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2_Soluzione_del_mese_luglio_2013
Giochiamo con i polimini (prima parte).
I 12 pentamini:
F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z.
U
V X P
F I L N Y W Z T
In questo quesito si chiedeva, utilizzando le 12 tessere dei pentamini (vedi figura), di calcolare
alcune configurazioni diverse (a meno di simmetrie e rotazioni) per ciascuna delle seguenti
tassellazioni:
a) rettangolo 3x5 utilizzando tre pentamini diversi;
b) rettangolo 4x5 utilizzando quattro pentamini diversi;
c) quadrato 5x5 utilizzando cinque pentamini diversi;
d) rettangolo 6x5 utilizzando sei pentamini diversi.
Ci sono pervenute poche soluzioni, tutte appena accennate e incomplete.
Perciò, dopo una lunga attesa, abbiamo deciso di pubblicare alcune soluzioni.
Queste soluzioni sono volutamente incomplete. Ci sono però utili suggerimenti per chi volesse
cimentarsi in questa ricerca. La colorazione dei diversi pentamini è opportuna perché aiuta
visivamente molto nella ricerca delle diverse tessere utilizzate.
Le strade per arrivare alla soluzione finale sono tante. Una potrebbe essere quella di procedere
utilizzando esaustivamente via via le tessere di più difficile collocazione. Una volta fatta la ricerca
su una tessera di “difficile collocazione” col calcolo delle diverse combinazioni possibili, questa
viene scartata. Si procede, via via, con le altre tessere.
Ecco alcune soluzioni proposte da Tino Costa:
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A) Pavimentazioni (3x5) con 3 pentamini diversi. Ecco alcune configurazioni
(sembra che non ce ne siano altre)
1 2 3 4 5 6 7
Alcune considerazioni
Nella pavimentazione dei rettangoli 3x5, ci sono 4 pentamini che non possono essere adoperati:
la “I”, la “X”, la “Z” e la “W”:
Il pentamino “I” richiederebbe altre due “I” oppure due “L”, la “X” richiederebbe due pentamini
“U”; la zeta due “P”, la “W” lascerebbe delle caselle vuote.
Quindi, per evitare inutili tentativi è bene eliminare subito questi 4 pentamini [impossibili da
collocare (piazzare) nei rettangoli 3x5].
Notiamo subito (come era del resto facilmente prevedibile) che le tessere “P” ed “U” sono quelle
più facili da utilizzare perché più compatte (richiedono entrambe una superficie minima di 2x3
caselle: rettangolo minimo per contenere 5 caselle). Vediamo che la “P” figura in ben 5
configurazioni su 7.
La “U” figura in 4 configurazioni su 7. Segue la “L” con 3 configurazioni; poi le tessere “V”, “N”
ed “Y” tutte con due configurazioni soltanto. Infine le tessere “F” e “T” figurano entrambe una
sola volta.
Il fatto che sono 7 configurazioni sarà una coincidenza o c’è qualcosa di più profondo che ci
sfugge?
Come sappiamo 7 è stato sempre considerato un numero magico per eccellenza: figura in tutte le
culture fin dai primordi della civiltà umana!!!
Queste 7 configurazioni, per esempio, potrebbero benissimo essere adoperate come simboli (loghi)
dei sette giorni della settimana.
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B) Pavimentazioni (4x5) utilizzando 4 pentamini diversi.
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 32 40 41 42
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43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56
Alcune considerazioni Le configurazioni 4x5 sono molto più numerose di quelle 3x5, in quanto aggiungendo a ciascuna
configurazione 3x5 il pentamino “I” (che abbiamo visto impossibile da usare nelle configurazioni
3x5) otteniamo molte più configurazioni (vedi figure 1-14). Siccome le pavimentazioni 3x5 non
sono mai simmetriche, il pentamino “I” si può aggiungere sia alla destra che alla sinistra rispetto al
lato più lungo del rettangolo 3x5.
Precisiamo che abbiamo qui riportato solo alcune configurazioni. Ai lettori il piacere di
trovarne altre (da collocare a partire dalla casella 51 in poi). Nonostante la meticolosa e
certosina cura, c’è il rischio che qualche configurazione possa figurare due volte.
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C) Pavimentazioni (5x5) utilizzando 5 pentamini diversi.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
.
25 26 27 28 29 30
.
31 32 33 34 35 36
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37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
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49 50 51 52 53 54
.
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
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73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
.
85 86 87 88 89 90
.
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
Alcune considerazioni Le configurazioni 5x5 sono molto più numerose di quelle 4x5, in quanto aggiungendo a ciascuna
configurazione 4x5 che non presenta già il pentamino “I” (sono 36: dal n. 15 al n.50) otteniamo 72
(2x36) configurazioni diverse (vedi figure 1-72). Come per le pavimentazioni 3x5 anche quelle 4x5
non sono mai simmetriche, per cui aggiungendo il pentamino “I” , sia alla destra che alla sinistra
rispetto al lato più lungo del rettangolo 4x5 otteniamo sempre configurazioni 5x5 diverse tra loro.
Precisiamo che abbiamo qui riportate solo alcune configurazioni. Ai lettori il piacere di
trovarne altre (da collocare a partire dalla casella 98 in poi). Nonostante la meticolosa e
certosina cura, c’è il rischio che qualche configurazione possa figurare due volte.
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D) Pavimentazioni (6x5) utilizzando 6 pentamini diversi.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
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31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
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61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
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91 92 93 94 95 96
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97 98 99 100 101 102
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103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
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121 122 123 124 125 126
127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138
139 140 140a 140b 140c 140d
140e 140f 141 142 143 144
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145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156
157 158 159 160 161 162
163 164 165 166 167 168
169 170 171 172 173 174
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175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186
187 188 189 190 191 192
193 194 195 196 197 198
199 200 201 202 203 204
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253 254 255 256 257 258
259 260 261 262 263 264
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271 272 273 274 275 276
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301 302 303 304 305 306
307 308 309 310 311 312
313 314 315 316 317 318
319 320 321 322 323 324
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Alcune considerazioni:
1 2 3 4 5 6 7
Nella pavimentazione dei rettangoli 6x5, possiamo partire accostando due configurazioni 3x5.
Analizzando le 7 configurazioni 3x5 notiamo che la n.1 può essere abbinata solo ai n. 6 e 7.
La n. 2 può essere abbinata solo ai n. 4, 5 e 6.
Le configurazioni 3, 4, 5, 6 e 7 non si possono abbinare tra di loro in quanto hanno in comune la
tessera “P”.
Ciascuno dei 5 abbinamenti trovati (1-6; 1-7; 2-4; 2-5 e 2-6) produce 8 configurazioni 6x5 diverse
(vedere le configurazioni. 6x5 dal n. 1 al n. 40).
Adesso consideriamo le configurazioni 5x5 che non presentano la tessera “I”.
A tutte le 25 configurazioni 5x5 prese in considerazione, essendo tutte asimmetriche, possiamo
accostare, sui 4 lati la tessera “I”. Avremo perciò altre 100 (4x25) configurazioni 6x5 diverse tra
loro. Sono indicate con i numeri 41-140.
Altre 98 configurazioni (indicate con i numeri 141-238) presentano la tessera “I” sul lato più lungo
del rettangolo 6x5).
Le configurazioni restanti (dal n. 241 al 321) sono quelle che non presentano la tessera “I”.
Precisiamo che abbiamo qui riportato solo alcune configurazioni.
Ai lettori il piacere di trovarne altre (da collocare nelle caselle 239, 240 e dal 322 in poi).
Nonostante la meticolosa e certosina cura, c’è il rischio che qualche configurazione possa
figurare due volte. Del resto, il “Mago dei numeri e delle figure”, data la sua avanzata età, ha
problemi di vista anche se “in modo asimmetrico!!!”.