Introduzione al Calcolo delle Variazioni Roberto Monti

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Introduzione al Calcolo delle Variazioni

Roberto Monti

Matematica – Anno Accademico 2016-17

Versione Preliminare degli Appunti del Corso – 15 Marzo 2017

E-mail address : monti@math.unipd.it

Indice

(1) Metodo diretto del Calcolo delle variazioni p.1

(2) Funzionali classici

(a) Equazioni di Eulero-Lagrange p.6

(b) Equazione di Du Bois-Reymond p.11

(c) Metodo di convessita (metodi indiretti) p.12

(d) Principio di Fermat per l’ottica geometrica p.14

(e) Problema della brachistocrona p.18

(f) Funzionali del solo gradiente. Condizione di pendenza limitata p.23

(3) Funzionali sugli spazi di Sobolev

(a) Elementi essenziali sugli spazi di Sobolev p.36

(b) Convessita e semicontinuita inferiore in W 1,p p.44

(c) Esistenza dei minimi in W 1,p p.49

(d) Esempi p.51

(4) Funzioni a variazione limitata

(a) Definizione e Teorema di Riesz p.62

(b) Decomposizione della misura gradiente distribuzionale p.71

(c) Semicontinuita inferiore e approssimazione p.74

(d) Teorema di compattezza e disuguaglianza di Poincare p.78

(e) Tracce ed estensioni p.83

(f) Proprieta fini e funzioni SBV p.85

(g) Funzionale di Mumford-Shah p.89

(5) Insiemi di perimetro finito

(a) Definizione ed esempi p.94

(b) Una soluzione del problema di Plateau p.97

(c) Frontiera ridotta e stime di densita p.101

(d) Blow-up della frontiera ridotta p.110

(e) Struttura della frontiera ridotta p.115

(6) Superfici minime

(a) Formula dell’area per grafici C1 p.120

(b) Formula dell’area nel caso generale p.127

(c) Superfici minime p.143

(d) Formula di rappresentazione di Weierstrass p.145

(e) Formula di monotonia per insiemi stazionari p.153

(7) Teorema isoperimetrico

(a) Riarrangiamento di Steiner p.160

(b) Proprieta isoperimetrica della sfera p.169

(c) Riarrangiamento di Schwarz p.173

(d) Formula di coarea p.182

(8) Γ-convergenza

(a) Rilassamento p.185

(b) Γ-limiti p.187

(c) Funzionale di Modica-Mortola p.193

(9) Cenni alla teoria del trasporto ottimo

(a) Problema di Monge p.201

(b) Formulazione di Kantorovic p.204

(c) Teorema di Brenier p.212

(d) Applicazione alla disuguaglianza isoperimetrica p.214

(10) Cenni alla teoria delle correnti

(a) Correnti, massa e bordo p.217

(b) Correnti rettificabili. Problema di Plateau p.225

(c) Teorema di deformazione p.232

(d) Le varieta olomorfe sono minime p.240

(e) Coni di Simon p.251

(11) Esercizi

(12) Bibliografia

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1. Esercizi

1.1. Semicontinuita inferiore.

Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia F : X → (−∞,∞]. Provare che

sono equivalenti:

A) F e semicontinua inferiormente su X.

B) Per ogni x0 ∈ X si ha

F (x0) ≤ limr→0+

infx∈Br(x0)

F (x).

C) F e sequenzialmente semicontinua inferiormente, ovvero per ogni x0 ∈ X ed

ogni successione xh → x0 si ha

F (x0) ≤ lim infh→∞

F (xh).

Esercizio 2. Sia (X, τ) uno spazio topologico e data F : X → R sia

F (x) = supU∈I (x)

infy∈U

F (y), x ∈ X,

l’inviluppo semicontinuo inferiore di F . Provare che per ogni x ∈ X si ha

F (x) = supG(x) : G ≤ F, G isc su X.

Esercizio 3. Sia A un insieme aperto di Rn e sia f : A × R → (−∞,∞] una

funzione misurabile tale che:

i) u 7→ f(x, u) e semicontinua inferiormente in R per q.o. x ∈ A;

ii) esistono g ∈ L1(A), b ∈ R e 1 ≤ p <∞ tali che

f(x, u) ≥ g(x) + b|u|p, x ∈ A, u ∈ R.

Provare che la funzione F : Lp(A)→ (−∞,∞]

F (u) =

f(x, u(x))dx,

e ben definita (ha valori 6= −∞) ed e semicontinua inferiormente in Lp(A) nella

topologia forte.

1.2. Funzionali su AC, Lip, C1 di un intervallo.

Esercizio 4. Sull’insieme X = u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = 1, u(1) = 0 si consideri

il funzionale F : X → R

F (u) =

(eu′(x) + u(x)2

i) Derivare l’equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale F .

ii) Integrare l’equazione con le condizioni iniziali u(0) = 1 e u′(0) = α dove

α ∈ R e un parametro.

iii) Provare che F non ha minimo su X.

Esercizio 5. Siano n1 > 0, n2 > 0, u0, u1 ∈ R e t ∈ (0, 1). Sia poi f : [0, 1]→ Rla funzione f(x) = n1 se 0 ≤ x ≤ t e f(x) = n2 se t < x ≤ 1. Sia u ∈ Lip([0, 1]) il

minimo del funzionale F : Lip([0, 1])→ R

F (u) =

∫[0,1]

f(x)√

1 + u′(x)2dx, u(0) = u1, u(1) = u(1).

Calcolare u ed in particolare descrivere gli angoli di incidenza nel punto x = t (prin-

cipio di Fermat).

Esercizio 6. Sull’insieme X = u ∈ Lip([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0, u 6= 0 si

consideri il funzionale F : X → R

F (u) =1

‖u‖∞

∫[0,1]

|u′|dx.

Calcolare il minimo di F su X.

Esercizio 7. Dati X = u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0 ed α ∈ (0, 1], si

consideri Fα : X → R

Fα(u) =

∫[0,1]

(|u′|α + 3|u− 1|

Provare che:

i) infX Fα = 0 se 0 < α < 1, e infX F1 ≤ 2 se α = 1.

ii) Fα non ha minimo su X.

Esercizio 8. Sia f ∈ L1(R) una funzione continua e positiva (f(t) > 0 per ogni

t ∈ R). Provare che il funzionale F : X → R

F (u) =

f(u′(x))dx

non ha minimo sullo spazio di funzioni X =u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0

Esercizio 9 (Moltiplicatori di Lagrange). Dato v > 0 si considerino lo spazio

funzionale X = u ∈ C1([−1, 1]) : u(±1) = 0

ed F,G : X → R

F (u) =

√1 + u′(x)2dx, G(u) =

u(x) dx.

i) Date ϕ, ψ ∈ C∞c (−1, 1) definiamo H : R2 → R, H(ε, τ) = G(u + εϕ + τψ).

Provare che esiste una funzione di classe C1, ε 7→ τ(ε), tale che H(ε, τ(ε)) = v

per ogni |ε| < δ.

ii) Provare che esiste λ ∈ R (il “moltiplicatore di Lagrange”, in questo caso la

curvatura) tale ched

( u′√1 + u′2

)= λ.

iii) Integrare l’equazione precedente. Abbiamo risolto (in parte) il “Problema di

Didone”.

E facile generalizzare l’esempio ad F e G piu generali.

1.3. Bounded slope condition e funzioni Lipschitz.

Esercizio 10. Sia Ω ⊂ Rn un aperto limitato e sia U : ∂Ω → R una funzione

che non sia affine. Provare che se (Ω, U) verifica la bounded slope condition, allora Ω

deve essere convesso.

Esercizio 11. Siano x0 ∈ Rn, I un insieme di indici ed fi : Rn → R, i ∈ I,

funzioni Lipschitziane tali che Lip(fi) ≤ M e |fi(x0)| ≤ M per ogni i ∈ I, con

0 ≤ L,M <∞. Dimostrare che le funzioni

f(x) = supi∈I

fi(x), g(x) = infi∈I

fi(x), x ∈ Rn,

sono ben definite e Lipschitziane su Rn con Lip(f),Lip(g) ≤ L.

Esercizio 12. Siano k > 0, Ω ⊂ Rn aperto limitato ed f : Rn → R strettamente

convessa. Provare che due minimi u, v ∈ Lipk(Ω) del funzionale

F (u) =

f(∇u(x))dx,

verificano

supx∈Ω|u(x)− v(x)| = max

x∈∂Ω|u(x)− v(x)|.

Esercizio 13. Dimostrare che se f : Rn → R e Lipschitz, allora

limh→0

f(x+ hv)− f(x)

hu(x)dx = −

f(x)∂u

∂v(x)dx,

per ogni v ∈ Rn e per ogni u ∈ C∞c (Rn).

Esercizio 14. Sia C ⊂ Rn un insieme chiuso e sia f : Rn → R la funzione

f(x) = dist(x;C), x ∈ Rn. Dimostrare che |∇f(x)| = 1 per L n-q.o. x ∈ Rn \ C.

1.4. Funzionali su spazi di Sobolev in dimensione 1.

Esercizio 15. Calcolare – se esiste – la piu piccola costante C > 0 che rende

vera la disuguaglianza (∫[0,1]

u(x)dx)2

∫[0,1]

u′(x)2dx,

per tutte le funzioni u ∈ H10 (0, 1) e calcolare – se esistono – tutte le funzioni che

realizzano l’uguaglianza (relativamente alla costante ottimale).

Esercizio 16. Dati X = H10 (0, 1) ed ε ∈ R, si consideri Fε : X → R

Fε(u) =

∫[0,1]

(sin(u′) + εu2

Provare che:

i) se ε 6= 0 allora Fε non ha minimo su X;

ii) se ε = 0 allora F0 ha un’infinita di minimi su X, ma nessuno in C1([0, 1]).

Esercizio 17. Sia X l’insieme delle funzioni u ∈ AC([δ, 1]) per ogni 0 < δ < 1 e

tali che ∫[0,1]

xu′(x)2dx <∞,

e sia F : X → R

F (u) =1

∫[0,1]

(xu′2

+ u2)dx+

∫[0,1]

uf dx,

dove f ∈ C([0, 1]) e una funzione assegnata. Provare che:

i) X con il prodotto scalare

〈u, v〉 =

∫[0,1]

(xu′v′ + uv)dx

e uno spazio di Hilbert.

ii) F ha minimo unico su X.

iii) Il minimo verifica u ∈ C2((0, 1]) e

dx(xu′) + u = f su (0, 1].

iv) Il minimo verifica

limx→0+

xu′(x) = 0.

Esercizio 18. Su X =u ∈ H1(0, 1) : u(0) = 0, u(1) = 1

si consideri F : X →

F (u) =

∫[0,1]

√1 + (x+ ε)u′(x)2dx,

dove ε ≥ 0 e un parametro. Provare che esiste ε0 > 0 tale che per ogni 0 ≤ ε < ε0 il

funzionale F non ha minimo su X.

Esercizio 19. Su X =u ∈ H1(0, 1) : u(0) = α, u(1) = β

, con α, β ∈ R, si

consideri F : X → R

F (u) =

∫[0,1]

(1 + |u|)u′2dx.

Studiare il minimo di F su X.

Esercizio 20. Sull’insieme X =χ ∈ C∞(R) : 0 ≤ χ ≤ 1, χ(−∞) = 0, χ(∞) =

si consideri F : X → [0,∞]

F (χ) =

(χ′

2+ χ2(1− χ)2

Provare che F ha minimo su X e calcolarlo.

1.5. Funzionali su spazi di Sobolev in dimensione maggiore.

Esercizio 21. Dato un aperto limitato A ⊂ Rn con n ≥ 1, si considerino una

funzione f ∈ L2(A), lo spazio X = H10 (A) e il funzionale F : X → R

F (u) =

2|∇u|2 + fu

i) Provare che F ha minimo unico su X.

ii) Scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange in forma debole verificata dal min-

iii) Supponendo la necessaria regolarita, scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange

in forma forte.

Esercizio 22. Dato un aperto limitato e con frontiera Lipschitz A ⊂ Rn, n ≥ 1,

si considerino una funzione f ∈ L2(A), lo spazio

X =u ∈ H1(A) :

u dx = 0,

e il funzionale F : X → R

F (u) =

2|∇u|2 + fu

i) Provare che F ha minimo unico su X.

ii) Scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange in forma debole verificata dal min-

iii) Supponendo la necessaria regolarita, dedurre le equazioni per il minimo

∆u = f − fA in A e∂u

∂ν= 0 su ∂A,

dove fA e la media di f su A e ν e la normale (esterna) a ∂A.

Esercizio 23. Dato γ ∈ (0, 1], si consideri A = (x, y) ∈ R2 : |x| < yγ, 0 < y <

1. Provare che se 1 ≤ p < 1 + γ e

q >(1 + γ)p

1 + γ − p,

allora non esiste alcuna costante Cpqγ tale che(∫A

|u− uA|qdxdy)1/p

≤ Cpqγ

|∇u|pdxdy)1/p

Esercizio 24. Per n ≥ 1 ed R > 1 consideriamo l’insieme di funzioni

AR =u ∈ Lip(Rn) : u(x) ≥ 1 per |x| ≤ 1 e u(x) = 0 per |x| ≥ R

Provare che il funzionale F : AR → R

F (u) =

|∇u(x)|2dx

ha minimo su AR.

Linea concettuale da seguire: Provare l’esistenza in H10 (BR). Provare l’unicita per

stretta convessita. Dedurre la simmetria radiale del minimo dall’unicita. Derivare

l’equazione di Eulero-Lagrange nel caso simmetrico. Calcolare il minimo risolvendo

l’equazione differenziale ordinaria. Constatare a posteriori che e il minimo u e Lips-

chitz.

Esercizio 25. Per n ≥ 1 ed R > 1 consideriamo l’insieme di funzioni

AR =u ∈ Lip(Rn) : u(x) ≥ 1 per |x| ≤ 1 e u(x) = 0 per |x| ≥ R

Si consideri il funzionale G : AR → R

G(u) =

|∇u(x)|dx.

Discutere l’esistenza del minimo di G su AR.

1.6. Funzioni BV .

Esercizio 26. Sia f ∈ BV (Rn). Provare che f ∈ W 1,1(Rn) se e solo se µ1s =

. . . = µns = 0, dove µi e la misura derivata distribuzionale i-esima di f e µis e la sua

parte singolare rispetto alla misura di Lebesgue.

Esercizio 27. Sia f : R2 → R la funzione definita da

f(x, y) =

0 se x ≤ 0,

y se x > 0.

Calcolare la misura vettoriale [Df ], il gradiente distribuzionale di f .

Esercizio 28. Sia f : Rn → R, n ≥ 1, la funzione definita da

f(x) =

1 se |x| < 1,

0 se |x| ≥ 1.

Provare che f ∈ BV (Rn), calcolare la misura µ e la funzione σ tali che [Df ] = σµ.

Provare che f /∈ W 1,1(Rn).

Esercizio 29. Siano f ∈ C1(Rn) e g ∈ BVloc(Rn). Verificare la regola per il

prodotto della derivata distribuzionale (nel senso delle misure)

[D(fg)] = g∇fL n + f [Dg].

Esercizio 30. Sia u ∈ BV (Rn) una funzione a supporto compatto. Dimostrare

che [Du](Rn) = 0.

Esercizio 31. 1) Provare che ‖f‖∞ ≤ |Df |(R) per ogni funzione f ∈ BV (R). 2)

Costruire una funzione f ∈ BV (Rn) tale che f /∈ L∞(A) per un quasiasi aperto non

vuoto A ⊂ Rn.

Esercizio 32. Sia µ una misura di Borel finita su Rn. Supponiamo che per ogni

ϕ ∈ C1c (Rn;Rn) si abbia ∣∣∣ ∫

divϕdµ∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖∞.

Provare che esiste una funzione f ∈ BV (Rn) tale che µ = f L n.

Esercizio 33. Sia A ⊂ Rn una aperto limitato con frontiera Lipschitz. Provare

che esiste una costante C > 0 tale che∫A

|f − fA|dx ≤ C‖Df‖(A)

per ogni f ∈ BV (A).

Esercizio 34. Sia A ⊂ Rn un aperto connesso e sia f ∈ BV (A) una funzione

tale che ‖Df‖(A) = 0. Provare che f e costante.

1.7. Insiemi di perimetro finito.

Esercizio 35. Dati γ ∈ (0, 1] ed n ≥ 2, si consideri A = x = (x′, xn) ∈ Rn−1×R :

|x′| < xγn, 0 < xn < 1. Al variare di γ, discutere la validita della disuguaglianza

isoperimetrica relativa

L n(E)n−1n ≤ Cn,γP (E;A),

per insiemi E ⊂ A tali che L n(E) ≤ 12L n(A).

Esercizio 36. Sia E ⊂ (0, 1) un insieme di perimetro finito. Dimostrare che a

meno di insiemi trascurabili E e unione finita di intervalli.

1.8. Superfici minime.

Esercizio 37. Sia A ⊂ R2 un insieme aperto. Determinare tutte le funzioni

u ∈ C∞(A) della forma

u(x, y) = ϕ(x) + ψ(y), (x, y) ∈ A,

i cui grafici siano superfici minime.

Esercizio 38. Sia S = F (R× [0, 2π]) ⊂ R3 dove

F (x, ϑ) = (x, f(x) cosϑ, f(x) sinϑ),

ed f ∈ C2(R) e una funzione che verifica f(0) = 1 ed f ′(0) = 0.

i) Supponendo che S ⊂ R3 sia una superficie minima, derivare l’equazione

differenziale per f

(1 + f ′2)f − f 2f ′′ = 0.

ii) Provare che f e una catenoide.

Esercizio 39. Sia r > 0 e per f ∈ C2([−r, r]) si consideri la superficie S =(x, f(x) cosϑ, f(x) sinϑ) ∈ R3 : ϑ ∈ [0, 2π], |x| ≤ r, f(±r) = 1

Provare che esiste un r0 > 0 tale che:

i) Se r > r0 allora S non puo essere una superficie minima.

ii) Se r = r0 allora c’e un’unica superficie minima della forma data.

iir) Se 0 < r < r0 esistono 2 superfici minime della forma data.

Esercizio 40. Siano A = x ∈ R2 : 1 < |x| < 2 ed M ≥ 0. Sull’insieme di

funzioni

AM =u ∈ C(A) ∩ C1(A) : u = 0 su |x| = 2 ed u = M su |x| = 1

consideriamo il problema di minimo minF (u) : u ∈ AM

dove F : AM → [0,∞] e il

funzionale dell’area

F (u) =

√1 + |∇u(x)|2dx.

Provare le seguenti affermazioni:

i) Se il minimo esiste allora e unico.

ii) Se il minimo esiste allora e della forma u(x) = ϕ(|x|) con ϕ ∈ C([1, 2]) ∩C1(1, 2).

iii) Per una funzione u come nel punto precedente (“u radiale”) si ha

F (u) = 2π

√1 + ϕ′(r)2rdr.

iv) Per un minimo radiale u(x) = ϕ(|x|) si ha

( rϕ′√1 + ϕ′2

)= 0, r ∈ (1, 2).

v) Provare che esiste M0 > 0 tale che per M > M0 il problema di minimo in

esame non ha soluzione.

Esercizio 41. Sia f : R2 → R3 la funzione

f(x, y) =

(x+ xy2 − 1

3x3,−y − x2y +

3y3, x2 − y2

Verificare che S = f(R2) e una superficie minima (superficie di Enneper) data tramite

una parametrizzazione conforme.

Sia poi F : C→ C3,

F (z) =

2h(z)(1− g(z)2),

2h(z)(1 + g(z)2), h(z)g(z)

con h(z) = 2 e g(z) = z. Verificare che tramite la formula di rappresentazione di

Weierstrass

f(z) = Re

F (ζ)dζ

parametrizza la superficie di Enneper.

Esercizio 42. Provare che non esistono superfici minime compatte.

Esercizio 43. Sia A ⊂ Rn−1 un insieme aperto e sia f ∈ C∞(A) una funzione

che risolve l’equazione

div( ∇f√

1 + |∇f |2)

= 0 in A.

Provare che il grafico S = gr(f) e un minimo dell’area nel cilindro A × R. Precisa-

mente, provare che per ogni (n− 1)-superficie T ⊂ Rn tale che S∆T = S \ T ∪ T \ Se contenuto in modo compatto in A× R si verifica

H n−1(S) ≤H n−1(T ).

Esercizio 44. Sia S ⊂ Rn+1 una ipersuperficie (embedded) di classe C2 e in-

dichiamo con H la sua curvatura media (la traccia del differenziale della mappa di

Gauss divisa per n).

1) Supponiamo che S = x ∈ Rn+1 : f(x) = 0 con f ∈ C2(Rn+1) e ∇f 6= 0.

Verificare che

ndiv( ∇f|∇f |

2) Supponiamo che S = (x, g(x)) ∈ Rn+1 : x ∈ Rn con g ∈ C2(Rn). Verificare

ndiv( ∇g√

1 + |∇g|2).

3) Supponiamo che esista una funzione (continua) H : S → R tale che∫S

divSV dHn =

H〈V, νS〉dH n

per ogni V ∈ C∞c (Rn+1;Rn+1), dove divSV = divV − 〈νE, (∇V )νS〉 e νS e la normale

ad S. Provare che H = H.

1.9. Correnti.

Esercizio 45. Sia A ⊂ Rn un aperto connesso a sia T ∈ Dn(A) una corrente tale

che ∂T = 0. Provare che esiste c ∈ R tale che T = cJAK.

Esercizio 46. Per n ∈ N = 1, 2, 3, ... si considerino gli anelli

An =x ∈ R2 :

n+ 1< |x| ≤ 1

con An orientato positivamente per n dispari, orientato negativamente per n pari. La

corrente T ∈ D2(R2) associata e

T =∞∑n=1

(−1)n+1JAnK.

Descrivere il bordo ∂T ∈ D1(R2) e provare che M(∂T ) =∞.

Esercizio 47. Siano K = [0, 1]× 0 ⊂ R2 e τ ∈ Λ2(R2). Provare che

T (ω) =

ω(τ)dH 1, ω ∈ D2(R2),

definisce una corrente T ∈ D2(R2) di massa finita. Stabilire se ∂T ha massa finita.

1.10. Rilassamento e Γ-convergenza.

Esercizio 48. Siano A ⊂ Rn un insieme aperto, 1 ≤ p < ∞ ed F : Lp(A) →[0,∞]

F (u) =

|Du|pdx+

|u|pdx u ∈ C1(A) ∩ Lp(A)

∞ altrimenti.

Su Lp(A) fissiamo la topologia (“convergenza”) di L1loc(A) e sia F l’inviluppo semi-

continuo inferiore di F . Determinare l’insieme X = u ∈ Lp(A) : F (u) <∞.

Esercizio 49. Siano (X, τ) uno spazio topologico, F, Fh : X → R funzioni e

F , Fh i loro inviluppi semicontinui inferiori, h ∈ N. Provare che:

i) Se Fh → F uniformemente su X allora

Γ− limh→∞

Fh = F .

ii) Se Fh → F puntualmente ed (Fh)h∈N e decrescente allora

Γ− limh→∞

Fh = F .

iii) Se (Fh)h∈N e crescente allora

Γ− limh→∞

Fh = limh→∞

Esercizio 50. Costruire funzioni F, Fh : R→ R tali che

Γ− limh→∞

Fh(x) 6= limh→∞

per ogni x ∈ R.

1.11. Vari.

Esercizio 51. Siano A = x ∈ R2 : |x| < 1 e uh : A→ R2, h ∈ N,

uh(x) =x

|x|+ 1/h.

Provare che det∇uh πδ nel senso delle distribuzioni,

Esercizio 52 (Lagrangiane nulle). Siano A ⊂ R2 un aperto limitato con frontiera

Lipschitz e u, v ∈ C2(A;R2) due funzioni tali che u = v su ∂A. Provare che∫A

det∇u dx =

det∇v dx.

Esercizio 53. Costruire una funzione u in A = x ∈ R2 : |x| < 1 tale che

∆u ∈ C(A) ma u /∈ C2(A).

Esercizio 54. La lunghezza di una curva continua γ : [0, 1]→ Rn e

L(γ) = sup

n∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)| : 0 = t0 < t1 < ... < tn = 1, n ∈ N

Sia K ⊂ Rn un compatto e siano x, y ∈ K due punti che possono essere collegati da

una curva in K di lunghezza finita. Provare che allora sono collegati da una curva in

K di lunghezza minima.

Esercizio 55. Dimostrare che la simmetrizzazione di Steiner in Rn non aumenta

il diametro di un insieme.

Esercizio 56. Sia (qk)k∈N una enumerazione di Q2 e sia Sk ⊂ R2 un segmento

con punto medio qk e lunghezza 1/k2. Dimostrare che E =⋃k∈N Sk e 1-rettificabile.

Esercizio 57. Sia E l’unione di tutte le rette che passano per due punti di

Q2 ⊂ R2. Dimostrare che E e numerabilmente 1-rettificabile e che H 1 E e σ-finita

ma non localmente finita.

Esercizio 58. Sia K ⊂ Rn un insieme convesso e chiuso e sia π : Rn → K la

proiezione definita dalla condizione π(x) = y ∈ K se e solo se |x−y| = minz∈K |x−z|.Provare che H s(π(E)) ≤H s(E) per ogni E ⊂ Rn e 0 ≤ s ≤ n.

Esercizio 59. Sia Γ ⊂ R2 il grafico di u ∈ C1([0, 1]) provare che

H 1(Γ) =

√1 + u′(x)2dx.

Esercizio 60. Siano µ, ν due misure vettoriali su Rn conentrate su insiemi dis-

giunti, oovero esiste un insieme A tale che |µ|(A) = ν(Rn \ A) = 0. Dimostrare che

|µ+ ν| = |µ|+ |ν|.

Esercizio 61. SiaA1, A2 ⊂ Rn due insiemi k-rettificabili. Dimostrare che Tan(A1, x) =

Tan(A2, x) per H k-q.o. x ∈ A1 ∩ A2.

Esercizio 62. Let f : Rn → R, n ≥ 1, be the function defined by f(x) = 1 if

|x| < 1 and f(x) = 0 if |x| ≥ 1, with x ∈ Rn. Prove that f ∈ BV (Rn), compute the

measure µ and the vector σ given by the structure theorem of BV -functions. Show

that f /∈ W 1,1(Rn).

Esercizio 63. Let T : Cc(R)→ R be the functional

T (f) =

∫ +∞

−∞f(x)dx, f ∈ Cc(R),

where the integral is the Riemann-integral. Show that T il linear and bounded (for

the sup-norm, when the support of the functions is contained in a fixed compact

set). Compute the measure µ given by Riesz theorem, (i.e., prove that µ must be the

Lebesgue measure).

Esercizio 64. Let A be a σ-algebra on X, let B be a σ-algebra on Y and let

f : X → Y be measurable (that is, f−1(B) ∈ A for all B ∈ B). Let µ : A → [0,∞]

be a measure. Show that f]µ = ν defined by

ν(B) = µ(f−1(B)), B ∈ B,

is a measure, called the push-forward measure of µ. Prove the following change-of-

variable formula ∫Y

g(y)dν(y) =

g(f(x))dµ(x),

for any g ∈ L1(Y ; ν).

Esercizio 65. Let µ be the Lebesgue measure on [0, 1]. Write [0, 1] = A ∪ Bwhere µ(A) = 0 and

B =∞⋃n=1

with Kn ⊂ [0, 1] compact sets containing no open intervals.

Bibliografia

[1] L. Ambrosio & N. Fusco & D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity

Problems, Oxford University Press.

[2] G. Buttazzo & M. Giaquinta & S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems, Oxford

University Press 2008.

[3] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press 2015.

[4] B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer 2007.

[5] G. Dal Maso, An Introduction to Γ-Convergence, Birkhauser 1993.

[6] L. C. Evans & R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC press.

[7] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer.

[8] E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, UMI

[9] J. Jost & X. Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge 2008

[10] S. G. Krantz & H. R. Parks, Geometric Integration Theory, Birkhauser 2008. E un’introduzione

ragionevole alla teoria delle correnti.

[11] F. Maggi, Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to

Geometric Measure Theory, Cambridge 2012.

[12] F. Morgan, Geometric Measure Theory, Academic Press 2008. E un’introduzione al libro di

Federer.

[13] C. Villani, Topics in Optimal Transportation, Graduate Studies in Mathematics Vol. 58,

Springer

Riferimenti generali

1. Calcolo delle variazioni. Il volume [3] di Dacorogna e un’introduzione eccellente

che copre il programma fino alle superfici minime. Ci sono moltissimi esercizi con le

soluzioni. Un’alternativa e [9].

2. Funzionali in dimensione 1. Il libro di Buttazzo, Giaquinta e Hildebrandt [2] e

interamente dedicato ai funzionali in dimensione 1.

3. Bounded slope condition. Abbiamo seguito il classico libro di Giusti [8], che

contiene anche la teoria della regolarita.

4. Funzionali negli spazi di Sobolev. Abbiamo semplificato la presentazione fatta

in [4], un libro avanzato che contiene anche il caso vettoriale.

5. Funzioni BV. Abbiamo seguito l’introduzione agile che si trova in [6]. In [1] si

trova una trattazione piu completa, dove c’e una discussione dettagliata del funzional

di Mumford-Shah.

6. Insiemi di perimetro finito. Abbiamo di nuovo seguito l’introduzione che si

trova in [6]. Tuttavia e molto migliore la presentazione in [11] che contiene anche la

regolarita dei minimi.

7. Teoria geometrica della misura e correnti. Il riferimento obbligatorio e il libro

di Federer [7], che e di lettura impegnativa. Un’introduzione ragionevole e [12]. Noi

abbiamo seguito parte della presentazione di [10].

8. Γ-convergenza. Un testo di riferimento e [5]

9. Trasporto ottimo. Abbiamo seguito il libro di Villani [13].

Introduzione al Calcolo delle Variazioni Roberto Monti

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