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Geometria analitica: dalle funzioni alle rette

Cliccate su F5 per vedere meglio

e poi ovunque per andare avanti

Funzioni: come speciali legami.

Si possono considerare le relazioni come dei legami che si formano fra elementi di due insiemi diversi.

Legami di qualsiasi specie fra elementi di insiemi contenenti qualsiasi cosa.

Funzioni: come speciali legami.

Fra le infinite possibilità alternative, noi ci diremo interessati (lo so, è una parola forte):

•agli insiemi di numeri

•alle relazioni fra numeri che risultano dall’applicazione di una o più operazioni (eseguite in serie) su numeri

•a quel tipo di relazioni che, dato un numero, individuano SEMPRE uno e un solo numero corrispondente (le funzioni)

Funzioni: terminologia

A questi oggetti (ovvero alle scivolose idee che gli stanno sotto) abbiamo dato dei nomi ben precisi in modo che il solo nome (senza ulteriori spiegazioni) evochi con precisione l’idea che abbiamo in mente.

Il numero di cui cerchiamo il corrispondente è la x (variabile indipendente)

Il suo corrispondente è la y (variabile dipendente, anche detta immagine di x che, a sua volta viene anche detta controimmagine di y )

L’insieme dei valori che possiamo attribuire alla x è detto Dominio, mentre l’insieme dei valori che possono risultare per la y è detto Codominio

Funzioni: interconnessione

Già dalla nomenclatura appare evidente il legame quasi inestricabile fra le diverse parti di questa idea complessiva: ognuna di esse, d’altra parte, non ha motivo di esistere senza l’altra.

Rappresentazione delle funzioni

Laddove esiste, una funzione individua coppie ordinate di numeri reali (ordinate perché si parte dalla scelta del valore da dare alla variabile indipendente e si procede calcolando il valore che risulta per la variabile dipendente).

Il piano cartesiano, che abbina ad ogni suo punto una coppia ordinata di numeri reali, è proprio il luogo naturale per rappresentare le funzioni, ovvero le infinite coppie di valori x ed y che ciascuna funzione individua.

E’ infatti sufficiente che qualcuno inserisca un valore qualsiasi al posto della x, calcoli il valore che risulta per la y, piazzi la coppia di numeri ottenuta sul piano cartesiano e ripeta l’intera procedura scegliendo via via un nuovo valore da attribuire alla x.

Rappresentazione delle funzioni: non per punti, per favore!

Tuttavia, rappresentare le funzioni disegnadone un gran numero di punti è una faccenda da macchine, non da uomini. Gli uomini ben presto si annoiano e, se sono ben motivati, si mettono alla ricerca di uno stratagemma che li liberi dall’incubo di un lavoro sempre uguale a sé stesso. E spesso ci riescono perché l’insofferenza, condita da un briciolo di orgoglio, è proprio la molla che conduce alla scoperta.

Rappresentazione delle funzioni: scopriamo le strutture!

Nel caso delle funzioni, la scoperta consiste nell’insieme di idee che ci consentono di riconoscere le diverse funzioni semplicemente osservando la struttura delle equazioni che le rappresentano.

Rappresentazione delle funzioni: scopriamo le strutture!

Le diverse strutture rendono palesi le caratteristiche relative alla forma ed alla posizione della funzione stessa indicandone i punti critici e permettendo di rappresentarla con un grado di fedeltà accettabile senza che ci sia bisogno di eseguire una montagna di noiosi calcoli.

Rappresentazione delle funzioni: funzione costante

La più semplice delle funzioni è quella che a qualsiasi valore della variabile indipendente fa corrispondere un medesimo valore della variabile dipendente (dando alla x qualsiasi valore si ottiene sempre la medesima y).

Fa simpatia la funzione costante: si comporta come se in essa la variabile dipendente tentasse disperatamente di rivendicare un briciolo di indipendenza: si aggrappa al suo valore e nessuno la sposta più. Ma è solo un illusione: l’analisi del suo valore si fa sempre a partire dal valore della x così che la y, pur nel successo del suo tentativo di non lasciarsi imbrigliare, resta una variabile dedotta, una variabile a cui si guarda in un secondo momento, una variabile dipendente, appunto.

La funzione costante è della forma:

Prova a disegnarla sul tuo quaderno quando :

yquandocioè

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Come puoi osservare, non importa quale valore assuma la x: in tutti i punti selezioneati, l’ordinata corrispondente è sempre la stessa ed è la costante q (o k, se preferisci) .

Rappresentazione delle funzioni: funzione lineare

Quando si lavora anche sulla variabile indipendente x, si riesce a fare breccia sulla resistenza della y. All’apparire del termine in x (con il suo coefficiente m) ecco che il grafico della funzione si “inclina” ai voleri della variabile indipendente.

Rappresentazione delle funzioni: funzione lineare

Nell’equazione il valore della funzione, pur partendo dal neutrale q, cresce o diminuisce di m volte il valore che viene di volta in volta viene attribuito alla x.

La y si aggrappa al suo asse in corrispondenza di quanto indica la q (che è il termine in cui non compare la x) ma inevitabilmente cresce o decresce. secondo i capricci dell’alleanza fra la m e la x.

Rappresentazione delle funzioni: funzione lineare qmxy

Come si può osservare nella figura a sinistra, qui il valore che ha assunto la x conta, eccome: in tutti i punti selezioneati, l’ordinata corrispondente è sempre diversa ed è la somma algebrica fra la costante q ed il prodotto fra il numero fisso m ed il valore sempre nuovo della x.

Rappresentazione delle funzioni: coefficiente angolare

Ma cosa rappresenta m? Sarebbe bello che rappresentasse qualcosa di significativo.

Vediamo un po’: l’istinto ci dice che esso indica il modo in cui la funzione lineare si inclina, cioè il modo in cui al variare della x anche la y varia. Proviamo a mettere a confronto i valori della funzione in due punti diversi:

condizione di passaggio per A)

da cui

qmxy AA

AA mxyq

condizione di passaggio per B)

da cui

qmxy BB

BB mxyq

Volendo soddisfare entrambe le condizioni contemporaneamente, si deve risolvere il seguente sistema:

yymxmx

yyxxm )(

xxm )(

e termine noto

Questo sistema ci ha dato delle informazioni importanti:

ci ha detto come procurarci il coefficiente angolare ed l’ordinata all’origine di una retta date sole le coordinate di due dei suoi punti.

Rappresentazione delle funzioni: equazione della retta per due

Così, sostituendo la m e la q trovate col sistema nell’equazione esplicita dalla retta, l’equazione di una retta che passi per due punti dati A e B si può calcolare come segue:

AB xxx

BABABB xx

xyyxyyyy

BABB xx

xxyyyy

)(1)(1 AB

ovvero la nota formula per calcolare l’equazione di una retta passante per 2 punti dati

Rappresentazione delle funzioni:termine noto

Se: )1;1()3;2( BA

Prova a calcolare su un foglio l’equazione di questa retta. Quando sei pronto clicca per vedere se le nostre soluzioni coincidono

Se: )1;1()3;2( BA

4)1(1 xy

Se: )1;1()3;2( BA

441 xy

Se: )1;1()3;2( BA

144 xy

Se: )1;1()3;2( BA

Insomma troviamo:

m= 4 e capiamo che la retta vede crescere la y di quattro unità per una crescita unitaria della x

q= -5 Ma questa q, che significato grafico ha?

Se: )1;1()3;2( BA

Osserviamo che quando x vale zero anche 4x è nullo e quindi y vale -5.

Da ciò possiamo capire che la q rappresenta il valore della y quando la x vale zero, ovvero rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y

A=(0; q)

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