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ANNOSCOLASTICO2015/2016
SCUOLASECONDARIADIPRIMOGRADO“U.FOSCOLO”
RELAZIONEDIMATEMATICA
ILTRIANGOLODITARTAGLIA
ALUNNO:NICOLÒBAGNASCOCLASSE:3°BPROFESSORE:DANIELEBALDISSIN
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CENNISTORICI
TartagliaèilsoprannomediNiccolòFontana;nacqueaBrescianel1499emorìaVenezianel1557.
DuranteilsaccheggiodiBresciadapartedeifrancesinel1512rimaseferitoalvoltoealpalatoeglirimaseunfortedifettodipronuncia,dacuiilsuosoprannome“Tartaglia”.
InsegnòaVerona,MantovaeaVenezia.
E’ricordatoinparticolareperduesueintuizioni: iltriangolo,cheportaancheilsuonome,echepermette di determinare i coefficienti binomiali per sviluppare la potenza di un binomio e larisoluzionedell’equazionediterzogrado:x3+px+q.
AluisidevelaprimatraduzioneinlinguavolgaredegliElementidiEuclide.
Nel 1546 scrisse “Quesiti et invenzioni diverse”, dove risolve problemi di balistica meccanica,fabbricazioni di esplosivi ma l’argomento principale rimane l’algebra e nel 1560, in “Generaltrattatodinumerietmisure”parlaperlaprimavoltadelfamosotriangolo.
BlaisePascal,nel1654,scrisseunintero libro,“LeTriangleAritmétique”,dedicatoaltriangolodiTartagliaeallesueproprietà,inparticolarenelcampodelcalcolocombinatorio.Questostudiofutanto importante che portò, in seguito, a ribattezzare il triangolo diTartagliaconilnomedi“triangolodiPascal”.
Più giustamente, però, si dovrebbe parlare di “triangolo cinese”; in unlibrocinesedel1303intitolato“PreziosoSpecchiodeiQuattroElementi”,scritto dal matematico cinese Zhu Shijie, tale triangolo appare con ilnomedi“TavoladelVecchioMetododeiSetteQuadratiMoltiplicatori”.
In realtà questo triangolo ha incuriosito matematici di tutto il mondoperché è pieno di misteri e di tesori… vediamo quindi qualche suaapplicazione.
COMESICREAILTRIANGOLODITARTAGLIA?
IltriangolodiTartagliaècostituitodanumerinaturalidisposti informatriangolare;alvertice, inalto, si trova il numero 1; allo stessomodo si dispongono i numeri 1 lungo i due lati obliqui e,all’interno del triangolo, ogni numero è ottenuto dalla somma dei due numeri della rigaprecedentechestannosopraesso.
Diconseguenzailtriangolononhafine.
Fig.1.Tavoladelvecchiometododeisettequadrati
moltiplicatori
Fig.2.CostruzionedeltriangolodiTartaglia
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Siottienequindiilseguentetriangolonumerico:
APPLICAZIONIDELTRIANGOLODITARTAGLIAQUADRATODIBINOMIO
La principale applicazione del triangolo di Tartaglia è lo sviluppo delle potenze di un binomio.Infatti, ciascuna “riga n” (partendo da n = 0) del triangolo contiene i coefficienti del polinomiosviluppodellapotenzadiunbinomioconesponenten.Peresempio:
riga0 (x+y)0 1 1
riga1 (x+y)1 11 1x1+1y1
riga2 (x+y)2 121 1x2+2x1y1+1y2
riga3 (x+y)3 1331 1x3+3x2y1+3x1y2+1y3
riga4 (x+y)4 14641 1x4+4x3y1+6x2y2+4x1y3+1y4
riga5 (x+y)5 15101051 1x5+5x4y1+10x3y2+10x2y3+5x1y4+1y5
riga6 … Tab.1.Potenzediunbinomio
Comesipuònotare,ciascunpolinomio:- hacomecoefficientiiterminidiunarigadeltriangolodiTartaglia,- èomogeneo infatti lepotenzedelledue incognite in ciascunmonomiohanno la somma
pariall’esponentedellapotenzadelbinomio- èordinatoinmodocrescenterispettoaun’incognitaedecrescenterispettoall’altra.
Inquestomodosaràpossibilesvilupparelapotenzadiunqualsiasibinomio.
Fig.3.TriangolodiTartaglia
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NUMERIDIFIBONACCI
DaltriangolodiTartagliasipossonoricavareinumeridiFibonacci,successionedinumericheportailnomedi LeonardoPisanodettoFibonacci, (ovvero figliodiGuglielmoBonacci),matematico vissutoaPisa tra il1170eil1240.
La sua opera più importante è il "Liber abbaci",pubblicato nel 1228: essa raccoglie le conoscenzearitmeticheealgebrichedeltempoedhaavutounafunzione fondamentale nello sviluppo dellamatematicadell’Europaoccidentale.
Per ottenere la serie di numeri di Fibonacci daltriangolo di Tartaglia basta sommare i numeri dellediagonali;dallaprimarigasiottiene1,dallaseconda1,poi2,3,5,8,13,21,...,
Fig.4.Fibonacci-LiberAbbaci
Fig.5.NumeridiFibonacciottenutidaltriangolodiTartaglia
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POTENZEDI2
Dal triangolo di Tartaglia si possono ottenere tutte le potenze di base 2, sommando i numeripresenti inciascunarigan,maoccorreassegnaren=0allaprimarigadel triangolodiTartaglia,contenenteilnumero1.
HocostruitoquestatabellaconExcel,facendocalcolareilvalorediciascunnumerodeltriangolodiTartagliacomesommadellacellapostanellarigasuperioreconquellaprecedenteadessa:
Hoquindicreatoquestatabella;sonopresentiduecolonneugualimacalcolateinmododiverso:laprima (evidenziata in giallo) come somma della sequenza di numeri del triangolo di Tartagliacorrispondentiallariganelaseconda(evidenziatainverde)comepotenzadi2elevatoalnumeron,corrispondenteallarigascelta.
Tab.3.Potenzedibase2coniltriangolodiTartaglia
Tab.2.Excel-CostruzionedeltriangolodiTartaglia
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POTENZEDI11
Un’altrautilitàdeltriangolodiTartagliaèlegataallepotenzedi11.
I numeri delle prime 5 righe del triangolo di Tartaglia, se considerati come cifre e messi insequenza,dannoinumeri:1,11,121,1331,14641.
Essisonoesattamenteleprime5potenzedi11:
110=1
111=11
112=121
113=1331
114=14641
Questosempliceaccostamentodeinumerideltriangoloperformarelepotenzedi11sembranonfunzionarepiùdallariga6ma,invece,bastaandareaconsiderarei“riporti”deinumerimaggioridi9.
riga0 1 110 1
riga1 1 1 111 11
riga2 1 2 1 112 121
riga3 1 3 3 1 113 1331
riga4 1 4 6 4 1 114 14641
riga5 1 5 10 10 5 1 115 161051
riga6 1 6 15 20 15 6 1 116 1771561
riga7 1 7 21 35 35 21 7 1 117 19487171
riga8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 118 214358881
riga9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 119 2357947691
riga10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1110 25937424601
TRIANGOLODITARTAGLIA-POTENZEDI11 11n
Tab.4.Potenzedibase11coniltriangolodiTartaglia
Fig.6.Metododelriportoperottenerepotenzedi11conesp.maggioredi4
Scrivendoquindiinumerimaggioridi9comesommadidecineeunitàeriportandoledecinenellecaselleprecedenti,sipossonocomunqueottenerelepotenzedi11n,conn>4.
SequenzadiTartaglia 1 5 10 10 5 1
1 5 10+0 10+0 5 1
1 5+1 0+1 0 5 1
115 1 6 1 0 5 1
COMEOTTENERELEPOTENZEDI11CONn>4
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INUMERITRIANGOLARI
DaltriangolodiTartagliasipossonoottenereinumeritriangolari:
Inumeritriangolarisonoqueinumeriche,seassociatiperesempioaunnumerodipallineparialnumerostesso,essesipossonodisporreaformaditriangoloequilaterooisoscele.
Comesipuòvederedallafigura,ogninumerotriangolareTnèugualeallasommadeipriminnumerinaturali:
T1=1T2=1+2T3=1+2+3T4=1+2+3+4T5=…Ingenerale,inumeritriangolarisipossonoesprimereconunaformula,dettaformuladiGauss:
Tn =n⋅(n+1)
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dovenèilnumerodipallinechecostituisconolabaseeTnsaràpertantoilnumerodipallinechecostituisconoiltriangolo,ovveroilnumerotriangolare.
T1 T2 T3 T4
Fig.7.NumeritriangolarineltriangolodiTartaglia
Fig.8.Inumeritriangolari
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SeorapensiamodisovrapporreT4,T3,T2eT1otteniamountetraedro.
Comesivededallafigura,P4=T1+T2+T3+T4.
IlnumeroP4èdettonumerotetraedricoperché,seassociatoperesempioaunnumerodipallineparialnumerostesso,essesipossonodisporreaformadiTetraedro.
Quindi,possiamodireche:
ilnumerotetraedricoPnèdatodallasommadituttiipriminnumeritriangolari.
TuttoquestosiritrovaneltriangolodiTartaglia.
Seosserviamolafiguraquisotto,proprioperlaproprietàconcuisicostruisconolesequenzedeltriangolo,ogninumerotriangolare,sommatoaisuoiprecedenti,dàcomerisultatoilnumeroaluiprecedentenellarigasottostante.
Fig.10.Legametrainumeritriangolarieinumeritetraedrici
T1T2T3T4 P4Fig.9.Inumeritetraedrici
Numeritetraedrici
Numeritriangolari
Fig.11.Sequenzedeinumeritriangolariedeinumeritetraedrici
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TARTAGLIA,PATTERNEFRATTALI
SeneltriangolodiTartagliasicoloranoinumeriparieinumeridispariconcoloridiversi,sinotachelalorodistribuzioneneltriangolononècasuale:siformanodeitriangolididiversedimensioni.
Fig.12.TriangolodiTartagliaconnumeriparievidenziati
Seproviamoinveceacolorareinumeridispariealasciarebianchiinumeripari,sivedemegliolaregolarità nella loro sistemazione; la forma dei triangoli si ripete, con diverse dimensioni masempreconlamedesimaforma.Itriangolisonotralorosimili.
SesiprovaaconsiderareuntriangolodiTartagliamoltopiùampio,ovveroconungrannumerodirighe,sivedemolto bene che la distribuzione dei numeri pari edisparicreanounpatternregolare:sembrachesiaunastruttura frattale, ovverouna struttura che si ripete inscalasemprepiùpiccola.
Fig.13.TriangolodiTartagliaconnumeridisparievidenziati
Fig.14.TriangolodiTartagliaconnumeripariedisparididifferentecolore
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AnchecolorandoinumerideltriangolodiTartagliamultiplidi3,di4odi5,ritroviamotrediversipattern, tutti molto simili tra loro e che richiamano quelli visti con la disposizione dei numeripari/dispari:
Questi sono solo alcuni esempi deimolteplici usi del triangolo di Tartaglia, una vera e propria“macchinadellamatematica”!
Fig.15.numeridivisibiliper3 Fig.16.Numeridivisibiliper4 Fig.17.Numeridivisibiliper5
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BibliografiaHansM.Enzensberger,Ilmagodeinumeri,2005,EinaudiSitografia:http://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6207-triangolo-di-tartaglia.html
http://www.amolamatematica.it/index.php/storia/item/download/868_162b087c73c1f8c0b05b2ad54ee95e7f
http://matematicamedie.blogspot.it/2009/02/il-triangolo-di-tartaglia.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Tartaglia
http://www.oilproject.org/lezione/triangolo-tartaglia-formula-di-newton-spiegazione-potenza-binomio-13066.html
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Feb_02/Cap6.html