112
ANALOGIEANALOGIE
Massa
Momento lineare
Energia cinetica
Momento d’inerzia
Momento angolare
Energia cinetica
M
P MV
21
2K MV
2z MRI
z zL PR I
21
2 zK I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 113113
L’equazione del moto
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 114114
L’equazione del moto
Ricordate?
Quindi rispetto ad un asse …
… con l’ accelerazione angolare
d
dt O
0
Lr ×F
zz z zz z
d d
dt dt
I
I I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 115115
Il momento d’inerzia in generale
… ed ecco che le cose cambiano…
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 116116
Il calcolo dei momenti d’inerzia
Ovvero
Il calcolo differenziale al lavoro
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 117117
ANZITUTTO CASI SEMPLICI
FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER
FORME SEMPLICI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 118118
Il momento angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 119119
Il momento angolare
La definizione ci dà subito
2
OL pR MV R
MR R MR
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 120120
L’energia cinetica
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 121121
L’energia cinetica
La definizione ci dà subito
2
22
21 1
2 21
2
K V M R
MR
M
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 122122
Il momento d’inerzia per un punto materiale
Un modo difficile per dire cose semplici?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 123123
Il momento d’inerzia
Definiamo il
momento d’inerzia
del punto materiale
rispetto all’asse di rotazione2
z MRI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 124124
ANALOGIEANALOGIE
Massa
Momento lineare
Energia cinetica
Momento d’inerzia
Momento angolare
Energia cinetica
M
P MV
21
2K MV
2z MRI
z zL PR I
21
2 zK I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 125125
ANALOGIEANALOGIE
Per un punto materiale che ruota il momento d’inerzia ha lo stesso ruolo della massa
per un punto che trasla
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 126126
L’equazione del moto
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 127127
L’equazione del moto
Ricordate?
Quindi rispetto ad un asse …
… introducendo l’ accelerazione angolare
d
dt O
0
Lr ×F
zz z zz z
d d
dt dt
I
I I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 128128
L’equazione del moto
Notate ancora le analogie!
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 129129
Il momento d’inerzia in generale
… ed ecco che le cose cambiano…
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 130130
Il momento d’inerzia in generale
Se abbiamo tanti punti …
… e se abbiamo un corpo continuo
2z k k
k
M RI
2, ,z
V
x y z R dVI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 131131
Il momento d’inerzia in generale
Alti momento d’inerzia rispetto ad un asse si hanno
non solo con alte masse, ma anche con masse poste
distanti dall’asse
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 132132
Il moto di un corpo rigido
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 133133
Il moto di un corpo rigido
Si dimostra che il moto più generale è
la sovrapposizione di un moto di traslazione e di
uno di rotazione
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 134134
Il moto di un corpo rigido
Attenzione
Il moto di rotazione è attorno ad un asse che cambia continuamenteNello spazioDentro al corpo
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 135135
Il moto di un corpo rigido
Un esempio:
la TerraIl suo asse si sposta …
… nello spazio (descrive un cono in circa 26000 anni)
… attorno al Polo (in modo piuttosto erratico, di circa qualche kilometro)
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 136136
Il moto di un corpo rigido
Un moto estremamente complicatoUn moto estremamente complicato
NOICi limiteremo a moti di rotazione
attorno ad un asse
E a qualche piccola digressione sul tema
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 137137
Il moto di un corpo rigido
Il moto attorno ad un asse avviene con velocità angolare costante per tutti i punti
del corpo SE il corpo è rigido
E se no? Il corpo non è rigido Esempio: il Sole
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 138138
Il calcolo dei momenti d’inerzia
Ovvero
Il calcolo differenziale al lavoro
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 139139
ANZITUTTO CASI SEMPLICI
FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER
FORME SEMPLICI
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 140140
Il momento d’inerzia
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 141141
Per un insieme di punti materiali vale la relazione
Per un corpo continuo
2,a a k k k
k k
I I m d
2 2a a a a
C C C
I dI r dm r dV
Momento d’inerzia
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 142142
Momenti d’inerzia
Casi notevoli
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 143143
I di una sbarra
Vediamo un primo esempio
Momento d’inerzia di una sbarra omogenea rispetto ad un asse ad essa ortogonale che passa per il suo CM
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 144144
I di una sbarra
Asta omogenea, lunga L, massa MRispetto ad un asse
passante per il centro (= di massa!)ortogonale alla sbarra
Facciamo la sbarra a fettine infinitesimeProprio come se fosse una salsiccia
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 145145
dxx
2
L
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 146146
I di una sbarra
Momento d’inerzia (rispetto all’asse z) dell’elemento dx
Momento d’inerzia totale
2 2 2zdI dm x dx x x dx
23 322
0 0
22 1
1
2 2 23 24
2
1
12
L
z
L
x LI
M
x dx
LL L
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 147147
I di un cilindro
Cilindro omogeneo, massa M, raggio R, altezza h, densità
Rispetto all’asse di simmetriaPensiamo al cilindro come ad un insieme
di tubi vuoti di spessore infinitesimoVolume di un tubo
2
2
dV dS h rdr h
h rdr
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 148148
I di un cilindro
Momento d’inerzia di un tubo rispetto ad un asse ad esso ortogonale che passa per il suo CM
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 149149
I di un cilindro
La densità è costante La massa di un sottile anello di raggio r vale
Tutta la massa sta a distanza r costante
2
2
dm dV dS h rdr h
h rdr
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 150150
I di un cilindro
Il momento d’inerzia elementare vale
2 2
3
2
2
zd dV r r d r
r rh
r h
d
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 151151
I di un cilindro
In totale
…e la stessa cosa vale per un disco! Un cilindro sottile!
43 4
0
2 2 2
12 2
4 2
1
2
1
2
R
z
Rh r dr h hR
MRR h R
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 152152
I di una sfera
Momento d’inerzia di una sfera rispetto ad un suo diametro
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 153153
I di una sfera
Momento d’inerzia del discoraggio massa
momento d’inerzia elementare
sinr R 2
3 3
sin sin
sin
dm R R d
R d
2 23 3
5 5
1 1sin sin sin
2 21
sin2
dI dm R R d R
R d
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 154154
I di una sfera
Ora calcoliamo il momento d’inerzia complessivo
5 5
0 0
5 5 5
0
5 3 22
1sin
2
1 1 16si
2
5
n2 2 15
8 2 4
15 5 3
zI dI R d
R d R
R R R MR
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 155155
I di una sfera
Una nota sull’integrale
24 2
2
5
2 4
2
2 4
2 4
sin sin sin sin
1 cos sin
1 2cos cos sin
1 2cos cos cos
sin
1 2
x x dx x x dx
x x dx
x x x dx
x x d
x dx
x
w w dw
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 156156
I di una sfera
Momento angolare rispetto ad un asse passante per il centro
Energia cinetica del moto di rotazione
22
5z zL MR I
2 2 2 2 21 1 20.2
2 2 5zK MR MR
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 157157
I di una sfera
Energia cinetica nel moto di rotazione della Terra
2 2
2
9
6
2
224
0.2
20.2 5.9 10 6.38 10 .
86400
2.54 10
K MR
J
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 158158
UN DUBBIOUN DUBBIO
… E SE L’ASSE NON È DI SIMMETRIA? …
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 159159
E se l’asse non è di simmetria?
Ad esempio: Un’asta rispetto ad un estremoUn cilindro rispetto ad una sua generatrice
Non è una questione accademica: appare subito nel moto di rotolamento
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 160160
Il teorema di Steiner
Un teorema semplice ed utilissimo
Spostiamo l’asse parallelamente a sé stesso?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 161161
Teorema di Steiner
Ecco la situazione vista dall’alto
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 162162
dm
a x-a
y
CM a
XX
yy
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 163163
Teorema di Steiner
Momento d’inerzia rispetto all’asse z
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
zdI dm x a y
x y ax a dm
x y dm a x dm a dm
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 164164
Teorema di Steiner
Ora integriamo su tutto il corpo
2 2 2
2
2
2
2
a
C C C C
CM CM
a
CM
dI x y dm a x dm a dm
I a x a M
I
I Ma
0CMx
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 165165
Il moto dei corpi estesi
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 166166
Moto di un corpo rigido
Ricordiamo la
Definizione di corpo rigido
le distanze fra due punti qualunque le distanze fra due punti qualunque restano costantirestano costanti
e cominciamo a ricordare che non esistono corpi rigidi in Natura…
oltre a tutto non sarebbe relativistico...
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 167167
Cominciamo dal basso
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 168168
Una premessa
In un corpo rigido che ruota con punto o asse fissoci sono masse che si muovono in modo
complesso per di più di moto peggio che circolare uniforme
attenzione a considerarlo “fermo” “gira tanto in fretta che sembra fermo”
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 169169
Una premessa
Le masse che si muovono sono sensibili a forze e reagiscono con accelerazioni ad esse parallele
I risultati finali sono spesso sorprendenti
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 170170
Iniziamo con un asse fissoasse fisso
Se un corpo esteso si muove con un asse fisso ci sono due punti fissi
Se si vuole tener fisso un asse...
La posizione del corpo è definita da un solo angolo
In radianti!
Definiremo al solito la velocità angolare e l’accelerazione angolare
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 171171
Rotazione con asse fisso
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 172172
s R
ds dR R R
dt dt
Rotazione con asse fisso
Un punto del corpo si muoverà con traiettoria circolare
Spazio
Velocità
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173173
2
2
centa R R
v
R
Rotazione con asse fisso
accelerazione
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 174174
L’energia cinetica
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 175175
Energia cinetica di un corpo rotante
Riprendiamo il caso di un punto materiale
x
yz
prP
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 176176
L’energia cinetica del punto vale
La formula vale in generale dato che tutte le quantità sono additive
Energia cinetica di un corpo rotante
2 2 2
2
2 21 1
1
2
1
2 2 2cE mv m R mR
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 177177
Energia di rotazione e teorema di Koenig
Per un corpo che trasla e ruota
2 2,2
1
2
1CM ac CME IMV
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 178178
Oscillazioni
IL PENDOLO FISICO
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 179179
Il pendolo fisico
Ecco la situazioneUn corpo qualunque
sospeso ad un asse
CM
mgx
y
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 180180
Il pendolo fisico
Calcoliamo anzitutto il momento meccanico del peso rispetto ad O
ˆ ˆ ˆ
cos sin 0
0 0
sin
O
z
l l
mg
mgl
x y z
r F
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 181181
Il pendolo fisico
Ora calcoliamo la componente del momento della quantità di moto rispetto all’asse z
z zL I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 182182
Il pendolo fisico
Ed infine applichiamo la legge del moto …
… proiettata sull’asse z
0od
dt
L
0 s 0sin inz
oz
dI mg
l
Il
dt
mg
L
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 183183
Il pendolo fisico
Che per piccole oscillazioni diviene
0z
mgl
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 184184
Il pendolo fisico
Quindi per piccole oscillazioni il pendolo si muove di moto armonicocon pulsazione
con periodo
ecco la lunghezza ridotta del pendolo fisico
z
mgl
I
2 12 2 zz
z
Im I
m
glT
lI mgl g
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 185185
Il pendolo fisico
Applichiamo il teorema di Steiner?
La lunghezza ridotta è più
grande della distanza fra O e il CM
CM
mg
0z
mgl
I
O’
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 186186
Il pendolo fisico
Il periodo del pendolo fisico vale quindi...
'2
l lT
g
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 187187
Il pendolo fisico
E se sospendiamo il pendolo per O’?
l ed l’ si scambiano i ruoli!Quindi ci possiamo aspettare che il
pendolo abbia lo stesso periodo se è sospeso per qualunque asse a distanza l o l’ dal CM
Quindi se conosciamo la lunghezza ridotta del pendolo e se misuriamo il suo periodo...
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 188188
Il pendolo fisico
POSSIAMO MISURARE g!
Si chiama pendolo reversibile di Kater, e trova applicazione nei pendoli geodetici
2'l l
Tg
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 189189
Il pendolo fisico
Si prende una sbarra con due coltelli a distanza ben misurata
Si sospende la sbarra alternativamente su uno e sull’altro, spostando delle masse intermedie finché i periodi misurati sono uguali
A questo punto il pendolo è tarato e la lunghezza ridotta è proprio la distanza
fra i coltelli
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 190190
Il pendolo fisico
Con distanze misurate a si raggiungono precisioni analoghe sulla misura di g
grosso modo la variazione di g che si ha per il fatto che ci si è alzati o abbassati
di 3m
oggi coi gravimetri a laser si fa circa 1000 volte meglio!
510
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 191191
Rotazioni
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 192192
Trottola e giroscopio
Trottola: solido di rotazione con elevato momento d’inerzia viene posta in rapida rotazione attorno al suo asse di
figura ha quindi un grande momento angolare
Si fa un’approssimazione
il momento angolare è così grosso che varia
solo in direzione
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 193193
Trottola e giroscopio
CM
OL
O
h
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 194194
Trottola e giroscopio
Anzitutto le equazioni del moto!
…e poi il momento meccanico
Oo O o
dd dt
dt
LL
ˆ ˆ ˆ
ˆ0 sin cos sin
0 0o h h mgh
mg
x y z
x
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 195195
Trottola e giroscopio
Quindi
l’incremento è ortogonale al vettore momento angolare
il vettore momento angolare descrive un cono di semiampiezza
È il moto di precessione con velocità ortogonale alla forza applicata...
Vediamone la velocità angolare
ˆsinO od dt mgh dt L x
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 196196
Trottola e giroscopio
Modulo della variazione del momento angolare
Alcune conseguenze importanti:
sin sindL L d mgh dt
d mgh mgh
dt L Imgh
I
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 197197
Trottola e giroscopio
In un sistema inerziale si conserva il momento angolare
Quindi se abbiamo un corpo con alto momento angolare che possa ruotare liberamente in tutte le direzioni
POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE COSTANTE IN UN SISTEMA
INERZIALE
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 198198
Trottola e giroscopio
Una
girobussolae se di direzioni costanti ne prendiamo
tre? Magari ortogonali?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 199199
Trottola e giroscopio
Otteniamo tre direzioni costanti in un sistema inerziale
UNA PIATTAFORMA
INERZIALE
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 200200
Trottola e giroscopio
Non ci servono le stelle
per definire
un sistema inerziale!
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 201201
Moti composti
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 202202
Moto di rotolamento
È un moto di rotazione istantanea attorno al punto di contatto ruota-suolo
Non facile da visualizzaresi consiglia l’uso di un disco fatto muovere (poco)
su un tavolo
Ogni punto del corpo ha velocità diverse in modulo e (soprattutto) in direzione
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 203203
Moto di rotolamento
Ecco la situazione
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 204204
Moto di rotolamento
Il moto si può scomporre inmoto del CMmoto attorno al CM
Attenzione a non fare confusione tra le formule del tipo
che sono uguali nei due sistemi, ma hanno significato diverso!
v R
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 205205
Moto di rotolamento
La rotazione attorno al punto di contatto implica che il momento d’inerzia debba venir calcolato col teorema di Steiner
Una domanda:
MA CHI TIENE FERMO IL PUNTO DI CONTATTO?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 206206
Moto di rotolamento
RISPOSTA
LA FORZA D’ATTRITO!
Il rotolamento non avviene se non c’è attrito
Ma la forza d’attrito (radente!) non era dissipativa? Come mai nel rotolamento c’è così poca perdita di
energia?
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 207207
Moto di rotolamento
PERCHÈ LA FORZA D’ATTRITO C’È,
MA NON FA LAVORO
agisce sempre su un punto con velocità nullaInsomma un moto decisamente complicato ...
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 208208
Sollecitazioni ai supporti
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 209209
Sollecitazioni ai supporti
Supponiamo di avere un sistema equilibrato staticamente, ma “un po’ strambo”
…come in figura...
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 210210
Ecco la situazione all’istante che consideriamo iniziale
Sollecitazioni ai supporti
a
a
L
2b
CM
x
y
z
v
- v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 211211
Sollecitazioni ai supporti
Calcoliamo il momento angolare del sistema
quindi delle due masse
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0 0
0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ2 2
a b a b
mv mv
bmv amv bmv amv
bmv amv
x y z x y z
L
x z x z
x z
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 212212
Sollecitazioni ai supporti
Quindi il momento angolare vale, nell’istante considerato
Ci sono due componenti una parallela all’asse di rotazione una ortogonale all’asse di rotazione
La componente parallela non varia nel tempo,
ma quella ortogonale sì
ˆ ˆ2 2bmv amv L x z
// 2L amv2L bmv
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 213213
Sollecitazioni ai supporti
La componente ortogonale ruota con la velocità angolare del sistema
Il momento angolare NON è parallelo all’asse di rotazione!
ˆˆ ˆ2 2 2
ˆ ˆ ˆ2 2
d dbmv bmv bmv
dt dtd
bmv bmvdt
L xL x x
Lz x y
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 214214
Sollecitazioni ai supporti
a
a
L
2b
CM
x
y
z
v
- v
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 215215
Sollecitazioni ai supporti
Quindi delle due l’unao conserviamo il momento angolare
e l’asse di rotazione non è quello che vogliamo!
o manteniamo fisso l’asse ed il momento angolare varia
Se varia il momento angolare occorre un momento meccanico!
Fornito da chi?
MA DAI SUPPORTI!
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 216216
Sollecitazioni ai supporti
Ecco quanto vale il momento
Il momento varia quindi continuamente in direzione
è proporzionale al quadrato della velocità angolare!
2ˆ ˆ2 2CM
dbmv abm
dt
Ly y
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 217217
Sollecitazioni ai supporti
Il sistema si dice dinamicamente squilibrato
fate equilibrare le ruote della macchina…
E se ci mettessimo a vedere cosa succede nel sistema rotante?
DOVREMMO INTRODURRE LE FORZE FITTIZIE
QUINDI
LE FORZE CENTRIFUGHE!
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 218218
Sollecitazioni ai supporti
Ecco la situazione...
x
z
Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 219219
Sollecitazioni ai supporti
Le forze centrifughe generano un momento!
Di direzione costante nel sistema rotante e che quindi varia continuamente di direzione nel
sistema fisso
I supporti debbono fornire un momento uguale ed opposto
controllate che in modulo e direzione otteniamo proprio quello che abbiamo calcolato prima