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LA PARABOLA
E LA SUA EQUAZIONE
Prof. Giovanni Ianne
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Prof Giovanni Ianne
CHE COS’È LA PARABOLA
DEFINIZIONE
Parabola
Scegliamo sul piano un punto Fe una retta d.
Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola.
Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiamaasse della parabola.Il punto in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice dellaparabola.
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L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE COINCIDENTE CON L’ ASSE y E VERTICE NELL’ ORIGINE DEGLI ASSI
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Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f .Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se
f
2
cioè:.
Da cui ,
, .
Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: y = ax2 .
Equazione della direttrice: .Coordinate del fuoco: .
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ESEMPIO
Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:
0 0
–1 3
1 3
–2 12
2 12
x y
Inoltre: ,
fuoco ,
eq. della direttrice .
y = 3x2 .
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IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA
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a > 0
y = ax2 è positiva,la distanza focale è f > 0 ,F ha ordinata positiva.
a < 0
y = ax2 è negativa,la distanza focale è f < 0 ,F ha ordinata negativa.
Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso.
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IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA
a = a = a = 2
Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.
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L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
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La trasformazione
trasla i punti del piano.
Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2
diventa: y – yV = a(x – xV)2 .
In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(xV; yV).
Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come y = ax2 + bx + c .
Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice: .
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RITORNA
otteniamoy = ax2 + bx + c .
o y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) .
cioèy – yv = ax2 – 2axxv + axv
2
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
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Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y
La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione
y – yv = a(x – xv)2 ,
Ponendob = – 2axv ,
c = axv2 + yv ,
,
cioè .
Per le coordinate di V(xv; yv) vale:
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REGOLA
L’asse di simmetria ha equazione: ,
L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
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TEOREMA
A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c ,
con a ≠ 0, e viceversa.
il vertice è il punto: ,
il fuoco è il punto: ,
la direttrice ha equazione: .a
y4
1
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b = 0
L’equazione diventa:y = ax2 + c .
c = 0
L’equazione diventa:y = ax2 + bx .
b = 0, c = 0
L’equazione diventa:y = ax2 .
La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y.
La parabola passa per l’origine O.
La parabola ha il vertice nell’origine O.
ALCUNI CASI PARTICOLARI
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INTERSEZIONI DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA (NON PARALLELA ALL’ ASSE y)
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione della retta
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo gradole cui soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con laretta.Se , la retta è secante la parabola in due punti.Se , la retta è tangente alla parabola in un punto.Se , la retta è esterna alla parabola.
qmxycbxaxy 2
02 qcxmbax
000
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RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
Se un punto P è esterno alla parabola: si possono tracciare due rette tangenti.Se un punto P è sulla parabola: una sola retta tangente.Se un punto P è interno alla parabola: non è possibile tracciare rette tangenti,ossia non esistono rette tangenti.
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione delfascio proprio di rette passanti per
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo grado Si pone la condizione di tangenza, ossia . Si risolve rispetto a l’equazione ottenuta e si sostituiscono nell’ equazione del fascio gli eventuali valorideterminati.
00; yxP
00
2
xxmyycbxaxy
0002 ymxcxmbax
0 m
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ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L’ EQUAZIONE DI UNA PARABOLAparabola
• Note le coordinate del vertice e del fuoco• Note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l’ equazione della direttrice• La parabola passa per tre punti non allineati• La parabola passa per due punti e si conosce l’ equazione dell’ asse• La parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del
fuoco)• La parabola passa per un punto e sono note le equazioni dell’ asse e della
direttrice• La parabola è tangente a una retta data e passa per due punti
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ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
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ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
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