Post on 15-Feb-2019
transcript
2
LE LEGGI DI KEPLERO
Sfruttando le osser-vazioni sul moto dei pianeti del sistema solare fatte dal suo maestro Tycho Brahe, Giovanni Keplero arrivò a formulare le sue 3 leggi empiriche
Giovanni Keplero(1571-1630)
Supernova “Keplero” (SN1604)
3
Ia LEGGE DI KEPLERO
I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
ellisse
Orbita ellittica
4
Quanto sono ellittiche le orbite?
ECCENTRICITA':
dp
da
perielio afelio
Per un' orbita circolare e=0Per l'orbita terrestre e=0.017Per Mercurio e=0.2Per Plutone (pianeta nano) e=0.25
5
Distanza dei pianeti dal sole
a
ba: semiasse maggiore
b: semiasse minore
Distanza media Terra-Sole:150 milioni di km = 1 Unità Astronomica (UA)
UA: 0,4 0,7 1 1,6 5,2 9,5 19,2 30,1 39,4
6
IIa LEGGE DI KEPLERO
Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
“Velocità aereolare” costante:A
1/t=A
2/t
A2
A2
A1
A= r ·s
s
7
AFELIO E PERIELIO
Velocità aereolare: dA/dt = r*ds/dt=r*v
Se r è minore (perielio) v è maggioreSe r è la metà, v è il doppio
Quando siamo più vicini al sole?Perielio: tra il 2 al 5 GennaioQuando siamo più lontani dal sole?Afelio: tra il 2 e il 7 Luglio
circa 2 settimane dopo i rispettivi solstizi
8
IIIa LEGGE DI KEPLERO
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggioridelle loro orbite
T2 = costante*a3
A1
Per la terra T=1 anno ~ 365 giorni (terrestri)
Per Mercurio T ~ 88 giorni
Per Marte T~2 anni
Per Giove T~12 anni
Per Plutone T~250 anni!!
9
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Isaac Newton(1643-1727)
“La forza che mi ha fattocadere questa mela sullatesta è la stessa che tienelegata la Luna alla Terra!”
Per la prima volta si pensa che le leggi fisiche verificate sulla terra valgono in tutto l'universo!
10
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Se m1=65 Kg
m2=50 Kg
r12
=0,5 mF=8,7· 10-7 N
E' molto piccola!
COSTANTE DI CAVENDISH:
r12
m1
m2
N.B.: Le m sono le masse gravitazionali:quelle di F
PESO=mg
11
LA FORZA DI GRAVITA' E' UNIVERSALEATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA MELA:
ATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA LUNA:
Supponendo un orbita circolare con
L'accelerazione centripeta deve essere:
12
LA FORZA DI GRAVITA' SULLA ISS
L' International Space Station (ISS)orbita a 400 Km sopra la superficie terrestre. Quanto vale l'accelerazione di gravità per gli astronauti a bordo?
13
MISURA DELLA COSTANTE DI CAVENDISH
PENDOLO A TORSIONE: M=-k(simile a F=-kx della molla)
All'equlibrio il momento delle forze esercitate sulle due sfere è compensato dal momento torcente provocato dalla torsione del filo
F12
: forza di gravità tra m1 e m
2
l: lunghezza della barra k: costante di torsione del filo : posizione di equilibrio
0: posizione di equilibrio
senza masse grandi Cavendish riuscì a misurare G con un errore dell'1%Usando un laser per misurare si arriva allo 0,01%
14
MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE
La forza peso sentita da un corpo sulla terra è proporzionale alla massa gravitazionale m
g
La forza peso è F=mgg
FL'accelerazione subitada un corpo soggetto a una a forza F è inversamente proporzionale alla sua massa inerziale m
i :
F=mia
Per quanto siamo riusciti a provare fino ad oggim
g=m
i con una precisione di 10-14!
Gli attuali esperimenti su satellite mirano a 10-18!
L'uguaglianza tra massa gravitazionale e massa inerziale è richiesta dal principio di equivalenza debole della Relatività Generale di Einstein
Albert Einstein(1879-1955)
15
PRIME VERIFICHE SPERIMENTALI DI mg=m
i
Galileo Galilei dalla torre di Pisa:m
g g = m
i a
Se mg=m
i si semplifica
e l'accelerazione è la stessa per tutti i corpi
In realtà le verifiche più accurate Galileo le ottenne con il piano inclinato usando un ingegnoso orologio ad acqua per misurare i tempi Galileo Galilei
(1564-1642)
Ancora Newton dimostrò che, trascurando l'attrito dell'aria, il periodo di oscillazione del pendolo non dipende dalla massa
16
VERIFICHE SPERIMENTALI MODERNE DI mg=m
i
Lorand von Eotvos (1848-1919)
La forza peso èF
g=m
gg,
la forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre èF
c= -m
i2
Un pendolo a torsione con due masse diverse e con il punto di sospensione posto in modo da compensare i momenti delle forze verticali (forza peso e componente verticale di F
c) ruoterebbe sul piano
orizzontale se non fosse mi=m
g
Specchio riflettente istallato dalla missione Apollo 11 nel 1969
Se la massa inerziale non fosse proporzionale a quella gravitazionale, l'attrazione del sole sulla luna e sulla terra produrrebbe una variazione periodica della distanza terra-luna che non è stata osservata
La distanza di ottiene misurando il tempo impiegato da un raggio laser a tornare indietro
17
LA Ia LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON
I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Newton trovò che perché le orbite fossero ellittiche occorreva che la forza di gravità del sole sui pianeti doveva avere un andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza
Trovò anche altre traiettorie possibili:Cerchi (e=0)Ellissi (0<e<1)Parabole (e=1)Iperboli (e>1) Le ultime 2 corrispondono a traiettorie apertee=eccentricità
18
LA IIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON
Newton trovò che questa era una diretta conseguenza della conservazione del momento angolare L dovuta al fatto che il momento di una forza centrale, diretta cioè lungo il raggio, è nullo
Il raggio vettore che unisceil centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
19
LA IIIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON
Per dimostrare questa legge nel caso di orbite circolari, per il cui il semiasse maggiore è il raggio, basta uguagliare la forza di gravità alla forza centripeta necessaria a tenere il pianeta in orbita
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sonodirettamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggioridelle loro orbite
E quindi:
Si può dimostrare anche per orbite non circolari
N.B.: Se so T, r e G posso trovare la massa del Sole!
20
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
Ricordiamo che il lavoro svolto da una forza conservativa si può scrivere come la variazione della sua energia potenziale cambiata di segno:
Nel nostro caso essendo F diretta lungo il raggio ma con verso opposto si ha
E quindi:
Si prende solitamente la costante c=0, che equivale a U(∞)=0, per cui:
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
21
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE VICINO ALLA TERRA
Se: con R=Raggio della Terra
R
h
con M=Massa della Terra
Se:
allora:
Definendo:
Si trova:
22
VELOCITA' DI FUGA
Qual è la minima velocità che deve avere un razzo per riuscire a sfuggire al campo di gravità terrestre?
23
ENERGIA MECCANICA E VELOCITA' DI FUGA
Per fuggire deve riuscire ad arrivare a distanza infinita (dove U=0) con un energia cinetica K≥0
Per poter fuggire un corpo deve avere
energia meccanica E≥0
Se E<0 il corpo rimane confinato entro rMAX
Se E=0 riesce a fuggire lungo una parabola
24
VELOCITA' DI FUGA DALLA TERRA
Per la terra vFUGA
=11,2 Km/s~40000km/h
CONDIZIONE LIMITE PER LA FUGA
VELOCITA' DI FUGA
Per la luna vFUGA
=2,3 Km/s →Non riesce a trattenere un'atmosfera
25
CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE
Possiamo immaginare che la massa della Terra (o del Sole) perturbi lo spazio intorno a sé, generando un campo di forza g tale che ogni massa senta una forza di gravità proporzionale alla sua massa
m
CAMPOGRAVITAZIONALETERRESTRE
In realtà vicino alla superficie il campo terrestre non è così omogeneo ma risente delle variazioni di densità locali (quantità di rocce o di acqua)
26
CAMPO GRAVITAZIONALE DI DUE MASSE
Il campo totale è la somma dei singoli campi (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE) e mantiene le proprietà di simmetria del sistema di masse che lo genera
Nel caso in figura è simmetrico sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y
Nel caso di una distribuzione continua di masse la somma si sostituisce con l'integrale:
Esempio sul libro: campo di una barra omogena
27
CAMPO GRAVITAZIONALE DI DUE MASSE
Il campo totale è la somma dei singoli campi (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE) e mantiene le proprietà di simmetria del sistema di masse che lo genera
Nel caso in figura è simmetrico sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y
28
CAMPO GRAVITAZIONALE DI UN GUSCIO SFERICO
Il campo all'internoè nullo perché per ogni elemento di superficie A
1 la cui
massa è proporzionale ad r
12, ce n'è uno A
2 di
massa proporzionale ad r
22 che da un
contributo opposto al campo totale: m
1/r
12-m
2/r
22=0
Il campo all'esterno del guscio è dato da:
Ed è quindi equivalente a quello di una singola massa posta al centro del guscioQuesta proprietà (dimostrata sul libro alla fine del capitolo) vale per tutti i campi con andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza (come anche il campo elettrico) ed è servita a Newton per arrivare ad affermare che l'attrazione della terra sulla mela era la stessa di quella sulla luna