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Funzioni elementariProporzionalità diretta e inversa
Retta, funzione identità e funzione costanteParabola, funzione quadratica e cubica
Funzione omograficaFunzione esponenziale e logaritmica
Funzioni goniometriche : seno, coseno, tangente
Tutorial di Barberis Paola - agg 2013 - grafici con GEOGebra - software open source
La funzione è una legge tale che per ogni valore di xcorrisponde uno ed un sol valore di y .SE tale legame è di tipo matematico si ha una funzione matematica.Possono presentarsi in : F(x,y)=0 FORMA IMPLICITA o y=f(x) FORMA ESPLICITAEsempio: 2x-y+6=0 forma implicita: per esplicitare ricavo la y y= 2x+6
Si chiama GRAFICO la rappresentazione nel piano cartesiano dellecoppie (x,y) che soddisfano la funzione.
Per tracciare il grafico ricavo la forma esplicita y=f(x) assegno valori arbitrari alla x ( appartenenti al Dominio) calcolo le y corrispondenti ( Codominio o insieme delle immagini ) rappresento le coppie in un sistema di assi cartesiani
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FUNZIONI MATEMATICHE FUNZIONI MATEMATICHE y=fy=f(x)(x)
•• ALGEBRICHEALGEBRICHE: polinomi con operatori algebrici : + - * /√
intere razionali fratte (x al denominatore)
intere irrazionali (x sotto radice) fratte
•• TRASCENDENTITRASCENDENTI - funzioni non algebriche:y=loga(x) funzione logaritmicay=ax funzione esponenzialey=senx ,y=cosx , y=tgx funzioni goniometriche
CLASSIFICAZIONE FUNZIONI MATEMATICHE:
y =x ! 2
x ! 8
y =4x ! 7
x ! 6
y =3
2x ! 5
y = 2x ! 5ALG
EBR
ICH
E
FUNZIONI algebriche
raddoppiando / triplicando x , raddoppia / triplica anche la y.
m si chiamaCOEFFICIENTE ANGOLARE :
Modificando mcambia
la “pendenza” della retta
y = 3x
Il rapporto fra y e x è COSTANTEy
x= 3
x y1
2
3
4
3
6
9
12RETTA PASSANTEPER L’ORIGINE
y=x
y=0.5x
y=2x
y=-x
y=-0.5x
y=-2x
Y=0
Proporzionalita’ diretta y=mx
Dominio: ∀x∈R
Dominio: ∀x∈R
RETTA generica y=mx+qFUNZIONI algebriche: formula esplicita generica della retta
Se q=0 ottengo y=mx retta passante per l’origine. Es:Se q=0 e m=1 ottengo la FUNZIONE IDENTITA’:Se m=0 ottengo la FUNZIONE COSTANTE y=q .Es:
m= 1/2 COEFFICIENTE ANGOLARE
determina la pendenzaSe m>0 la retta cresceSe m<0 la retta decrescese m=0 retta y=q orizzontale
q=5TERMINE NOTO
INTERCETTA CONL’ASSE DELLE Y
Y =1
2x + 5
x y
5
8 9
0
y =1
2x
y = 5
Y=1/2x
Y=1/2x+5
5
y = x
Funzione identità y=xFUNZIONI algebriche: RETTE PARTICOLARI
Funzione costante y=k (y=q)
x y1 123
4
2 3
4
1 3234
3 3 3
x y
y=x
y=3
x
y
La funzioneidentità y=x sichiama ancheretta bisettrice
del primo eterzo quadrante
esempio
3 y=3
X (y=0)
yVariando la x,
la y è sempre costante:
In particolare l’asse delle x ha equazione: y=0
Dominio: ∀x∈R
PARABOLA y=ax2+bx+cFUNZIONI algebriche : parabola generica
y=x2-6x+5
�
Xvertice = !b
2a= !
!6
2= +3
�
Yvertice = !(b
2! 4ac)
4a= !
(36 ! 20)
4= !4
asse di simmetria: x=3
a determina la concavità- se a>0 concava verso l’alto- se a<0 concava verso il basso
x y21
0
0
5
-3
V=(+3,-4)
y=x2
y=0.5x2
y=0.1x2
y=2x2
AMPIEZZA DI UNA PARABOLADipende dal valore di a
SE a=1 AMPIEZZA REGOLARE della funzione quadratica fondamentale y=x2
Dominio: ∀x∈R
Funzione quadratica y=ax2FUNZIONI algebriche : parabole incomplete
y=x2
asse di simmetria: x=0
x y123
49
1
V=(0,0)
Parabola “pura” e “spuria”Il vertice si trova
sull’asse y
V=(0;c)
Passa sempreper l ‘origine ( 0;0)
Esempio con a=1
Dominio: ∀x∈R
Funzione cubica y=ax3FUNZIONI algebriche :
y=x3
L’ORIGINE (0 ; 0)E’ CENTROdi simmetria
x y
123
827
10 0
-1-2-3
-8-27
-1
y =2
x
FUNZIONI algebriche
IPERBOLE EQUILATERAriferita ai propri ASINTOTI
x y1 22
3
4
1
2/3
1/2
L’asse delle x (la retta y=0 ) è asintoto orizzontaleL’asse delle y (la retta x=0 ) è asintoto verticale
Dominio: x≠0
Il prodotto fra y e xè COSTANTE
yix = 2
Moltiplicando la x per due/tre/ecc, --> la y si divide per due/tre/ecc.
Proporzionalità inversa y=k/x
Con k<0 negativo,i rami si trovano nel II e IV quadrante
D: 5x+15≠0; x≠ -3
(-∞,-3)U(-3,+∞)
�
y =ax + b
cx + d
�
y =4x ! 2
5x +15�
C = !d
c;a
c
"
# $
%
& '
FUNZIONI algebriche
Centro di simmetria
FUNZIONE OMOGRAFICA
x=-3 ASINTOTO VERTICALE
y=4/5 ASINTOTO ORIZZONTALE
X= -3
Y=4/5C
�
C = !3;4
5
"
# $
%
& '
Dominio: ∀x∈R Codominio: y>0
FUNZIONI trascendenti (non algebriche)
FUNZIONE ESPONENZIALE
y=2x
Se la base a>1 , la funzione CRESCE. Es: y=2x
Se la base 0<a<1, la funzione DECRESCE. Es: y=(1/2)x
L’asse delle x (y=0) è un asintoto orizzontale.Se la base è il numero e (circa 2,71… ) si ha la funzione: y=ex
y=ax a>0, a≠1 y=(1/2)x
FUNZIONI trascendenti
L’asse y (cioè la retta x=0) è ASINTOTO VERTICALE
SE base=e (~2,71 ) si ha la funzione y=lnx logaritmo naturale
FUNZIONE LOGARITMICA
Dominio : x>0 Codominio: ∀y∈R
Se a>1 la funzione CRESCE: y=log2x
Se 0<a<1 la funzione DECRESCE: y=log1/2x
y=logax a>0,a≠1
N.B: La funzione logaritmica èinversa di quella esponenziale
y=log2x
y=log1/2x
FUNZIONI trascendenti goniometriche
FUNZIONE SENO
y=senx DOMINIO: ∀x є RCodominio: -1≤y≤+1
Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il seno dell’angolo αè l’ordinata del punto P estremo del raggio vettore: senα=OK
2π
P
HO
K
ππ~3,14
Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]
FUNZIONI trascendenti goniometriche
FUNZIONE COSENOy=cosx DOMINIO: ∀x є R
Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]Codominio: -1≤y≤+1
Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il COSENO di un angolo αè l’ascissa del punto P , estremo del raggio vettore. cosα=OH
2ππ~3,14
P
H
K
Oπ
FUNZIONE TANGENTE
y=tgx DOMINIO: ∀x∈R con x≠π/2+kπ
Grafico nell’intervallo:(-π/2,+π/2)
Codominio: ∀y∈R
Ricordo che , si definisce TANGENTEdell’angolo α l’ordinata del punto T
π+π/2-π/2tg(x) = AT
A
T
FUNZIONI trascendenti goniometriche