Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Dott. S. Caltabiano i

Indice Generale

1 Funzioni elementari ............................................................................................ 1

1.1 La funzione esponenziale ............................................................................... 1

1.2 La funzione logaritmo .................................................................................... 3

1.3 La funzione potenza ....................................................................................... 5

1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni

trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche .......................... 6

1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche. ......................... 16

1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari ....................................... 23

1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle

funzioni ad esse associate. .................................................................................... 23

2 Richiami di trigonometria ................................................................................. 25

2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio ................................................. 25

2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante ................................................... 26

2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari ......................... 26

2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria 28

Dott. S. Caltabiano 1

1 Funzioni elementari

Le funzioni elementari sono: la funzioni esponenziale, la funzione logaritmo, la

funzione potenza, le funzioni trigonometriche, e le funzioni iperboliche. In seguito

denoteremo con R0 l’insieme dei numeri reali meno lo zero, con R+ l’insieme dei

numeri reali non negativi (cioè R+=[0,+[) e con 0R l’insieme dei numeri reali

strettamente positivi (cioè 0R =]0,+[). Ricordiamo che una funzione non

decrescente o non crescente si dice monotona, mentre una funzione strettamente

crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona.

1.1 La funzione esponenziale

Assegnato un a 0R -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R

in 0R che denotiamo con expa:R

0R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:

(1) expa(x+y)= expa(x)expa (y) x,yR

(2) expa(1)=a

(3) expa è strettamente monotona

ed è detta esponenziale di base a. Usualmente si adopera anche la notazione:

expa(x)=ax xR

Nel caso a=e l’esponenziale viene detto esponenziale neperiano.

A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione

esponenziale, di seguito riportate.

Proprietà dell’esponenziale

1) expa(0)=1

2) expa(–x)=( expa(x))–1 xR

3) yxxyxya aaa(xy)exp )()( x,yR

4) expa è una funzione convessa

5) Se 0<a<1 allora expa è strettamente decrescente e , mentre se a>1 allora expa è

strettamente crescente

6) D(expa(x))=ln(a)expa(x)

7) expa(x)dx=)ln(

expa(x)+cost.

Vediamo adesso il grafico dell’esponenziale. Nel caso a>1 il grafico è:

Figura 1

Mentre nel caso 0<a<1 il grafico è:

Figura 2

1.2 La funzione logaritmo

Assegnato a 0R -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R in

0R che denotiamo con loga:

0R R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:

(1) loga(xy)= loga(x)+loga (y) x,yR

(2) loga(a)=1

(3) loga è strettamente monotona

ed è detta funzione logaritmo in base a. Per dimostrare l’esistenza della funzione

logaritmo si sceglie come loga l’inversa della funzione expa, cioè si pone loga:= 1aexp ,

e si dimostra che questa soddisfa (1), (2), (3). Nel caso a=e si parla di logaritmo

neperiano.

A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione

logaritmo, di seguito riportate.

Proprietà del logaritmo

1) loga(1)=0

2) loga(xy)=y loga(x) x 0R e yR

3) loga(x–1)=–loga(x) x 0R

4) xa xa )(log x 0R e loga(ax)=x xR (per definizione d’inversa)

5) ax= )(log ax bb xR con b 0R -{1}

6) (a)log(x)log

(x)logb

0R con b 0R -{1}

)(log)(log x

0R e con yR0

8) Se 0<a<1 allora loga è strettamente decrescente ed è convessa, mentre se a>1

allora loga è strettamente crescente ed è concava

Ricordiamo che assegnata una funzione reale invertibile, allora il grafico

dell’inversa si ottiene ribaltando il grafico della funzione assegnata, attorno alla

bisettrice del I e del III quadrante e successivamente lo si ruota di 45 gradi in senso

antiorario.

Il grafico del logaritmo nel caso 0<a<1 è:

Figura 3

quindi in tal caso expa è strettamente crescente. Mentre nel caso a>1 il grafico è:

Figura 4

Definiamo adesso una funzione, mediante composizione di una funzione

esponenziale, con una funzione logaritmica. Siano f:R 0R e g:RR due funzioni,

si pone allora per definizione:

)(log)()( :)( xfxgxg bbxf xR

dove b 0R -{1} è una qualunque base fissata. Ovviamente la definizione non dipende

dalla base b.

1.3 La funzione potenza

Fissato un numero reale R, allora alla funzione esponenziale è legata la funzione

potenza, che usualmente si denota con il simbolo: ) (

ed è definita a seconda del valore di , come mostrato nella tabella che segue:

Se R-K e

>0 ) ( : R

0R con )(x :=

1 se 10 se 0

{1}- se )( 0

Rxxexpx

Se =0 ) ( :R0{1} con )(x :=1 xR0

Se =–1 1) ( :R0R0 con 1)( x :=x1 xR0

Se I ) ( :RR con )(x :=

1 e 0 se )(

1 se 11 se 1

0 se 01 e 0 se )()(

xxxexp

xxxxexp

Se J ) ( :RR con )(x :=

1 e 0 se )(

1 se 11 se 1

0 se 01 e 0 se )()(

xxxexp

xxxxexp

Se <0 In questo caso la funzione potenza è definita come la composizione

delle funzioni potenza (sopra definite) ) ( e 1) ( , cioè:

)(x := 1x xdom ) ( -{0}

Tabella 1

Dove si è posto:

11212M.C.Dcon }0{:, :

0 )n,m.(NNmnnm

1122M.C.Dcon , :

0 )nm,.(NmNnn

Ricordiamo che due numeri interi m,nN si dicono primi tra loro se M.C.D.(m,n)=1

e questo evidentemente equivale ad affermare che il rapporto m/n è ridotto ai minimi

termini (ovvero m e n non hanno divisori primi in comune diversi da 1). Si osserva

che le funzioni irrazionali sono casi particolari della funzione potenza. Facciamo

osservare inoltre che a partire dalla funzione potenza è possibile definire la funzione

modulo, come composizione della funzione 2/1) ( con la funzione 2) ( , cioè:

22/12: xxx xR

Proprietà

Sia b 0R -{1} e R, allora vale la seguente identità:

x= )(log xbb x 0R

1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni

trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche

Si può dimostrare che esiste un'unica coppia di funzioni reali f,g:RR dette funzioni

circolari che soddisfano alle seguenti quattro proprietà:

(1) f2(x)+g2(x)=1 xR

(2) f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) x,yR

(3) g(x+y)=g(x)g(y)–f(x)f(y) x,yR

(4) 0R t.c. 0<f(x)<x<

xgxf x]0,[

Tali funzioni f e g esistono poiché le funzioni sin e cos introdotte in trigonometria

(mediante la circonferenza trigonometrica), soddisfano alle suddette proprietà. Si

dimostra che tali funzioni f e g sono uniche, cioè prese due funzioni h, k che

soddisfano alle quattro proprietà allora necessariamente deve essere che {f,g}={h,k}.

E pertanto le funzioni f e g rimangono univocamente determinate rispettivamente da

sin e cos.

Proprietà

1) sin e cos sono funzioni periodiche, di periodo 2

2) sin è una funzione dispari e cos è una funzione pari

3) 1)( xsin xR e 1)cos( x xR

Le ulteriori proprietà delle funzioni sin e cos sono mostrate nel capitolo 2.

Il grafico delle funzione sin nell’intervallo [0,2] è:

Figura 5

Il grafico delle funzione cos nell’intervallo [0,2] è:

+ 3/2 2– x

Figura 6

Definiamo adesso la funzione:

tg:R-{k/2 : kZ}R con tg(x):=cos(x)

xsin )( xR-{k/2 : kZ}

detta funzione tangente.

Proprietà

1) tg è una funzioni periodica, di periodo

2) tg è una funzione dispari

Le ulteriori proprietà della funzione tg sono mostrate nel capitolo 2. Il grafico

delle funzione tg in [–/2, /2,] è:

3/2 2–

Figura 7

Trattiamo adesso tre funzioni che si definiscono come reciproche

rispettivamente di sin, cos e tg. Consideriamo la funzione:

sec:R-{k : kZ}R con sec(x):=)cos(

x R-{k : kZ}

detta funzione secante.

Proprietà

1) sec è una funzioni periodica, di periodo 2

2) sec è una funzione pari

Le ulteriori proprietà della funzione sec si ottengono a partire dalle proprietà della

funzione cos riportate di seguito e nel capitolo 2.

Consideriamo la funzione:

cosec:R-{/2+k : kZ }R con cosec(x):=)(

xR-{/2+k : kZ }

detta funzione cosecante.

Proprietà

1) cosec è una funzioni periodica, di periodo 2

2) cosec è una funzione dispari

–/2 /2

Le ulteriori proprietà della funzione cosec si ottengono a partire dalle proprietà

della funzione sin riportate di seguito e nel capitolo 2.

Consideriamo la funzione:

cotg:R-{k : kZ }R con cotg(x):=)()cos(

xtg xR-{k : kZ}

detta funzione cotangente.

Proprietà

1) cotg è una funzioni periodica, di periodo

2) cotg è una funzione dispari

Le ulteriori proprietà della funzione cotg si ottengono a partire dalle proprietà

della funzione tg riportate di seguito e nel capitolo 2.

Relazione fondamentale

sin2()+cos2()=1

Periodicità delle funzioni trigonometriche

sin(+2k)=sin() ; cos(+2k)=cos() ; tg(+k)=tg()

Formule di addizione e sottrazione

sin( )=sin()cos() sin()cos()

cos( )=cos()cos() sin()sin()

)()(1)()()(

tgtgtgtgtg

Formule di duplicazione e di n-uplicazione

Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:

sin(2)=2sin()cos()

cos(2)=cos2()–sin2()=2cos2()–1=1– 2sin2()

)(1)(2)2( 2

tgtgtg

Iterando il ragionamento, si ottengono le formule di n-uplicazione:

sin(n)=2sin((n–1))cos()–cos((n–2))

cos(n)=2cos((n–1))cos()–sin((n–2))

)())1((1)())1(()(

tgntgtgntgtg

Formule di bisezione

)cos(12

2)cos(1

)cos(1)cos(1

tg con +k

Formule di prostafersi

sin()+sin()=2sin

sin()–sin()=2sin

cos()+cos()=2cos

cos()–cos()=–2sin

tg() tg()=)cos()cos(

Formule di Werner

Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:

sin()sin()=21 [cos(–)–cos(+)]

cos()cos()=21 [cos(–)+cos(+)]

sin()cos()=21 [sin(+)–sin(–)]

cos()sin()=21 [sin(+)–cos(–)]

Espressione di una funzione trigonometrica mediante le altre

A partire dalla relazione fondamentale e dalla definizione di tangente ricavano

facilmente le relazioni riportate nella tabella che segue.

)(xsin )cos(x )(xtg

)(xsin = )(xsin )(cos1 2 x )(1

)(2 xtg

)cos(x = )(1 2 xsin )cos(x )(1

12 xtg

)(xtg = )(1

)(2 xsin

)cos()(cos1 2

Tabella 2

Espressione delle funzioni trigonometriche mediante tg(x/2)

Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione

razionale.

)(2 xtg

xtgxsin con x+2k con kZ

)cos(2

xtgx con x+2k con kZ

)(2 xtg

xtgxtg con x+2k con kZ

Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle

funzioni sin, cos e tg opportunamente ristrette.

Consideriamo la funzione sin nell’intervallo [–/2,/2]:

Figura 8

Come si osserva dalla Figura 8 in tale intervallo sin è strettamente crescente e di

conseguenza su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcoseno e la

denotiamo con arcsin, che è quindi definita in [–1,1] e a valori in [–/2,/2] cioè:

arcsin:[–1,1][–/2,/2]

Il grafico della funzione arcsin è:

x –/2

Figura 9

Consideriamo la funzione cos nell’intervallo [0,]:

Figura 10

Dalla Figura 10 si osserva che in tale intervallo cos è strett. decresc. e di conseguenza

su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcocoseno e la denotiamo con

arccos, che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [0,] cioè:

arccos:[–1,1][0,]

Il grafico della funzione arccos è:

Figura 11

Consideriamo la funzione tg nell’intervallo [–/2,/2]. Come si osserva dalla Figura

7 in tale intervallo la funzione tg è strettamente crescente e di conseguenza su di esso

è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcotangente e la denotiamo con arctg,

che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [–/2,/2] cioè:

arctg:[–1,1] [–/2,/2]

Il grafico della funzione arctg è:

Figura 12

Posto y:= 21 x e z:= 21 x riportiamo nella seguente tabella le relazioni

che intercorrono tra le inverse delle funzioni trigonometriche: arcsin(x)= arccos(x)= arctg(x)=

x>0 x<0 x>0 x<0 x>0 x<0

–arcsin(–x) –arcsin(–x) –arcsin(x)+/2 –arcsin(x)+/2 arcsin(x/z) arcsin(x/z

–arcsin(y)+/2 arcsin(y)–/2 arcsin(–x)+/2 arcsin(–x)+/2 –arccos(x/z)+/2 –arccos(x/z)+/2

arccos(–x)–/2 arcccos(–x)–/2 arcsin(y) –arcsin(y)+ arccos(1/z) –arccos(1/z)

–arccos(x)+/2 –arccos(x)+/2 –arccos(–x)+ –arccos(–x)+ –arctg(–x) –arctg(–x)

arccos(y) –arcos(y) –arccos(y)+/2 arccos(y)+/2 –arctg(1/x)+/2 –arctg(1/x)–/2

arctg(x/y) arctg(x/y) –arctg(x/y)+/2 –arctg(x/y)+/2 –arctg(x)+/2 –arctg(x)+/2

1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche.

Consideriamo le seguenti due funzioni reali:

sinh:RR con sinh(x):=2

xx ee xR

cosh:RR con cosh(x):=2

xx ee xR

che sono dette rispettivamente seno iperbolico e coseno iperbolico. Come si evince

dalle proprietà che seguono e da altre che elencheremo alla fine del paragrafo, le

funzioni iperboliche sinh e cosh,, verificano molte relazioni simili a quelle delle

funzioni circolari sin e cos.

Proprietà

1) cosh2(x)–sinh2(x)=1 xR

2) sinh è una funzione dispari mentre cosh è una funzione pari

3) sinh(0)=0; sinh(x)>0 x>0 e sinh(x)<0 x<0; cod(sinh)=R ;sinh è strett- cresc.

4) cosh(0)=1; cosh(x)>1 xR0 ; cod(cosh)=[1,+[ ; cosh è strett. cresc. per x>0 e

strett. decresc. per x<0

Vediamo i grafici delle funzioni sinh e cosh. Il grafico della funzione sinh è:

Figura 13

Il grafico della funzione cosh è:

Figura 14

Definiamo adesso la funzione:

tgh:RR con tgh(x):= xx

cosh(x)xsinh

detta funzione tangente iperbolica.

Proprietà

1) tgh è una funzione dispari

2) tgh(0)=0; tgh(x)>0 x>0 e tgh(x)<0 x<0; cod(tgh)=]–1,1[ ; tgh è strett. cresc.

Il grafico della tangente iperbolica è:

Figura 15

Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle

funzioni sinh, cosh e tgh.

La funzione sinh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.

Chiamiamo allora tale inversa settore seno iperbolico e la denotiamo con settsinh,

che è quindi una funzione definita in R a valori in R cioè:

settsinh:RR

Ci proponiamo di trovare l’espressione analitica del settsinh. Posto y=sinh(x):

dobbiamo esprimere la x in funzione delle y. Poniamo t=ex (che è quindi una quantità

strettamente positiva) e otteniamo:

segue:

t2–2yt–1=0

e quindi:

12 yyt

sostituendo t=ex, scartando la soluzione con il segno – (essendo la quantità al primo

membro positiva) e successivamente passando al logaritmo neperiano, otteniamo:

x= 1ln 2 yy

E quindi in definitiva:

settsinh(y)= 1ln 2 yy yR

per riferirci al piano Oxy possiamo scambiare x con y:

settsinh(x)= 1ln 2 xx xR

Il grafico di settsinh è:

Figura 16

La funzione cosh è strettamente crescente in R+ e di conseguenza è invertibile

in 0R . Chiamiamo allora tale inversa settore coseno iperbolico e la denotiamo con

settcosh, che è quindi una funzione definita in [1,+[ a valori in R+ cioè:

settcosh:[1,+[R+

Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione

analitica del settcosh è:

settcosh(x)= 1ln 2 xx x[1,+[

Il grafico di settcosh è:

Figura 17

La funzione tgh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.

Chiamiamo allora tale inversa settore tangente iperbolico e la denotiamo con

setttgh, che è quindi una funzione definita in ]–1,1[ a valori in R cioè:

setttgh:]–1,1[R

Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione

analitica del setttgh è:

setttgh(x)=

21 x]–1,1[

Il grafico di setttgh è:

Figura 18

Come suddetto le funzioni iperboliche soddisfano a proprietà analoghe a quelle

delle funzioni trigonometriche. In tale contesto ci limiteremo soltanto ad elencare tali

proprietà.

Formule di addizione e sottrazione per le funzioni iperboliche

sinh(x y)=sinh(x)cosh(y) sinh(x)cosh(y)

cosh(x y)=cosh(x)cosh(y) sinh(x)sinh(y)

Formule di duplicazione per le funzioni iperboliche

Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:

sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

cosh(2x)=cosh2(x)–sinh2(x)=2cosh2(x)–1=1+ 2sinh2(x)

Formule di bisezione per le funzioni iperboliche

1)cosh(2

xxsinh ;

21)cosh(

1)cosh(1)cosh(

xxxtgh

Formule di prostafersi per le funzioni iperboliche

1 –1

sinh(x)–sinh(y)=2sinh

2yx cosh

sinh(x)+sinh(y)=2sinh

2yx cosh

cosh(x)+cosh(y)=2cos

2yx cos

cosh(x)–cosh(y)=2sin

2yx sin

Formule di Werner per le funzioni iperboliche

Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:

sinh(x)cosh(y)=21 [sinh(x+y)–sinh(x–y)]

cosh(x)sinh(y)=21 [sinh(x+y)+sinh(x–y)]

cos(x)cos(y)=21 [cosh(x+y)+cosh(x–y)]

sin(x)sin(y)=21 [cosh(x+y)–cosh(x–y)]

Espressione di una funzione iperbolica mediante le altre

)(xsinh )cosh(x )(xtgh

)(xsinh = )(xsinh 1)(cosh 2 x )(1

)(2 xtgh

)cosh(x = )(1 2 xsinh )cosh(x )(1

12 xtg

)(xtgh = )(1

)(2 xsinh

)cosh(1)(cosh 2

)(xtgh

Tabella 3

Espressione delle funzioni iperboliche mediante tgh(x/2)

Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione

razionale.

)(2 xtgh

xtghxsinh ;

)cosh(2

xtghx ;

)(2 xtgh

xtghxtgh

1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari

Per la verifica delle seguenti disuguaglianze basta ricordare che se una funzione è

convessa (concava) allora la tangente in un punto sta sempre sotto (sopra) al grafico

della funzione.

1) ln(a)x+1<expa(x) xR

2) Se 0<a<1 allora (x–1)/ln(a)<loga(x) e se a>1 allora (x–1)/ln(a)>loga(x)

3) sin(x)<x x>0 e sin(x)>x x<0

4) tg(x)>x x>0 e tg(x)<x x<0

5) sinh(x)<x x>0 e sinh(x)>x x<0

6) tgh(x)>x x>0 e tgh(x)<x x<0

1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle

funzioni ad esse associate-

f=f(x) Df f dx

ax ln(a)ax )ln(a

loga(x) xa)ln(1

)ln(ax [ln(x)–1]

sin(x) cos(x) –cos(x)

cos(x) –sin(x) sin(x)

tg(x) )(cos

=1+tg2(x) –ln[cos(x)]

cosec(x) –)()cos(

2 xsinx ln[cosec(x)–cotg(x)]

sec(x) )(cos

xsin ln[sec(x)+tg(x)]

cotg(x) –)(

12 xsin

= –[1+cotg2(x)] ln[sin(x)]

arcsin(x) 21

x x arcsin(x)+ 21 x

arccos(x) –21

x x arccos(x)– 21 x

arctg(x) 211x

x arctg(x)–21 ln(1+x2)

sinh(x) cosh(x) cosh(x)

cosh(x) sinh(x) sinh(x)

tgh(x) )(cosh

=1–tg2(x) ln(cosh(x))

settsinh(x) 1

x settsinh(x)– 12 x

settcosh(x) 1

x settcosh(x)– 12 x

setttgh(x) 211x

x setttgh(x)+21 ln(1–x2)

2 Richiami di trigonometria

2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio

Diciamo che un angolo (positivo o negativo) è proprio se non è superiore ad un

angolo giro (angolo d’ampiezza 2), in caso contrario l’angolo è detto improprio. Se

è un angolo proprio negativo, allora diciamo che l’angolo 2+ è il suo

corrispondente angolo proprio positivo (vedi Figura 19).

Figura 19

Premettiamo che dato un numero kR denotiamo con [k] la sua parte intera (ad

esempio [2.67]=2).

Sia un angolo improprio, diciamo allora riduzione ad angolo proprio di ,

l’angolo:

=–2m con m:=[/2]

quindi si può anche scrivere come:

2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante

La riduzione al primo quadrante di un angolo è l’angolo compreso tra 0 e /2, in

corrispondenza del quale le funzioni sin e cos assumono in valore assoluto lo stesso

valore rispetto all’angolo dato. E quindi se è un angolo proprio positivo, in base a

quanto detto la sua riduzione al primo quadrante è:

223 se 2

Se è un angolo improprio positivo la sua riduzione al primo quadrante è la

riduzione al primo quadrante, della sua riduzione ad angolo proprio.

Se è un angolo proprio negativo la sua riduzione al primo quadrante è la riduzione

al primo quadrante del suo corrispondente angolo proprio positivo 2+ (o

equivalentemente del suo opposto –).

Evidentemente se è un angolo proprio e è la sua riduzione allora:

223 se 2

2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari

Assegnato un angolo qualunque (proprio, improprio, negativo, …), diamo alcune

definizioni.

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è , ossia e –. In

corrispondenza a tali angoli si ha che:

sin(–)=sin()

cos(–)=–cos()

tg(–)=–tg()

In corrispondenza di angoli la cui differenza è , ossia e +. si ha che:

sin(+)=–sin()

cos(+)=–cos()

tg(+)=tg()

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è 2, ossia e 2–. In

sin(2–)=–sin()

cos(2–)=cos()

tg(2–)=–tg()

Si dicono angoli associati ad un dato angolo i seguenti tre angoli: l’angolo

supplementare, l’angolo che differisce di e l’angolo esplementare. Si osserva che in

corrispondenza degli angoli associati le funzioni sin e cos assumono lo stesso valore a

meno del segno cioè in valore assoluto. Quindi incidentalmente osserviamo che la

riduzione al primo quadrante si un angolo proprio positivo non è altro che il suo

angolo associato compreso tra 0 e /2.

Due angoli si dicono opposti se la loro somma è 0, ossia e –. In corrispondenza a

tali angoli si ha che:

sin(–)=–sin()

cos(–)=cos()

tg(–)=–tg()

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è /2, ossia e /2–. In

)cos(2

cos sin

cotgtg

In corrispondenza di angoli la cui differenza è /2, ossia e /2+. si ha che:

)cos(2

cos sin

cotgtg

2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria

Figura 20

Con riferimento alla Figura 20 valgono le seguenti identità:

sin()= AB ; cos()=OA ; tg()=CD

cosec()=OF ; sec()=OE ; cotg()=GH

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