Lezione n. 4

L'irrazionale

Pitagora (570-496 a.C.)

➲ Acusmatici = uditori

➲ Matematici = apprendisti

Mathé = apprendimento

Armonia naturale

➲ Pitagora scopre che c'è un'armonia nell'universo, cioè una ordinata proporzione (= kòsmos) tra i diversi aspetti dell'universo.

➲ Tutto è numero

Armonia naturale

Ad es. Da una bottega di un fabbro scopre che a suoni uguali corrispondono pesi uguali dei martelli che li producono

→ Quindi, suoni uguali, martelli uguali (e frequenze uguali, aggiungiamo noi)

--> il rapporto tra il peso dei martelli deve essere perciò di 1:1

Armonia naturale

→ Cosa succede se lo stesso suono è di un'ottava superiore?

L'ottava è la scala delle 8 note, per esempio tra do e il do superiore, do(1)

→ il rapporto diventa di 2:1, ovvero il peso del martello si dimezza

Rapporto di quinta

➲ Pitagora scoprì che tale rapporto matematico c'è fra tutte le note, non solo fra ottave

➲ Per esempio, prendiamo invece dell'ottava la quinta, cioè la distanza di cinque note nella scala: do, re, mi fa, sol, la, si; do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1, sil1; do2, re2., . . . . . . eccetera

La quinta è → La distanza tra il do e il sol (5 note)➲ Qui il rapporto tra il peso dei martelli (rapporto di

quinta) è di 3:2

Rapporti armonici

Nota Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2

RapportoPesimartelli

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

Rapporti armonici (1) tra le note (2) e i pesi dei martelli (3) →

tra la matematica (1), la musica (2) e la fisica (3)

Una santissima trinità

Pensiamo al valore di questa scoperta:Che tutta la fisica, cioè la scienza del mondo

fisico, sia studiabile con la matematica, perchè c'è questa corrispondenza straordinaria tra le leggi dei numeri e il mondo fisico

→ Non solo la fisica, ma pure la musica, l'arte!

Matematica-fisica-musica

Il credo di Pitagora

Tutto è numero razionale

Razionale = ratio(rapporto) = logos

Qualcosa non quadra...

Tuttavia, se il peso di do1 è 2 volte quello di do (un'ottava), il peso di do5 (5 ottave più alto) sarà di 2 elevato 5

Ma noi sappiamo che 5 ottave corrispondono a 12 quinte, ed il rapporto di quinta è di 3/2

Il ciclo delle quinte

Il ciclo delle quinte non si chiude

Ma 2 el.5 non è uguale a 3/2 el. 12!

Non esiste un esponente a cui elevare 3/2 tale da uguagliare 2 el. 5

→ bisogna Temperare (approssimare) l'accordatura degli strumenti e far sì che 12 quinte corrispondano “forzatamente” a 5 ottave, senza guardare troppo i rapporti matematici.

Temperamento

Questa soluzione non fu raggiunta da Pitagora, ma nella storia della musica molto dopo.

Pitagora aveva scoperto però una verità molto inquietante: che quella corrispondenza assoluta tra rapporti matematici, fisici e musicali non era del tutto vera!

Un primo campanello di allarme

Questo problema del ciclo delle quinte che non si chiudeva era in realtà un segnale d'allarme di una scoperta tremenda che portò Pitagora di fronte al problema dei numeri irrazionali, i quali non possono essere espressi da un rapporto (= ratio) tra due numeri interi, m/n.

L'irrazionale

Cosa c'era di tremendo?

→ l'idea che l'universo non fosse così strutturato, ordinato, matematico

Tutta la filosofia di Pitagora sarebbe crollata

L'irrazionale

La scoperta definitiva, che confermò i sospetti di Pitagora, venne dalla riflessione sulla irrazionalità della radice di due .

Infatti, a margine delle riflessioni sul teorema di Pitagora, già Platone, nel Menone, aveva portato lo schiavo a capire che l'area del quadrato di lato 1 è rad. Di 2.

L'altare di Apollo

Oppure vedasi la storia del raddoppio dell'altare di Apollo (cubico) per far cessare la peste di Atene

L'oracolo di Delo ne chiese il raddoppio, ma i greci raddoppiarono il lato ed Apollo si infuriò...

Radice di 2

Aristotele fu il primo a dimostrare la irrazionalità della diagonale del quadrato

(Analitici, I,23)

Poi Euclide, negli Elementi di geometria, (I, 47) dimostra compiutamente il teorema di Pitagora

Una verità terribile

Ma fu Pitagora il primo ad intuire che la radice di due era un numero non riducibile ad una ratio, ad un rapporto di numeri interi

tutto è numero razionale”? NO → la diagonale di un quadrato non è razionale.

I Pitagorici giurarono quindi il segreto, ma Ipaso di Metaponto tradì: Giove affondò la sua nave e pagò con la morte il tradimento, però il mondo conobbe che effettivamente esistevano dei numeri irrazionali.

Importanza del pitagorismo

Possiamo dire che Pitagora ha il merito di avere diffuso una fiducia, una profonda convinzione tra gli uomini, che tutto è razionale, tutto è numero.

Quindi il pitagorismo ha ispirato l'atteggiamento scientifico degli uomini che hanno cercato, dietro i fenomeni naturali, una regolarità di leggi universali e necessarie, come la matematica

Timeo di Platone e Galileo

Già Platone (IV sec. a.C.), nel Timeo, dice che il mondo è fatto di forme elementari quali angoli, figure geometriche etc.

Lo stesso Galileo (1613) che definì il metodo sperimentale della scienza, disse che la natura è “un libro scritto in un alfabeto le cui lettere sono numeri e figure geometriche”

Keplero

Era chiaramente un pitagorico, un neoplatonico, convinto che il mondo avesse una armonia matematica, che spiegò nella sua opera Armonia del mondo (1619).

I Legge di Keplero

« L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »

II Legge di Keplero

« Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. »

III Legge di Keplero

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

Qui si nota la proporzione di quinta, 3/2.L'armonia del mondo.

Newton pitagorico

Anche Newton si ispirò a Pitagora.Per la sua legge di gravitazione universale si

ispirò alla proporzionalità inversa tra frequenza e lunghezza delle corde di una lira.

Newton immaginò il sole e i pianeti tenuti insieme da una corda invisibile di una lira che Apollo suonava, la attrazione gravitazionale →

Witten nel 1990 ha proposto una teoria del tutto,una grande teoria fisica che vuole unificare le leggi del microcosmo (la meccanica quantistica) e del macrocosmo (Gravitazione).

Le stringhe sono in realtà il sostituto degli atomi, che vibrano nello spazio così come vibrano le corde musicali per Pitagora.

La differenza è solo nel tipo di vibrazione, tutte le stringhe sono uguali → unificazione

Teoria delle stringhe

Conclusione

Il merito di Pitagora sta in questo: aver persuaso che tutto è numero, che la struttura del cosmo è ordinata e razionale, per cui vale la pena ricercare ovunque rapporti matematici, funzioni tra variabili, perchè queste ci sono, esistono, ne è costituito il mondo.

Per mettersi a cercare è essenziale la fiducia di trovare

Pitagora fu il primo ad averla.