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I modelli di valutazione delle opzioni su tassi

Il modello di Vasicek

Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

O. Vasicek,

An Equilibrium Characterization of the Term Structure

“Journal of Financial Economics”, vol. 5, 1977

Il paper deriva una forma generale di term structure dei tassi di interesse

Le ipotesi sono: Il tasso spot segue un processo markoviano

continuo

Il prezzo dei bond dipende solo dal tasso spot

Il mercato è efficiente

dW(t)σr(t)]dt-θk[dr(t) +=

Il tasso a breve termine viene fatto evolvere secondo un processo Ornstein-Uhlenbeck caratterizzato da un coefficiente costante nel drift

dove k, θ, σ sono valori costanti e positivi.

Questo processo viene anche detto random walk elastico. È un processo markoviano con incrementi distribuiti normalmente.

Al contrario del processo Wiener, che con il passare del tempo tende a divergere verso valori infiniti, questo processo è caratterizzato da una distribuzione stazionaria

r(t)]-θk[Il drift istantaneo

rappresenta una forza che porta il processo nel lungo termine verso la media di lungo termine θ, con forza proporzionale alla deviazione del processo dalla media

Media di lungo termine

La componente stocastica

fa fluttuare il processo intorno alla media di lungo termine in modo erratico ma continuo

dW(t)σ

][eET)P(t,∫T

tr(s)ds-

La dinamica proposta da Vasicek risulta interessante per alcuni motivi:

L’equazione è lineare e può essere risolta esplicitamente

Il prezzo del titolo può essere determinato sulla base della seguente

Che si calcola come espressione dipendente da k, θ, σ e r(t).

Una volta definito il prezzo del titolo si può facilmente calibrare l’intera curva dei tassi.

)(+= s)--k(ts)--k(t exp-1θr(s)expE[r(t)]

Integrando l’equazione del tasso spot, si ottengono le formule per determinare il rendimento e la varianza che sono, rispettivamente

]exp-[12k

σVar[r(t)] s)-2k(t-

Si consideri il seguente esempio:

Sostituendo i singoli valori nelle equazioni del rendimento e della varianza si ottengono i seguenti valori

0311.0=)(025.0+5.0= 1)--0.5(21)--0.5(2 exp-1expE[r(t)]

k t s r(s) sigma(s)0,5 2 1 0,025 0,035 0,3

0142,0=5,0*2

]exp-[1Var[r(t)] 1)-*0.5(22-

Il modello di VasicekSulla base dei valori precedentemente

stimati, si può dimostrare che una distribuzione normale giustifica l’eventualità di rendimenti negativi, con le seguenti probabilità

Probabilità r(t)0,10% -1,29%1,00% -0,20%2,50% 0,32%5,00% 0,77%

10,00% 1,28%15,00% 1,63%20,00% 1,91%

Il modello di VasicekUn vantaggio è quello della mean reversion

che permette al tasso a breve di convergere verso il valore di lungo termine ( ).

Si consideri il seguente esempio:

Il tasso a breve termine dopo 10 anni tende verso il rendimento del 5 per cento.

04948.0=)(05.0+035.0= 1)--0.5(101)--0.5(10 exp-1expE[r(10)]

k t s r(s)0.5 10 1 0.05 0.035

TASSO A BREVE INIZIALE 3.00%a (int drift) 0.30%b (ang drift) 5.00%e (vol) 1.50%TIMESTEP 0.001t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 5

0.00%1.00%2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%7.00%8.00%9.00%

10.00%

1 37 73 109

Tasso a breve Tasso a lunga

Il modello di Vasicek:la term structure

TASSO A BREVE INIZIALE 3.50%a (int drift) 0.02%b (ang drift) 6.00%e (vol) 11.00%TIMESTEP 1.000

t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 2T (SCADENZA LUNGA) 3T (SCADENZA LUNGA) 4T (SCADENZA LUNGA) 5T (SCADENZA LUNGA) 6T (SCADENZA LUNGA) 7T (SCADENZA LUNGA) 8T (SCADENZA LUNGA) 9T (SCADENZA LUNGA) 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Il modello di Vasicek:la calibrazione

TASSO A BREVE INIZIALE 3.50% CALIBRAZIONE 6.00%a (int drift) 0.02%b (ang drift) 6.00%e (vol) 11.00%TIMESTEP 1.000

t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 2T (SCADENZA LUNGA) 3T (SCADENZA LUNGA) 4T (SCADENZA LUNGA) 5T (SCADENZA LUNGA) 6T (SCADENZA LUNGA) 7T (SCADENZA LUNGA) 8T (SCADENZA LUNGA) 9T (SCADENZA LUNGA) 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Il modello di Vasicek:i vantaggi

Presenza di mean reversion

Trattabilità analitica per il prezzo di un titolo (non è necessario applicare metodologie di simulazione à la Montecarlo)

Facilitazione del calcolo ipotizzando un processo del tasso di interesse distribuito normalmente

Il modello di Vasicek:gli svantaggi

Utilizzo di parametri non osservabili sul mercato

Non perfetta adesione alla struttura a termine iniziale dei tassi rendimenti

Il tasso può diventare negativo con probabilità positive

I rendimenti dei titoli con differenti scadenze, essendo proporzionali alla varianza, sono correlati fra loro

Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZC

Una volta stimato il processo evolutivo del tasso spot nel tempo secondo il processo descritto da Vasicek è possibile stimare il prezzo di un titolo zero coupon derivandolo dalla seguente

][eET)P(t,∫T

tr(s)ds-

Si ottiene la seguente

T)r(t)-B(t,T)eA(t,T)P(t, =

]T)B(t,4k

σ-t)T-T))(B(t,

σ-θe[(T)A(t, 2

]e-[1k

1T)B(t, t)-k(T-=

Si consideri il seguente esempio

Il prezzo di uno zero coupon bond di 5 anni stimato in t(0) alle condizioni definite dai parametri in termini esogeni è di 87,4 con un rendimento annuo composto di 2,72%

k t s r(s)sigma(s)0,5002,50%3,00%22,00%

t TA(t,T)B(t,T) P(t,T) r(t,T)0 50,92391,83580,8742,720%

Ora immaginiamo di stimare uno ZCB a 30 anni

Il prezzo scende a 46,8 con un rendimento pari 2,566% su base annua

Si noterà come questo rendimento converge verso la mean reversion

k t s r(s) sigma(s)0,5 0 0 2,50% 3,00% 22,00%

t T A(t,T) B(t,T) P(t,T) r(t,T)0 30 0,4966 2,0000 0,468 2,566%

Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZCSe s=t=0 la varianza del tasso di interesse è

nulla e il processo del rendimento è governato solo dal drift

Ma il modello diventa interessante (perché stocastico) se t>s

Supponiamo ora che t=1 con s=0

Il modello Vasicek permette di stimare uno ZCB a scadenza successiva da quella di quotazionek t s r(s)sigma(s)0,5102,50%3,00%22,00%

t TA(t,T)B(t,T) P(t,T) r(t,T)1 50,94421,72930,8992,684%

Foglio elettronico Vasicek

Il modello di Vasicek:il pricing di un’opzione

La possibilità di stimare un titolo a scadenza è la base della valutazione di un’opzione

Vasicek nel suo articolo non presenta direttamente le equazioni di stima che vengono derivate dal suo modello da Jamshidian [An Exact Bond Option Pricing Formula, “Journal of Finance”, vol. 44, 1989]

Per stimare il prezzo al tempo t di un’opzione europea (O) con uno strike X, durata T e basata su un titolo zero coupon con scadenza al tempo S è necessario conoscere la distribuzione di r(T) cioè la dinamica della term structure.

Dove: ω=1 per le call e ω=-1 per le put

Φ(°) è funzione di distribuzione cumulata normale

))]σ-(hω(ΦT)XP(t,-h)ω(ΦS)[P(t,ωX)S,T,O(t, P=

S)B(T,2k

exp-1σσ

t)-2k(T-

T)XP(t,

S)P(t,ln

Si consideri l’esempio seguente (call option scadenza 6 anni con strike 0,95)

La procedura di calcolo permette di determinare il premio dell’opzione

S X ω6 0,95 1

kts r(s)sigma(s)0,3102,50%3,00%22,00%

sigma(P) 0,557h 0,227

ωh 0,227

ω(h-sigma(P)) -0,330Φ(ωh) 0,590

Φ(ω(h-sigma(P))) 0,371

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