Frattali, disordine, caos

attrattori

Sfortunatamente, l’attrattore di Lorenz è anche un oggetto molto complicato

da studiare e da capire

Fortunatamente, esistono sistemi che hanno un comportamento caotico ma che sono molto più semplici da studiare

Alcuni degli esempi più tipici vengono dalla “dinamica delle popolazioni”

Supponiamo di collocare, in un grande campo recintato, una giovane coppia di conigliDopo un anno, ci aspettiamo naturalmente che i conigli siano diventati, per esempio, 6

Dopo due anni, 18

Fino a quando continueranno ad aumentare tutti questi conigli?

Il fatto è che, per quanto grande sia il prato, l’erba alla fine non basterà per tutti, i nuovi nati cominceranno a soffrire la

denutrizione, e saranno più esposti alle malattie

È assai probabile, quindi, che se un certo anno ci sono 40 conigli, l’anno dopo la popolazione registri un crollo

Sarà anche triste, ma è così!

Proviamo a descrivere questo fatto da un punto di vista matematico

Allora, sull’asse x mettiamo i conigli in un certo anno

sulle y i conigli l’anno dopo

Sotto la bisettrice= mortalità>natalità

Sopra la bisettrice= natalità>mortalità

Chiediamoci: esiste una popolazione d’equilibrio?

1° anno2° anno3° anno4° annoDopo tanti anni…La popolazione converge verso il suo “attrattore” che in questo caso è semplicemente

Un punto sulla bisettrice

Le cose potrebbero andare anche in modo diverso:

Supponiamo di incrementare la fertilità dei conigli:L’attrattore, invece di essere un punto, potrebbe essere un “ciclo”

Un anno tanti conigli…Un anno pochi…

Uhm… questo è il tipico problema che si potrebbe affidare ad un computer:

Fino ad un regime caotico, senza periodicità

Come si sarà notato, all’aumentare della fertilità, il sistema passa attraverso una serie di “biforcazioni” sempre più vicine

Ciclo di ordine 4Ciclo di ordine 8Ciclo di ordine 16Ciclo di ordine 2

In che modo c’entrano i frattali?Andiamo a studiare come sono distribuite queste biforcazioni:

Le biforcazioni, come si vede, seguono un albero binario con struttura frattale

Compaiono il ciclo di ordine 2, 4, 8, 16…

Poi il caos

Nella regione caotica, per la verità, permangono alcune “isole” di ordine

La più estesa corrisponde ad un ciclo di ordine 3

Come si vede, ai due estremi della “isola” di ordine, il caos viene raggiunto in due modi diversi:

con la consueta successione di biforcazioni

O con un nuovo fenomeno chiamato “intermittenza”

Sono, come si usa dire le due “vie al caos”:l’intermittenza e le biforcazioni di Hopf

…

d1

d2

d3

...4

3

3

2

2

1

d

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Costante di Feigenbaum