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La Matematica del Mondo dei Quanti

Gerardo Morsella

Dipartimento di Matematica

Scienza Orienta 2017

Università di Roma Tor Vergata

13 febbraio 2017

Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta 2017 1 / 19

La crisi della fisica classica

La radiazione di corpo nero 1/2

Corpo nero: “scatola” contenente radiazione elettromagnetica inequilibrio termico a temperatura TProblema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità divolume e di intervallo di frequenza νSoluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica):

u(ν,T ) =8πν2

c3 kT (legge di Rayleigh-Jeans, 1900)

Paradossi:In accordo conesperimenti solo perpiccole frequenzeenergia totale infinita(catastrofe ultravioletta)

teoria

esperimenti

Corpo nero: “scatola” contenente radiazione elettromagnetica inequilibrio termico a temperatura TProblema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità divolume e di intervallo di frequenza νSoluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica):

u(ν,T ) =8πν2

c3 kT (legge di Rayleigh-Jeans, 1900)

Paradossi:In accordo conesperimenti solo perpiccole frequenzeenergia totale infinita(catastrofe ultravioletta) 0 1 2 3 4 5 6 7

5 teoria

esperimenti

Soluzione di Planck (1900)Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere unaqualunque energia, ma solo energia quantizzata

0,hν,2hν,3hν, ...,nhν, ...

con h nuova costante universale con dimensioni J · s = kg m2s−1

(azione)

Rifacendo il calcolo della densità di energia:

u(ν,T ) =8πhν3

c3(ehνkT − 1)

in accordo con dati sperimentali se h = 6,6 · 10−34J · s costante diPlanck. Per luce visibile ν ' 5 · 1011Hz ⇒ hν ' 3 · 10−22JMa perché solo valori discreti??

0,hν,2hν,3hν, ...,nhν, ...

(azione)

u(ν,T ) =8πhν3

c3(ehνkT − 1)

0,hν,2hν,3hν, ...,nhν, ...

(azione)

u(ν,T ) =8πhν3

c3(ehνkT − 1)

L’effetto fotoelettrico

Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta(Hertz, 1887):

il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazioneincidente è sopra una certa sogliail numero di elettroni emessi è proporzionale all’intensità dellaradiazione, ma non alla frequenzal’energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, manon all’intensità

Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionaleall’intensità, non alla frequenza

Spiegazione di Einstein (1905)la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognunadelle quali ha energia hν, in numero proporzionale all’intensità

Conferma ipotesi di PlanckGerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta 2017 4 / 19

L’effetto fotoelettrico

Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta(Hertz, 1887):

il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazioneincidente è sopra una certa sogliail numero di elettroni emessi è proporzionale all’intensità dellaradiazione, ma non alla frequenzal’energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, manon all’intensità

Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionaleall’intensità, non alla frequenza

Spiegazione di Einstein (1905)la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognunadelle quali ha energia hν, in numero proporzionale all’intensità

Conferma ipotesi di PlanckGerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta 2017 4 / 19

L’atomo di idrogeno 1/2

Modello di Rutherford dell’atomo di idrogeno (1911): elettrone(negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza diCoulomb, proporzionale a 1/r2 (come la gravità)Problemi:

non spiega lo spettro di emissione di radiazione,fatto di righe con frequenze

ν = R

1− 1

con n1,n2 numeri interi (R costante di Rydberg)cariche accelerate classicamente emettonoradiazione, quindi perdono energia, e quindil’elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo(in 10−10s!!)

Modello di Rutherford dell’atomo di idrogeno (1911): elettrone(negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza diCoulomb, proporzionale a 1/r2 (come la gravità)Problemi:

non spiega lo spettro di emissione di radiazione,fatto di righe con frequenze

ν = R

1− 1

con n1,n2 numeri interi (R costante di Rydberg)cariche accelerate classicamente emettonoradiazione, quindi perdono energia, e quindil’elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo(in 10−10s!!)

Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno (1913)L’elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare èun multiplo della costante di Planck ridotta ~ = h/2π

mvr = n~ ⇒ E = En = − me4

L’elettrone può saltare da un’orbita permes-sa a un’altra assorbendo o emettendo unfotone di frequenza

ν =En1 − En2

h= − me4

1− 1

Ma perché solo queste orbite??

mvr = n~ ⇒ E = En = − me4

ν =En1 − En2

h= − me4

1− 1

mvr = n~ ⇒ E = En = − me4

ν =En1 − En2

h= − me4

1− 1

La meccanica ondulatoria

Onde e particelle

De Broglie (1923):la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anchecomportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione)analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspettoondulatorioin base alla relazione tra equazione delle onde e otticageometrica, a una particella di impulso p si associa unalunghezza d’onda

λ =hp

Esperimento di Davisson-Germer (1927):si osserva effettivamente interferenzanegli elettroni diffusi da un cristallo

Onde e particelle

De Broglie (1923):la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anchecomportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione)analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspettoondulatorioin base alla relazione tra equazione delle onde e otticageometrica, a una particella di impulso p si associa unalunghezza d’onda

λ =hp

Esperimento di Davisson-Germer (1927):si osserva effettivamente interferenzanegli elettroni diffusi da un cristallo

L’equazione di Schrödinger

Sviluppando le idee di De Broglie, Schrödinger (1926) proposel’equazione a cui deve soddisfare l’onda associata a un elettrone dienergia E soggetto ad una forza di energia potenziale V

− ~2

2md2ψ

dx2 (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

(in una dimensione). Dove:ψ(x) è la funziona d’ondadell’elettrone, ed è un numerocomplesso|ψ(x)|2 si interpreta come ladensità di probabilità di trovarel’elettrone nel punto x

Permette di spiegare il modellodi Bohr?

Numeri complessi:z = x + iycon x , y ∈ R parte realee immaginaria di z, ei2 = −1 unitàimmaginaria|z|2 = x2 + y2

La buca di potenziale infinita 1/3

Elettrone soggetto a un potenziale

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,dove V = −1/r2) x

L0L’equazione di Schrödinger diventa{

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

k cos(kx) = −k2 sin(kx) ⇒ k =

√2mE~

Analogamente per ψ(x) = cos(kx)Gerardo Morsella (Mat) La Matematica del Mondo dei Quanti Scienza Orienta 2017 9 / 19

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

V (x) =

{0 se 0 < x < L+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L

− ~2

2mψ′′(x) = Eψ(x)

ψ(0) = ψ(L) = 0

Soluzione:d2

dx2 sin(kx) =ddx

√2mE~

La soluzione più generale è dunque

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), E =~2k2

ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

Quindi tutte le soluzioni possibili sono

0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo diBohr!

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

Quindi tutte le soluzioni possibili sono0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0

ψ(L) = A sin(kL) = 0⇒ k =nπL, n = 1,2,3, ...

Quindi tutte le soluzioni possibili sono0 0,5π π

L = π

~22m = 1

ψn(x) =

sin(nπx

), E = En =

2mL2 n2

Ogni altra funzione d’onda si può scrivere come una somma infinitadelle ψn

ψ(x) =+∞∑n=1

cnψn(x)

Un elettrone con questa funzione d’onda non ha un’energia bendefinita. L’unica cosa che si può dire è che ha energia En conprobabilità |cn|2.Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico diuna pallina tra due muri

ψ(x , t) = 1√2

(ψ1(x)eit + ψ2(x)e4it )

se si vuole localizzare molto bene l’elettrone bisogna sommaremolte ψn:

ψ(x , t) =50∑

cnψn(x)ein2t

ψ(x) =+∞∑n=1

cnψn(x)

ψ(x , t) = 1√2

ψ(x , t) =50∑

cnψn(x)ein2t

ψ(x) =+∞∑n=1

cnψn(x)

ψ(x , t) = 1√2

ψ(x , t) =50∑

cnψn(x)ein2t

ψ(x) =+∞∑n=1

cnψn(x)

ψ(x , t) = 1√2

ψ(x , t) =50∑

cnψn(x)ein2t

La struttura matematica della meccanica quantistica

Spazio di Hilbert e operatori

L’insieme di tutte le funzioni d’onda è uno spazioa infinite dimensioni (una per ogni ψn), detto lospazio di Hilbert

ψ1 ψ2

Confrontando l’equazione di Schrödinger

− ~2

2md2ψ

dx2 (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

con l’espressione dell’energia classica

mv2 + V (x) =p2

2m+ V (x)

si vede chela posizione x si identifica con l’operatore ψ(x)→ xψ(x)

l’impulso p si identifica con l’operatore ψ(x)→ −i~dψdx (x)

ψ1 ψ2

− ~2

2md2ψ

dx2 (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

mv2 + V (x) =p2

2m+ V (x)

ψ1 ψ2

− ~2

2md2ψ

dx2 (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

mv2 + V (x) =p2

2m+ V (x)

ψ1 ψ2

− ~2

2md2ψ

dx2 (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)

mv2 + V (x) =p2

2m+ V (x)

Relazioni di commutazione

In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):

xp − px = 0

In meccanica quantistica non è più vero:

xpψ(x)

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

Relazioni di commutazione canoniche

xp − px = i~

Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso unariformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr soloin termini di grandezze osservabili

xp − px = 0

xpψ(x)

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

xpψ(x) = −i~ψ′(x)

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

xpψ(x) = −i~xψ′(x)

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

xp − px = 0

pxψ(x) = −i~ddx

(xψ(x)) = −i~ψ(x)− i~xψ′(x)

xp − px = i~

Relazioni di indeterminazione

Le relazioni di commutazione xp − px = i~ implicano le

Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927)Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di unelettrone, l’inevitabile interazione con l’apparato di misura introduceperturbazioni imprevedibili ∆x e ∆p nei valori di x e p che devonosoddisfare

∆x∆p ≥ ~

ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettualiindicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità dimisura) nel mondo quantisticopoiché ~ è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico:per un proiettile (p ' 1.5 kg m s−1) se ∆p/p = 10−3 allora∆x ≥ 7 · 10−29 mm (raggio atomi ' 10−7mm)

Relazioni di indeterminazione

Le relazioni di commutazione xp − px = i~ implicano le

Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927)Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di unelettrone, l’inevitabile interazione con l’apparato di misura introduceperturbazioni imprevedibili ∆x e ∆p nei valori di x e p che devonosoddisfare

∆x∆p ≥ ~

ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettualiindicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità dimisura) nel mondo quantisticopoiché ~ è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico:per un proiettile (p ' 1.5 kg m s−1) se ∆p/p = 10−3 allora∆x ≥ 7 · 10−29 mm (raggio atomi ' 10−7mm)

Grandezze compatibili

Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso,energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore(autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert

TeoremaGrandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sonosimultaneamente misurabili, cioè si può avere ∆A ·∆B = 0

L’esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematicafondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche suivalori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933)

Essenza del formalismo matematico della meccanica quantisticaLa meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo agrandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabilinon commutative (operatori)

Sviluppi moderni e prospettive

Sviluppi moderni

Oggi la meccanica quantistica permette di spiegare e comprendere ungrande numero di fenomeni, anche importanti nella vita di ogni giorno:

il laser è descritto da molti fotoni con la stessa funzione d’onda(coerenti)i semiconduttori con cui si costruiscono i circuiti integrati deicomputeri superconduttori, materiali con resistenza elettrica nulla abassissime temperature, descritti da (coppie di) elettroni coerentila fissione e la fusione nucleare, con cui si produce energia nellecentrali nucleari e nelle stelle

La teoria quantistica dei campi

Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deveessere rappresentata da un operatore quantistico. Questaosservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner ... (anni ’30) aformulare la teoria quantistica dei campi:

fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta diEinstein (1905)si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tredelle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica,nucleare debole e nucleare forte)è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagliesperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs)

Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamenterigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara dirimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio unpremio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla

La teoria quantistica dei campi

Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deveessere rappresentata da un operatore quantistico. Questaosservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner ... (anni ’30) aformulare la teoria quantistica dei campi:

fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta diEinstein (1905)si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tredelle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica,nucleare debole e nucleare forte)è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagliesperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs)

Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamenterigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara dirimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio unpremio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla

Gravità quantistica?

La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scalacosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917).Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il BigBang, la formazione delle galassie, l’espansione dell’universoNon esiste a tutt’oggi una teoria quantistica della gravitazione(nemmeno non rigorosa).

molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l’originedell’universo, quando la gravità era di intensità comparabile con lealtre forzeesistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria dellestringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantisticoconcordano sul fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzatoalla scala λP =

√~G/c3 = 1.6 10−32mm (lunghezza di Planck)

problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie ingioco sono irraggiungibili dagli acceleratori

Gravità quantistica?

La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scalacosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917).Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il BigBang, la formazione delle galassie, l’espansione dell’universoNon esiste a tutt’oggi una teoria quantistica della gravitazione(nemmeno non rigorosa).

molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l’originedell’universo, quando la gravità era di intensità comparabile con lealtre forzeesistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria dellestringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantisticoconcordano sul fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzatoalla scala λP =

√~G/c3 = 1.6 10−32mm (lunghezza di Planck)

problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie ingioco sono irraggiungibili dagli acceleratori

Di nuovo all’inizio

Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile chepermea l’universo originatasi 300.000 anni dopo il Big Bang. È unaradiazione di corpo nero a T = 2,725 K .Tutto l’universo è un sistema quantisticoDall’analisi di questa radiazione si deduce che l’energia e la materiaosservabili sono solo il 4% del totale!C’è molto lavoro per voi!

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