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H-Il controllo statistico dei processi 1
IL CONTROLLO IL CONTROLLO STATISTICO DEI PROCESSISTATISTICO DEI PROCESSI
H-Il controllo statistico dei processi 2
A BP R O C E S S O
Processoinsieme di attività correlate
o interagenti che trasformano elementi in entrata in elementi in uscita
UNI EN ISO 9000: 2000
DEFINIZIONE DI PROCESSO
H-Il controllo statistico dei processi 3
CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO
VARIABILITA’ DEI PROCESSI
FATTORI INTERNI
• MATERIALI• MACCHINE• STRUMENTI DI TEST• PROCESSO• OPERATORE• TEMPO• CONTROLLI• AMBIENTE ESTERNO
FATTORI ESTERNI
• COSTI• GESTIONE• PROGRAMMAZIONE
SPC
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C A U SE D IV A R IA B IL IT A '
C A U SEC A SU A L I
C A U SESP E C IA L I
CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO
H-Il controllo statistico dei processi 5
CAUSE CASUALI (85% secondo Deming)
• PICCOLE VARIAZIONI DELLE CARATTERISTICHE DEI MATERIALI IN INGRESSO• VIBRAZIONI DELLE MACCHINE• VARIAZIONI DELL’ABILITA’ DEGLI OPERATORI• FLUTTUAZIONI NELLE CONDIZIONI DI LAVORO• ...
ESISTONO SEMPRE E SONO LEGATE ALLA NATURALEVARIABILITA’ DEL PROCESSO. TALE VARIABILITA’
E’ L’EFFETTO DI TANTE PICCOLE CAUSEED E’ COSTANTE NEL TEMPO.
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RIDUZIONE DELLE CAUSE CASUALI
• AUMENTARE LA MANUTENZIONE• ACQUISTARE STRUMENTI ED IMPIANTI MIGLIORI• CONTROLLARE LE CONDIZIONI AMBIENTALI• ...
QUANDO LE VARIAZIONI SONO PICCOLESI HA UN SISTEMA STABILE DI CAUSE CASUALI
IL PROCESSO SI DICE SOTTO CONTROLLO STATISTICO
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CAUSE SPECIALI (15% secondo Deming)
• REGOLAZIONE SBAGLIATA DELLE MACCHINE• ERRORE DELL’OPERATORE • MATERIALE IN INGRESSO DIFETTOSO• ...
INDIVIDUARE ED ELIMINARE LA CAUSA SPECIALE
SONO LEGATE A RAGIONI SPECIFICHE
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FONTI DI VARIABILITA’ CASUALI E SPECIALI
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IL CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO
CONTROLLODEL PROCESSO
INDIVIDUARE EDELIMINARE
CAUSESPECIALI
MIGLIORAMENTODEL PROCESSO
RIDURRECAUSE
CASUALI
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� CARATTERIZZAZIONE DEL PROCESSO PRODUTTIVO
� STUDIO DELLA CAPACITA’ DEL PROCESSO
� OTTIMIZZAZIONE DEL PROCESSO
� CONTROLLO DEL PROCESSO E DEL PRODOTTO
� MIGLIORAMENTO DEL PROCESSO
CONTROLLO DEL PROCESSO
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TIPI DI OSSERVAZIONI NEL SPC
VARIABILIATTRIBUTI
Distribuzione di frequenza Distribuzione di probabilità
INDICI DI POSIZIONE (MEDIA, MEDIANA, MODA)
INDICI DI DISPERSIONE (RANGE, VARIANZA, DV)
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DISTRIBUZIONI DISCRETE
BINOMIALE
Si applica ad esperimenti con due soli tipi di esiti possibilimutuamente escludentesi (con probabilità p e q=1-p).
pn
kp q
n
k n k(k)
F(r
n
kp q
k
rk n k) ( )
0
Nel controllo qualità p è la percentuale di difettosi
Esempio:• n° di NC su pezzi controllati;• frazione di operazioni fallite.
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POISSON
Si applica ad eventi isolati che accadono un certo numero di volte, in un dato intervallo di tempo (o di spazio),
con una velocità media costante
Esempio:•n di guasti in un certo periodo•n di difetti in un cavo•n di imperfezioni in una pezza•n di particelle contaminanti in un volume
pe
k
k
(k)!
DISTRIBUZIONI DISCRETE
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NORMALE•Simmetrica ed unimodale•Descritta da e
Applicazioni:•errori di misura•caratteristiche di un prodotto
LOGNORMALE•Asimmetrica ed unimodale•Descritta da tme
Applicazioni:•tempi di riparazione•tempi di vita
ESPONENZIALE•Asimmetrica ed unimodale•Descritta da
Applicazioni:•tempi di vita disp. elettronici(esaurita la mortalità infantile)
WEIBULL•Asimmetrica ed unimodale•Descritta da 3 parametri
Applicazioni:•tempi di vita (mortalità infantile, vita utile, usura)
DISTRIBUZIONI CONTINUE
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LE CARTE DI CONTROLLO
STRUMENTO GRAFICO DI MONITORAGGIO DEL PROCESSO
• CONTROLLARE NEL TEMPO L’ANDAMENTO DI UNA CERTA CARATTERISTICA CONSIDERATA CRITICA
• RENDERE EVIDENTE L’EVENTUALE PRESENZA DI CAUSE SPECIALI DI VARIABILITA’ AL FINE DI REALIZZARE L’AZIONE CORRETTIVA NECESSARIA
• CONFERMARE IL MIGLIORAMENTO DI UN PROCESSO
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ATTRIBUTISi esprime la misura
attraverso un giudiziobinario.
-passa-non passa-conforme-non conforme
BinomialePoisson
VARIABILISi esprime la misuraun valore numerico.
-dimensione-peso
guadagno-spessore-durezza
Gaussiana
LE CARTE DI CONTROLLO: TIPI DI CARTE
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TIPO DI DATI
n=1 n° non accettabili< n° controlli
R o
CartaX medio-R
CartaX medio- s
Carta XMoving R Carta C Carta u
Carta npCarta p Carta p
n costante n costante
Variabili Attributi
SiNo
n<10 n>10
No(non conformità)
Si(non conformi)
SiSi NoNo
LE CARTE DI CONTROLLO: TIPI DI CARTE
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LE CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
E’ UN DIAGRAMMA CHE RAPPRESENTA L’EVOLUZIONE TEMPORALE
DI UNA CERTA CARATTERISTICA MISURABILE, LA VARIABILE,
AL FINE DI ACCERTARE CHE LA MISURA RIMANGA
ALL’INTERNO DI UN INTERVALLO STATISTICAMENTE ACCETTABILE
SI DEVE CONTROLLARE:•LA MEDIA•LA DISPERSIONE
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LINEA CENTRALE E LIM ITI DI CONTROLLO
UCL
CL
LCL
ZONA A P(A)=0.02135
ZONA C P(C)=0.34130
ZONA B P(B)=0.13600
ZONA A P(A)=0.02135
ZONA B P(B)=0.13600
ZONA C P(C)=0.34130
P(D)=0.00135
P(D)=0.00135
+3
+1
+2
-1
--3-2
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CARTE DI CONTROLLO X MEDIO-R
CARATTERISTICA MISURABILE
(non note)
m CAMPIONI DI DIMENSIONE nX11 X21 … Xn1
X1m X2m … Xnm
Il migliore stimatore per la media del processoè la media delle medie campionarie
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CARATTERISTICA MISURABILE
(non note)
m CAMPIONI DI DIMENSIONE nR1=Xmax1-Xmin1
Rm=Xmaxm -Xminm
Il migliore stimatore per il range del processoè la media dei range dei campioni
CARTE DI CONTROLLO X MEDIO-R
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CL=
xx x x
mm
1 2 ...2d
R
UCL xd n
R 3
2
LCL xd n
R 3
2
x
CARTA X MEDIO
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CL=
STIMA DI MEDIANTE IL R:-più semplice-abbastanza efficiente per piccole dimensioni del campione-per n>10 si utilizza la stima mediante varianza campionaria
UCL Rd
dR
33
2
LCL Rd
dR
33
2
RR R R
mm
1 2
...
23R d
Rd
CARTA R
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COSTRUZIONE CARTE X MEDIO-R
• ESTRAZIONE m CAMPIONI DI NUMEROSITA’ n
• DEFINIZIONE LIMITI DI CONTROLLO DI PROVA
• RAPPRESENTAZIONE DELLE m DETERMINAZIONI
TUTTI I PUNTI SONO ENTRO I LIMITI?
SINO
CI SONO ANDAMENTISISTEMATICI? • RICERCA DELLE CAUSE
• ELIMINAZIONE PUNTI• RIDEFINIZIONE LIMITI• CONTROLLOI LIMITI DI CONTROLLO
VENGONO ACCETTATI
NO SI
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COMPILAZIONE CARTA X MEDIO-R
• DECIDERE: -NUMEROSITA’ CAMPIONE -NUMERO DI CAMPIONI -FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO • RACCOGLIERE I DATI• CALCOLARE MEDIA E RANGE• CALCOLARE MEDIA DELLE MEDIE E MEDIA DEI R • RIPORTARE MEDIE E R SULLA CARTA• STUDIARE LA CONFIGURAZIONE
CARTE DI CONTROLLO X MEDIO-R
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CARTA PER LE MEDIE
LCL X A R 2
CARTA PER I RANGE
CL R
UCL D R4
LCL D R3
CL X
UCL X A R 2
n A2 D4 2 1.880 3.267 3 1.023 2.575 4 0.729 2.282 5 0.577 2.115 6 0.483 2.004
CARTE DI CONTROLLO X MEDIO-R
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X
R
UCL
CL
LCL
UCL
CL
5 10
CARTE DI CONTROLLO X MEDIO-R
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REGOLE PER IDENTIFICARE PROCESSI FUORI CONTROLLO
1 1 05 1 5
L C L
C L
U C L
C A M P IO N E
CA
RA
TT
ER
I ST
ICA
1 1 05 1 5
L C L
C L
U C L
C A M P IO N EC
AR
AT
TE
RI S
TIC
A
VARIAZIONE DELLA MEDIA TREND
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1 1 05 1 5
L C L
C L
U C L
C A M P IO N E
CA
RA
TT
ER
I ST
ICA
1 1 05 1 5
L C L
C L
U C L
C A M P IO N EC
AR
AT
TE
RI S
TIC
A
PUNTO FUORI CONTROLLO POPOLAZIONI DIFFERENTI
REGOLE PER IDENTIFICARE PROCESSI FUORI CONTROLLO
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ERRORI NELLE CARTE DI CONTROLLO
ERRORI DI TIPO I ERRORI DI TIPO II
CL
UCL
LCL
/2
/2
CL
UCL
LCL
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CARTE DI CONTROLLO X-MOVING R
•BASSO TASSO DI PRODUZIONE
•MISURA AUTOMATICA SU OGNI SINGOLO PRODOTTO
•OPERAZIONE DI MISURA MOLTO COSTOSA
n = 1
PER STIMARE LA VARIABILITA’ DEL PROCESSOSI USA IL RANGE MOBILE CALCOLATO SU DUE
OSSERVAZIONI SUCCESSIVE
MRi=Xi-Xi-1
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LA CAPACITA’ DI UN PROCESSO
DISTRIBUZIONE DELLE CARATTERISTICHE DI UN PRODOTTO
INTERVALLO DI TOLLERANZA NATURALE PER UN PROCESSO
x 3
GAUSSIANA
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cAmpiezza specifiche
Tolleranza Naturale
LTS LTIP
6
LTS=limite superiore di specifica LTS=limite inferiore di specificaLTS-LTI=intervallo di tolleranza - Deviazione standard del processo ( ) (Dato sperimentale)
~ R
d2
LIS LSS6 LIS LSS6
UN PROCESSO E’ CAPACE SE Cp>1
INDICE DI CAPACITA’ DI PROCESSO
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C > 1PK
C < 0PK LA MEDIA DEI DATI NON E’ NELLA SPECIFICA
UNA PARTE DEI DATI CADE OLTRE I LIMITI
I DATI CADONO ENTRO I LIMITI DI TOLLERANZA
0 1 cPK
LIS LSS
3
3C min
LTS
3,
LTI
3PK
UN PROCESSO E’ CENTRATO SE Cpk>1
INDICE DI CENTRATURA DI PROCESSO
H-Il controllo statistico dei processi 35
C minLTS
3,
LTI
3PK
Cp E Cpk DEVONO ESSERE SEMPRE CALCOLATI NEL LUNGO PERIODO
Cpk e Cp COINCIDONO SE IL PROCESSO E’ CENTRATO
cAmpiezza specifiche
Tolleranza Naturale
LTS LTIP
6
INDICI DI CAPACITA’ DI PROCESSO
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PROCESSOMacchine
MetodiPersone
Fattori controllabilix1 x2 ….. xn
z1 z2 ….. zn Fattori incontrollabili o di rumore
INPUT OUTPUTy=caratteristica
di qualità
I FATTORI IN UN PROCESSO PRODUTTIVO
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MIGLIORAMENTO DELLA QUALITA' DI UN PROCESSO
TECNICHE DI MIGLIORAMENTO DELLA QUALITA':
-Controllo statistico del processo produttivo
-Programmazione degli esperimenti
-Campionamento di accettazione
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MIGLIORAMENTO DELLA QUALITA' DI UN PROCESSO
Le tecniche di miglioramento della qualità si distinguono in attività:
ON LINE, realizzate nel corso dell'attività produttiva (comeil campionamento di accettazione e il SPC);
OFF LINE, realizzate al di fuori della normale attivitàproduttiva (come il DOE).
Queste tecniche, pur essendo tra loro correlate, si distinguonoper gli obiettivi che si prefiggono e le fasi in cui vengonoapplicate
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GLI ESPERIMENTI PROGRAMMATI E LE CARTE DI CONTROLLO
CARTE DI CONTROLLO
-strumento di controllo qualità ON-LINE-i dati da analizzare sono quelli di produzione-si impiegano per monitorare un processo produttivo che si presuppone essere in condizioni di controllo statistico
CL
UCL
LCL
1 753 119 13Campioni
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GLI ESPERIMENTI PROGRAMMATI E LE CARTE DI CONTROLLO
ESPERIMENTI PROGRAMMATI
-strumento di controllo qualità OFF-LINE
-i dati da analizzare vengono ricavati da prove appositamente svolte
-si impiegano nello sviluppo e progettazione del processo produttivo prima del suo inizio con l'obiettivo individuare i trattamenti che garantiscono la minore variabilità e la massima resa
-si impiegano nell'ottimizzazione dei processi produttivi per ottenere un miglioramento degli stessi
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GLI ESPERIMENTI PROGRAMMATI E LE CARTE DI CONTROLLO
CARTE DI CONTROLLO
Metodo statistico passivo: osserviamo il processo in attesa checambi qualcosa.
Se il processo si mantiene in condizioni di controllo statistico, laosservazione passiva non produce informazioni utili.
APPROCCIO CONSERVATIVO
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GLI ESPERIMENTI PROGRAMMATI E LE CARTE DI CONTROLLO
ESPERIMENTI PROGRAMMATI
Metodo statistico attivo: si eseguono delle prove sul processo,effettuando dei cambiamenti degli ingressi ed osservando lecaratteristiche di uscita, al fine di produrre informazione utile almiglioramento.
APPROCCIO ESPLORATIVO
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IMPIEGO DEI METODI DI MIGLIORAMENTO DELLA QUALITA'
Fasi di impiego dei metodi per il miglioramento della qualità:-inizio (assenza di nozioni ed esperienza sull'impiego delle tecniche di miglioramento, il campionamento di accettazione è preponderante)-stadio maturo (intenso uso di metodi SPC e DOE, sempre meno campionamento di accettazione)
Per
cen
tual
e d
i ap
plic
azio
ne
Tempo0
100
SPC
Campionamentodi accettazione
DOE
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IMPIEGO DEI METODI DI MIGLIORAMENTO DELLA QUALITA'
La variabilità del processo si riduce con l'applicazione deimetodi di miglioramento della qualità
Media del processo
Limitedi specificainferiore
Limitedi specificasuperiore
Campionamentodi accettazione
SPC DOE
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GLI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
Gli esperimenti programmati permettono di:
-individuare le variabili che influenzano maggiormente una caratteristica di qualità y-sapere in quale misura y è influenzato dalle variazioni di livello dei fattori individuati
In questo modo è possibile:
-ridurre la variabilità della caratteristica di qualità y-determinare quali livelli devono assumere le variabili controllabili per avere la resa ottimale (o il valore ottimale di y)
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ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
1 - CARATTERIZZAZIONE DI UN PROCESSO
Si consideri un processo di saldatura ad onda di componentielettronici ad una piastra
Mediante l'applicazione di SPC (carte di controllo ed analisi diPareto) si è ottenuta una difettosità (n° medio di saldature difettose per piastra) pari all' 1%
Poiché ogni scheda contiene circa 2000 saldatura, si hanno in media 20 saldature difettose
Poiché il processo è in stato di controllo statistico, non è ovvioquali regolazioni della saldatrice è necessario realizzare perridurre la difettosità
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ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
PROCESSOdi SALDATURA
ad ONDA
Fattori controllabilix1 x2 ….. xn
z1 z2 ….. zn Fattori incontrollabili o di rumore
INPUTMateriali in ingresso
OUTPUTProdotto in uscita
y=resa del processo o difettosità
x1=temperatura di saldaturax2=velocità di efflusso del fondentex3=tipo di fondentex4=profondità dell'onda del fondente...
z1=spessore della schedaz2=tipo di componenti montatiz3=disposizione dei componenti sulla schedaz4=operatore...
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ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
L'obiettivo dell'esperimento programmato è determinare quali fattori(controllabili o incontrollabili) determinano l'insorgere di difetti nelleschede.
Un esperimento di questo tipo si dice:
ESPERIMENTO DI CARATTERIZZAZIONE
Bisogna quindi programmare un esperimento che permetta di definire l'effetto di ciascun fattore, e delle interazioni tra i fattori, sulla difettosità delle schede.
I risultati dell'esperimento verranno utilizzati per identificare i fattoricritici del processo.
H-Il controllo statistico dei processi 49
ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
Con l'esperimento programmato si possono individuare qualifattori è necessario mantenere sotto controllo per prevenireelevati valori di difettosità.
Un risultato dell'esperimento potrebbe essere l'applicazione dellecarte di controllo ad una o più variabili del processo (quali ad esla temperatura del saldante) in aggiunta alla carta di controllosull'uscita.
Quando il processo è sufficientemente migliorato si potrebbebasare il piano di controllo sul controllo delle variabili in ingresso alprocesso piuttosto che sulle carte di controllo sull'uscita.
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ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
2 - OTTIMIZZAZIONE DI UN PROCESSO
Si consideri un processo chimico.
Con un esperimento di caratterizzazione si sono individuati comefattori critici che influenzano la resa del processo:-temperatura di reazione-tempo di reazione.
L'obiettivo dell'esperimento programmato è determinare la regionedi valori per i fattori critici che determina la migliore risposta possibile.
Un esperimento di questo tipo si dice:
ESPERIMENTO DI OTTIMIZZAZIONE
H-Il controllo statistico dei processi 51
ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
L'esperimento di ottimizzazione prevede di far variare tempo e temperatura insieme.
Ipotizziamo ad esempio che entrambi i fattori vengano fatti variare su due livelli:
•Temperatura: 145°C e 165°C•Tempo: 1h e 2h
La caratteristica di uscita y è la resa del processo.
Un esperimento di questo tipo si dice fattoriale completamente incrociato
H-Il controllo statistico dei processi 52
ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
Dai risultati si osserva che per migliorare la resa è necessario andare verso un aumento della temperatura ed una riduzione della durata della reazione.
Con ulteriori esperimenti sarà possibile definire il valore ottimale di entrambi i fattori
140
160
150
Tempo (ore)
1 2 2,51,50,5
69%
82% 58%
56%
Tem
pera
tura
(°C
)
H-Il controllo statistico dei processi 53
ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
3 - PROGETTAZIONE DI UNA PROVA DI AFFIDABILITA'
I dispositivi elettronici di potenza sono soggetti a problemi legati aicontinui cicli ON/OFF
Si vuole progettare una prova per studiare l'affidabilità di uncomponente elettronico di potenza.
Come caratteristica di uscita, y, si considera il numero n di cicliche il dispositivo è in grado di eseguire prima di guastarsi
Come fattori di influenza per la caratteristica di uscita si considerano:
•caratteristiche del substrato (fornitore)•intensità di corrente (I)•temperatura massima di funzionamento (Tmax)•Escursione di temperatura (T)•Frequenza del ciclo di potenza (f)
H-Il controllo statistico dei processi 54
ESEMPI DI ESPERIMENTI PROGRAMMATI
Per ogni fattore devono essere assegnati i livelli che lo stesso puòassumere.
In alcuni casi i livelli sono limitati (fornitore A o B). In altri devono essere scelti sulla base dell'esperienza e dei dati storici.Si fissano 2 livelli per ciascuno dei 5 fattori.
L'esperimento completo prevede quindi di eseguire 25=32 trattamenti.
Fattore 1° livello (-) 2° livello (+)
Substrato Fornitore A Fornitore B
Frequenza ciclo f1 f2
Escursione T T1 T2
Massima T Tmax1 Tmax2
Intensità corrente I1 I2
H-Il controllo statistico dei processi 55
ESPERIMENTI PROGRAMMATI CON UN FATTORE
SI VUOLE VALUTARE L'EFFETTO SULLA RISPOSTADI UN SOLO FATTORE DI INGRESSO
k=numero di livelli del fattoren=numero di osservazioni per livello
ESPERIMENTO PROGRAMMATOCON UN FATTORE
•k SOTTOGRUPPI•n OSSERVAZIONI PER SOTTOGRUPPO (dimensione del sottogruppo)
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ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
ESPERIMENTO DELLA CONCENTRAZIONE DI LEGNO DURO
Un'azienda produce sacchetti di carta per la spesa.
Si vuole migliorare la resistenza del prodotto alla trazione.
Le specifiche del processo produttivo prevedono una concentrazionedel 10% di legno duro nella pasta che determina una resistenza allatrazione di 15 psi.
Il processo è in stato di controllo statistico.
H-Il controllo statistico dei processi 57
ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
15
UCL
LCL
1 753 119 13
10
20
15
X M
ED
IO
4
UCL
1 753 119 13
2
6
15
R
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ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
L'ingegnere di processo pensa che la resistenza alla trazione sia funzione della concentrazione di legno duro nella pasta.
L'economia del processo richiede che la concentrazione di legno duro non superi il 20%.
Viene progettato un esperimento per valutare la concentrazione ottimale di legno duro. Si decide di studiare 4 livelli di concentrazione:x1=5%x2=10%x3=15%x4=20%
Vengono fabbricati 6 campioni di prova per ogni livello di concentrazioneper un totale di 24 campioni.
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ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
I 24 campioni vengono misurati in laboratorio in ordine casuale.
Grazie alla casualizzazione l'effetto delle eventuali variabili didisturbo viene approssimativamente cancellato per compensazione
Ad esempio: c'è un effetto di riscaldamento dello strumento di misura che porta ad un aumento della resistenza alla trazione misurata
Se le 24 misure venissero fatte in ordine crescente di concentrazionedi legno duro si avrebbe un aumento della resistenza alla trazionedovuto al riscaldamento dello strumento
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ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
Trattamento 1 2 3 4
Concentrazione 5% 10% 15% 20%
7 12 14 19
8 17 18 25
15 13 19 22
11 18 17 23
9 19 16 18
10 15 18 20
Media 10,00 15,67 17,00 21,17
H-Il controllo statistico dei processi 61
ESEMPIO DI ESPERIMENTO PROGRAMMATO CON UN FATTORE
BOX PLOT
Permette di rappresentare graficamente la variabilità entro un livello del fattore e la variabilità tra i livelli del fattore
Concentrazione (%)
Res
iste
nza
alla
tra
zion
e (p
si)
5
10
15
25
20
30
5 10 15 20
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ESPERIMENTI PROGRAMMATI FATTORIALI
Il caso tipico è quello in cui più di un fattore influenzala caratteristica di uscita
In questo caso potrebbe non essere significativo lo studio separato di un fattore alla volta in quanto si perderebbero
le informazioni relative alle interazioni tra fattori
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ESPERIMENTI PROGRAMMATI FATTORIALI
SI VUOLE VALUTARE L'EFFETTO SULLA RISPOSTADI PIU' FATTORI DI INGRESSO
ESPERIMENTO PROGRAMMATOFATTORIALE
•k SOTTOGRUPPI•n OSSERVAZIONI PER SOTTOGRUPPO (dimensione del sottogruppo)
k=numero di combinazioni di livelli di fattori (numero di trattamenti)n=numero di osservazioni per combinazione